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점근 자유성

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목차

1. 개요

점근 자유성은 양자장론의 특징으로, 입자 간의 상호작용이 짧은 거리에서는 약해지고, 에너지 규모가 커질수록 자유 입자처럼 행동하는 현상을 의미한다. 1973년 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵, 데이비드 폴리처에 의해 독립적으로 발견되었으며, 이들은 이 공로로 2004년 노벨 물리학상을 수상했다. 양자 색역학(QCD)은 점근 자유성을 가지며, 쿼크가 자유 입자처럼 행동하는 뵤르켄 축척이 나타난다. 점근 자유성은 베타 함수를 통해 계산할 수 있으며, 게이지 군과 상호 작용하는 입자의 맛깔 수에 따라 결정된다. QCD에서는 쿼크 맛깔 수가 16개 이하일 때 점근 자유성을 나타낸다. 점근 자유성은 높은 에너지에서는 결합 상수가 0으로 수렴하지만, 낮은 에너지에서는 무한대로 발산하는 색가둠 현상과 밀접한 관련이 있다.

2. 역사

양자 색역학(QCD)의 점근적 자유성은 1973년 데이비드 그로스와 프랭크 윌첵, 그리고 데이비드 폴리처에 의해 독립적으로 발견되었다.[1][2] 이 현상은 그 이전에도 관찰된 바 있다. 1965년 V.S. 바냐신과 M.V. 테렌티에프는 양자 전기역학에서 하전된 벡터장에서, 1969년 이오시프 흐리플로비치는 SU(2) 게이지 이론에서, 1972년 제라르트 호프트는 양-밀스 이론에서 점근적 자유성을 관찰했다.[4][5][6][7] 그러나 이러한 발견들의 물리적 중요성은 그로스, 윌첵, 폴리처의 연구가 있기 전까지는 제대로 인식되지 못했고, 이들은 2004년 노벨 물리학상을 수상했다.[3]

스탠퍼드 선형 가속기에서의 실험은 양성자 내부에서 쿼크가 마치 자유로운 것처럼 행동한다는 것을 보여주었는데, 이는 당시 쿼크가 강한 상호작용에 의해 묶여있다고 믿었던 많은 사람들에게 놀라운 일이었다.[8]

이 발견은 양자장론을 "재활"하는 데 중요한 역할을 했다.[7] 1973년 이전에는 많은 이론가들이 상호작용이 짧은 거리에서 무한히 강해지는 란다우 극점 문제 때문에 장론이 근본적으로 모순된다고 의심했다. 그러나 점근 자유 이론은 짧은 거리에서 상호작용이 약해지고 란다우 극점이 없어, 양자장론이 모든 길이 척도에서 완전히 일관성이 있는 것으로 여겨지게 되었다.

표준 모형에서 전약력 이론은 점근 자유적이지 않아 란다우 극점이 존재한다. 이 극점은 힉스 보손을 고려할 때 문제가 되며, 양자 자명성은 힉스 보손 질량과 같은 매개변수를 경계하거나 예측하는 데 사용될 수 있다.

2. 1. 초기 연구

1965년 V.S. 바냐신과 M.V. 테렌티에프는 양자 전기역학(QED)에서 하전된 벡터장에서 유사한 현상을 발견했다.[4][5][6][7] 1969년 이오시프 흐리플로비치는 SU(2) 게이지 이론에서 점근적 자유성을 발견했다.[4][5][6][7] 1972년 제라르트 호프트도 양-밀스 이론에서 점근적 자유성을 관찰했지만, 발표하지 않았다.[4][5][6][7]

2. 2. 점근적 자유성의 발견과 노벨상 수상

1973년 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵[13], 데이비드 폴리처[14]는 양자 색역학(QCD)에서 점근적 자유성을 발견하고, 강한 상호작용과의 관련성을 처음으로 알아차렸다. 이들은 이 공로로 2004년 노벨 물리학상을 수상했다.[15] 양자 색역학의 점근적 자유성은 같은 해 데이비드 폴리처에 의해서도 독립적으로 발견되었다.[1][2] 1969년에는 Iosif Khriplovich|요시프 크리플로비치영어가 SU(2) 게이지 이론의 점근적 자유성을 수학적 호기심에서 발견했고, 헤라르뒤스 호프터도 1972년에 이를 인지하고 있었지만, 이 현상의 물리적 중요성은 그로스, 윌첵, 폴리처의 연구가 있기 전까지는 인식되지 못했다.[4][5][6][7]

SLAC에서의 전자-핵자 비탄성 산란 실험은 '강한 상호작용이 고에너지로 갈수록 약해진다'는 점근적 자유성을 뒷받침하는 중요한 증거를 제공했다.

2. 3. 표준 모형과 양자장론의 발전

양자 색역학(QCD)은 점근 자유성을 지니는데, 이에 따라 높은 에너지에서 쿼크는 자유입자처럼 행동하며 뵤르켄 축척이 나타난다. 이는 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵[13], 데이비드 폴리처[14]가 1973년에 발견하였으며, 이들은 이 공로로 2004년 노벨 물리학상을 수상하였다.[15]

1973년 이전에는 많은 이론가들이 상호작용이 짧은 거리에서 무한히 강해져 란다우 극점 문제로 인해 장론이 근본적으로 모순된다고 의심했다. 그러나 점근 자유 이론은 짧은 거리에서 상호작용이 약해지고 란다우 극점이 없어, 양자장론이 모든 길이 척도에서 완전히 일관성이 있는 것으로 여겨진다. 이 발견은 양자장론을 "재활"하는 데 중요한 역할을 했다.[7]

표준 모형에서 전약력 이론은 점근 자유적이지 않아 란다우 극점이 존재한다. 란다우 극점은 힉스 보손을 고려할 때 문제가 되며, 양자 자명성은 힉스 보손 질량과 같은 매개변수를 경계하거나 예측하는 데 사용될 수 있다.

양자 색역학(QCD)의 점근적 자유성은 1973년 데이비드 그로스와 프랭크 윌첵, H. 데이비드 폴리처에 의해 비가환 게이지 이론에서 발견되었다. 이는 SLAC에서의 전자-핵자 비탄성 산란 실험 결과와 일치하며, SU(3) 게이지 이론이 강한 상호작용을 기술한다고 널리 믿어지게 되었다.

3. 가림과 반가림

스케일 변화에 따른 결합 상수의 변화는 가상 입자의 작용으로 설명할 수 있다. 양자 전기역학(QED)에서는 전하를 띤 입자-반입자 쌍이 전하를 가리는 '가림' 현상이 나타난다. 반면, 양자 색역학(QCD)에서는 글루온이 색전하와 반색 자기 모멘트를 모두 가지고 있어 장을 증폭시키는 '반가림' 현상이 나타난다.

양자 색역학(QCD)에서 가상 쿼크와 가상 글루온은 서로 반대 효과를 낸다. 어떤 효과가 우세할지는 쿼크의 맛깔 수에 달려있다. 쿼크 맛깔 수가 16개 이하일 때 반가림이 우세하여 점근 자유성이 나타나는데, 실제로 알려진 쿼크 맛깔 수는 6개이다.

3. 1. 양자 전기역학(QED)에서의 가림



스케일 변화에 따른 물리적 결합 상수의 변화는 관련 전하를 띠는 가상 입자에 대한 장의 작용으로 질적으로 이해할 수 있다. 양자 전자기학(QED)의 란다우 극점 현상(양자 자명성과 관련)은 진공에서 전자–양전자 쌍과 같은 가상 전하 입자–반입자 쌍에 의한 ''가림''의 결과이다. 전하 근처에서 진공은 ''편극''된다. 반대 전하를 띤 가상 입자는 전하에 끌리고, 같은 전하를 띤 가상 입자는 반발한다. 그 결과는 임의의 유한 거리에서 장을 부분적으로 상쇄시키는 것이다. 중앙 전하에 점점 더 가까워지면 진공의 영향을 점점 적게 보게 되고 유효 전하는 증가한다.

3. 2. 양자 색역학(QCD)에서의 반가림

양자 색역학(QCD)에서 가상 쿼크-반쿼크 쌍은 색전하를 가리는 경향이 있다. 그러나 QCD에는 힘을 전달하는 입자인 글루온 자체가 색전하를 가지며, 다른 방식으로 작용하는 특징이 있다. 각 글루온은 색전하와 반색 자기 모멘트를 모두 가지고 있다. 진공에서 가상 글루온의 편극 효과는 장을 가리는 것이 아니라 ''증가''시키고 색을 변화시킨다. 이것을 ''반가림''(색 상자성[11])이라고 한다.

반가림 효과: QCD에서 색전하는 진공 편극의 효과로 멀리서 볼수록 커 보이고, 가까이서 볼수록 0에 가까워진다.


쿼크에 더 가까이 다가가면 주변 가상 글루온의 반가림 효과가 감소하므로, 이 효과는 거리가 감소함에 따라 유효 전하를 약화시킨다. 반대로 쿼크에서 멀어질수록 가상 색전하를 강화한다. 이는 두 개의 쿼크를 멀리 떨어뜨릴수록 강한 결합이 됨을 의미하며, 쿼크 가둠 현상을 설명한다.

가상 쿼크와 가상 글루온은 서로 반대되는 효과를 나타내기 때문에 어떤 효과가 우세할지는 쿼크의 종류, 즉 맛깔의 수에 달려 있다. 표준 QCD에서 세 가지 색상을 가진 경우, 쿼크의 맛깔이 16개 이하인 한(반쿼크를 별도로 계산하지 않음) 반가림이 우세하며 이론은 점근 자유성을 가진다. 실제로 알려진 쿼크의 맛깔은 6가지뿐이다.

3. 3. 맛깔(flavor) 수와 점근적 자유성

가상 쿼크와 가상 글루온은 서로 반대되는 효과를 나타내기 때문에 어떤 효과가 우세할지는 쿼크의 종류, 즉 맛의 수에 달려 있다. 표준 양자 색역학(QCD)에서 세 가지 색상을 가진 경우, 쿼크의 맛이 16개 이하인 한(반쿼크는 별도로 계산하지 않음) 반가림이 우세하며 이론은 점근적 자유성을 가진다.[11] 실제로 알려진 쿼크의 맛은 6가지뿐이다.

4. 점근적 자유성의 계산

재규격화군에 따른 이론의 결합 상수 변화를 설명하는 베타 함수를 계산하여 점근적 자유성을 유도할 수 있다. 충분히 짧은 거리 또는 큰 운동량 교환(양자의 운동량과 드 브로이 파장 사이의 반비례 관계 때문에 대략적으로 짧은 거리 동작을 탐색함)의 경우, 점근 자유 이론은 페르미 다이어그램을 사용한 섭동 이론 계산에 적합하다. 따라서 이러한 상황은 이론에서 종종 나타나는 장거리, 강결합 동작보다 이론적으로 더 다루기 쉽다.

베타 함수를 계산하는 것은 쿼크가 글루온을 방출하거나 흡수하는 상호 작용에 기여하는 페르미 다이어그램을 평가하는 문제이다. 본질적으로, 베타 함수는 시스템을 확장할 때 결합 상수가 어떻게 변하는지 설명한다. 이 계산은 위치 공간 또는 운동량 공간(운동량 껍질 적분)에서 재조정을 사용하여 수행할 수 있다.

양자 색역학(QCD) 외에도 점근 자유성은 2차원의 비선형 \sigma-모델과 같은 다른 시스템에서도 볼 수 있으며, 이는 4차원의 SU(N) 불변 양-밀스 이론과 유사한 구조를 갖는다. 또한, 점근 자유이고 충분히 낮은 에너지에서 전자기력, 약력 및 강력을 포함하는 전체 표준 모형으로 축소되는 이론을 찾을 수 있다.[12]

4. 1. 베타 함수

재규격화군에 따른 이론의 결합 상수 변화를 설명하는 함수인 베타 함수를 계산하여 점근 자유성을 유도할 수 있다. 베타 함수는 에너지 스케일 변화에 따른 결합 상수의 변화를 나타내는 함수이다.

:\beta(\alpha_s) = \mu^2 \frac{\partial \alpha_s(\mu^2)}{\partial \mu^2}

여기서 \alpha_s는 미세 구조 상수에 해당한다. 충분히 짧은 거리에서 점근 자유 이론은 섭동 이론 계산에 적합하다.

베타 함수를 계산하는 것은 쿼크가 글루온을 방출하거나 흡수하는 상호 작용에 기여하는 페르미 다이어그램을 평가하는 문제이다. 비가환 게이지 이론에서 점근 자유성의 존재는 게이지 군과 상호 작용하는 입자의 향미 수에 따라 달라진다. n_f 종류의 쿼크 유사 입자가 있는 SU(N) 게이지 이론의 베타 함수는 다음과 같다.

:\beta_1(\alpha) = { \alpha^2 \over \pi} \left( -{11N \over 6} + {n_f \over 3} \right)

여기서 \alpha는 미세 구조 상수와 같은 이론의 g^2/(4 \pi)이다. 이 함수가 음수이면 이론은 점근 자유이다. SU(3)의 경우 N = 3,이므로 \beta_1 < 0 의 요구 조건은

:n_f < {33 \over 2}.

이다. 따라서 양자 색역학(QCD)의 색 전하 게이지 군인 SU(3)의 경우, 이론은 16개 이하의 쿼크 향미가 있다면 점근 자유이다.

양자 색역학(QCD)와 같은 비가환 게이지 이론에서 점근적 자유성의 존재는 게이지군 및 맛깔 수에 의존한다. 점근적 자유성은 이론의 β 함수를 계산하여 조사할 수 있다. β 함수는 재규격화군 방정식에서 이용되며, 에너지 스케일의 변화 (재규격화군의 흐름)에 대해 결합 상수가 어떻게 변화하는지를 기술하는 파라미터이다. 결합 상수를 g라고 할 때, β 함수는 다음과 같이 정의된다.

:\beta(\alpha_s) = \mu^2 \frac{\partial \alpha_s(\mu^2)}{\partial \mu^2}

여기서 \alpha_s는 이론의 미세 구조 상수에 상당하는 것으로, 입자 물리학에서는 \alpha_s = g^2/(4\pi)가 사용된다.

n_f 종류의 쿼크를 갖는 SU(N)의 게이지 이론의 경우, β 함수는 섭동의 1차에서 다음과 같다.

:\beta(\alpha_s) \sim -\alpha_s^2 \beta_0(\alpha_s)=\frac{\alpha_s^2}{\pi}\left(-\frac{11N}{6}+\frac{n_f}{3}\right)

만약 이 함수가 음수라면, 고에너지로 갈수록 결합 상수는 0으로 향하고, 이 이론은 점근적 자유성을 갖는다. 이와 같이, SU(3)의 게이지군, 즉 QCD의 이론은 쿼크의 맛깔 수가 16 이하이면 점근적으로 자유로운 이론이다.

SU(3)의 경우 N = 3, \beta < 0을 만족하려면 n_f < 33/2 이어야 한다.

4. 2. 섭동 이론과 베타 함수 계산

재규격화군에 따른 이론의 결합 상수 변화를 설명하는 베타 함수를 계산하여 점근 자유성을 유도할 수 있다. 짧은 거리 또는 큰 운동량 교환에서 점근 자유 이론은 페르미 다이어그램을 사용한 섭동 이론 계산에 적합하다. 베타 함수 계산은 쿼크가 글루온을 방출하거나 흡수하는 상호 작용에 기여하는 페르미 다이어그램을 평가하는 것이다.

비가환 게이지 이론(예: QCD)에서 점근 자유성의 존재는 게이지 군과 상호 작용하는 입자의 향미 수에 따라 달라진다. n_f 종류의 쿼크 유사 입자가 있는 SU(N) 게이지 이론의 베타 함수는 가장 낮은 비자명 차수에서 다음과 같다.

:\beta_1(\alpha) = { \alpha^2 \over \pi} \left( -{11N \over 6} + {n_f \over 3} \right)

여기서 \alpha는 이론의 g^2/(4 \pi)이다. 이 함수가 음수이면 이론은 점근 자유이다. SU(3)의 경우 N = 3,이므로 \beta_1 < 0 조건은 다음과 같다.

:n_f < {33 \over 2}.

따라서 QCD의 색 전하 게이지 군인 SU(3)의 경우, 이론은 16개 이하의 쿼크 향미가 있다면 점근 자유이다.

4. 3. SU(N) 게이지 이론의 베타 함수

SU영어(N) 게이지 이론에서, 쿼크 종류가 n_f일 때 1차 섭동에서의 베타 함수는 다음과 같다.[12]

:\beta_1(\alpha) = { \alpha^2 \over \pi} \left( -{11N \over 6} + {n_f \over 3} \right)

여기서 \alpha는 이론의 결합 상수이다. 베타 함수가 음수이면 고에너지에서 결합 상수가 0으로 수렴하는 점근적 자유성이 나타난다.

양자 색역학(QCD)은 SU(3) 게이지 군을 따르므로, N = 3이다. 따라서 \beta_1 < 0 이 되려면,

:n_f < {33 \over 2}.

즉, 쿼크 맛깔 수가 16개 이하여야 QCD는 점근적 자유성을 갖는다.

4. 4. QCD와 점근적 자유성

양자 색역학(QCD)는 SU(3) 게이지 이론(N=3)이며, 쿼크 맛깔 수가 16개 이하일 때 점근적 자유성을 갖는다. 비가환 게이지 이론에서 점근 자유성의 존재는 게이지 군과 상호작용하는 입자의 향미 수에 따라 달라진다.[12]

가장 낮은 비자명 차수에서 n_f 종류의 쿼크 유사 입자가 있는 SU(N) 게이지 이론의 베타 함수는 다음과 같다.

:\beta_1(\alpha) = { \alpha^2 \over \pi} \left( -{11N \over 6} + {n_f \over 3} \right)

여기서 \alpha는 입자 물리학자들이 선호하는 단위에서 미세 구조 상수와 같은 이론의 g^2/(4 \pi)이다. 이 함수가 음수이면 이론은 점근 자유이다.

따라서 QCD의 색 전하 게이지 군인 SU(3)의 경우, 쿼크 맛깔수가 16개 이하이면 (n_f < {33 \over 2}) 점근적 자유성을 갖는다.

5. 양자 색역학의 응용

양자 색역학은 점근 자유성을 가지며, 높은 에너지에서 쿼크가 자유입자처럼 행동하여 뵤르켄 축척 현상이 나타나는 것을 설명한다. 데이비드 그로스, 프랭크 윌첵[13], 데이비드 폴리처[14]는 1973년에 이 현상을 발견하였고, 2004년 노벨 물리학상을 수상하였다.[15]

5. 1. 뵤르켄 축척 (Bjorken scaling)

양자 색역학은 점근 자유성을 지닌다. 이에 따라 높은 에너지에서 쿼크는 자유입자처럼 행동한다. 뵤르켄 축척은 이러한 현상을 보여준다. 스탠퍼드 선형 가속기에서의 실험은 양성자 내부에서 쿼크가 마치 자유로운 것처럼 행동한다는 것을 보여주었는데, 이는 많은 사람들이 쿼크가 강한 상호작용에 의해 묶여있다고 믿었기 때문에 매우 놀라운 일이었다.[8]

6. 색가둠과의 관계

높은 에너지에서는 결합상수가 0으로 수렴하지만, 반대로 낮은 에너지 눈금에서는 결합상수가 무한대로 발산한다. 이 경우를 색가둠이라고 부른다. 양자 색역학은 점근 자유성과 색가둠을 모두 지닌다.

참조

[1] 논문 Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories
[2] 논문 Reliable perturbative results for strong interactions
[3] 웹사이트 The Nobel Prize in Physics 2004 http://nobelprize.or[...] Nobel Web 2010-10-24
[4] 논문 The vacuum polarization of a charged vector field http://www.jetp.ac.r[...] 2015-05-28
[5] 논문 Green's functions in theories with non-Abelian gauge group https://inspirehep.n[...]
[6] 논문 Unpublished talk at the Marseille conference on renormalization of Yang–Mills fields and applications to particle physics 1972-06-00
[7] 논문 When was Asymptotic Freedom discovered? or The Rehabilitation of Quantum Field Theory
[8] 논문 Nobel Lecture: Asymptotic freedom: From paradox to paradigm 2005-09-07
[9] 논문 Twenty Five Years of Asymptotic Freedom
[10] 논문 Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?
[11] Youtube David Gross "Bhaumik Public Lecture: Fifty Years of QCD" https://www.youtube.[...] 2023-00-00
[12] 논문 Softened Gravity and the Extension of the Standard Model up to Infinite Energy
[13] 논문 Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories
[14] 논문 Reliable perturbative results for strong interactions
[15] 웹인용 The Nobel Prize in Physics 2004 http://nobelprize.or[...]


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