제르맹 항등식
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1. 본문
제르맹 항등식(Sophie Germain's identity)은 프랑스의 수학자 소피 제르맹(Sophie Germain)의 이름을 딴 항등식으로, 다음과 같습니다.
제르맹 항등식:a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² - 2ab)
증명:항등식의 우변을 전개하면 좌변을 얻을 수 있습니다.
(a² + 2b² + 2ab)(a² + 2b² - 2ab) = ( (a² + 2b²) + 2ab ) ( (a² + 2b²) - 2ab)
= (a² + 2b²)² - (2ab)²
= a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ - 4a²b²
= a⁴ + 4b⁴
응용:제르맹 항등식은 특수한 형태의 다항식을 인수분해하는 데 유용하며, 정수론 문제, 특히 소수 관련 문제 해결에 활용될 수 있습니다. 예를 들어, n > 1 인 경우, n⁴ + 4ⁿ 형태의 수는 소수가 아님을 보일 수 있습니다.
예시:2015⁴ + 4²⁰¹⁵ 가 소수인지 판별하는 문제에 제르맹 항등식을 적용할 수 있습니다.
| 제르맹 항등식 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 공식 명칭 | 제르맹 항등식 |
| 분야 | 수학, 대수학 |
| 유형 | 수학적 항등식 |
| 창시자 | 소피 제르맹 |
| 공식 | x⁴ + 4y⁴ = (x² + 2y² + 2xy)(x² + 2y² - 2xy) |
| 변수 | x, y |
| 적용 분야 | 인수분해, 정수론, 암호학 |
| 상세 정보 | |
| 관련 개념 | 수학적 항등식, 인수분해, 정수론 |
| 역사적 중요성 | 페르마의 마지막 정리 증명에 기여 |
| 활용 예시 | 큰 수를 소인수분해하는 데 사용 |
| 추가 정보 | |
| 참고 문헌 | 수학 관련 서적, 논문 |
| 관련 인물 | 페르마 |
| 관련 항목 | 수학 공식 목록 |
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