인수분해

3. 다항식의 인수분해

다항식을 더 낮은 차수의 다항식들의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라고 하며, 이는 전개의 역 과정이다. 예를 들어 $x^2\; -\; 3x\; +\; 2$는 $(x-1)(x-2)$로 인수분해되고, 이때 $(x-1)$과 $(x-2)$를 인수라고 한다.

다항식의 계수를 어느 범위(유리수, 실수, 복소수)로 한정하느냐에 따라 인수분해의 결과가 달라질 수 있다. 예를 들어 $x^2-2$는 실수 범위에서 $(x-\backslash sqrt\{2\})(x+\backslash sqrt\{2\})$로 인수분해되지만, 유리수 범위에서는 인수분해되지 않는다. 복소수 범위에서는 대수학의 기본 정리에 따라 모든 다항식이 일차식의 곱으로 인수분해 가능하다.^[2]

인수분해는 대수학에서 식을 다루는 중요한 방법이다. 방정식을 인수분해된 형태 $E\; \backslash cdot\; F\; =\; 0$으로 나타내면, 문제를 $E=0$과 $F=0$으로 나누어 풀 수 있다. 이는 인수 정리(다항식 $P(x)$에 대해 $P(r)=0$이면 $(x-r)$이 인수)와 관련된다. 또한, 식을 인수분해하면 더 간단한 형태로 표현되어 문제의 구조를 파악하거나 근을 쉽게 찾는 데 도움이 될 수 있다. 예를 들어 $x^3-ax^2-bx^2-cx^2+\; abx+acx+bcx-abc$는 $(x-a)(x-b)(x-c)$로 인수분해되어 근이 $a,\; b,\; c$임을 바로 알 수 있다.

그러나 모든 다항식이 인수분해 가능한 것은 아니며, 인수가 항상 더 간단하지도 않다. (예: $x^\{10\}-1\; =\; (x-1)(x^\{9\}+\backslash cdots+1)$)

정수 또는 유리수 계수를 갖는 다항식은 고유 인수분해 속성을 가진다. 즉, 유리수 계수 다항식은 유리수 상수와 정수 계수를 갖는 기약 다항식들의 곱으로 유일하게(순서와 부호 제외) 인수분해될 수 있다.

:$P(x)=q\backslash ,P\_1(x)\backslash cdots\; P\_k(x)$

여기서 $q$는 유리수이고 $P\_1(x),\; \backslash ldots,\; P\_k(x)$는 원시적인 기약 다항식이다.

다항식을 인수분해하는 구체적인 방법으로는 곱셈 공식 활용, 인수 정리와 조립제법 이용 등 다양한 기법이 있으며, 이는 하위 섹션에서 더 자세히 다룬다.

3. 1. 이차식의 인수분해

• $D\; >\; 0$이면, 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 개의 실수 일차식으로 인수분해된다.
• $D\; =\; 0$이면, 중근(하나의 실근)을 가지므로 완전제곱식 $a(x\; -\; \backslash alpha)^2$ 형태로 인수분해된다.
• 이면, 실근을 갖지 않으므로 실수 범위에서는 더 이상 인수분해할 수 없다. (단, 복소수 범위에서는 서로 다른 두 허근을 이용하여 인수분해 가능하다.)

• $rs\; =\; ac$
• $r\; +\; s\; =\; b$

• $a=6,\; b=13,\; c=6$ 이므로 $ac\; =\; 6\; \backslash times\; 6\; =\; 36$이고 $b\; =\; 13$이다.
• 곱해서 36이 되고 더해서 13이 되는 두 정수 $r,\; s$는 4와 9이다 ($4\; \backslash times\; 9\; =\; 36$, $4\; +\; 9\; =\; 13$).
• 따라서 두 근은 $-\backslash frac\{r\}\{a\}\; =\; -\backslash frac\{4\}\{6\}\; =\; -\backslash frac\{2\}\{3\}$ 와 $-\backslash frac\{s\}\{a\}\; =\; -\backslash frac\{9\}\{6\}\; =\; -\backslash frac\{3\}\{2\}$ 이다.
• 인수분해 결과는 다음과 같다.

3. 2. 고차식의 인수분해

• $a^3\; \backslash pm\; b^3\; =\; (a\; \backslash pm\; b)(a^2\; \backslash mp\; ab\; +\; b^2)$
• $a^3\; +\; b^3\; +\; c^3\; -\; 3abc\; =\; (a\; +\; b\; +\; c)(a^2\; +\; b^2\; +\; c^2\; -\; ab\; -\; bc\; -\; ca)$
• $a^4\; +\; a^2\; b^2\; +\; b^4\; =\; (a^2\; +\; ab\; +\; b^2)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$
• $a^4\; +\; 4b^4\; =\; (a^2\; +\; 2b^2\; +\; 2ab)(a^2\; +\; 2b^2\; -\; 2ab)$ (소피 제르맹 항등식)

• ''n''이 짝수이면 $n^4\; +\; 4^n$도 짝수이므로 합성수이다. (단, n=0일 때 1은 제외)
• ''n''이 홀수이면 $n=2k+1$ (k는 0 이상의 정수)로 둘 수 있다. 이때 $n^4\; +\; 4^n\; =\; n^4\; +\; 4\; \backslash cdot\; 4^\{2k\}\; =\; n^4\; +\; 4\; \backslash cdot\; (2^k)^4$ 이므로, $a=n,\; b=2^k$로 두면 $a^4\; +\; 4b^4\; =\; (a^2\; +\; 2b^2\; +\; 2ab)(a^2\; +\; 2b^2\; -\; 2ab)$ 공식을 적용하여 인수분해할 수 있다. 두 인수는 모두 1보다 크므로 $n^4\; +\; 4^n$은 합성수이다.

• 1단계: $f(1)\; =\; 2\; -\; 5\; -\; 8\; +\; 17\; -\; 6\; =\; 0$이므로, $(x\; -\; 1)$은 $f(x)$의 인수이다. 조립제법을 이용하여 $f(x)$를 $(x\; -\; 1)$로 나누면 몫은 $2x^3\; -\; 3x^2\; -\; 11x\; +\; 6$이 된다.

• 2단계: 몫인 $g(x)\; =\; 2x^3\; -\; 3x^2\; -\; 11x\; +\; 6$에 대해 다시 인수 정리를 적용한다.

• 3단계: 마지막으로 이차식 $2x^2\; -\; 7x\; +\; 3$을 인수분해하면 $(2x\; -\; 1)(x\; -\; 3)$이다.

3. 3. 인수분해 공식

• 유리수 범위: $x^2\; -\; 2$와 $x^2\; +\; 2$는 더 이상 인수분해되지 않는 기약다항식이다.
• 실수 범위: $x^2\; -\; 2\; =\; (x\; -\; \backslash sqrt\{2\})(x\; +\; \backslash sqrt\{2\})$로 인수분해되지만, $x^2\; +\; 2$는 여전히 기약다항식이다.
• 복소수 범위: $x^2\; +\; 2\; =\; (x\; -\; \backslash sqrt\{2\}i)(x\; +\; \backslash sqrt\{2\}i)$로 인수분해된다.

3. 3. 1. 2차식

• $ma\backslash pm\; mb\; =\; m(a\backslash pm\; b)$
• $a^2\backslash pm\; 2ab+b^2\; =\; (a\backslash pm\; b)^2$ (완전제곱식)
• $a^2-b^2\; =\; (a+b)(a-b)$ (합차 공식)
• $x^2+(a+b)x+ab\; =\; (x+a)(x+b)$
• $acx^2+(ad+bc)x+bd\; =\; (ax+b)(cx+d)$
• $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\; =\; (a+b+c)^2$

3. 3. 2. 3차식

• '''완전 세제곱 공식'''
• * $a^3\; +\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; +\; b^3\; =\; (a+b)^3$
• * $a^3\; -\; 3a^2b\; +\; 3ab^2\; -\; b^3\; =\; (a-b)^3$

• '''세제곱의 합과 차'''^[6]
• * $a^3\; +\; b^3\; =\; (a\; +\; b)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$
• * $a^3\; -\; b^3\; =\; (a\; -\; b)(a^2\; +\; ab\; +\; b^2)$

• '''기타 공식'''
• * $a^3+b^3+c^3-3abc\; =\; (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
• ** $=\; \backslash frac\{1\}\{2\}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$
• * $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\; =\; (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 3. 3. 4차식

• $a^4\; +\; a^2\; b^2\; +\; b^4\; =\; (a^2\; +\; ab\; +\; b^2)(a^2\; -\; ab\; +\; b^2)$
• $a^4\; +\; 4b^4\; =\; (a^2\; +\; 2b^2\; +\; 2ab)(a^2\; +\; 2b^2\; -\; 2ab)$ (소피 제르맹 항등식)
• $E^4\; -\; F^4\; =\; (E^2\; +\; F^2)(E^2\; -\; F^2)\; =\; (E^2\; +\; F^2)(E\; +\; F)(E\; -\; F)$ (두 네제곱의 차)^[6]

• ''n''이 짝수이면 $n^4\; +\; 4^n$은 짝수이고, $n\; >\; 1$이므로 $n^4\; +\; 4^n\; >\; 2$ 이다. 따라서 합성수이다.
• ''n''이 홀수이면, $n\; =\; 2k+1$ (k는 1 이상의 정수) 로 둘 수 있다. 이때 $4^n\; =\; 4^\{2k+1\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; 4^\{2k\}\; =\; 4\; \backslash cdot\; (2^k)^4$ 이므로, $a=n,\; b=2^k$ 로 놓고 소피 제르맹 항등식을 적용하면 다음과 같다.

• $E^4\; -\; F^4\; =\; (E-F)(E+F)(E^2+F^2)$
• $E^4\; +\; F^4\; =\; (E^2\; -\; \backslash sqrt\; 2\; EF\; +\; F^2)(E^2\; +\; \backslash sqrt\; 2\; EF\; +\; F^2)$

• $a^4-b^4=\; \backslash overline\; Q\_1(a,b)\backslash overline\; Q\_2(a,b)\backslash overline\; Q\_4(a,b)\; =\; (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
• $a^4+b^4$는 유리수 범위에서는 더 이상 인수분해되지 않는다 ($\backslash overline\; Q\_8(a,b)\; =\; a^4+b^4$).

4. 다항식 인수분해의 활용

식을 조작하는 것은 대수학의 기본이며, 인수분해는 여러 이유로 식 조작에서 가장 중요한 방법 중 하나이다.

크게 두 가지 측면에서 유용하게 활용된다.

첫째, 방정식 풀이에 효과적이다. 만약 방정식을 $E\; \backslash cdot\; F\; =\; 0$과 같이 인수분해된 형태로 나타낼 수 있다면, 원래의 방정식을 푸는 문제는 $E\; =\; 0$과 $F\; =\; 0$이라는 두 개의 독립적이고 일반적으로 더 간단한 문제를 푸는 것으로 바뀐다. 특히 대수 방정식 $P(x)\; =\; 0$을 푸는 것은 다항식 $P(x)$를 인수분해하는 문제와 밀접하게 연관된다. 대수학의 기본 정리에 따르면, 복소수 계수를 가진 $n$차 다항식은 $n$개의 일차식 $(x-a\_i)$ ($i\; =\; 1,\; \backslash dots,\; n$)의 곱으로 인수분해될 수 있으며, 이때 $a\_i$는 다항식의 근이다.^[2] 즉, 다항식의 근을 찾는 것은 그 다항식을 일차식 인수로 분해하는 것과 같다. (근과 인수의 관계에 대한 자세한 내용은 인수 정리 섹션 참조)

둘째, 식을 간단하게 만들어 문제 해결에 대한 통찰력을 제공한다. 복잡한 다항식도 인수분해를 통해 훨씬 간결한 형태로 표현될 수 있다. 예를 들어,

:$x^3-ax^2-bx^2-cx^2+\; abx+acx+bcx-abc$

라는 식은 16번의 곱셈, 4번의 뺄셈, 3번의 덧셈이 필요하지만, 이를 인수분해하면

:$(x-a)(x-b)(x-c)$

와 같이 곱셈 2번과 뺄셈 3번만으로 계산할 수 있는 훨씬 간단한 형태가 된다. 또한, 인수분해된 형태는 이 다항식의 근이 $x=a,\; b,\; c$임을 즉시 보여준다.

하지만 인수분해가 항상 가능한 것은 아니며, 가능하더라도 그 인수가 반드시 더 간단한 형태가 되는 것은 아니다. 예를 들어, $x^\{10\}-1$은 두 개의 기약 다항식 $x-1$과 $x^\{9\}+x^\{8\}+\backslash cdots+x^2+x+1$로 인수분해될 수 있다.

인수분해 결과는 어떤 수의 범위(유리수, 실수, 복소수)에서 생각하느냐에 따라 달라질 수 있다. 예를 들어, $t^3\; -\; t^2\; -\; 3t\; +\; 3$은 유리수 범위에서는 $(t\; -\; 1)(t^2\; -\; 3)$으로 인수분해되지만, 실수 범위에서는 $(t\; -\; 1)(t\; -\; \backslash sqrt\{3\})(t\; +\; \backslash sqrt\{3\})$까지 인수분해된다. 마찬가지로 $\backslash alpha^3\; -\; 1$은 유리수 범위에서는 $(\backslash alpha\; -\; 1)(\backslash alpha^2\; +\; \backslash alpha\; +\; 1)$이지만, 복소수 범위에서는 $(\backslash alpha\; -\; 1)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; -\; \backslash frac\{\; -\; 1\; +\; \backslash sqrt\{3\}i\; \}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash left(\; \backslash alpha\; -\; \backslash frac\{\; -\; 1\; -\; \backslash sqrt\{3\}i\; \}\{2\}\; \backslash right)$로 더 인수분해된다.

식을 조작하여 문제를 해결하는 체계적인 방법은 9세기 알콰리즈미의 저서 ''완성과 균형에 의한 계산 요약서''까지 거슬러 올라간다. 그러나 이차 방정식 풀이에 인수분해를 명시적으로 사용한 것은 해리엇이 1631년에 출판한 저서 ''Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas''에서 나타난다.^[3][4]

현대에는 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 복잡한 다항식의 인수분해도 효율적으로 수행할 수 있다. 인수분해를 위한 다양한 구체적인 방법들(예: 인수 정리, 유리수 근 찾기, 근과 계수의 관계 활용 등)은 다른 섹션에서 자세히 다룬다.

4. 1. 인수 정리

4. 2. 유리수 근

• 상수항 $a\_n\; =\; -6$의 약수 ''p''는 $\backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2,\; \backslash pm\; 3,\; \backslash pm\; 6$이다.
• 최고차항 계수 $a\_0\; =\; 2$의 양의 약수 ''q''는 $1,\; 2$이다.
• 가능한 유리수 근 후보 $\backslash tfrac\{p\}\{q\}$는 $\backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2,\; \backslash pm\; 3,\; \backslash pm\; 6,\; \backslash pm\; \backslash tfrac\{1\}\{2\},\; \backslash pm\; \backslash tfrac\{3\}\{2\}$이다.
• $P(-x)\; =\; -2x^3\; -\; 7x^2\; -\; 10x\; -\; 6$ 이므로 $x>0$일 때 이다. 따라서 음수 근은 존재하지 않는다.
• 양수 후보 $1,\; 2,\; 3,\; 6,\; \backslash tfrac\{1\}\{2\},\; \backslash tfrac\{3\}\{2\}$를 대입하여 검사한다.
• $P(1)\; =\; 2\; -\; 7\; +\; 10\; -\; 6\; =\; -1\; \backslash neq\; 0$
• $P(2)\; =\; 16\; -\; 28\; +\; 20\; -\; 6\; =\; 2\; \backslash neq\; 0$
• $P(3)\; =\; 54\; -\; 63\; +\; 30\; -\; 6\; =\; 15\; \backslash neq\; 0$
• $P(6)\; =\; 432\; -\; 252\; +\; 60\; -\; 6\; =\; 234\; \backslash neq\; 0$
• $P(\backslash tfrac\{1\}\{2\})\; =\; 2(\backslash tfrac\{1\}\{8\})\; -\; 7(\backslash tfrac\{1\}\{4\})\; +\; 10(\backslash tfrac\{1\}\{2\})\; -\; 6\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{4\}\; -\; \backslash tfrac\{7\}\{4\}\; +\; 5\; -\; 6\; =\; -\backslash tfrac\{6\}\{4\}\; -\; 1\; =\; -\backslash tfrac\{5\}\{2\}\; \backslash neq\; 0$
• $P(\backslash tfrac\{3\}\{2\})\; =\; 2(\backslash tfrac\{27\}\{8\})\; -\; 7(\backslash tfrac\{9\}\{4\})\; +\; 10(\backslash tfrac\{3\}\{2\})\; -\; 6\; =\; \backslash tfrac\{27\}\{4\}\; -\; \backslash tfrac\{63\}\{4\}\; +\; 15\; -\; 6\; =\; -\backslash tfrac\{36\}\{4\}\; +\; 9\; =\; -9\; +\; 9\; =\; 0$
• 따라서 $x\; =\; \backslash tfrac\{3\}\{2\}$는 이 다항식의 유일한 유리수 근이다.

• $a=6,\; b=13,\; c=6$ 이므로 $ac\; =\; 36$이다.
• 곱해서 36이 되고 합해서 $b=13$이 되는 두 정수를 찾는다. $4\; \backslash times\; 9\; =\; 36$이고 $4\; +\; 9\; =\; 13$이므로, $r\text{'}=4,\; s\text{'}=9$이다.
• 근은 $-\backslash tfrac\{r\text{'}\}\{a\}\; =\; -\backslash tfrac\{4\}\{6\}\; =\; -\backslash tfrac\{2\}\{3\}$ 와 $-\backslash tfrac\{s\text{'}\}\{a\}\; =\; -\backslash tfrac\{9\}\{6\}\; =\; -\backslash tfrac\{3\}\{2\}$ 이다.
• 인수분해는 다음과 같다.

4. 3. 근과 계수의 관계

5. 행렬의 인수분해

행렬환은 가환적이지 않으며, 행렬의 곱셈 결과는 유일한 인수분해를 보장하지 않는다. 즉, 하나의 행렬을 다른 행렬들의 곱으로 나타내는 방법은 일반적으로 여러 가지가 존재할 수 있다. 따라서 행렬의 인수분해는 주어진 행렬을 특정한 종류의 행렬들의 곱으로 나타내는 것을 목표로 한다.

예를 들어, LU 분해는 어떤 행렬을 하삼각 행렬 L과 상삼각 행렬 U의 곱(LU)으로 나타내는 방법이다. 하지만 LU 분해는 모든 행렬에 대해 항상 가능한 것은 아니며, 이 경우 순열 행렬 P를 추가하여 LUP 형태로 분해하는 것을 고려한다. 더 다양한 종류의 행렬 인수분해에 대해서는 행렬 분해 문서를 참고할 수 있다.

한편, 0과 1로 이루어진 논리 행렬은 이진 관계를 표현하는 데 사용될 수 있다. 이 경우 행렬 곱셈은 관계의 합성에 해당하며, 논리 행렬의 인수분해는 해당 관계의 특성(예: 쌍함수적 관계)을 파악하는 데 활용될 수 있다.

6. 유일 인수분해 정역

정수환 '''Z''' 및 체 ''K'' 위의 다항식환 ''K''[''X'']은 유일 인수 분해가 가능하다는 중요한 성질을 공유한다. 이는 0이 아니고 단위원(정수의 경우 ±1)이 아닌 모든 원소가 기약원(정수의 경우 소수)의 곱으로 분해될 수 있으며, 그 분해가 인자들의 순서를 바꾸거나 인자들에 단위원들을 곱하는 차이를 제외하고는 유일하다는 것을 의미한다. 이러한 성질을 가지는 정역을 유일 인수 분해 정역(Unique Factorization Domain, UFD)이라고 부른다.^[1][11][12]

유일 인수 분해 정역(UFD)에서는 0이 아니고 단위원이 아닌 임의의 두 원소에 대해 최대공약수가 항상 존재한다. 반대로, 임의의 두 원소에 대해 최대공약수가 존재하는 GCD 정역이라고 해서 항상 UFD인 것은 아니다. 모든 주 이상 정역(Principal Ideal Domain, PID)은 UFD이다.

정수환 '''Z'''과 유사하게 유클리드 나눗셈이 정의되는 정역을 유클리드 정역이라고 한다. 모든 유클리드 정역은 주 이상 정역(PID)이며, 따라서 유일 인수 분해 정역(UFD)이 된다. 유클리드 정역에서는 유클리드 호제법을 사용하여 최대공약수를 계산할 수 있다. 그러나 유클리드 정역이라고 해서 항상 효율적인 인수 분해 알고리즘이 존재하는 것은 아니다. 예를 들어, 특정 체 ''F'' 위의 다항식환 ''F''[''X'']는 유클리드 정역이지만, 그 안의 다항식을 인수 분해하는 일반적인 알고리즘이 존재하지 않는 경우가 있다.

유일 인수 분해 정역(UFD)에서는 기약 원소와 소원소(prime element)의 개념이 사실상 동일하다. 즉, 어떤 원소가 기약 원소이면 동시에 소원소이기도 하다.

7. 이데알의 소인수 분해

대수적 정수론에서는 디오판토스 방정식을 연구하면서 19세기에 수학자들이 정수를 일반화한 대수적 정수라는 개념을 도입하게 되었다. 초기에 연구된 대수적 정수환인 가우스 정수나 아이젠슈타인 정수는 일반적인 정수처럼 주 아이디얼 정역(PID)이었고, 따라서 유일 인수분해가 성립하는 유일 인수 분해 정역(UFD)이었다.

하지만 곧 대부분의 대수적 정수환에서는 유일 인수분해가 성립하지 않는다는 사실이 밝혀졌다. 예를 들어, $\backslash mathbb\; Z[\backslash sqrt\{-5\}]$라는 환에서는 다음과 같이 9를 두 가지 방식으로 기약원의 곱으로 나타낼 수 있다.

:$9=3\backslash cdot\; 3\; =\; (2+\backslash sqrt\{-5\})(2-\backslash sqrt\{-5\})$

여기서 3, $2+\backslash sqrt\{-5\}$, $2-\backslash sqrt\{-5\}$는 모두 기약원이다.

이렇게 정수에서는 당연하게 여겨졌던 유일 인수분해가 대수적 정수환에서는 성립하지 않는다는 점은 디오판토스 방정식을 푸는 데 큰 어려움을 주었다. 페르마의 마지막 정리에 대한 많은 잘못된 증명들이 이러한 유일 인수분해가 성립한다고 암묵적으로 가정했기 때문에 오류를 범하기도 했다. (페르마가 남긴 유명한 메모 "정말 놀라운 증명을 발견했지만, 여백이 부족하여 적지 못한다" 역시 이러한 가정에 기반했을 가능성이 있다.)

이러한 어려움은 데데킨트에 의해 해결되었다. 그는 대수적 정수환에서는 정수 대신 아이디얼을 사용하면 유일 인수분해가 성립한다는 것을 보였다. 즉, 이러한 환의 모든 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있다(곱하는 순서는 고려하지 않음). 이렇게 아이디얼의 유일 인수분해 성질을 갖는 정역을 데데킨트 정역이라고 부른다. 데데킨트 정역은 대수적 정수론에서 매우 중요한 역할을 하며 여러 중요한 성질들을 가지고 있다.

참조

_[1] 서적 An Introduction to the Theory of Numbers https://archive.org/[...] Oxford Science Publications
_[2] 간행물
_[3] 간행물 A Short History of Mathematics Read Books
_[4] 서적 Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas https://books.google[...] Apud Robertum Barker, typographum regium
_[5] 간행물
_[6] 간행물
_[7] 간행물
_[8] 웹사이트 AC Method http://mathworld.wol[...] 2014-11-12
_[9] 문서
_[10] 간행물
_[11] 블로그 arXiv探訪 2016-09-27 22.一意分解整域 https://arxiv.hatena[...]
_[12] 간행물 FACTORIZATION IN INTEGRAL DOMAINS http://alpha.math.ug[...]
_[13] 서적