맨위로가기

대수학

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

대수학은 수를 대신하여 문자를 사용하여 수학적 관계를 표현하고 문제를 해결하는 수학의 한 분야이다. 페르시아의 수학자 알콰리즈미의 저서에서 유래된 용어로, 고대 바빌로니아, 이집트, 그리스, 중국 등에서 발전해 왔다. 16세기 이후 프랑수아 비에트와 르네 데카르트 등의 기여로 기호 대수학이 발전했으며, 19세기에는 갈루아와 불에 의해 추상 대수학의 기초가 마련되었다. 주요 분야로는 군론, 환론, 체론, 선형대수학 등이 있으며, 기하학, 물리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에 응용된다. 한국에서는 중학교부터 대수학을 배우며, 사회 현상 분석에도 활용하려는 시도가 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 대수학 - 다항식
    다항식은 변수, 계수, 상수항으로 구성되어 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 거듭제곱 연산으로 결합된 항들의 유한한 합으로 표현되는 식이며, 대수 방정식 해를 구하는 데 중요하고 현대 수학에서 폭넓게 활용된다.
  • 대수학 - 상수
    상수는 변하지 않는 일정한 값을 가지는 수로, 함수에서 변수와 대비되며 수식 내에서 고정된 값을 갖고, 원주율, 자연로그의 밑, 허수 i 등이 대표적인 예시이다.
  • 수학 - 회귀 분석
    회귀 분석은 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 통계적 기법으로, 최소 제곱법 개발 이후 골턴의 연구로 '회귀' 용어가 도입되어 다양한 분야에서 예측 및 인과 관계 분석에 활용된다.
  • 수학 - 수학적 최적화
    수학적 최적화는 주어진 집합에서 실수 또는 정수 변수를 갖는 함수의 최댓값이나 최솟값을 찾는 문제로, 변수 종류, 제약 조건, 목적 함수 개수에 따라 다양한 분야로 나뉘며 여러 학문 분야에서 활용된다.
  • 표시 이름과 문서 제목이 같은 위키공용분류 - 라우토카
    라우토카는 피지 비치레부섬 서부에 위치한 피지에서 두 번째로 큰 도시이자 서부 지방의 행정 중심지로, 사탕수수 산업이 발달하여 "설탕 도시"로 알려져 있으며, 인도에서 온 계약 노동자들의 거주와 미 해군 기지 건설의 역사를 가지고 있고, 피지 산업 생산의 상당 부분을 담당하는 주요 기관들이 위치해 있다.
  • 표시 이름과 문서 제목이 같은 위키공용분류 - 코코넛
    코코넛은 코코넛 야자나무의 열매로 식용 및 유지로 사용되며, 조리되지 않은 과육은 100g당 354kcal의 열량을 내는 다양한 영양 성분으로 구성되어 있고, 코코넛 파우더의 식이섬유는 대부분 불용성 식이섬유인 셀룰로오스이며, 태국 일부 지역에서는 코코넛 수확에 훈련된 원숭이를 이용하는 동물 학대 문제가 있다.
대수학

2. 어원

The word 'algebra' comes from the title of The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing
الجبر


'algebra'라는 명칭은 페르시아의 저명한 수학자인 콰리즈미(783~850)가 쓴 《약분·소거 계산론》(The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing영어, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة|알키탑 알묵타사르 피 히삽 알자브르 왈무까발라ar)에서 비롯되었다. 책의 원 제목에 있는 ‘자브르(جبر|자브르ar)'는 원래 아랍어 الجبر|알자브르ar에서 유래했으며, 이는 뼈 맞추기의 외과적 치료를 지칭하는 말이었다. 콰리즈미는 이 용어를 '흩어진 것을 묶는다'는 의미로 사용하여 방정식에서 항들을 묶어 소거하는 과정을 나타냈다.[17] 이 책은 라틴어로 Liber Algebrae et Almucabolala로 번역되었고, 'algebra'라는 단어는 16세기 이탈리아어, 스페인어 및 중세 라틴어를 거쳐 영어에 유입되었다.[18] 초기에는 방정식의 이론, 즉 방정식을 풀기 위한 다항식 방정식 조작 기술이라는 좁은 의미로 사용되었다.

한편, ‘대수(代數)’라는 말은 '수를 대신한다'는 뜻으로, 수 대신 문자를 사용하여 수학적 관계를 표현하는 대수학의 특징을 반영한 번역어이다. 이 용어는 오거스터스 드 모르간의 저서 《Elements of Algebra》(1835)를 1859년 영국 선교사 알렉산더 와일리(Alexander Wylie (missionary)영어)와 중국인 수학자 이선란이 《대수학》이라는 제목으로 번역하면서 처음 사용되었다.[169]

3. 역사

대수학의 역사는 고대 문명에서부터 시작된다. 고대 바빌로니아인들은 이미 선형 방정식이나 이차 방정식과 유사한 문제들을 풀기 위한 산술적인 방법을 개발했다.[154] 고대 그리스에서는 기하학적인 방식으로 대수 문제를 다루었으며, 유클리드의 원론이나 디오판토스의 《산술》과 같은 저작들이 나왔다. 고대 인도 수학과 중국 수학 역시 대수학 발전에 기여했으며, 특히 인도의 브라마굽타는 이차 방정식의 완전한 해법을 제시하기도 했다.[156]

중세 이슬람 세계는 고대 문명의 수학을 계승하고 발전시키는 데 중요한 역할을 했다. 9세기 페르시아의 수학자 콰리즈미는 저서 《약분·소거 계산론》(820년)를 통해 대수학을 산술이나 기하학과는 독립된 학문 분야로 체계화했다.[151] 이 책의 제목에 포함된 아랍어 '알자브르'(الجبر|알자브르ara, "깨진 것을 복원하다", "이항")는 나중에 라틴어 'algebra'로 음역되어 오늘날 대수학을 뜻하는 용어의 어원이 되었다.[150] 콰리즈미는 또한 인도 숫자를 이용한 계산법을 소개하여 십진법과 0의 개념을 유럽에 전파하는 데 기여했다.[152][153] 이후 오마르 하이얌, 샤라프 알딘 알투시 등 여러 이슬람 수학자들이 삼차 방정식 해법 연구, 함수 개념 도입 등 대수학을 더욱 발전시켰다.[163][164]

르네상스 이후 대수학 연구의 중심은 유럽으로 옮겨왔다. 16세기 이탈리아에서는 삼차 방정식과 사차 방정식의 일반 해법이 발견되었고(제롤라모 카르다노의 Ars Magna|아르스 마그나lat 등), 프랑수아 비에트는 문자를 사용하여 식을 표현하는 기호 대수학의 기초를 놓았다. 17세기에는 르네 데카르트가 La Géométrie|기하학fra을 통해 해석 기하학을 창시하여 대수학과 기하학을 연결했으며, 일본의 세키 고와와 독일의 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 독자적으로 행렬식 개념을 발견했다. 18세기에는 조제프루이 라그랑주 등이 방정식의 근의 성질을 연구(Réflexions sur la résolution algébrique des équationsfra)하며 후대 추상 대수학의 발판을 마련했다.

19세기에는 대수학의 패러다임이 크게 변화하여 추상 대수학이 탄생했다. 에바리스트 갈루아는 방정식의 해법 연구 과정에서 군이라는 추상적인 대수 구조를 도입하여 갈루아 이론의 기초를 세웠고, 조지 불은 논리학을 대수적으로 다루는 불 대수를 창안했다. 이후 리하르트 데데킨트, 레오폴트 크로네커, 아서 케일리 등의 수학자들은 환, 체, 행렬 등 다양한 대수적 구조를 정의하고 연구했으며, 이는 대수적 정수론, 대수 기하학 등 현대 수학의 여러 분야로 이어졌다.[167][168] 현대 대수학은 다비트 힐베르트나 니콜라 부르바키의 영향 아래 더욱 추상화되었으며, 고전적인 방정식 풀이는 대수학의 한 부분인 방정식론으로 다루어진다.

3. 1. 고대

대수학의 기원은 고대 바빌로니아 문명으로 거슬러 올라간다.[154] 고대 바빌로니아인들은 복잡한 계산을 알고리즘적으로 수행하는 고도로 발달된 산술 체계를 구축했다. 이를 바탕으로 오늘날 선형 방정식, 이차 방정식, 디오판토스 방정식 등으로 풀 수 있는 문제들을 해결하기 위한 공식을 개발했다. 반면, 같은 시대(기원전 제1천년기)의 고대 이집트, 고대 그리스, 고대 중국 등에서는 이러한 문제들을 주로 기하학적인 방법으로 다루었다. 대표적인 예로 이집트의 린드 수학 파피루스, 그리스의 유클리드의 《원론》, 중국의 《구장산술》 등이 있다.

플라톤 시대에 이르러 고대 그리스 수학은 중요한 발전을 이루었다. 그리스인들은 도형의 각 선분에 문자를 부여하고, 이 문자들을 식의 항으로 사용하는 방식의 기하 대수를 창안했다.[149] 기원전 3세기에 저술된 유클리드의 《원론》은 이러한 기하학적 접근 방식을 체계화하여, 개별 문제를 넘어선 일반화된 해법의 틀을 제공했다. 그러나 이것이 현대적인 대수학으로 발전하기까지는 시간이 더 필요했다.

헬레니즘 시대의 수학자 알렉산드리아의 헤론과 디오판토스[155], 그리고 인도의 수학자 브라마굽타 등은 이집트와 바빌로니아의 수학 전통을 계승하며 대수학을 발전시켰다. 특히 3세기경 알렉산드리아의 수학자 디오판토스가 저술한 《아리스메티카》는 대수 방정식의 해법을 다루었으며, 이로 인해 그는 "대수학의 아버지"로 불리기도 한다. 인도의 수학자 브라마굽타는 그의 저서 《브라마스푸타 시단타》에서 이차 방정식의 완전한 해법(0과 음수 해 포함)을 처음으로 제시하는 중요한 업적을 남겼다.[156]

이러한 고대 문명들의 대수학적 성과는 이후 중세 아랍 수학(이슬람 수학)으로 이어져 더욱 발전하게 된다. 고대 그리스의 기하학적 접근 방식과 인도 수학의 계산 기법 등은 아랍 수학자들에게 큰 영향을 주었다.

3. 2. 중세

9세기에 페르시아의 수학자 콰리즈미는 《약분·소거 계산론》(Ilm al-jabr wa'l-muqabalah, 820년)을 저술하여 대수학을 산술이나 기하학과는 독립된 하나의 분야로 확립했다.[151] 이 책은 1145년 체스터의 로버트에 의해 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》(Liber algebrae et almucabalala)라는 제목으로 라틴어로 번역되었고, 이후 약 5세기 동안 유럽의 대학에서 중요한 교재로 사용되었다. 책 제목에 포함된 '알게브라'(algebrala)는 아랍어 단어 '알자브르'(الجبرar|al-jabr, "찢어진 부분들의 재결합" 또는 "이항")[150]를 음역한 것으로, 오늘날 대수학을 뜻하는 'algebra'의 어원이 되었다.

콰리즈미는 《인도의 수 계산법》이라는 책을 통해 인도 수학에서 발전한 십진법과 0의 개념을 이슬람 세계에 소개했고, 이 책 역시 라틴어로 번역되어 유럽에 전해졌다.[152][153] 이를 통해 이차 방정식의 해법, 사칙연산 등 중요한 수학적 개념들이 유럽에 소개되었으며, 그의 이름 '알콰리즈미'는 '알고리즘'이라는 용어의 어원이 되기도 했다.

고대 그리스의 디오판토스가 『산술』을 통해 대수 방정식 해법을 다루어 "대수학의 아버지"로 불리기도 했지만[157], 콰리즈미야말로 대수학을 체계적인 학문 분야로 정립한 인물이라는 평가가 많다. 콰리즈미는 방정식을 풀 때 좌우 변 사이의 항을 옮기거나(al-jabr) 양변의 같은 항을 소거하는(al-muqabala) 등 일반화된 기법을 도입했으며[159], 기하학적 증명을 통해 이차 방정식의 해법을 상세히 설명했다.[160] 그의 연구는 단순히 개별 문제를 푸는 것을 넘어, 방정식을 일반화된 형태로 다루며 대수학이 나아갈 방향을 제시했다는 점에서 중요한 의미를 지닌다.[161][162]

콰리즈미 이후에도 이슬람 세계에서는 대수학 연구가 활발히 이루어졌다. 페르시아의 수학자 오마르 하이얌은 대수 기하학의 기초를 닦고 삼차 방정식의 일반 해법을 연구했으며, 또 다른 페르시아 수학자 샤라프 알딘 알투시(شرف‌الدین طوسی|Sharaf al-Dīn al-Tūsīfa)는 다양한 삼차 방정식의 대수적, 수치적 해법을 찾고 함수의 개념을 발전시켰다.[163][164] 인도의 수학자 마하비라와 바스카라 2세, 페르시아의 수학자 알카라지(ابوبکر کرجی|Al-Karajifa)[165], 중국의 수학자 주세걸 등은 삼차, 사차, 오차 등 고차 다항식 방정식의 수치 해법을 연구했다.

이러한 이슬람과 동양 수학의 성과는 13세기 레오나르도 피보나치 등을 통해 유럽에 전해지면서 유럽 대수학 부흥의 밑거름이 되었다. 이후 대수학 연구의 중심은 점차 이슬람 세계에서 유럽으로 옮겨가게 된다.

3. 3. 근대

16세기 중반, 삼차 방정식 및 사차 방정식의 대수적 일반 해가 얻어지면서 대수학 역사상 중요한 전환점을 맞이했다. 1545년 이탈리아의 수학자 제롤라모 카르다노는 Ars Magna|아르스 마그나la를 저술하여 삼차 방정식과 사차 방정식의 해법을 제시했다.

16세기 말에는 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트가 미지수와 상수를 문자로 나타내는 기호 대수를 도입하여 고전적 의미의 대수학을 창시하는 데 기여했다. 1637년 르네 데카르트는 저서 La Géométrie|기하학프랑스어을 통해 해석 기하학의 기초를 마련하고 근대적인 대수적 표기법을 도입했다.

대수학의 발전은 계속되어 17세기에는 일본의 수학자 세키 고와가 행렬식의 개념을 고안했으며, 이와 독립적으로 약 10년 뒤 독일의 고트프리트 빌헬름 라이프니츠도 같은 개념에 도달했다. 행렬식은 연립 일차 방정식을 행렬을 이용하여 푸는 데 중요한 도구로 사용된다. 18세기의 가브리엘 크라머 역시 행렬과 행렬식 연구에 기여했다. 조제프루이 라그랑주는 1770년 논문 Réflexions sur la résolution algébrique des équations프랑스어에서 근의 치환에 대해 연구하며 을 도입했고, 파올로 루피니는 대칭군과 대수 방정식의 해법을 연구하며 후속 연구의 기초를 마련했다.

3. 4. 현대

19세기에 들어 추상 대수학이 태동하기 시작했다. 이는 주로 나중에 갈루아 이론이라 불리게 되는 분야와 작도 가능성 문제에 대한 탐구에서 비롯되었다.[166] 프랑스의 수학자 에바리스트 갈루아는 대수 방정식을 연구하기 위해 군이라는 새로운 대수적 구조를 도입했으며, 이는 현대 대수학의 중요한 기초가 되었다. 영국의 수학자 조지 불은 논리학을 수학적으로 다루기 위해 불 대수라는 대수적 구조를 정의하였다.

이 시기 대수학은 대수적 정수론이나 대수 기하학과 같은 다른 수학 분야와의 경계를 넘나들며 발전했는데, 리하르트 데데킨트와 레오폴트 크로네커의 연구가 대표적이다.[167] 또한, 조지 피콕은 산술과 대수학에서 공리적 사고방식을 도입했으며, 오거스터스 드 모르간은 그의 저서 ''Syllabus of a Proposed System of Logic''에서 관계 대수를 제시했다. 미국의 윌러드 기브스는 3차원 공간에서의 벡터 대수를 개발했고, 영국의 아서 케일리는 행렬의 대수학을 창시했는데, 이는 비가환 대수학의 중요한 예시가 되었다.[168]

현대 수학에서는 다비트 힐베르트의 공리주의나 니콜라 부르바키 학파의 접근 방식에서 볼 수 있듯이, 대수학은 고전적인 방식에서 벗어나 상당히 추상화되었다. 과거 대수학의 주요 목표였던 방정식의 해법은 이제 "방정식론"(대수방정식론)이라는 대수학의 한 분야로 다루어지고 있다.

4. 주요 분야

대수학은 연구 대상과 사용하는 대수 구조의 종류에 따라 여러 주요 분야로 나눌 수 있다. 각 분야는 특정한 공리 체계와 문제 유형에 초점을 맞추며 서로 밀접하게 연관되어 발전해왔다.[73][74][75] 주요 분야들은 다음과 같다.

4. 1. 기초 대수학

  1 – 거듭제곱 (지수)
  2 – 계수
  3 – 항
  4 – 연산자
  5 – 상수항
  c – 상수
  x y – 변수]]

기초대수학은 학교 대수학, 대학 대수학, 고전 대수학이라고도 불리며, 대수학의 가장 오래되고 기본적인 형태이다.[22] 이는 산술의 일반화로서, 변수에 의존하며 수학적 명제가 어떻게 변환될 수 있는지 연구한다.[23]

산술은 수치 연산을 연구하며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 제곱근 추출, 로그와 같은 산술 연산을 사용하여 숫자가 어떻게 결합되고 변환되는지 조사한다. 예를 들어, 덧셈 연산은 피가수라고 불리는 두 개의 숫자를 더하여 합이라고 불리는 세 번째 숫자로 결합하는데, 이는 2 + 5 = 7와 같다.[9]

기초대수학은 일반적인 숫자 외에 변수를 허용하면서 동일한 연산에 의존한다. 변수는 지정되지 않거나 알려지지 않은 양을 나타내는 기호이다. 변수를 사용하면 정확한 값을 알 수 없는 관계를 표현하고, 어떤 숫자가 사용되든 참인 일반적인 법칙을 표현할 수 있다. 예를 들어, 방정식 2 \times 3 = 3 \times 2는 산술에 속하며 이 특정 숫자에 대해서만 동일성을 표현한다. 숫자를 변수로 대체함으로써 a \times b = b \times a와 같은 곱셈의 교환 법칙과 같이 가능한 모든 숫자 조합에 적용되는 일반적인 법칙을 표현할 수 있다.[23]

대수식은 산술 연산을 사용하여 변수와 숫자를 결합하여 형성된다. 관례적으로 소문자 x, y, z는 변수를 나타낸다. 어떤 경우에는 x_1, x_2, x_3과 같이 변수를 구별하기 위해 아래 첨자를 추가한다. 소문자 a, b, c는 일반적으로 상수와 계수에 사용된다. 식 5x + 3은 숫자 5에 변수 x를 곱하고 결과에 숫자 3을 더하여 생성된 대수식이다. 대수식의 다른 예로는 32xyz와 64x_1^2 + 7x_2 - c가 있다.[25]

일부 대수식은 두 식을 서로 관련시키는 명제의 형태를 취한다. 방정식은 두 식을 비교하여 동일하다고 말함으로써 형성된 명제이다. 이는 등호 (=)를 사용하여 표현할 수 있으며, 5x^2 + 6x = 3y + 4와 같다. 부등식은 다른 유형의 비교를 포함하며, 두 변이 다르다고 말한다. 이는 보다 작음 기호 (<), 보다 큼 기호 (>), 그리고 부등식 기호(\neq)와 같은 기호를 사용하여 표현할 수 있다. 다른 식과 달리 명제는 참 또는 거짓일 수 있으며, 그 진리값은 일반적으로 변수의 값에 따라 달라진다. 예를 들어, 명제 x^2 = 4는 x가 2 또는 −2이면 참이고 그렇지 않으면 거짓이다.[26] 변수가 있는 방정식은 항등식과 조건 방정식으로 나눌 수 있다. 항등식은 변수에 할당할 수 있는 모든 값에 대해 참이며, 2x + 5x = 7x와 같은 방정식이다. 조건 방정식은 일부 값에 대해서만 참이다. 예를 들어, 방정식 x + 4 = 9는 x가 5일 경우에만 참이다.[27]

기초대수학의 주요 목표는 명제가 참이 되는 값을 결정하는 것이다. 이는 특정 규칙에 따라 명제를 변환하고 조작하여 달성할 수 있다. 이 과정을 안내하는 주요 원칙은 방정식의 한쪽에 적용된 모든 연산은 다른 쪽에도 수행되어야 한다는 것이다. 예를 들어, 방정식의 왼쪽에서 5를 빼면, 두 변의 균형을 맞추기 위해 오른쪽에서도 5를 빼야 한다. 이러한 단계의 목표는 일반적으로 관심 있는 변수를 한쪽에 격리하는 것이며, 이는 해당 변수에 대한 방정식 풀이라고 한다. 예를 들어, 방정식 x - 7 = 4는 양변에 7을 더하여 x를 풀 수 있으며, 이는 x를 왼쪽에 격리하고 x = 11이라는 결과를 얻는다.[28]

방정식을 푸는 데 사용되는 다른 많은 기술이 있다. 단순화는 복잡한 식을 동등한 더 간단한 식으로 대체하는 데 사용된다. 예를 들어, 분배 법칙에 의해 7x - 3x = (7-3)x = 4x이므로 식 7x - 3x는 식 4x로 대체할 수 있다.[29] 여러 변수가 있는 명제의 경우, 대입은 한 변수를 이 변수를 사용하지 않는 동등한 식으로 대체하는 일반적인 기술이다. 예를 들어, y = 3x임을 알면 식 7xy를 21x^2로 단순화할 수 있다. 마찬가지로, 한 변수의 값을 알면 이를 사용하여 다른 변수의 값을 결정할 수 있다.[30]

Graph of equation
대수 방정식은 기하학적 도형을 설명하는 데 사용될 수 있다. 방정식을 푸는 모든 x와 y 값은 점으로 해석된다. 위 그래프에서 기울기가 상승하는 빨간색 선으로 그려져 있다.


대수 방정식은 기하학적으로 해석하여 그래프 형태로 공간 도형을 설명할 수 있다. 이렇게 하려면 방정식의 서로 다른 변수를 좌표로 이해하고 방정식을 푸는 값을 그래프의 점으로 해석한다. 예를 들어, 방정식 y=0.5x - 1에서 x를 0으로 설정하면, 방정식이 참이 되려면 y가 −1이어야 한다. 즉, (x, y) 쌍 (0, -1)은 방정식 그래프의 일부이다. 반면에 (x, y) 쌍 (0, 7)은 방정식을 풀지 않으므로 그래프의 일부가 아니다. 그래프는 방정식을 푸는 모든 (x, y) 쌍을 포함한다.[31]

다항식은 서로 더하거나 빼는 하나 이상의 항으로 구성된 식이다. 예를 들어 x^4+3xy^2+5x^3-1과 같다. 각 항은 상수, 변수 또는 상수와 변수의 곱이다. 각 변수는 양의 정수 거듭제곱으로 올릴 수 있다. 단항식은 항이 하나인 다항식이고, 항이 두 개와 세 개인 다항식은 각각 이항식과 삼항식이라고 한다. 다항식의 차수는 변수의 지수 합의 최댓값(위 예시에서는 4)이다.[32] 차수가 1인 다항식을 ''선형 다항식''이라고 한다. 선형대수학은 선형 다항식 시스템을 연구한다.[33] 다항식은 하나 이상의 변수를 사용하는지에 따라 ''일변수'' 또는 ''다변수''라고 한다.[34]

인수분해는 다항식을 단순화하여 다항식을 분석하고 영점이 되는 값을 결정하는 데 사용되는 방법이다. 인수분해는 다항식을 여러 인수의 곱으로 다시 쓰는 것으로 구성된다. 예를 들어 다항식 x^2 - 3x - 10은 (x + 2)(x - 5)로 인수분해할 수 있다. 다항식 전체는 인수가 0일 때, 즉 x가 −2 또는 5일 때만 0이다.[35] 19세기 이전에는 대수학의 많은 부분이 다항식 방정식 즉, 다항식을 0으로 같게 하여 얻은 방정식에 할애되었다. 다항식 방정식을 푸는 최초의 시도는 해를 n제곱근으로 표현하는 것이었다. ax^2 + bx + c = 0 형태의 2차 다항식 방정식의 해는 근의 공식에 의해 주어진다.[36]

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.

3차 및 4차 방정식의 해는 각각 3차 및 4차 공식으로 주어진다. 19세기에 아벨-루피니 정리에 의해 증명된 바와 같이 더 높은 차수에 대한 일반적인 해는 없다.[111] 일반적인 해가 존재하지 않더라도 뉴턴-랩슨 방법과 같은 수치적 도구를 통해 근사 해를 찾을 수 있다.[37]

대수학의 기본 정리는 실수 또는 복소수 계수를 갖는 양의 차수의 모든 일변수 다항식 방정식에는 최소한 하나의 복소수 해가 있다고 주장한다. 결과적으로 양의 차수의 모든 다항식은 선형 다항식으로 인수분해될 수 있다. 이 정리는 19세기 초에 증명되었지만, 이 정리가 해를 계산하는 방법을 제공하지 않기 때문에 문제는 해결되지 않았다.[38]

4. 2. 선형 대수학

선형대수는 선형 방정식 체계 연구로 시작한다.[39] 방정식이 선형이라는 것은 a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b의 형태로 표현될 수 있을 때이다. 여기서 a_1, a_2, ..., a_n과 b는 상수이다. 예를 들어 x_1 - 7x_2 + 3x_3 = 0과 \frac14x - y = 4가 있다. ''선형 방정식 체계''는 공통 해에 관심이 있는 선형 방정식의 집합이다.[40]

행렬은 선형 방정식 체계에 대한 간결하고 종합적인 표기법을 제공하기 위해 처음 도입된, 값들을 직사각형 형태로 배열한 것이다.[41] 예를 들어, 다음과 같은 방정식 체계는

\begin{align}

9x_1 + 3x_2 - 13x_3 &= 0 \\

2.3x_1 + 7x_3 &= 9 \\

  • 5x_1 - 17x_2 &= -3

\end{align}



AX=B 형태로 쓸 수 있으며, 여기서 A, X, B는 각각 다음과 같은 행렬이다.

A=\begin{bmatrix}9 & 3 & -13 \\ 2.3 & 0 & 7 \\ -5 & -17 & 0 \end{bmatrix}, \quad X= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}0 \\ 9 \\ -3 \end{bmatrix}.

행렬은 행과 열의 수에 대한 특정 조건 하에서 더하거나, 곱할 수 있으며, 때로는 역행렬을 구할 수도 있다. 선형 체계를 푸는 모든 방법은 이러한 연산을 사용하여 행렬 조작으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 위의 체계를 푸는 것은 A^{-1}A = I가 되도록 역행렬 A^{-1}을 계산하는 과정으로 볼 수 있다. 여기서 I는 단위 행렬이다. 그런 다음, 행렬 방정식의 양변에 A^{-1}를 왼쪽에서 곱하면 선형 방정식 체계의 해는 다음과 같이 구해진다.[42]

X=A^{-1}B.

선형 방정식 체계를 푸는 방법은 치환[43] 및 소거[44]와 같은 기본적인 방법부터 크라메르 공식, 가우스 소거법, LU 분해와 같이 행렬을 사용하는 더 발전된 기법까지 다양하다.[45] 어떤 방정식 체계는 모순적일 수 있는데, 이는 방정식들이 서로 모순되어 해가 존재하지 않음을 의미한다.[46] 일관된 체계는 고유한 해가 하나 있거나 무한히 많은 해를 가질 수 있다.[47]

벡터 공간과 선형 사상에 대한 연구는 선형대수의 중요한 부분을 차지한다. 벡터 공간은 덧셈 연산에 대해 아벨 군을 이루고, 이 덧셈과 호환되는 스칼라 곱셈을 갖는 집합으로 구성된 대수적 구조이다(벡터 공간 문서 참조). 선형 사상은 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 보존하는 벡터 공간 사이의 함수이다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 벡터와 선형 사상은 행렬로 표현될 수 있다. 따라서 행렬 이론과 유한 차원 벡터 공간 이론은 본질적으로 동일하다고 볼 수 있다. 특히, 벡터 공간은 선형 방정식 체계를 표현하고 조작하는 또 다른 방법을 제공한다.[48] 이러한 관점에서 행렬은 선형 사상의 표현으로 이해될 수 있다. 변환되는 벡터를 설명하기 위해 특정 기저를 선택하면, 행렬의 각 성분은 선형 사상을 기저 벡터에 적용한 결과를 나타낸다.[49]

두 개의 선형 방정식 그래프
변수가 두 개인 선형 방정식은 기하학적으로 선으로 해석될 수 있다. 선형 방정식 체계의 해는 선들이 교차하는 지점이다.


방정식 체계는 기하학적 도형으로 해석될 수 있다. 변수가 두 개인 체계의 경우, 각 방정식은 2차원 공간에서 선을 나타낸다. 두 선이 교차하는 지점은 전체 체계의 해가 되는데, 이는 그 지점이 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식을 동시에 만족시키는 유일한 점이기 때문이다. 만약 체계가 일관성이 없다면, 두 선은 평행하여 절대 교차하지 않으므로 해가 없다. 두 방정식이 서로 독립적이지 않다면 동일한 선을 나타내므로, 한 방정식의 모든 해는 다른 방정식의 해이기도 하다. 이러한 관계를 이용하여 방정식을 그래프로 그리고 교차점을 찾아 해를 시각적으로 구할 수 있다.[50] 동일한 원리가 더 많은 변수를 가진 방정식 체계에도 적용되는데, 차이점은 방정식이 선이 아닌 더 높은 차원의 도형을 나타낸다는 것이다. 예를 들어, 변수가 세 개인 방정식은 3차원 공간에서 평면에 해당하며, 모든 평면이 교차하는 지점이 방정식 체계의 해가 된다.[51]

4. 3. 추상 대수학

추상대수학(Abstract algebra영어)은 현대대수학이라고도 불리며, 대수적 구조를 연구하는 분야이다. 대수적 구조는 숫자의 덧셈과 같은 수학적 대상에 대한 연산을 이해하기 위한 틀이다. 초등대수학과 선형대수학이 특정 대수적 구조의 범위 내에서 작동하는 반면, 추상대수학은 군, 환, 체와 같이 대수적 구조가 서로 어떻게 다른지, 어떤 종류의 대수적 구조가 있는지를 비교하는 보다 일반적인 접근 방식을 취한다.[53] 이러한 유형의 대수적 구조의 핵심적인 차이점은 사용하는 연산의 수와 따르는 법칙에 있다.[76] 수학교육에서 추상대수학은 선형대수학 과정을 이수한 수학 전공 학생들이 수강하는 고급 학부 과정이다.[54]

이진 연산의 다이어그램
많은 대수적 구조는 이진 연산에 의존하며, 이는 두 개의 객체를 입력으로 받아 더하기와 곱하기처럼 하나의 객체로 결합한다.


형식적인 수준에서 대수적 구조는 기본 집합이라고 하는 수학적 대상의 집합과 하나 이상의 연산으로 이루어진다. 추상대수학은 주로 기본 집합에서 임의의 두 객체를 입력으로 받아 이 집합에서 다른 객체로 매핑하는 이진 연산에 관심이 있다.[58] 예를 들어, 대수적 구조 \langle \N, + \rangle는 자연수(\N)를 기본 집합으로 하고 덧셈(+)을 이진 연산으로 한다.[56] 기본 집합은 숫자 외에 다른 수학적 객체를 포함할 수 있으며, 연산은 정규 산술 연산으로 제한되지 않는다.[59] 예를 들어, 기하학적 객체의 대칭군의 기본 집합은 객체가 불변으로 유지되는 기하학적 변환 (예: 회전)으로 구성된다. 이진 연산은 함수 합성이며, 두 개의 변환을 입력으로 받아 첫 번째 변환을 적용한 다음 두 번째 변환을 적용한 결과로 나오는 변환을 출력으로 한다.[60]

추상대수학은 연산이 따르는 법칙 또는 공리와 사용하는 연산의 수를 기준으로 대수적 구조를 분류한다. 가장 기본적인 유형 중 하나는 군으로, 하나의 연산을 가지며 이 연산이 결합적이고 항등원과 역원을 가져야 한다. 연산은 여러 번 적용하는 순서가 중요하지 않으면 결합적이다. 즉, (a \circ b) \circ c가 모든 원소에 대해 a \circ (b \circ c)와 동일하다. 연산은 다른 원소의 값을 변경하지 않는 원소 ''e''가 존재하면 항등원 또는 중립 원소를 갖는다. 즉, a \circ e = e \circ a = a. 연산은 모든 원소 a에 대해 a를 실행 취소하는 역수 원소 a^{-1}이 존재하면 역원소를 갖는다. 원소가 역원에 대해 작동하면 결과는 중립 원소 ''e''가 되며, 형식적으로 a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e. 이러한 요구 사항을 충족하는 모든 대수적 구조는 군이다.[62] 예를 들어, \langle \Z, + \rangle는 덧셈 연산과 함께 정수 집합으로 형성된 군이다. 중립 원소는 0이고, 모든 숫자 a의 역원소는 -a이다.[63] 반대로, 덧셈을 사용하는 자연수는 양의 정수만 포함하므로 역원소가 없어 군을 형성하지 않는다.[64]

군론은 유한 아벨 군의 기본 정리와 페이트-톰슨 정리와 같은 기본적인 정리를 통해 군의 본질을 탐구한다.[65] 후자는 20세기의 가장 중요한 수학적 업적 중 하나인 공동 작업의 핵심 초기 단계였으며, 이 작업은 10,000페이지가 넘는 저널에 실렸고, 대부분 1960년에서 2004년 사이에 출판되어 완전한 유한 단순군의 분류로 절정에 달했다.[66]

추상 대수학은 현대 수학의 여러 분야에 영향을 미치고 있으며, 코딩 이론과 암호학 등 다양한 분야에 응용된다. 이들 분야는 데이터 전송 시 잡음의 영향을 줄이거나 데이터 보안을 확보하는 문제 등을 해결하기 위해 추상 대수학의 원리를 활용한다.[141]

4. 4. 대수 기하학

가환환론은 대수기하학의 중요한 기초가 된다. 대수 기하학은 대수적 방정식을 사용하여 기하학적 도형을 연구하는 분야이다. 이 학문은 대수적 다양체나 스킴과 같은 추상적인 개념들을 다루며, 현대 물리학 등 다양한 분야에 응용되고 있다.

4. 5. 정수론

정수론은 정수의 성질과 그들 사이의 관계를 연구하는 분야이다. 대수적 정수론은 대수적 방법을 사용하여 정수의 성질을 연구하며, 해석적 정수론과 비교하여 볼 수 있다.

참조

[1] 간행물 Merzlyakov, Shirshov, 2020
[2] 간행물 Fiche, Hebuterne, 2013
[3] 간행물 Baranovich, 2023
[4] 간행물 Pratt, 2022
[5] 간행물 Higham, 2019
[6] 간행물 Library of Congress
[7] 간행물 zbMATH Open, 2024
[8] 간행물 Maddocks, 2008
[9] 간행물 Romanowski, 2008
[10] 간행물 Maddocks, 2008
[11] 간행물 Maddocks, 2008
[12] 간행물 Pratt, 2022
[13] 간행물 Cresswell, 2010
[14] 간행물 Weisstein, 2003
[15] 간행물 Weisstein, 2003
[16] 간행물 EoM Staff, 2017
[17] 간행물 Oaks, Alkhateeb, 2007
[18] 간행물 Cresswell, 2010
[19] 간행물 Tanton, 2005
[20] 간행물 Kvasz, 2006
[21] 간행물 Tanton, 2005
[22] 간행물 Arcavi, Drijvers, Stacey, 2016
[23] 간행물 Maddocks, 2008
[24] 간행물 Sobolev, 2015
[25] 간행물 Maddocks, 2008
[26] 간행물 Maddocks, 2008
[27] 간행물 Musser, Peterson, Burger, 2013
[28] 간행물 Maddocks, 2008
[29] 간행물 Tan, Steeb, Hardy, 2012
[30] 간행물 Berggren, 2015
[31] 간행물 Maddocks, 2008
[32] 간행물 Bracken, Miller, 2014
[33] 간행물 Sahai, Bist, 2002
[34] 간행물 Geddes, Czapor, Labahn, 2007
[35] 간행물 Lukas, 2022
[36] 서적
[37] 서적
[38] 서적
[39] 서적
[40] 서적
[41] 서적
[42] 서적
[43] 서적
[44] 서적
[45] 서적
[46] 서적
[47] 서적
[48] 서적
[49] 서적
[50] 서적
[51] 서적
[52] 서적
[53] 서적
[54] 서적
[55] 서적
[56] 서적
[57] 서적
[58] 서적
[59] 서적
[60] 서적
[61] 서적
[62] 서적
[63] 서적
[64] 서적
[65] 서적
[66] 서적
[67] 서적
[68] 서적
[69] 서적
[70] 서적
[71] 서적 Geddes, Czapor, Labahn, Weisstein, Pratt
[72] 서적 Irving, Weisstein, Hohn
[73] 서적 Serovajsky, Kleiner, Kline
[74] 서적 Waerden, Karpilovsky, Kleiner
[75] 서적 Lang, Cox
[76] 서적 Pratt, Merzlyakov, Shirshov, Bourbaki
[77] 서적 Cooper
[78] 서적 Rowen, Pratt, Grätzer
[79] 서적 Pratt, Rowen, Gowers, Barrow-Green, Leader, Adhikari
[80] 서적 Neri, Ivanova, Smirnov, Deo, Ono
[81] 서적 Indurkhya, Pratt, Grätzer
[82] 서적 Indurkhya
[83] 서적 Efimov
[84] 서적 Pratt, Cohn
[85] 서적 Smirnov, Grätzer, Bahturin
[86] 서적 Pratt, Mal’cev
[87] 서적 Mal’cev, Cohn, Rosen, Hazewinkel
[88] 서적 Cohn
[89] 서적 Mal’cev
[90] 서적 Mal’cev, Pratt, Artamonov
[91] 서적 Weisstein, Gowers, Barrow-Green, Leader, Cheng
[92] 서적 Gowers, Barrow-Green, Leader, Borceux, Laos, Cheng
[93] 서적 Corry, Brezinski, Meurant, Redivo-Zaglia
[94] 서적 Tanton, Kvasz, Corry
[95] 서적 Tanton, Kvasz, Corry
[96] 서적 Merzlyakov, Shirshov, Sialaros, Corry
[97] 서적 Hettle, Christianidis, Megremi
[98] 서적 Burgin
[99] 서적 Higgins
[100] 서적 Kvasz, Sialaros, Boyer, Merzbach, Derbyshire
[101] 서적 Boyer, Merzbach, Derbyshire
[102] 서적 Tanton, Kvasz, Merzlyakov, Shirshov
[103] 서적 Waerden, Jenkins, Pickover
[104] 서적 Tanton, Corry
[105] 서적 Seshadri, Emch, Sridharan, Srinivas
[106] 서적
[107] 서적
[108] 서적
[109] 서적
[110] 서적
[111] 서적
[112] 서적
[113] 서적
[114] 서적
[115] 서적
[116] 서적
[117] 서적
[118] 서적
[119] 서적
[120] 서적
[121] 서적
[122] 서적
[123] 서적
[124] 서적
[125] 서적
[126] 서적
[127] 서적
[128] 서적
[129] 서적
[130] 서적
[131] 서적
[132] 서적
[133] 서적
[134] 서적
[135] 서적
[136] 서적
[137] 서적
[138] 서적
[139] 서적
[140] 서적
[141] 서적
[142] 서적
[143] 서적
[144] 서적
[145] 서적
[146] 서적
[147] 서적
[148] 웹사이트 代数学とは https://kotobank.jp/[...] 2021-08-12
[149] 서적
[150] 웹사이트 algebra http://www.oxforddic[...] Oxford University Press 2017-12-15
[151] 서적 Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra Saqi Books 2009-11
[152] 웹사이트 A Brief History of Zero and Indian Numerals http://www.brusselsj[...]
[153] 서적 A History of Mathematics: An Introduction (2nd Edition) (Paperback) Victor J katz Addison Wesley; 2 edition (March 6, 1998)
[154] 서적 A Concise History of Mathematics Dover Publications 1987
[155] 웹사이트 Diophantus, Father of Algebra http://library.think[...]
[156] 웹사이트 History of Algebra http://www.algebra.c[...]
[157] 서적
[158] 서적
[159] 서적
[160] 서적
[161] 서적
[162] 서적 The Development of Arabic Mathematics Springer 1994
[163] 웹사이트 Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi
[164] 간행물 Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching Springer Netherlands 2007-10
[165] 서적
[166] 웹사이트 The Origins of Abstract Algebra
[167] 웹사이트 The History of Algebra in the Nineteenth and Twentieth Centuries
[168] 웹사이트 The Collected Mathematical Papers
[169] 서적 근대 중국의 언어와 역사 소명출판 2005


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com