벡터 값 미분 형식

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1. 개요

벡터 값 미분 형식은 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발과 관련된 미분 형식의 일반화이다. 구체적으로, $M$ 위의 $E$ 값 미분 형식은 코탄젠트 다발의 외대수와 $E$ 의 텐서곱 다발의 매끄러운 단면이다. 이러한 형식은 당김, 쐐기곱, 외미분 등의 연산을 통해 조작될 수 있으며, 특히 쐐기곱은 두 벡터 값 미분 형식의 텐서곱 다발의 값을 갖는 새로운 미분 형식을 정의한다. 또한, 주 다발 위에서의 기본 형식과 텐서 형식을 정의하는 데 사용되며, 지겔 모듈 형식과 같은 수학적 구조를 표현하거나 물리학 분야에도 응용된다.

벡터 값 미분 형식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 자명한 벡터 다발의 경우
3. 연산
4. 주 다발 위에서의 기본 형식과 텐서 형식
- 4.1. 기본 형식 (Basic form)
- 4.2. 텐서 형식 (Tensorial form)
5. 응용
- 5.1. 지겔 모듈 형식

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 에 대해, $E$ -값 미분 형식은 $M$ 의 각 점에 $E$ 의 올(fiber)을 할당하는 매끄러운 함수로 이해할 수 있다.

$E$ -값 미분 형식은 다발 사상 $TM\otimes\cdots\otimes TM \to E$ 으로 정의될 수 있으며, 이 사상은 전체적으로 왜대칭이다.

2.1. 기본 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $\pi\colon E\twoheadrightarrow M$ 이 주어졌을 때, $M$ 위의 $E$ 값 미분 형식들의 벡터 다발은 다음과 같다.
: $E\otimes\bigoplus_{p=0}^{\dim M}\bigwedge^p\mathrm T^*M$
즉, $E$ 값의 $p$ 차 미분 형식은 다음 단면 공간의 원소이다.
: $\Omega^p(M;E)=\Gamma\left(E\otimes\bigwedge^p\mathrm T^*M\right)=\Omega^p(M)\otimes_{\Omega^0(M)}\Gamma(E)$
특히, $\Omega^0(M;E)=\Gamma(E)$ 이며, 자명한 벡터 다발 $E=M\times\mathbb R$ 에 대하여 $\Omega^p(M;E)=\Omega^p(M)$ 이다. 만약 $E=M\times V$ 가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 $\Omega^p(M;E)$ 를 $\Omega^p(M;V)$ 로도 표기한다.

$M$ 을 매끄러운 다양체라 하고, $E \to M$ 을 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발이라고 하자. 다발 $E$ 의 매끄러운 단면 공간을 Γ( $E$ )로 나타낸다. $p$ 차 E 값 미분 형식은 $M$ 의 코탄젠트 다발의 $p$ 차 외대수인 Λ^p(T^∗M)와 $E$ 의 텐서곱 다발의 매끄러운 단면이다. 이러한 형식의 공간은 다음과 같이 나타낸다.
: $\Omega^p(M,E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M).$
Γ는 강한 모노이드 함자이므로, 이는 또한 다음과 같이 해석될 수 있다.
: $\Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Gamma(\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Omega^p(M),$
여기서 뒤의 두 텐서곱은 $M$ 위의 매끄러운 R 값 함수들의 환 Ω⁰( $M$ ) 위의 가군의 가군 텐서곱이다. 관례에 따라 $E$ 값 0-형식은 다발 $E$ 의 단면이다. 즉,
: $\Omega^0(M,E) = \Gamma(E).\,$
동등하게, $E$ 값 미분 형식은 다발 사상으로 정의될 수 있다.
: $TM\otimes\cdots\otimes TM \to E$
이 사상은 전체적으로 왜대칭이다.

$V$ 를 고정된 벡터 공간이라고 하자. $p$ 차 V 값 미분 형식은 자명한 다발 $M$ × $V$ 를 값으로 갖는 차수 $p$ 의 미분 형식이다. 이러한 형식의 공간은 Ω^p( $M$ , $V$ )로 나타낸다. $V$ = R일 때 일반적인 미분 형식의 정의를 얻는다. $V$ 가 유한 차원인 경우, 자연스러운 준동형 사상
: $\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),$
여기서 첫 번째 텐서곱은 R 위의 벡터 공간의 텐서곱이고, 이는 동형 사상임을 보일 수 있다.

2.2. 자명한 벡터 다발의 경우

$E$ 가 자명한 벡터 다발인 경우, $E$ -값 미분 형식은 주어진 벡터 공간 $V$ 를 값으로 갖는 미분 형식으로 간주될 수 있다.

고정된 벡터 공간 $V$ 에 대해, $p$ 차 $V$ 값 미분 형식은 자명한 다발 $M \times V$ 를 값으로 갖는 $p$ 차 미분 형식이다. 이러한 형식의 공간은 $\Omega^p(M, V)$ 로 나타낸다. $E = M \times V$ 가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통 $\Omega^p(M;E)$ 를 $\Omega^p(M;V)$ 로 표기한다.

$V$ = R이면 일반적인 미분 형식의 정의를 얻는다. $V$ 가 유한 차원일 때, 다음의 자연스러운 준동형 사상이 존재한다.
: $\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),$
여기서 첫 번째 텐서곱은 R 위 벡터 공간의 텐서곱이며, 이는 동형 사상이다.

3. 연산

벡터 값 미분 형식에는 당김, 쐐기곱, 외미분 등의 연산이 정의된다.

* 당김: 매끄러운 함수를 사용하여 벡터 값 미분 형식을 다른 다양체로 "당겨올" 수 있다.
* 쐐기곱: 두 벡터 값 미분 형식의 쐐기곱은 텐서곱 다발의 값을 갖는 새로운 미분 형식을 정의한다. 리 대수 값을 갖는 미분 형식의 경우, 쐐기곱과 리 괄호를 동시에 적용하는 연산을 정의할 수 있다.
* 외미분: 일반적인 벡터 값 미분 형식은 벡터 다발이 자명하지 않으면 외미분을 정의할 수 없지만, 평탄한 벡터 다발의 경우에는 외미분이 자연스럽게 정의된다. 벡터 다발에 코쥘 접속이 주어지면, 이를 확장하는 공변 외미분을 정의할 수 있다.

3.1. 당김 (Pullback)

매끄러운 함수를 사용하여 벡터 값 미분 형식을 다른 다양체로 "당겨올" 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 M과 N
* 매끄러운 함수 f : N → M
* M 위의 매끄러운 벡터 다발 E
* M 위의, E값의 p차 미분 형식 ω ∈ Ω^p(M; E)

그렇다면, ω의, f에 대한 당김 f^*ω ∈ Ω^p(N; f^*E)를 자연스럽게 정의할 수 있다.

당김은 일반적인 형식과 마찬가지로 매끄러운 함수를 사용하여 벡터 값 형식으로 정의할 수 있다. 매끄러운 함수 φ : M → N에 의한 N상의 E 값 형식의 당김은 M상의 (φ*E) 값 형식이며, 여기서 φ*E는 φ에 의한 E의 당김 다발이다.

공식은 일반적인 경우와 같다. N상의 모든 E 값 p-형식 ω에 대해 당김 φ*ω는 다음과 같이 주어진다.

:(φ^*ω)_x(v₁, ⋯, v_p) = ω_φ(x)(dφ_x(v₁), ⋯, dφ_x(v_p)).

3.2. 쐐기곱 (Wedge product)

두 벡터 값 미분 형식의 쐐기곱은 텐서곱 다발의 값을 갖는 새로운 미분 형식을 정의한다. 일반적인 미분 형식과 마찬가지로, 벡터 값 형식의 쐐기곱을 정의할 수 있다. E₁-값 p-형식과 E₂-값 q-형식의 쐐기곱은 자연스럽게 (E₁⊗E₂)-값 (p+q)-형식이 된다.

정의는 실수 곱셈이 텐서곱으로 대체된다는 점을 제외하면 일반적인 형식과 같다.

:(ω∧η)(v₁,⋯,v_p+q) = 1/(p! q!) ∑_{σ∈S_p+q}sgn(σ)ω(v_σ(1),⋯,v_σ(p))⊗η(v_σ(p+1),⋯,v_σ(p+q)).

특히, 일반적인 (R-값) p-형식과 E-값 q-형식의 쐐기곱은 자연스럽게 E-값 (p+q)-형식이 된다 (E와 자명한 다발 M × R의 텐서곱이 E와 자연 동형이기 때문이다). ω ∈ Ω^p(M) 및 η ∈ Ω^q(M, E)에 대해, 다음과 같은 일반적인 교환 관계가 성립한다.

:ω∧η = (-1)^pqη∧ω.

일반적으로, 두 E-값 형식의 쐐기곱은 또 다른 E-값 형식이 아니라 (E⊗E)-값 형식이다. 그러나 E가 대수 다발인 경우(즉, 단순히 벡터 공간이 아닌 대수 다발인 경우) E에서 곱셈을 사용하여 E-값 형식을 얻을 수 있다.

E가 가환 대수의 다발인 경우, 이 수정된 쐐기곱을 사용하면 모든 E-값 미분 형식의 집합

:Ω(M,E) = ⊕_p=0^{dim M}Ω^p(M,E)

이 등급 가환 결합 대수가 된다. E의 올이 가환적이지 않으면 Ω(M,E)는 등급 가환적이지 않다. (하단의 '리 대수 쐐기곱' 섹션은 리 대수를 사용하는 특수한 경우를 다룬다.)

3.2.1. 리 대수 쐐기곱

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 의 각 올이 실수 리 대수 $\mathfrak g$ 의 구조를 갖는 경우, $E$ 값의 $p$ 차 미분 형식 $\alpha\in\Omega^p(M;E)$ 와 $q$ 차 미분 형식 $\beta\in\Omega^q(M;E)$ 에 대하여 쐐기곱과 리 괄호를 동시에 적용한 연산
: $[\alpha\wedge\beta]\in\Omega^{p+q}(M;E)$
를 정의할 수 있다. 이 연산은 다음 성질을 만족한다.
: $[\alpha\wedge\beta]=(-1)^{pq+1}[\beta\wedge\alpha]$

3.3. 외미분 (Exterior derivative)

일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 벡터 다발이 자명하지 않다면 외미분을 정의할 수 없다. 하지만, 자명한 벡터 다발의 경우에는 외미분이 자연스럽게 정의된다.

보다 일반적으로, 벡터 다발에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속이 주어지면, 일종의 외미분을 정의할 수 있다. 모든 벡터 공간 V에 대해, V-값 형식 공간에 자연스러운 외미분이 존재한다. 이는 V의 임의의 기저에 상대적으로 성분별로 작용하는 일반적인 외미분이다. 명시적으로, {e_α}가 V의 기저라면, V-값 p-형식 ω = ω^αe_α의 미분은 다음과 같다.
: $d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,$
V-값 형식에 대한 외미분은 다음 관계에 의해 완전히 특징지어진다.
: $\begin{align}&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\&d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\&d(d\omega) = 0.\end{align}$
위 언급은 M 위의 임의의 평탄한 벡터 다발 E(즉, 전이 함수가 상수인 벡터 다발)에 대한 E-값 형식에도 적용된다. 외미분은 E의 임의의 국소 자명화에 대해 위와 같이 정의된다.

E가 평탄하지 않으면, E-값 형식에 작용하는 외미분에 대한 자연스러운 개념은 없다. 필요한 것은 E에 대한 접속의 선택이다. E에 대한 접속은 E의 단면을 E-값 1-형식으로 보내는 선형 미분 연산자이다.
: $\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).$

3.3.1. 공변 외미분

벡터 다발에 접속 ∇가 주어져 있다면, ∇를 확장하는 고유한 공변 외미분(covariant exterior derivative^영어)이 존재한다.

: $d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E)$

공변 외미분은 선형성과 다음 방정식으로 특징지어진다.

: $d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta$

여기서 ω는 E-값 p-형식이고, η는 일반적인 q-형식이다. 일반적으로, d_∇² = 0을 가질 필요는 없다. 사실, 이것은 접속 ∇가 평탄할 때(즉, 곡률이 사라질 때)에만 발생한다.

4. 주 다발 위에서의 기본 형식과 텐서 형식

주 다발 위에서 정의되는 특별한 종류의 벡터 값 미분 형식에는 기본 형식과 텐서 형식이 있다. 기본 형식은 주 다발의 구조군의 작용에 대해 동변이고, 수직 벡터에 대해 0이 되는 벡터 값 형식이다. 텐서 형식은 기본 형식의 조건을 만족하는 동시에, 주 다발의 틀 다발(frame bundle) 위에서 정의될 때 추가적인 성질을 갖는다. 이 두 형식은 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 주 다발과 연관 벡터 다발 사이의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

4.1. 기본 형식 (Basic form)

주 다발의 구조 군의 작용에 대해 동변이고, 수평 벡터에 대해 0이 되는 벡터 값 형식이다.

π : P → M을 (매끄러운) 주 G-다발이라고 하고, V를 표현 ρ : G → GL(V)와 함께 고정된 벡터 공간이라고 하자. ρ 형의 P 위의 기본 또는 텐서 형식은 다음 의미에서 동변이고 수평인 P 위의 V 값 형식 ω이다.

# 모든 g ∈ G에 대해 $(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$ 이고,
# 적어도 하나의 v_i가 수직일 때(즉, dπ(v_i) = 0) $\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$ 이다.

여기서 R_g는 어떤 g ∈ G에 대한 P 위의 G의 오른쪽 작용을 나타낸다. 0-형식의 경우 두 번째 조건은 공허하게 참이다.

4.2. 텐서 형식 (Tensorial form)

M 위의 랭크 k의 매끄러운 벡터 다발 E → M에 대해, π : F(E) → M을 E의 (연관) 프레임 다발이라 한다. 이는 M 위의 주 GL_k(R) 다발이다. ρ 형의 P 위의 기본 또는 텐서 형식은 다음 조건을 만족하는 P 위의 V 값 형식 ω이다.

# 모든 g ∈ G에 대해 $(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$ (동변성)
# 적어도 하나의 v_i가 수직일 때(즉, dπ(v_i) = 0) $\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$ (수평성)

0-형식의 경우 두 번째 조건은 공허하게 참이다.

예시: 리 대수 위의 G의 수반 표현 ρ에 대해, 접속 형식 ω는 첫 번째 조건은 만족하지만 두 번째 조건은 만족하지 않는다. 반면, 연관된 곡률 형식 Ω는 두 조건 모두 만족하므로 수반형의 텐서 형식이다. 두 접속 형식의 "차이"는 텐서 형식이다.

연관 벡터 다발 E = P ×_ρ V를 구성할 수 있다. P 위의 텐서 q-형식은 M 위의 E 값 q-형식과 자연스러운 일대일 대응을 이룬다. E 값을 갖는 M 위의 q-형식 $\overline{\phi}$ 가 주어지면, P 위에 φ를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}$

여기서 u는 선형 동형 사상 $V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]$ 로 간주된다. 그러면 φ는 ρ형의 텐서 형식이다. 반대로, ρ형의 텐서 형식 φ가 주어지면, 동일한 공식으로 M 위의 E 값 형식 $\overline{\phi}$ 를 정의할 수 있다(cf. Chern–Weil 준동형). 특히, 다음의 벡터 공간 사이의 자연스러운 동형 사상이 존재한다.

: $\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f$ .

예시: E를 M의 접선 다발이라고 하면, 항등 다발 사상 id_E: E →E는 M 위의 E 값 1-형식이다. 자기동형 1-형식은 id_E에 해당하는 E의 프레임 다발 위의 고유한 1-형식이다. θ로 표시되는 이 형식은 표준형의 텐서 형식이다.

이제 P에 접속이 있어서 P 위의 (다양한) 벡터 값 형식에 대한 외적 공변 미분 D가 있다고 가정하자. 위에서 언급한 대응 관계를 통해 D는 E 값 형식에도 작용한다. ∇를 다음과 같이 정의한다.

: $\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.$

특히 0-형식의 경우,

: $\nabla: \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, T^*M \otimes E)$ .

이는 정확히 벡터 다발 E 위의 접속에 대한 공변 미분이다.

5. 응용

지겔 모듈 형식은 지겔 모듈 다양체에 대한 벡터 값 미분 형식으로 나타낼 수 있다.

5.1. 지겔 모듈 형식

지겔 모듈 형식은 지겔 모듈 다양체에 대한 벡터 값 미분 형식으로 나타낼 수 있다.