여차원
1. 개요
여차원은 상대적인 개념으로, 한 객체가 다른 객체 내부에 있을 때 정의되며, 벡터 공간, 부분 다양체 등에서 사용된다. 유한 차원 벡터 공간에서 여차원은 전체 공간의 차원에서 부분 공간의 차원을 뺀 값으로 정의되며, 무한 차원 공간에서는 몫공간의 차원으로 정의된다. 여차원은 교집합의 차원 계산, 쌍대 공간 및 제약 조건과의 관계, 기하 위상수학에서의 의미 등 다양한 수학적 맥락에서 중요한 역할을 한다. 특히, 기하학적 위상수학에서 여차원은 매듭 이론과 관련되어 있으며, 매장의 연구에 중요한 영향을 미친다.
| 수학 분야 | 수학 |
|---|---|
| 관련 개념 | 차원 |
| 정의 | 부분공간의 여차원은 전체 공간의 차원에서 부분공간의 차원을 뺀 값이다. 즉, 만약 V가 n차원 벡터 공간이고 W가 k차원 부분공간이면, W의 여차원은 n-k이다. |
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| 공식 | codim(W) = dim(V) - dim(W) |
| 예시 1 | 3차원 공간에서 평면의 여차원은 1이다. (3 - 2 = 1) |
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| 예시 2 | n차원 공간에서 점의 여차원은 n이다. (n - 0 = n) |
| 활용 분야 | 대수기하학 미분기하학 위상수학 |
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| 관련 항목 | 차원 부분공간 벡터 공간 쌍대 공간 |
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차원 -
크룰 차원
크룰 차원은 환 내의 소수 아이디얼 체인의 길이를 이용하여 정의되며, 환론 및 대수기하학에서 중요한 역할을 하고 다양한 개념으로 확장되어 사용된다. -
차원 -
데카르트 좌표계
데카르트 좌표계는 르네 데카르트가 고안한 좌표계로, 다양한 차원의 공간에서 점의 위치를 나타내며, 2차원에서는 x축과 y축, 3차원에서는 직교하는 세 평면으로 확장되고, 고차원에서는 실수 튜플을 사용한다. -
대수기하학 -
타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다. -
대수기하학 -
매끄러운 함수
매끄러운 함수는 함수의 미분 가능성을 나타내는 척도로, k번 미분 가능하고 그 미분 함수가 연속일 경우 C<sup>k</sup>로 표기하며, 무한히 미분 가능한 함수를 의미하고, 곡선의 부드러움을 측정하는 데 활용된다. -
선형대수학 -
벡터 공간
벡터 공간은 체 위의 가군으로 정의되는 대수적 구조로, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 가지며 특정 공리들을 만족하고, 기저, 차원, 선형 사상 등의 개념을 통해 수학과 물리학 등 다양한 분야에서 활용된다. -
선형대수학 -
선형 결합
선형 결합은 벡터 공간에서 벡터들의 스칼라 곱의 합으로 표현되는 식으로, 벡터 집합의 선형 독립성 판단 및 부분 공간 생성과 관련되며, 계수 제약을 통해 다양한 종류의 결합을 정의할 수 있고, 위상 벡터 공간이나 가군으로 일반화될 수 있다.
2. 정의
여차원은 '상대적' 개념으로, 한 객체가 다른 객체 내부에 있을 때만 정의된다. 따라서 "(고립된 상태의) 벡터 공간의 여차원"은 없으며, 벡터 부분 공간의 여차원만 존재한다. 여차원은 부분 공간, 부분 다양체 등 다양한 대상에 대해 정의될 수 있으며, 전체 공간과 부분 공간의 차원의 차이로 계산된다.
2.1. 선형 부분 공간
만약 W가 유한 차원 벡터 공간 V의 선형 부분 공간이라면, V 내의 W의 여차원은 차원의 차이이다.
codim영어(W) = dim영어(V) - dim영어(W).
이는 W의 차원에 대한 보수이며, W의 차원과 함께 주변 공간 V의 차원이 된다.
dim영어(W) + codim영어(W) = dim영어(V).
더 일반적으로, W가 (가능성이 있는 무한 차원의) 벡터 공간 V의 선형 부분 공간이면, V 내의 W의 여차원은 몫공간 V/W의 차원 (무한일 수 있음)이며, 이는 더 추상적으로 포함의 코커널로 알려져 있다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이는 이전 정의와 일치한다.
codim영어(W) = dim영어(V/W) = dim coker영어 ( W → V ) = dim영어(V) - dim영어(W).
그리고 커널의 차원으로서 상대 차원에 대한 쌍대이다.
무한 차원 공간의 유한 여차원 부분 공간은 위상 벡터 공간 연구에 종종 유용하다.
2.2. 부분 다양체
N이 M의 부분 다양체 또는 부분 대수다양체라면, M 내의 N의 여차원은 다음과 같다.
:codim영어(N) = dim영어(M) - dim영어(N)
부분 다양체의 차원이 접다발의 차원(부분 다양체 상에서 이동할 수 있는 차원의 수)과 마찬가지로, 여차원은 법다발의 차원(부분 다양체 밖으로 이동할 수 있는 차원의 수)이다.
더 일반적으로, W가 (가능성이 있는 무한 차원의) 벡터 공간 V의 선형 부분 공간이면, V 내의 W의 여차원은 몫공간 V/W의 차원(무한일 수 있음)이며, 이는 더 추상적으로 포함의 코커널로 알려져 있다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이는 이전 정의와 일치한다.
:codim영어(W) = dim영어(V/W) = dim coker영어(W → V) = dim영어(V) - dim영어(W)
그리고 커널의 차원으로서 상대 차원에 대한 쌍대이다.
무한 차원 공간의 유한 여차원 부분 공간은 위상 벡터 공간 연구에 종종 유용하다.
3. 여차원의 합산과 차원 계산
부분 공간의 교집합의 여차원은 각 부분 공간의 여차원과 관련이 있다. W1의 여차원이 k1이고, W2의 여차원이 k2일 때, 이들의 교집합 U의 여차원 j는 다음 범위를 가진다.
:max (k1, k2) ≤ j ≤ k1 + k2.
j는 이 범위 안의 모든 정수 값을 가질 수 있다. 이 관계는 우변이 단순히 여차원의 합이기 때문에 차원에 대한 설명보다 더 명확하다. 즉,
:여차원은 (최대) 더해진다.
부분 공간들이 횡단적으로 교차하는 경우, 여차원은 정확히 더해진다. 이는 교차 이론에서 차원 세기라고 불린다.
3.1. 쌍대적 관점
쌍대 공간의 관점에서 보면, 여차원은 선형 범함수의 개수로 이해할 수 있다. 부분 공간은 특정 수의 선형 범함수가 0이 되는 조건을 통해 정의될 수 있는데, 이 함수들이 선형 독립이라면 그 수는 곧 여차원이 된다. 따라서 부분 공간 U는 Wi들을 정의하는 선형 범함수 집합들의 합집합으로 정의된다. 이 합집합은 어느 정도의 선형 종속을 유발할 수 있는데, j의 가능한 값은 이러한 종속성을 나타낸다. 종속성이 없는 경우는 RHS 합이다. 부분 공간을 정의하는 데 필요한 함수의 수로 여차원을 정의하는 이 방식은, 주변 공간과 부분 공간 모두 무한 차원인 경우에도 적용 가능하다.
3.2. 제약 조건의 관점
쌍대 공간의 관점에서 보면, 차원이 더해지는 이유가 분명해진다. 부분 공간은 특정한 수의 선형 범함수가 0이 되도록 정의할 수 있는데, 이러한 함수들이 선형 독립이라고 가정하면 그 수는 여차원이 된다. 따라서 U는 각 Wi를 정의하는 선형 범함수 집합들의 합집합으로 정의된다는 것을 알 수 있다.
이 합집합은 어느 정도 선형 종속을 야기할 수 있다. j의 가능한 값은 이러한 종속성의 정도를 나타내며, 우변(RHS)의 합은 종속성이 없는 경우이다. 부분 공간을 정의하는 데 필요한 함수의 수로 여차원을 정의하는 이러한 방식은, 주변 공간과 부분 공간 모두 무한 차원인 경우에도 적용 가능하다.
교차 이론의 기본이 되는 또 다른 관점에서는, 특정 개수의 제약들의 합집합을 고려한다. 이때 두 가지 현상을 주의해야 한다.
# 두 제약 조건 집합이 서로 독립적이지 않을 수 있다.
# 두 제약 조건 집합이 서로 호환되지 않을 수 있다.
첫 번째 현상은 제약 개수 원리로 자주 표현된다. 조정해야 할 N개의 매개변수(즉, N개의 자유도)가 있고, 제약 조건은 이를 만족시키기 위해 매개변수를 '소모'해야 한다는 것을 의미한다. 따라서 해 집합의 여차원은 최대 제약 조건의 개수가 된다. 예상되는 여차원, 즉 독립적인 제약 조건의 수가 N을 초과하면 (선형 대수학에서는 항상 영벡터 해가 존재하므로 제외한다) 해를 찾을 수 없을 것으로 예상한다.
두 번째 현상은 평행선과 같은 모델의 기하학적 문제와 관련이 있다. 이는 선형 대수학의 방법을 사용하여 선형 문제에 대해, 그리고 복소수 체계에서 사영 공간의 비선형 문제에 대해 논의될 수 있는 문제이다.
4. 기하 위상수학에서의 의미
기하 위상수학에서 공차원 1은 부분 다양체에 의한 위상적 단절을 나타내고, 공차원 2는 분기와 매듭 이론을 나타낸다. 차원이 5 이상인 고차원 다양체 이론은 공차원 3 이상에서 시작하는데, 이는 더 높은 공차원이 매듭 현상을 피하기 때문이다. 수술 이론은 중간 차원까지 작업을 필요로 하므로, 차원이 5가 되면 중간 차원은 공차원이 2보다 커져서 매듭을 피할 수 있다.