여차원
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1. 개요
여차원은 상대적인 개념으로, 한 객체가 다른 객체 내부에 있을 때 정의되며, 벡터 공간, 부분 다양체 등에서 사용된다. 유한 차원 벡터 공간에서 여차원은 전체 공간의 차원에서 부분 공간의 차원을 뺀 값으로 정의되며, 무한 차원 공간에서는 몫공간의 차원으로 정의된다. 여차원은 교집합의 차원 계산, 쌍대 공간 및 제약 조건과의 관계, 기하 위상수학에서의 의미 등 다양한 수학적 맥락에서 중요한 역할을 한다. 특히, 기하학적 위상수학에서 여차원은 매듭 이론과 관련되어 있으며, 매장의 연구에 중요한 영향을 미친다.
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| 여차원 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 수학 분야 | 수학 |
| 관련 개념 | 차원 |
| 정의 | |
| 정의 | 부분공간의 여차원은 전체 공간의 차원에서 부분공간의 차원을 뺀 값이다. 즉, 만약 V가 n차원 벡터 공간이고 W가 k차원 부분공간이면, W의 여차원은 n-k이다. |
| 공식 | codim(W) = dim(V) - dim(W) |
| 예시 | |
| 예시 1 | 3차원 공간에서 평면의 여차원은 1이다. (3 - 2 = 1) |
| 예시 2 | n차원 공간에서 점의 여차원은 n이다. (n - 0 = n) |
| 활용 | |
| 활용 분야 | 대수기하학 미분기하학 위상수학 |
| 같이 보기 | |
| 관련 항목 | 차원 부분공간 벡터 공간 쌍대 공간 |
2. 정의
여차원은 '상대적' 개념으로, 한 객체가 다른 객체 ''내부''에 있을 때만 정의된다. 따라서 "(고립된 상태의) 벡터 공간의 여차원"은 없으며, 벡터 ''부분'' 공간의 여차원만 존재한다.[1] 여차원은 부분 공간, 부분 다양체 등 다양한 대상에 대해 정의될 수 있으며, 전체 공간과 부분 공간의 차원의 차이로 계산된다.
2. 1. 선형 부분 공간
만약 ''W''가 유한 차원 벡터 공간 ''V''의 선형 부분 공간이라면, ''V'' 내의 ''W''의 '''여차원'''은 차원의 차이이다.[1]codim영어(W) = dim영어(V) - dim영어(W).
이는 ''W''의 차원에 대한 보수이며, ''W''의 차원과 함께 주변 공간 ''V''의 차원이 된다.
dim영어(W) + codim영어(W) = dim영어(V).
더 일반적으로, ''W''가 (가능성이 있는 무한 차원의) 벡터 공간 ''V''의 선형 부분 공간이면, ''V'' 내의 ''W''의 여차원은 몫공간 ''V''/''W''의 차원 (무한일 수 있음)이며, 이는 더 추상적으로 포함의 코커널로 알려져 있다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이는 이전 정의와 일치한다.
codim영어(W) = dim영어(V/W) = dim coker영어 ( W → V ) = dim영어(V) - dim영어(W).
그리고 커널의 차원으로서 상대 차원에 대한 쌍대이다.
무한 차원 공간의 유한 여차원 부분 공간은 위상 벡터 공간 연구에 종종 유용하다.
2. 2. 부분 다양체
''N''이 ''M''의 부분 다양체 또는 부분 대수다양체라면, ''M'' 내의 ''N''의 여차원은 다음과 같다.[1]:codim영어(N) = dim영어(M) - dim영어(N)
부분 다양체의 차원이 접다발의 차원(부분 다양체 ''상에서'' 이동할 수 있는 차원의 수)과 마찬가지로, 여차원은 법다발의 차원(부분 다양체 ''밖으로'' 이동할 수 있는 차원의 수)이다.
더 일반적으로, ''W''가 (가능성이 있는 무한 차원의) 벡터 공간 ''V''의 선형 부분 공간이면, ''V'' 내의 ''W''의 여차원은 몫공간 ''V''/''W''의 차원(무한일 수 있음)이며, 이는 더 추상적으로 포함의 코커널로 알려져 있다. 유한 차원 벡터 공간의 경우, 이는 이전 정의와 일치한다.
:codim영어(W) = dim영어(V/W) = dim coker영어(W → V) = dim영어(V) - dim영어(W)
그리고 커널의 차원으로서 상대 차원에 대한 쌍대이다.
무한 차원 공간의 유한 여차원 부분 공간은 위상 벡터 공간 연구에 종종 유용하다.
3. 여차원의 합산과 차원 계산
부분 공간의 교집합의 여차원은 각 부분 공간의 여차원과 관련이 있다. ''W''1의 여차원이 ''k''1이고, ''W''2의 여차원이 ''k''2일 때, 이들의 교집합 ''U''의 여차원 ''j''는 다음 범위를 가진다.
:max (''k''1, ''k''2) ≤ ''j'' ≤ ''k''1 + ''k''2.
''j''는 이 범위 안의 모든 정수 값을 가질 수 있다. 이 관계는 우변이 단순히 여차원의 합이기 때문에 차원에 대한 설명보다 더 명확하다. 즉,
:''여차원은 (최대) 더해진다''.
부분 공간들이 횡단적으로 교차하는 경우, 여차원은 정확히 더해진다. 이는 교차 이론에서 '''차원 세기'''라고 불린다.
3. 1. 쌍대적 관점
쌍대 공간의 관점에서 보면, 여차원은 선형 범함수의 개수로 이해할 수 있다. 부분 공간은 특정 수의 선형 범함수가 0이 되는 조건을 통해 정의될 수 있는데, 이 함수들이 선형 독립이라면 그 수는 곧 여차원이 된다. 따라서 부분 공간 ''U''는 ''W''i들을 정의하는 선형 범함수 집합들의 합집합으로 정의된다. 이 합집합은 어느 정도의 선형 종속을 유발할 수 있는데, ''j''의 가능한 값은 이러한 종속성을 나타낸다. 종속성이 없는 경우는 RHS 합이다. 부분 공간을 정의하는 데 필요한 함수의 수로 여차원을 정의하는 이 방식은, 주변 공간과 부분 공간 모두 무한 차원인 경우에도 적용 가능하다.3. 2. 제약 조건의 관점
쌍대 공간의 관점에서 보면, 차원이 더해지는 이유가 분명해진다. 부분 공간은 특정한 수의 선형 범함수가 0이 되도록 정의할 수 있는데, 이러한 함수들이 선형 독립이라고 가정하면 그 수는 여차원이 된다. 따라서 ''U''는 각 ''W''i를 정의하는 선형 범함수 집합들의 합집합으로 정의된다는 것을 알 수 있다.이 합집합은 어느 정도 선형 종속을 야기할 수 있다. ''j''의 가능한 값은 이러한 종속성의 정도를 나타내며, 우변(RHS)의 합은 종속성이 없는 경우이다. 부분 공간을 정의하는 데 필요한 함수의 수로 여차원을 정의하는 이러한 방식은, 주변 공간과 부분 공간 모두 무한 차원인 경우에도 적용 가능하다.
교차 이론의 기본이 되는 또 다른 관점에서는, 특정 개수의 제약들의 합집합을 고려한다. 이때 두 가지 현상을 주의해야 한다.
# 두 제약 조건 집합이 서로 독립적이지 않을 수 있다.
# 두 제약 조건 집합이 서로 호환되지 않을 수 있다.
첫 번째 현상은 '''제약 개수 원리'''로 자주 표현된다. 조정해야 할 ''N''개의 매개변수(즉, ''N''개의 자유도)가 있고, 제약 조건은 이를 만족시키기 위해 매개변수를 '소모'해야 한다는 것을 의미한다. 따라서 해 집합의 여차원은 최대 제약 조건의 개수가 된다. 예상되는 여차원, 즉 독립적인 제약 조건의 수가 ''N''을 초과하면 (선형 대수학에서는 항상 영벡터 해가 존재하므로 제외한다) 해를 찾을 수 없을 것으로 예상한다.
두 번째 현상은 평행선과 같은 모델의 기하학적 문제와 관련이 있다. 이는 선형 대수학의 방법을 사용하여 선형 문제에 대해, 그리고 복소수 체계에서 사영 공간의 비선형 문제에 대해 논의될 수 있는 문제이다.
4. 기하 위상수학에서의 의미
기하 위상수학에서 공차원 1은 부분 다양체에 의한 위상적 단절을 나타내고, 공차원 2는 분기와 매듭 이론을 나타낸다. 차원이 5 이상인 고차원 다양체 이론은 공차원 3 이상에서 시작하는데, 이는 더 높은 공차원이 매듭 현상을 피하기 때문이다. 수술 이론은 중간 차원까지 작업을 필요로 하므로, 차원이 5가 되면 중간 차원은 공차원이 2보다 커져서 매듭을 피할 수 있다.
4. 1. 매장 이론과의 관련성
공차원은 기하학적 위상수학에서 중요한 의미를 갖는다. 다양체에서 공차원 1은 부분다양체에 의한 위상적 단절의 차원이고, 공차원 2는 분기와 매듭 이론의 차원이다.공차원 2에서의 매장 연구는 매듭 이론과 관련되어 있어 어렵지만, 공차원 3 이상에서의 매장 연구는 고차원 기하학적 위상수학의 도구를 사용할 수 있어 훨씬 쉽다.
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