준마팅게일

1. 개요

준마팅게일은 필터링된 확률 공간에서 정의되는 실수 값을 갖는 확률 과정으로, 국소 마팅게일과 국소적으로 유계 변동을 갖는 적응 과정의 합으로 표현될 수 있는 과정을 의미한다. 준마팅게일은 이토 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 클래스의 과정이며, 다양한 성질과 분해를 가진다. 예를 들어, 연속 준마팅게일은 연속 국소 마팅게일과 연속 유한 변동 과정으로 고유하게 분해된다. 준마팅게일은 마팅게일, 이토 과정, 레비 과정 등을 포함하며, 분수 브라운 운동과 같은 일부 과정은 준마팅게일이 아니다. 또한, 준마팅게일의 개념은 미분 다양체 값을 갖는 확률 과정으로 확장될 수 있다.

2. 정의

준마팅게일은 주어진 여과 확률 공간 위에서 정의되는 실수 값 또는 다양체 값을 갖는 확률 과정이다.

2.1. 실수 값의 준마팅게일

여과 확률 공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F\_t,\backslash Pr)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty]\}$ 위의 과정 $(X\_t)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, 준마팅게일이라고 한다.

* 어떤 국소 마팅게일 $(M\_t)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$과 거의 확실하게 국소 유계 변동 함수이자 카들라그 함수인 확률 과정 $(A\_t)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$의 합 $X=M+A$으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 에 대하여, $(A\_t)\_\{t\backslash in[0,T]\}$는 거의 확실하게 유계 변동 함수이다.)

2.2. 다양체 값의 준마팅게일

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 값의 확률 과정 $(X\_t\backslash colon\backslash Omega\backslash to\; M)\_\{t\backslash in[0,\backslash infty)\}$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 매끄러운 함수 $f\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대하여 $f(X\_t)$가 준마팅게일이라면, $X\_t$를 준마팅게일이라고 한다.

3. 성질

임의의 전단사 증가 함수 $f\backslash colon[0,\backslash infty)\; \backslash to\; [0,\backslash infty)$가 주어졌을 때, $X\_t$가 준마팅게일이면 $X\_\{f(t)\}$ 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 정지 시간에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 $\backslash mathcal\; C^2$ 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

* 준마팅게일은 이토 적분을 정의할 수 있는 가장 큰 클래스의 과정이다.
* 준마팅게일의 선형 결합은 준마팅게일이다.
* 준마팅게일의 곱은 준마팅게일이며, 이는 이토 적분에 대한 부분 적분 공식의 결과이다.
* 모든 준마팅게일에 대해 2차 변동이 존재한다.
* 준마팅게일 클래스는 선택적 멈춤, 국소화, 시간 변경 및 절대적으로 연속적인 확률 측도 변경 (기르사노프 정리 참조)에 대해 닫혀 있다.
* 만약 X가 R^m 값의 준마팅게일이고, f가 R^m에서 Rⁿ으로의 두 번 연속 미분 가능한 함수라면, f(X)는 준마팅게일이다. 이는 이토 보조정리의 결과이다.
* 준마팅게일이라는 성질은 여과를 축소해도 유지된다. 더 정확하게 말하면, 만약 X가 여과 F_t에 대해 준마팅게일이고, 부분 여과 G_t에 대해 적응된다면, X는 G_t-준마팅게일이다.
* (자코의 가산 확장) 준마팅게일이라는 성질은 가산 개의 서로소 집합으로 여과를 확대해도 유지된다. F_t가 여과이고, G_t가 F_t와 가산 개의 서로소 측정 가능한 집합에 의해 생성된 여과라고 가정하자. 그러면 모든 F_t-준마팅게일은 또한 G_t-준마팅게일이다.

4. 분해

모든 준마팅게일은 국소 마팅게일과 유한 변동 과정의 합으로 분해될 수 있지만, 이러한 분해는 유일하지 않다.

4.1. 연속 준마팅게일

연속 세미마팅게일은 X = M + A로 유일하게 분해되며, 여기서 M은 연속 국소 마팅게일이고 A는 0에서 시작하는 연속 유한 변동 과정이다.

예를 들어, X가 확률 미분 방정식 dX_t = σ_t dW_t + b_t dt를 만족하는 이토 과정이라면, 다음과 같다.

:$M\_t=X\_0+\backslash int\_0^t\backslash sigma\_s\backslash ,dW\_s,\backslash \; A\_t=\backslash int\_0^t\; b\_s\backslash ,ds.$

4.2. 특수 준마팅게일

특별 준마팅게일은 실수 값을 갖는 과정 $X$로, $M^X$가 국소 마팅게일이고 $B^X$가 0에서 시작하는 예측 가능한 유한 변동 과정일 때, $X\; =\; M^X\; +B^X$로 분해될 수 있다. 이러한 분해가 존재한다면, P-영 집합을 제외하고 유일하다.

모든 특별 준마팅게일은 준마팅게일이다. 반대로, 준마팅게일이 특별 준마팅게일이기 위한 필요충분조건은 과정 X_t^* ≡ sup_s ≤ t |X_s|가 국소 적분 가능하다는 것이다.

예를 들어, 모든 연속 준마팅게일은 특별 준마팅게일이며, 이 경우 M과 A는 모두 연속 과정이다.

4.3. 곱셈 분해

$\backslash mathcal\{E\}(X)$가 반마팅게일 $X$의 확률적 지수를 나타낸다고 하자. 만약 $X$가 $\backslash Delta\; B^X\; \backslash neq\; -1$인 특수 반마팅게일이면, $\backslash mathcal\{E\}(B^X)\backslash neq\; 0$이고 $\backslash mathcal\{E\}(X)/\backslash mathcal\{E\}(B^X)=\backslash mathcal\{E\}\backslash left(\backslash int\_0^\backslash cdot\; \backslash frac\{M^X\_u\}\{1+\backslash Delta\; B^X\_u\}\backslash right)$는 국소 마팅게일이다. 과정 $\backslash mathcal\{E\}(B^X)$는 $\backslash mathcal\{E\}(X)$의 "곱셈 보상자"라고 불리며, 등식 $\backslash mathcal\{E\}(X)=\backslash mathcal\{E\}\backslash left(\backslash int\_0^\backslash cdot\; \backslash frac\{M^X\_u\}\{1+\backslash Delta\; B^X\_u\}\backslash right)\backslash mathcal\{E\}(B^X)$는 $\backslash mathcal\{E\}(X)$의 "곱셈 분해"라고 불린다.

4.4. 순수 불연속 준마팅게일

세미마팅게일의 이차 변동 [X]가 유한 변동 순수 점프 과정, 즉 :$[X]\_t=\backslash sum\_\{s\backslash le\; t\}(\backslash Delta\; X\_s)^2$일 경우 순수 불연속적이라고 불린다. 이 정의에 따르면, 시간은 전혀 점프가 나타나지 않더라도 순수 불연속 세미마팅게일이다. 순수 불연속 세미마팅게일에 대한 대안(및 선호되는) 용어인 이차 순수 점프 세미마팅게일은 순수 불연속 세미마팅게일의 이차 변동이 순수 점프 과정이라는 사실에 의해 동기 부여된다. 모든 유한 변동 세미마팅게일은 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 적응 연속 과정은 유한 변동일 경우에만 이차 순수 점프 세미마팅게일이다.

모든 세미마팅게일 X에 대해 0에서 시작하는 고유한 연속 국소 마팅게일 $X^c$가 존재하며, $X-X^c$는 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 국소 마팅게일 $X^c$는 X의 연속 마팅게일 부분이라고 불린다.

$X^c$는 측도 특정적임을 관찰하라. $P$와 $Q$가 두 개의 동치 측도이면 $X^c(P)$는 일반적으로 $X^c(Q)$와 다르지만, $X-X^c(P)$와 $X-X^c(Q)$ 모두 이차 순수 점프 세미마팅게일이다. 기르사노프 정리에 의해 $X^c(P)-X^c(Q)$는 연속 유한 변동 과정이며, $[X^c(P)]=[X^c(Q)]\; =\; [X]-\backslash sum\_\{s\backslash leq\backslash cdot\}(\backslash Delta\; X\_s)^2$를 얻는다.

4.5. 준마팅게일의 연속 시간 및 이산 시간 성분

모든 준마팅게일 $X$는 다음과 같은 고유한 분해를 갖는다.

:$$X\; =\; X\_0\; +\; X^\{\backslash mathrm\{qc\}\}\; +X^\{\backslash mathrm\{dp\}\},$$

여기서 $X^\{\backslash mathrm\{qc\}\}\_0=X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}\_0=0$이고, $X^\{\backslash mathrm\{qc\}\}$ 성분은 예측 가능한 시간에 점프하지 않으며, $X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}$ 성분은 준마팅게일 위상에서 예측 가능한 시간에 점프의 합과 같다. 그러면 $[X^\{\backslash mathrm\{qc\}\},X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}]=0$이다. "qc" 성분의 일반적인 예로는 이토 과정과 레비 과정이 있다. "dp" 성분은 종종 마르코프 체인으로 간주되지만, 일반적으로 예측 가능한 점프 시간은 고립된 점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 원칙적으로 $X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}$는 모든 유리수 시간에 점프할 수 있다. 또한 $X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}$는 점프의 합과 같더라도(준마팅게일 위상에서) 반드시 유한 변동은 아니다. 예를 들어, 시간 간격 $[0,\backslash infty)$에서 $X^\{\backslash mathrm\{dp\}\}$는 독립 증분을 가지며, 시간 $\backslash \{\backslash tau\_n\; =\; 2-1/n\backslash \}\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}$에서 점프는 값 $\backslash pm\; 1/n$을 동일한 확률로 갖는다고 가정한다.

5. 예시

* 위너 확률 과정 $W\_t$에 대하여, 정지 시간
:$\backslash tau\; =\; \backslash inf\; \backslash \{t\; \backslash colon\; W\_t\; \backslash ge\; 1\backslash \}$
을 생각하자. 그렇다면,
:$X\_t\; =\; \backslash begin\{cases\}$
W^{|\tau}_{t/(1-t)} & 0\le t < 1 \\
1 & 1 \le t
\end{cases}
를 생각하자. 이는 거의 확실하게 연속 함수이지만, $t\; =\; 1$에서 마팅게일이 아니다. 그러나 이는 국소 마팅게일이며, 따라서 준마팅게일이다.
* 적응 과정이면서 연속적으로 미분 가능한 과정은 연속적인 국소 유한 변동 과정이며, 따라서 준마팅게일이다.
* 브라운 운동은 준마팅게일이다.
* 모든 càdlàg 마팅게일, 서브마팅게일 및 슈퍼마팅게일은 준마팅게일이다.
* dX = σdW + μdt 형태의 확률 미분 방정식을 만족하는 이토 과정은 준마팅게일이다. 여기서, W는 브라운 운동이고 σ, μ는 적응 과정이다.
* 모든 레비 과정은 준마팅게일이다.

문헌에서 연구된 대부분의 연속적이고 적응된 과정은 준마팅게일이지만, 항상 그런 것은 아니다.

* 허스트 지수 H ≠ 1/2인 분수 브라운 운동은 준마팅게일이 아니다.

6. 다양체 위에서의 준마팅게일

준마팅게일 개념과 관련된 확률 미적분학 이론은 미분 다양체 값을 갖는 프로세스로 확장된다. 다양체 M 위의 프로세스 X가 M에서 R로 가는 모든 매끄러운 함수 f에 대해 f(X)가 준마팅게일이면, X는 준마팅게일이다. 일반적인 다양체에 대한 준마팅게일의 확률 미적분학은 스트라토노비치 적분의 사용을 필요로 한다.