마르코프 연쇄
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2. 정의
확률 공간 \Omega 와, 모든 집합이 가측 집합인 가측 공간 E 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''메모리 ''k''의 마르코프 연쇄'''는 다음 성질을 만족시키는 일련의 확률 변수 X_1,X_2,\dots\colon\Omega\to E 이다. 만약 다음 식의 양변이 존재한다면, ::\begin{align} &\Pr(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1} , \ldots , X_1 = x_1 ) \\ =&\Pr(X_n = x_n | X_{n-1} = x_{n-1},\ldots,X_{n-K} = x_{n-K}). \end{align} 이 경우, E 를 메모리 ''k''의 마르코프 연쇄 \{X_i\} 의 '''상태 공간'''(state space영어 )이라고 한다. 만약 메모리가 주어져 있지 않는 '''마르코프 연쇄'''는 메모리가 1인 마르코프 연쇄이다. 메모리가 1인 마르코프 연쇄는 메모리가 없는 과정을 나타낸다. 과거의 상태가 알려져 있더라도, 이는 미래 상태의 조건부 기댓값에 영향을 미치지 않는다. 이러한 성질을 '''마르코프 성질'''(Markov property영어 )이라고 한다. [5] 마르코프 연쇄는 이산적인 상태 공간 또는 이산적인 색인 집합(종종 시간을 나타냄)을 갖는 마르코프 과정의 한 유형이다. [6] 예를 들어, 마르코프 연쇄를 가산 가능한 상태 공간을 갖는 이산 또는 연속 시간의 마르코프 과정으로 정의하는 것이 일반적이다. [7] [8] [9] [10] 그러나 가산 가능하거나 연속적인 상태 공간에서 이산 시간을 갖는 것으로 마르코프 연쇄를 정의하는 것도 일반적이다. [6] 마르코프 연쇄는 일련의 확률 변수 ''X''1 , ''X''2 , ''X''3 , ... 로, 현재 상태가 결정되면 과거 및 미래의 상태는 독립 이다. 형식적으로는, :\Pr(X_{n+1}=x|X_n=x_n, \ldots, X_1=x_1, X_0=x_0) = \Pr(X_{n+1}=x|X_n=x_n)\, ''X''i 의 취할 수 있는 값은 연쇄의 '''상태 공간'''이라고 불리며, 가산 집합 ''S''를 이룬다. 마르코프 연쇄는 방향 그래프로 표현되며, 에지는 어떤 상태에서 다른 상태로 전이하는 확률을 표시한다.
2. 1. 이산 시간 마르코프 연쇄
이산 시간 마르코프 연쇄는 시간 간격이 이산적인 경우를 말하며, 마르코프 성질을 가지는 확률 변수의 수열 ''X''1 , ''X''2 , ''X''3 , ... 이다. 마르코프 성질이란 다음 상태로 이동할 확률은 현재 상태에만 의존하며 이전 상태에는 의존하지 않는다는 것을 의미한다. :\Pr(X_{n+1}=x\mid X_1=x_1, X_2=x_2, \ldots, X_n=x_n) = \Pr(X_{n+1}=x\mid X_n=x_n) 위 식에서 두 조건부 확률은 모두 잘 정의되어 있고, \Pr(X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n)>0 이어야 한다. ''X''''i'' 가 가질 수 있는 값들은 ''S'' 라는 가산 집합을 형성하며, 이를 해당 마르코프 연쇄의 상태 공간 이라고 한다. 마르코프 과정의 특수한 경우를 나타내는 용어 사용에 대한 문헌에서 명확한 합의는 없다는 점에 유의해야 한다. 일반적으로 "마르코프 체인"이라는 용어는 이산 시간 집합을 갖는 과정, 즉 '''이산 시간 마르코프 체인(DTMC)'''을 가리키는 데 사용되지만, [11] 일부 저자는 명시적으로 언급하지 않고 '''연속 시간 마르코프 체인(CTMC)'''을 가리키는 데 "마르코프 과정"이라는 용어를 사용하기도 한다. [12] [13] [14] 시스템의 상태 공간 과 시간 매개변수 지수를 지정해야 한다. 다음 표는 상태 공간 일반성의 여러 수준과 이산 시간 대 연속 시간에 대한 마르코프 과정의 다양한 인스턴스에 대한 개요를 제공한다.셀 수 있는 상태 공간 연속 또는 일반 상태 공간 이산 시간 (이산 시간) 셀 수 있는 또는 유한 상태 공간의 마르코프 체인 가측 상태 공간의 마르코프 체인 (예: 해리스 체인) 연속 시간 연속 시간 마르코프 과정 또는 마르코프 점프 과정 마르코프 성질을 갖는 모든 연속 확률 과정 (예: 위너 과정)
2. 1. 1. 시간 동질 마르코프 연쇄
다음 성질을 만족시키는 마르코프 연쇄 X_i\colon\Omega\to E 를 '''시간 동질 마르코프 연쇄'''(time-homogeneous Markov chain영어 )라고 한다. 모든 i\in\mathbb N , x,y\in E 에 대하여, ::\Pr(X_{i+1} = x | X_i = y )=\Pr(X_i = x | X_{i-1} = y) 다시 말해, 시간에 따라서 전이 확률은 변하지 않는다. 이와 유사하게, i\in\mathbb N 대신 실변수 t\in\mathbb R 에 의존하는 경우도 정의할 수 있다. 이 경우를 '''연속 마르코프 과정'''(continuous Markov process영어 )이라고 한다. 마르코프 연쇄의 한 예로 유한 상태 기계 가 있다. 유한 상태 기계는 시간 ''n'' 에서 상태 ''y''에 있다면, 시간 ''n'' + 1에서 상태 ''x''로 이동하는 확률은 현재 상태에만 의존하고, 시간 ''n''에는 의존하지 않는다.
2. 2. 연속 시간 마르코프 연쇄
연속시간 마르코프 연쇄 (''X''''t'' )''t'' ≥ 0 는 유한하거나 가산 가능한 상태 공간 ''S'', 상태 공간과 같은 차원의 전이율 행렬 ''Q'', 그리고 상태 공간에 정의된 초기 확률 분포에 의해 정의된다. [40] ''i'' ≠ ''j''일 때, 원소 ''q''''ij'' 는 음수가 아니며 상태 ''i''에서 상태 ''j''로의 과정 전이 비율을 나타낸다. 원소 ''q''''ii'' 는 전이율 행렬의 각 행의 합이 0이 되도록 선택되며, 이는 이산 마르코프 연쇄의 확률 전이 행렬의 행 합이 모두 1과 같은 것과 유사하다. 연속시간 마르코프 연쇄에는 다음과 같은 세 가지 동등한 정의가 존재한다. [40]연속 시간 마르코프 연쇄는 상태 i와 j 사이의 전이 확률에 대한 시간에 대한 도함수인 전이율로 특징지어진다. 1. 미소 변화 정의: 시간 t에서 프로세스의 상태를 나타내는 확률 변수를 X_t 라 하고, 시간 t에서 프로세스가 상태 i에 있다고 가정하자. 그러면 X_t = i 임을 알 때, X_{t+h}=j 는 이전 값 \left( X_s : s < t \right) 과 독립적이며, 모든 j와 모든 t에 대해 h → 0일 때, :\Pr(X(t+h) = j \mid X(t) = i) = \delta_{ij} + q_{ij}h + o(h), 여기서 \delta_{ij} 는 크로네커 델타 이고, 소오 표기법을 사용한다. q_{ij} 는 i에서 j로의 전이가 얼마나 빨리 일어나는지를 나타낸다. 2. 점프 체인/대기 시간 정의: 이산 시간 마르코프 연쇄 ''Y''''n'' 을 정의하여 프로세스의 ''n''번째 점프를 나타내고, 변수 ''S''1 , ''S''2 , ''S''3 , ...를 각 상태의 대기 시간을 나타내는 변수로 정의한다. 여기서 ''S''''i'' 는 비율 매개변수 −''q''''Y''''i'' ''Y''''i'' 를 갖는 지수 분포 를 따른다. 3. 전이 확률 정의: 임의의 값 ''n'' = 0, 1, 2, 3, ... 및 이 값 ''n''까지 색인된 시간: ''t''0 , ''t''1 , ''t''2 , ... 그리고 이 시간에 기록된 모든 상태 ''i''0 , ''i''1 , ''i''2 , ''i''3 , ...에 대해 다음이 성립한다. :\Pr(X_{t_{n+1}} = i_{n+1} \mid X_{t_0} = i_0 , X_{t_1} = i_1 , \ldots, X_{t_n} = i_n ) = p_{i_n i_{n+1}}( t_{n+1} - t_n) 여기서 ''p''''ij'' 는 전향 방정식(일계 미분 방정식)의 해이다. :P'(t) = P(t) Q 초기 조건 P(0)은 단위 행렬이다. 연속시간 마르코프 연쇄의 정상확률분포를 구하는 한 가지 방법은 먼저 '''임베디드 마르코프 연쇄(EMC)'''를 구하는 것이다. EMC는 일반적인 이산시간 마르코프 연쇄이며, '''점프 과정'''이라고도 불린다. EMC의 1단계 전이확률행렬 ''S''의 각 원소 ''s''''ij'' 는 상태 ''i''에서 상태 ''j''로 전이될 조건부 확률 을 나타내며, 다음과 같이 계산된다. : s_{ij} = \begin{cases} \frac{q_{ij}}{\sum_{k \neq i} q_{ik}} & \text{if } i \neq j \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} 따라서 ''S''는 다음과 같이 표현할 수 있다. :S = I - \left( \operatorname{diag}(Q) \right)^{-1} Q 여기서 ''I''는 단위행렬 이고, diag(''Q'')는 행렬 ''Q''에서 주대각선 을 선택하고 다른 모든 원소를 0으로 설정하여 만들어진 대각행렬이다. 정상확률분포 벡터를 구하려면 다음을 만족하는 \varphi 를 찾아야 한다. :\varphi S = \varphi, 여기서 \varphi 는 행 벡터이며, 모든 원소는 0보다 크고 \ = 1이다. 이를 통해 정상확률분포는 다음과 같이 계산된다. :\pi = {-\varphi (\operatorname{diag}(Q))^{-1} \over \left\| \varphi (\operatorname{diag}(Q))^{-1} \right\|_1}. (''Q''가 주기적이지 않더라도 ''S''는 주기적일 수 있다. 정상확률분포를 구한 후에는 단위 벡터로 정규화해야 한다.) 연속시간 마르코프 연쇄에서 도출할 수 있는 또 다른 이산시간 과정은 δ-골격(δ-skeleton)이다. δ-골격은 시간 간격 δ 단위로 ''X''(''t'')를 관찰하여 형성된 이산시간 마르코프 연쇄이다. 확률변수 ''X''(0), ''X''(δ), ''X''(2δ), ...는 δ-골격이 방문하는 상태의 순서를 나타낸다.
3. 마르코프 연쇄의 성질
마르코프 연쇄는 초기 상태 ''i''에서 시간 ''n''에 상태 ''j''로 이동할 확률 p_{ij}^{(n)} = \Pr(X_n=j\mid X_0=i) \, 으로 정의된다. 단일 단계 전이는 p_{ij} = \Pr(X_1=j\mid X_0=i) \, 으로 정의된다. ''n''-단계 전이는 임의의 0 < ''k'' < ''n''에 대해 채프먼-콜모고로프 등식 을 만족한다. :p_{ij}^{(n)} = \sum_{r \in S} p_{ir}^{(k)} p_{rj}^{(n-k)} 시간 ''n''에서의 상태에 대한 확률(주변 확률)은 다음과 같이 쓸 수 있다. : \Pr(X_{n}=j) = \sum_{r \in S} p_{rj} \Pr(X_{n-1}=r) = \sum_{r \in S} p_{rj}^{(n)} \Pr(X_0=r) 여기서 위첨자 (n) 은 정수값이며, 마르코프 연쇄가 시간에 대해 정상적이라면 "n승"으로 해석할 수 있다.
3. 1. 도달 가능성
어떤 상태 *i*에서 다른 상태 *j*로 도달 가능하다는 것은, 현재 상태가 *i*일 때 미래의 어떤 시점에서 상태 *j*에 있을 확률이 0보다 크다는 것을 의미한다. 즉, 다음을 만족하는 *n*이 존재한다. [48] : \Pr(X_{n}=j | X_0=i) > 0\, 만약 상태 *i*와 상태 *j*가 서로 도달 가능하다면, 두 상태는 상호 연결되어 있다고 하며, *i* ↔ *j*로 표시한다.
3. 2. 상호 연결성
두 상태가 서로에게서 양의 확률을 가지는 전이들의 순열로 도달할 수 있다면 서로 "소통한다"고 한다. 이것은 동치 관계 이며, 이는 소통하는 클래스들의 집합을 생성한다. [48] 상태 *i*와 상태 *j*가 서로 도달 가능하다면, 상태 *i*와 상태 *j*(*i* ↔ *j*)는 상호 연결 (communicate)되어 있다고 한다. 상태 집합 *C*의 어떤 쌍도 서로 연결되어 있다면, *C*는 상호 연결 클래스 (communicating class)라고 한다(이 상호 연결 클래스는 동치류이다). [49]
3. 3. 기약성
마르코프 연쇄에서, 상태 *i*와 상태 *j*가 서로 도달 가능하다면 (즉, *i*에서 *j*로, *j*에서 *i*로 가는 것이 가능하다면), 두 상태는 상호 연결 되어 있다고 한다 (*i* ↔ *j*). [57] 어떤 상태들의 집합 *C*에 속한 모든 상태 쌍이 서로 상호 연결되어 있다면, *C*는 상호 연결 클래스 라고 불린다. 이 상호 연결 클래스는 동치류이다. 상호 연결 클래스를 벗어날 확률이 0이라면, 그 상호 연결 클래스는 닫혀 있다 고 한다. 즉, *i*가 *C*에 속하고 *j*가 *C*에 속하지 않으면, *j*는 *i*에서 도달 가능하지 않다. [57] 상태 공간이 하나의 상호 연결 클래스로 이루어져 있으면, 마르코프 연쇄는 기약적 이라고 한다. 다시 말해, 기약적 마르코프 연쇄에서는 어떤 상태에서든 다른 어떤 상태로든 이동할 수 있다. [57]
3. 4. 주기성
어떤 상태 ''i''로 돌아오는 것이 ''k''의 배수인 시간 간격으로만 가능하다면, "상태 ''i''의 '''주기 '''는 ''k''이다"라고 한다. 예를 들어, 상태 ''i''로 돌아오는 것이 항상 짝수 번째에만 가능하다면, ''i''의 주기는 2이다. [48] 형식적으로, 상태의 주기는 다음과 같이 정의된다. :k = \operatorname{gcd}\{ n: \Pr(X_n = i | X_0 = i) > 0\} (여기서 "gcd"는 최대공약수 를 의미한다) 만약 ''k'' = 1 이라면, 그 상태는 '''비주기적'''이다. 연결된 클래스 내의 모든 상태는 같은 주기를 가져야 한다. [49]
3. 5. 재귀성
어떤 상태에서 시작하여 다시 그 상태로 돌아올 확률이 1이면 그 상태는 재귀적 이다. 상태 ''i''가 재귀적이라는 것은, ''i''에서 시작하여 ''i''로 돌아오지 않을 확률이 0이라는 것을 의미한다. [48] 형식적으로, 확률변수 ''Ti ''를 상태 ''i''로 처음 돌아오는 시간(도달 시간)으로 정의하면 다음과 같다. :T_i = \operatorname{min}\{n: X_n=i | X_0=i\} 상태 ''i''가 일시적이지 않다는 것은, 다음 조건을 만족한다는 의미이다. 즉, 상태 i에서 i로 돌아올 확률이 1이다. : \Pr(T_i < \infty) = 1 도달 시간이 유한하더라도, 그 평균 이 유한하다고는 할 수 없다. 평균 도달 시간이 유한한지 여부에 따라, 재귀적 상태는 다시 정재귀적 상태와 영재귀적 상태로 나뉜다. [49]
3. 5. 1. 정상 상태와 극한 분포
마르코프 연쇄에서 시간이 무한히 흐른 후에도 확률 분포가 변하지 않는 상태를 정상 상태 라고 한다. 이러한 정상 상태는 정상 분포 π로 표현되며, 이 벡터는 전이 행렬 '''P'''에 의해 변하지 않는다. 즉, 다음 방정식을 만족한다. [41] : \pi\mathbf{P} = \pi. 이는 고유 벡터의 정의와 관련이 있으며, π는 전이 행렬 '''P'''의 왼쪽 고유 벡터를 정규화한 것이다. 이때 고유값은 1이다. 마르코프 연쇄가 기약적이고 비주기적이라면, 유일한 정상 분포 π가 존재한다. [41] 또한, 이 경우 '''P'''의 ''k'' 제곱인 '''P'''''k'' 는 각 행이 정상 분포 π인 행렬로 수렴한다. :\lim_{k\to\infty}\mathbf{P}^k=\mathbf{1}\pi 여기서 '''1'''은 모든 항이 1인 열 벡터이다. 이는 페론-프로베니우스 정리 에 의해 설명된다. 정상 분포는 연쇄의 초기 상태와 관계없이 항상 수렴하는 분포이며, 이를 연쇄의 평형 분포 라고도 한다. 만약 연쇄가 기약적이지 않다면 정상 분포는 유일하지 않지만, 각 닫힌 연결 클래스마다 유일한 정상 분포가 존재한다. 상태 ''j''가 비주기적일 때, 다음이 성립한다. :\lim_{n \rarr \infty} p_{jj}^{(n)} = \frac{1}{M_j} 여기서 ''Mj ''는 상태 ''j''의 재귀 시간의 기댓값 이다. 또한, 다른 상태 ''i''에서 시작하여 상태 ''j''에 도달할 확률을 ''fij ''라고 하면, 다음이 성립한다. :\lim_{n \rarr \infty} p_{ij}^{(n)} = \frac{f_{ij}}{M_j}
3. 6. 유한 상태 마르코프 연쇄
상태 공간이 유한 집합 인 경우, 전이 확률 분포는 전이 행렬 이라고 하는 행렬로 나타낼 수 있다. '''P'''의 (''i'', ''j'') 번째 원소 는 다음과 같다. :p_{ij} = \Pr(X_{n+1}=j\mid X_n=i). '''P'''의 각 행의 합은 1이며 모든 원소는 음이 아닌 값이므로, '''P'''는 우 스토캐스틱 행렬이다. [41] 마르코프 연쇄가 시간적으로 균일하다면 (즉, 전이 행렬 '''P'''가 시간에 따라 변하지 않는다면), k-단계 전이 확률은 전이 행렬의 k제곱, 즉 '''P'''k 로 나타낼 수 있다. 정상 분포 π는 다음 식을 만족하는 행 벡터이다. : \pi = \pi\mathbf{P}\, 이는 정상 분포 π가 전이 행렬의 정규화된 왼쪽 고유 벡터이며, 그 고유값은 1임을 의미한다.
4. 응용
마르코프 연쇄는 다양한 분야에서 널리 활용되고 있다. 마크 V. 섀니는 3차 마르코프 체인 프로그램이자 마르코프 텍스트 생성기의 한 예시이다. [32] 이 외에도 정수를 기반으로 하는 무작위 보행과 도박꾼의 파산 문제 역시 마르코프 과정의 예시로 볼 수 있다. [33] [34] 마르코프 연쇄는 물리학 (특히 통계역학 ), 대기행렬 이론, 통계학 등 다양한 학문 분야에서 사용된다. 클로드 섀넌 은 정보이론을 창시한 논문 "통신의 수학적 이론"에서 마르코프 연쇄를 이용하여 엔트로피 개념을 도입했으며, 이는 데이터 압축 과 패턴 인식 에 응용되고 있다. [78] 또한, 마르코프 연쇄는 강화 학습 에서 중요한 역할을 하며, 구글 의 페이지랭크 알고리즘도 마르코프 연쇄를 기반으로 한다. [82] [83] [84] 숨은 마르코프 모델은 데이터에서 전이 확률을 추정해야 하는 경우에 사용되며, 음성 인식 이나 생물정보학 의 유전자 탐색 등에 널리 활용된다. 마르코프 과정은 주어진 샘플 문서를 바탕으로 표면적으로 실제와 유사한 텍스트를 생성하는 데 사용될 수 있으며, 다양한 취미용 "패러디 생성기" 소프트웨어에 사용된다. 마르코프 체인을 사용하는 몇 가지 오픈소스 텍스트 생성 라이브러리가 있다.
4. 1. 물리학
마르코프 시스템은 시스템의 알려지지 않았거나 모델링되지 않은 세부 사항을 확률로 나타낼 수 있고, 동역학이 시간에 따라 변하지 않으며, 상태 설명에 이미 포함되지 않은 관련 과거를 고려할 필요가 없다고 가정할 수 있을 때마다 열역학 과 통계역학 에서 광범위하게 나타난다. [61] [62] 예를 들어, 열역학적 상태는 얻기 어렵거나 비용이 많이 드는 확률 분포하에서 작동한다. 따라서 마르코프 연쇄 몬테카를로 방법을 사용하여 블랙박스에서 무작위로 표본을 추출하여 다양한 객체에 대한 속성의 확률 분포를 근사할 수 있다. [62] 마르코프 연쇄는 격자 QCD 시뮬레이션에 사용된다. [63] 마르코프 과정은 물리학 , 특히 통계역학 에서 자주 나타난다. 여기서는 역학 이 시간에 대해 불변이라고 가정하고, 또한 과거의 이력을 고려할 필요가 없다고 가정하는 경우, 세부 사항이 불분명하거나 모델링할 수 없기 때문에 확률 과정이 사용된다.
4. 2. 화학
화학 시스템은 다중 반응과 화학종을 포함하는 반응 네트워크로 표현될 수 있다. 이러한 네트워크를 확률적으로 모델링하는 가장 간단한 방법은 각 종의 분자 수를 상태로, 반응을 연쇄의 가능한 전이로 취급하는 연속 시간 마르코프 연쇄를 이용하는 것이다. [64] 마르코프 성질에 가까운 물리적 시스템에서 마르코프 연쇄와 연속 시간 마르코프 과정은 화학 분야에서 유용하게 활용된다. 예를 들어, 용액 내에 상태 A에 있는 많은 수의 ''n''개 분자가 있고, 각 분자가 특정 평균 속도로 상태 B로 화학 반응을 일으킬 수 있다고 가정해 보자. 분자가 효소이고 상태가 접힌 형태를 나타내는 경우, 단일 효소의 상태는 마르코프 연쇄를 따르며, 분자들은 서로 독립적이므로 특정 시간에 상태 A 또는 B에 있는 분자의 수는 주어진 분자가 해당 상태에 있을 확률의 ''n''배가 된다. 미카엘리스-멘텐 동역학은 효소 활성의 고전적 모델로, 각 시간 단계에서 반응이 특정 방향으로 진행되는 마르코프 연쇄로 간주될 수 있다. 이 모델은 비교적 단순하지만, 더 복잡한 반응 네트워크 역시 마르코프 연쇄를 통해 모델링할 수 있다. [65] 마르코프 연쇄 기반 알고리즘은 컴퓨터 시뮬레이션 에서 화학 물질의 조각 기반 성장을 특정 종류의 화합물(약물, 천연물 등)에 집중시키는 데 사용된다. [66] 분자가 성장하면서 초기 분자의 조각이 "현재" 상태로 선택되고, 이 조각이 부착되면 다음 상태로 전이된다. 전이 확률은 실제 화합물 데이터베이스를 통해 학습된다. [67]공중합체 의 성장 및 조성 또한 마르코프 연쇄로 모델링 가능하다. 성장하는 중합체 사슬을 구성하는 단량체의 반응성 비율에 따라 사슬 조성을 계산할 수 있다. 예를 들어, 단량체가 교대로 추가되는 경향이 있는지, 아니면 동일 단량체의 긴 연속으로 추가되는 경향이 있는지 등을 파악할 수 있다. 입체 효과 로 인해 이차 마르코프 효과가 일부 중합체 사슬의 성장에 영향을 미치기도 한다. 일부 에피택셜 초격자 산화물 재료의 결정화 및 성장 역시 마르코프 연쇄로 정확하게 설명될 수 있다는 제안이 있다. [68]
4. 3. 생물학
마르코프 연쇄는 생물학의 다양한 분야에서 사용된다. 주목할 만한 예는 다음과 같다.계통유전학과 생물정보학 에서 대부분의 DNA 진화 모델은 주어진 게놈 위치에 존재하는 뉴클레오티드를 설명하기 위해 연속 시간 마르코프 연쇄를 사용한다. 개체군 동태학에서 마르코프 연쇄는 특히 행렬 개체군 모델의 이론적 연구에서 중심적인 도구이다. 신경생물학에서 마르코프 연쇄는 예를 들어 포유류 신피질을 시뮬레이션하는 데 사용되었다. [69] 시스템 생물학 에서 예를 들어 단일 세포의 바이러스 감염 모델링에 사용된다. [70]질병 발생 및 전염병 모델링을 위한 구획 모델 전이 확률이 처음에는 불명확하여 데이터에서 추정해야 하는 경우에는 숨은 마르코프 모델이 사용되며, 이는 음성 인식 이나 생물정보학 (염기 서열로부터의 유전자 탐색 등)에도 널리 사용되고 있다.
4. 4. 정보 이론
클로드 섀넌 의 1948년 논문 ''통신의 수학적 이론''은 정보 이론 분야를 창시했는데, 자연어(예: 영어) 텍스트를 에르고딕 마르코프 과정으로 생성된 것으로 모델링하여 엔트로피 개념을 소개한다. 여기서 각 문자는 이전 문자들에 통계적으로 의존할 수 있다. [78] 이러한 모델은 시스템의 많은 통계적 규칙성을 포착할 수 있다. 시스템의 전체 구조를 완벽하게 설명하지 않더라도, 이러한 신호 모델은 산술 코딩과 같은 엔트로피 코딩 기법을 통해 매우 효과적인 데이터 압축 을 가능하게 한다. 또한 효과적인 상태 추정과 패턴 인식 을 허용한다. LZMA 무손실 데이터 압축 알고리즘은 마르코프 체인과 렘펠-지프 압축을 결합하여 매우 높은 압축률을 달성한다.
4. 5. 음성 인식 및 자연어 처리
은닉 마르코프 모델(Hidden Markov Model)은 자동 음성 인식 시스템에 사용되어 왔다. [77] 전이 확률이 처음에는 불명확하여 데이터에서 추정해야 하는 경우 숨은 마르코프 모델이 사용되며, 이는 음성 인식 이나 생물정보학 (염기 서열로부터의 유전자 탐색 등)에도 널리 사용되고 있다.
4. 6. 인터넷 응용
구글 의 페이지랭크 는 마르코프 연쇄로 정의된다. [82] [83] [84] 이는 알려진 모든 웹페이지에 대한 마르코프 연쇄의 정상 상태 분포에서 특정 페이지 i에 있을 확률이다. 만약 알려진 웹페이지의 수가 N이고, 페이지 i가 ki 개의 링크를 가지고 있다면, 이 페이지는 링크된 모든 페이지에 대해 α/ki + (1-α)/N의 전이 확률을 가지고, 링크되지 않은 모든 페이지에 대해서는 (1-α)/N의 전이 확률을 가진다. 여기서 매개변수 α는 약 0.15로 설정된다. [85]M 또는 α/ki + (1-α)/N의 전이 확률을 나타내는 상태 다이어그램 마르코프 모델은 사용자의 웹 탐색 행동을 분석하는 데에도 사용된다. 특정 웹사이트에서 사용자의 웹 링크 전이는 1차 또는 2차 마르코프 모델을 사용하여 모델링할 수 있으며, 미래의 탐색을 예측하고 개별 사용자를 위해 웹페이지를 개인화하는 데 사용할 수 있다.
4. 7. 경제 및 금융
D. G. 챔퍼노운은 1953년에 소득 분포에 대한 마르코프 연쇄 모델을 구축했다. [86] 허버트 A. 사이먼과 찰스 보니니는 마르코프 연쇄 모델을 사용하여 기업 규모의 정상 상태 율 분포를 도출했다. [87] 루이 바슐리에는 최초로 주가가 무작위 보행을 따른다는 것을 관찰했는데, [88] 무작위 보행은 나중에 효율적 시장 가설 을 뒷받침하는 증거로 여겨졌으며, 1960년대 문헌에서는 무작위 보행 모델이 인기를 끌었다. [89] 제임스 D. 해밀턴은 경기 순환의 체제 전환 모델을 대중화했는데(1989년), 그는 마르코프 연쇄를 사용하여 높은 GDP 성장률과 낮은 GDP 성장률(또는 경기 확장과 경기 침체) 기간 간의 전환을 모델링했다. [90] 보다 최근의 예로는 로랑 E. 칼베와 애들레이 J. 피셔의 마르코프 전환 다중 분절 모델이 있는데, 이는 이전 체제 전환 모델의 편의성을 기반으로 한다. [91] [92] 이 모델은 임의로 큰 마르코프 연쇄를 사용하여 자산 수익률의 변동성 수준을 결정한다. 동적 거시경제학은 마르코프 연쇄를 광범위하게 사용한다. 예를 들어, 일반 균형 설정에서 마르코프 연쇄를 사용하여 주식 가격을 외생적으로 모델링한다. [93] 신용평가기관은 다양한 신용등급의 채권에 대한 전이 확률의 연간 표를 작성한다. [94]
4. 8. 사회 과학
마르코프 연쇄는 현재의 구조적 구성이 미래의 결과를 좌우하는 경로 의존적 논증을 설명하는 데 사용된다. 한 예로, 칼 마르크스의 자본론|Das Kapitalde 에서 비롯된 경제 발전과 자본주의 의 부상 연결 개념을 재구성하는 연구가 있다. 최근에는 특정 국가가 일정 수준의 경제 발전에 도달하면 중산층 규모, 도시와 농촌 거주 비율, 정치적 동원율 등의 구조적 요인이 권위주의 체제에서 민주주의 체제로 이행할 확률을 높인다는 모델링에 마르코프 연쇄(정확히는 마르코프 완전 균형)가 사용된다. [95]
4. 9. 게임
마르코프 연쇄는 뱀과 사다리 , Hi Ho! Cherry-O와 같은 다양한 어린이 게임을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 이 게임들에서 플레이어는 매 턴마다 특정 상태(칸)에서 시작하여, 정해진 확률에 따라 다른 상태(칸)로 이동하기 때문에 마르코프 연쇄로 정확하게 표현할 수 있다. [3]
4. 10. 음악
마르코프 연쇄는 알고리즘 작곡, 특히 Csound, 맥스, 슈퍼콜라이더와 같은 소프트웨어에서 사용된다. 1차 마르코프 연쇄에서 시스템의 상태는 음표 또는 음높이 값이 되고, 각 음표에 대한 확률 벡터가 구성되어 전이 확률 행렬을 완성한다. [96] 전이 행렬 가중치를 기반으로 출력 음표 값을 생성하는 알고리즘이 구성되는데, 이는 MIDI 음표 값, 주파수(Hz ), 또는 기타 원하는 척도일 수 있다. [96]1차 행렬 음표 A C♯ E♭ A 0.1 0.6 0.3 C♯ 0.25 0.05 0.7 E♭ 0.7 0.3 0
2차 행렬 음표들 A D G AA 0.18 0.6 0.22 AD 0.5 0.5 0 AG 0.15 0.75 0.1 DD 0 0 1 DA 0.25 0 0.75 DG 0.9 0.1 0 GG 0.4 0.4 0.2 GA 0.5 0.25 0.25 GD 1 0 0
현재 상태와 이전 상태를 모두 고려하여 2차 마르코프 연쇄를 도입할 수 있다. 더 높은 n차 체인은 특정 음표들을 "그룹화"하는 경향이 있는 반면, 때때로 다른 패턴과 시퀀스로 "분기"된다. 이러한 고차 체인은 1차 시스템에서 생성되는 '무의미한 방황'보다는 프레이즈 구조를 느낄 수 있는 결과를 생성하는 경향이 있다. [97] 마르코프 연쇄는 크세나키스의 아날로그 A와 B와 같이 구조적으로 사용될 수 있다. [98] 또한 마르코프 모델을 사용하여 음악 입력에 상호 작용적으로 반응하는 시스템에서도 사용된다. [99] 일반적으로 음악 시스템은 생성하는 유한 길이 시퀀스에 특정 제어 제약 조건을 적용해야 하지만, 제어 제약 조건은 제한된 메모리의 마르코프 가정을 위반하는 장거리 의존성을 유발하기 때문에 마르코프 모델과 호환되지 않는다. 이러한 제한을 극복하기 위해 새로운 접근 방식이 제안되었다. [100]
4. 11. 텍스트 생성
마크 V. 섀니는 3차 마르코프 체인 프로그램이자 마르코프 텍스트 생성기이다. 이 프로그램은 도덕경 이나 유즈넷 게시물과 같은 샘플 텍스트를 입력받아, 텍스트에 나타나는 모든 연속적인 세 단어(3단어 조합)의 목록을 생성한다. 그런 다음 무작위로 두 단어를 선택하고, 목록에서 이 두 단어 뒤에 오는 단어를 찾는다. 여러 단어가 있을 경우 무작위로 선택한다. (동일한 3단어 조합은 별도로 계산되므로, 두 번 나타나는 순서는 한 번만 나타나는 순서보다 두 배 더 선택될 가능성이 높다.) 생성된 텍스트에 해당 단어를 추가하고, 같은 방식으로 생성된 텍스트의 두 번째와 세 번째 단어로 시작하는 3단어 조합을 선택하여 네 번째 단어를 얻는다. 네 번째 단어를 추가한 후, 세 번째와 네 번째 단어로 반복한다. [32] 마르코프 과정은 주어진 샘플 문서를 바탕으로 표면적으로 실제와 유사한 텍스트를 생성하는 데 사용될 수 있다. 마르코프 과정은 다양한 취미용 "패러디 생성기" 소프트웨어( 디소시에이티드 프레스, 제프 해리슨, [103] 마크 V. 섀니, [104] [105] 아카데미아스 뉴트로니움)에 사용된다. 마르코프 체인을 사용하는 몇 가지 오픈소스 텍스트 생성 라이브러리가 있다.
4. 12. 야구
마르코프 연쇄 모델은 1960년대 이후 고급 야구 분석에 사용되어 왔지만, 여전히 드물다. 야구 경기의 각 이닝은 주자 수와 아웃 수를 고려할 때 마르코프 연쇄 상태에 맞는다. 어떤 타석에서든 아웃 수와 주자 위치의 조합은 24가지가 있다. Mark Pankin은 마르코프 연쇄 모델을 사용하여 개별 선수와 팀 모두의 창출 득점을 평가할 수 있음을 보여준다. [101] 그는 또한 마르코프 연쇄 모델이 번트와 도루 와 같은 다양한 경기 전략과 조건, 그리고 잔디와 아스트로터프에서 경기할 때의 차이점 등의 통계 분석에 어떻게 사용되었는지 논의한다. [102]
4. 13. 확률적 예측
마르코프 연쇄는 가격 동향, [106] 풍력 발전, [107] 확률적 테러리즘, [108] [109] 태양 복사량 [110] 등 여러 분야의 예측에 사용되어 왔다. 마르코프 연쇄 예측 모델은 시계열의 이산화 [107] 부터 웨이블릿과 결합된 숨은 마르코프 모델 [106] , 마르코프 연쇄 혼합 분포 모델(MCM) [110] 에 이르기까지 다양한 설정을 활용한다. 태양 복사량 변동성 평가는 태양광 발전 응용 분야에 유용하다. 시간에 따른 특정 위치의 태양 복사량 변동성은 주로 하늘의 태양 경로의 결정적 변동성과 구름의 변동성에 의해 결정된다. 지구 표면에서 이용 가능한 태양 복사량의 변동성은 마르코프 연쇄를 사용하여 모델링되었으며, [71] [72] [73] [74] 맑음과 흐림의 두 가지 상태를 2상태 마르코프 연쇄로 모델링하는 것도 포함된다. [75] [76]
5. 역사
러시아 의 수학자 안드레이 마르코프 가 1906년에 처음 도입하였다. [111] 안드레이 마르코프 는 20세기 초 마르코프 과정을 연구하여 1906년에 이 주제에 관한 그의 첫 논문을 발표했다. [16] [17] [18] 마르코프는 파벨 네크라소프가 약한 대수의 법칙이 성립하기 위해서는 독립성이 필요하다고 주장한 것에 반박하면서, 독립적인 확률 순열의 확장을 연구하는 데 관심을 가졌다. [22] 1906년에 발표된 마르코프 사슬에 관한 그의 첫 번째 논문에서 마르코프는 특정 조건 하에서 마르코프 사슬의 평균 결과가 고정된 값 벡터로 수렴함을 보여줌으로써, 독립성 가정 없이 약한 대수의 법칙을 증명했다. [16] [17] [18] 마르코프는 나중에 알렉산드르 푸슈킨이 쓴 예브게니 오네긴 에서 모음의 분포를 연구하는 데 마르코프 사슬을 사용했고, 이러한 사슬에 대한 중심 극한 정리를 증명했다. [16] 1912년 앙리 푸앵카레 는 카드 섞기를 연구하기 위해 유한 군에서 마르코프 사슬을 연구했다. 1907년 파울 에렌페스트 와 타티아나 에렌페스트가 도입한 확산 모델과 1873년 프랜시스 갈턴과 헨리 윌리엄 왓슨이 도입한 분지 과정은 마르코프 사슬의 다른 초기 사용 예시이며, 이는 마르코프의 연구보다 앞선 것이다. [16] [17] 1928년부터 모리스 프레셰는 마르코프 사슬에 관심을 가지게 되었고, 결국 1938년에 마르코프 사슬에 대한 상세한 연구를 발표하게 되었다. [16] [24]안드레이 콜모고로프 는 1931년 논문에서 연속 시간 마르코프 과정의 초기 이론의 상당 부분을 개발했다. [25] [26] 그는 확산 과정으로 알려진 특정 마르코프 과정을 도입하고 연구했으며, 이 과정을 설명하는 미분 방정식 집합을 유도했다. [25] [28] 시드니 채프먼은 1928년 논문에서 브라운 운동을 연구하면서 현재 채프먼-콜모고로프 방정식이라고 불리는 방정식을 유도했다. [29] 마르코프 과정의 기초에 크게 기여한 다른 수학자로는 1930년대부터 윌리엄 펠러와 1950년대부터 유진 딘킨이 있다. [26]
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