유계 변동 함수

) ($a=p\_0\; \backslash le\; p\_1\; \backslash le\; p\_2\; \backslash le\; \backslash dotsb\; \backslash le\; p\_$

=b)와 같은 수열이다.^[13] 닫힌구간 $[a,b]$의 모든 분할들의 집합은 $\backslash operatorname\{Part\}([a,b])$로 표기한다.^[13]

함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ 및 분할 $P\backslash in\backslash operatorname\{Part\}([a,b])$에 대하여 '''변동'''은 다음과 같이 정의된다.^[13]

:$\backslash sum\_\{i=1\}^$

\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)

$f$의 '''전변동'''(total variation) $\backslash operatorname\{V\}(f)$는 모든 변동들의 상한이다.^[13]

:$\backslash operatorname\; V(f)=\backslash sup\_\{P\backslash in\backslash operatorname\{Part\}([a,b])\}\backslash sum^$

_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]

함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[13]

• $f\; =\; g-h$인 두 증가 함수 $g,h\; \backslash colon\; [a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$ ($a\backslash le\; s\backslash le\; t\backslash le\; b\; \backslash implies\; g(s)\; \backslash le\; g(t),\backslash ;h(s)\; \backslash le\; h(t)$)가 존재한다.
• 연속 함수의 공간 $\backslash mathcal\; C^0([a,b])$ 위에 유계 작용소 $\backslash mathcal\; C^0([a,b])\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, $g\; \backslash mapsto\; \backslash textstyle\backslash int\; g\backslash ,\backslash mathrm\; df$를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

위의 조건을 만족시키는 함수를 '''유계 변동 함수'''라고 한다.^[13] 즉,

:

실수 함수 $f$가 $[a,b]$에서 유계 변동인 것은 $[a,b]$에서 두 개의 단조 증가 함수 $f\_1$과 $f\_2$의 차이 $f=f\_1-f\_2$로 나타낼 수 있을 때, 그리고 그 때만 가능하다는 것이 증명될 수 있다. 이 결과는 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_function) 함수의 조르당 분해]라고 알려져 있으며, 측도의 조르당 분해와 관련이 있다.^[10]

스틸체스 적분을 통해 닫힌 구간 $[a,\; b]$에서 유계 변동 함수는 $C([a,\; b])$에 대한 유계 선형 범함수를 정의한다.^[11] 이 특별한 경우, 리즈 표현 정리에 따르면 모든 유계 선형 범함수는 이 방식으로 고유하게 나타난다.^[12] 정규화된 양의 범함수 또는 확률 측도는 양의 단조 증가 하부 반연속 함수에 해당한다.

유계 변동 함수들의 공간을 $\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\; R)$로 표기하고, $(\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\{R\}),\; \backslash |-\backslash |\_\{\backslash operatorname\; L^1\}\; +\; \backslash operatorname\{V\}(-))$는 노름 공간을 이룬다.

만약 ''f''가 미분가능하고 도함수가 리만 적분 가능하면, 총변동은 그래프의 호 길이의 수직 성분과 같다.

:$V\_a^b(f)\; =\; \backslash int\; \_a^b\; |f\text{'}(x)|\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x.$

유계열린집합$\backslash Omega\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}^n$이 주어졌을 때, 함수 $f\backslash in\backslash operatorname\{L\}^1(\backslash Omega,\; \backslash mathbb\{R\})$의 전변동은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\; V(f)\; =\; \backslash sup\_\{\backslash mathbf\; g\backslash in\; X\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash mathbf\; g(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

여기서

:$X\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash operatorname\; L^\backslash infty(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R^n))\}(0,1))\; \backslash cap\; \backslash mathcal\; C^1\_\{\backslash text\{comp\}\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R^n)$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 연속 미분 가능 함수이다 ($\backslash mathcal\; C^1$).
• 어떤 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; \backslash Omega$에 대하여, $\backslash forall\; x\backslash in\; \backslash Omega\backslash setminus\; K\backslash colon\; \backslash mathbf\; g(x)\; =\; \backslash mathbf0$이다.
• 노름이 1 이하이다. 즉, $\backslash forall\; x\backslash in\backslash Omega\; \backslash colon\; \backslash |\backslash mathbf\; g(x)\backslash |\; \backslash le\; 1$이다. 여기서 $\backslash operatorname\{vol\}(-)$은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, $\backslash mathbf\; g$의 $\backslash operatorname\; L^\backslash infty$-노름이 1 이하이다.)

전변동이 유한한 함수들의 공간은 $\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\})$로 표기하며, 다음과 같다.

:

$\backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\; =\; \backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\{L\}^1\}\; +\; \backslash operatorname\{V\}(f)$는 바나흐 공간을 이룬다.

분포적 미분이 유한 측도인 함수로 정의할 수 있다.^[4] 즉, $\backslash Omega$를 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 열린 집합이라고 할 때, $L^1(\backslash Omega)$에 속하는 함수 '''$u$'''는 다음을 만족하는 유한 벡터 측도$Du\backslash in\backslash mathcal\; M(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n)$가 존재하면 '''유계 변동''' ('''BV 함수''')라고 하며, $u\backslash in\; \backslash operatorname\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega)$로 표기한다.

:$$

\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\,\mathrm{d}x = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Du(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)



여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}$는 '''$\backslash Omega$'''에 포함된 콤팩트 지지도를 가진 연속 미분 가능 벡터 함수이다. 벡터 측도 '''$Du$'''는 '''$u$'''의 분포 또는 약한 기울기를 나타낸다.

혹은, $L^1(\backslash Omega)$에 속하는 함수 '''$u$'''가 주어지면, $\backslash Omega$에서 '''$u$'''의 '''총 변동'''은 다음과 같이 정의된다.

:$V(u,\backslash Omega):=\backslash sup\backslash left\backslash \{\backslash int\_\backslash Omega\; u(x)\backslash operatorname\{div\}\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; :\; \backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\; \backslash in\; C\_c^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n),\backslash \; \backslash Vert\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; 1\backslash right\backslash \}$

여기서 $\backslash Vert\backslash ;\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}$는 본질적 상한 노름이다. Caccioppoli 집합 이론에서는 $\backslash int\_\backslash Omega\backslash vert\; D\; u\backslash vert\; =\; V(u,\backslash Omega)$ 와 같은 표기법을 사용한다.

'''유계 변동 함수''' ('''BV 함수''')의 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

3. 1. 1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 $[a,b]\backslash subsetneq\; \backslash mathbb\; R$의 '''분할'''은 $P=(p\_0,\; p\_1,\; p\_2,\; \backslash dots,\; p\_$

) ($a=p\_0\; \backslash le\; p\_1\; \backslash le\; p\_2\; \backslash le\; \backslash dotsb\; \backslash le\; p\_$

=b)와 같은 수열이다.^[13] 닫힌구간 $[a,b]$의 모든 분할들의 집합은 $\backslash operatorname\{Part\}([a,b])$로 표기한다.^[13]

함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ 및 분할 $P\backslash in\backslash operatorname\{Part\}([a,b])$에 대하여 '''변동'''은 다음과 같이 정의된다.^[13]

:$\backslash sum\_\{i=1\}^$

\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)

$f$의 '''전변동'''(total variation) $\backslash operatorname\{V\}(f)$는 모든 변동들의 상한이다.^[13]

:$\backslash operatorname\; V(f)=\backslash sup\_\{P\backslash in\backslash operatorname\{Part\}([a,b])\}\backslash sum^$

_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]

함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.^[13]

• $f\; =\; g-h$인 두 증가 함수 $g,h\; \backslash colon\; [a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$ ($a\backslash le\; s\backslash le\; t\backslash le\; b\; \backslash implies\; g(s)\; \backslash le\; g(t),\backslash ;h(s)\; \backslash le\; h(t)$)가 존재한다.
• 연속 함수의 공간 $\backslash mathcal\; C^0([a,b])$ 위에 유계 작용소 $\backslash mathcal\; C^0([a,b])\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$, $g\; \backslash mapsto\; \backslash textstyle\backslash int\; g\backslash ,\backslash mathrm\; df$를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

위의 조건을 만족시키는 함수를 '''유계 변동 함수'''라고 한다.^[13] 즉,

:

실수 함수 $f$가 $[a,b]$에서 유계 변동인 것은 $[a,b]$에서 두 개의 단조 증가 함수 $f\_1$과 $f\_2$의 차이 $f=f\_1-f\_2$로 나타낼 수 있을 때, 그리고 그 때만 가능하다는 것이 증명될 수 있다. 이 결과는 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_function) 함수의 조르당 분해]라고 알려져 있으며, 측도의 조르당 분해와 관련이 있다.^[10]

스틸체스 적분을 통해 닫힌 구간 $[a,\; b]$에서 유계 변동 함수는 $C([a,\; b])$에 대한 유계 선형 범함수를 정의한다.^[11] 이 특별한 경우, 리즈 표현 정리에 따르면 모든 유계 선형 범함수는 이 방식으로 고유하게 나타난다.^[12] 정규화된 양의 범함수 또는 확률 측도는 양의 단조 증가 하부 반연속 함수에 해당한다.

유계 변동 함수들의 공간을 $\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\; R)$로 표기하고, $(\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\{R\}),\; \backslash |-\backslash |\_\{\backslash operatorname\; L^1\}\; +\; \backslash operatorname\{V\}(-))$는 노름 공간을 이룬다.

만약 ''f''가 미분가능하고 도함수가 리만 적분 가능하면, 총변동은 그래프의 호 길이의 수직 성분과 같다.

:$V\_a^b(f)\; =\; \backslash int\; \_a^b\; |f\text{'}(x)|\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x.$

3. 2. 다차원 유계 변동 함수

유계열린집합$\backslash Omega\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}^n$이 주어졌을 때, 함수 $f\backslash in\backslash operatorname\{L\}^1(\backslash Omega,\; \backslash mathbb\{R\})$의 전변동은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\; V(f)\; =\; \backslash sup\_\{\backslash mathbf\; g\backslash in\; X\}\; \backslash int\_\backslash Omega\; f(x)\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash mathbf\; g(x)\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

여기서

:$X\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(\backslash operatorname\{ball\}\_\{\backslash operatorname\; L^\backslash infty(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R^n))\}(0,1))\; \backslash cap\; \backslash mathcal\; C^1\_\{\backslash text\{comp\}\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R^n)$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 연속 미분 가능 함수이다 ($\backslash mathcal\; C^1$).
• 어떤 콤팩트 집합 $K\backslash subseteq\; \backslash Omega$에 대하여, $\backslash forall\; x\backslash in\; \backslash Omega\backslash setminus\; K\backslash colon\; \backslash mathbf\; g(x)\; =\; \backslash mathbf0$이다.
• 노름이 1 이하이다. 즉, $\backslash forall\; x\backslash in\backslash Omega\; \backslash colon\; \backslash |\backslash mathbf\; g(x)\backslash |\; \backslash le\; 1$이다. 여기서 $\backslash operatorname\{vol\}(-)$은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, $\backslash mathbf\; g$의 $\backslash operatorname\; L^\backslash infty$-노름이 1 이하이다.)

전변동이 유한한 함수들의 공간은 $\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\})$로 표기하며, 다음과 같다.

:

$\backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\; =\; \backslash |f\backslash |\_\{\backslash operatorname\{L\}^1\}\; +\; \backslash operatorname\{V\}(f)$는 바나흐 공간을 이룬다.

분포적 미분이 유한 측도인 함수로 정의할 수 있다.^[4] 즉, $\backslash Omega$를 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 열린 집합이라고 할 때, $L^1(\backslash Omega)$에 속하는 함수 '''$u$'''는 다음을 만족하는 유한 벡터 측도$Du\backslash in\backslash mathcal\; M(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n)$가 존재하면 '''유계 변동''' ('''BV 함수''')라고 하며, $u\backslash in\; \backslash operatorname\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega)$로 표기한다.

:$$

\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\,\mathrm{d}x = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Du(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)



여기서 $\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}$는 '''$\backslash Omega$'''에 포함된 콤팩트 지지도를 가진 연속 미분 가능 벡터 함수이다. 벡터 측도 '''$Du$'''는 '''$u$'''의 분포 또는 약한 기울기를 나타낸다.

혹은, $L^1(\backslash Omega)$에 속하는 함수 '''$u$'''가 주어지면, $\backslash Omega$에서 '''$u$'''의 '''총 변동'''은 다음과 같이 정의된다.

:$V(u,\backslash Omega):=\backslash sup\backslash left\backslash \{\backslash int\_\backslash Omega\; u(x)\backslash operatorname\{div\}\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}(x)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; :\; \backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\; \backslash in\; C\_c^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n),\backslash \; \backslash Vert\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash le\; 1\backslash right\backslash \}$

여기서 $\backslash Vert\backslash ;\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}$는 본질적 상한 노름이다. Caccioppoli 집합 이론에서는 $\backslash int\_\backslash Omega\backslash vert\; D\; u\backslash vert\; =\; V(u,\backslash Omega)$ 와 같은 표기법을 사용한다.

'''유계 변동 함수''' ('''BV 함수''')의 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

4. 성질

다음은 주어진 소스를 바탕으로 섹션 "성질" 아래의 하위 섹션 내용을 위키텍스트 형식으로 작성한 것입니다.

```text

==== 연산에 대한 닫힘 ====

열린집합 $\backslash Omega\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}^n$에 대하여, \(f, g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)이면 다음이 성립한다.

• \(f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)
• \(fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)
• \((|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\qquad\forall a>0\)

매끄럽지 않은 함수에 대한 연쇄 법칙은 수학과 수리물리학에서 매우 중요한데, 매끄러움 정도가 매우 제한적인 함수 또는 범함수로 설명되는 중요한 물리적 모델이 여러 개 있기 때문이다. 'BV' 함수에 대한 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

:\(\frac{\partial v(\boldsymbol{x})u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} = {\bar u(\boldsymbol{x})}\frac{\partial v(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} + {\bar v(\boldsymbol{x})}\frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} \)

==== 포함 관계 ====

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:$\backslash mathcal\; C\_\{\backslash text\{comp\}\}^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)$

그러나

:$\backslash mathcal\; C\_\{\backslash text\{comp\}\}^0(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)\; \backslash not\backslash subseteq\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)$

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

==== 전변동 ====

만약 $f\backslash in\backslash mathcal\; C^2([a,b])$일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\; Vf\; =\; \backslash int\_a^b\backslash ,|f\text{'}(x)|\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\backslash Omega$에 대하여

• $\backslash operatorname\{cl\}(\backslash Omega)$가 콤팩트 집합이며,
• $\backslash partial\backslash Omega$가 어떤 매끄러운 다양체의 $\backslash mathcal\; C^1$ 매장이라면,

$f\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{cl\}(\backslash Omega)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$의 경우 $f\backslash restriction\; \backslash Omega$는 유계 변동 함수이며,

:$\backslash operatorname\; V(f\backslash restriction\backslash Omega)\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; |\backslash nabla\; f|$

이다. 함수 $V(\backslash cdot,\backslash Omega):\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega)\backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^+$는 아래쪽 반연속이다.

BV 함수들의 코시 수열 '''$\backslash \{u\_n\backslash \}\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}$'''을 선택하여 '''$u\backslash in\; L^1\_\backslash text\{loc\}(\backslash Omega)$'''로 수렴하게 한다. 그러면 수열의 모든 함수와 극한 함수가 적분 가능하고 하한의 정의에 의해,

:$\backslash begin\{align\}$

\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)

&\geq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\

&\geq \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\

&= \int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \qquad\forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\quad\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1

\end{align}

이제 $\backslash Vert\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash leq\; 1$을 만족하는 함수 $\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash in\; C\_c^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n)$의 집합에 대한 상한을 고려하면, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash liminf\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}V(u\_n,\backslash Omega)\backslash geq\; V(u,\backslash Omega)$

이것이 바로 아래쪽 반연속성의 정의이다.

==== 특이점 ====

유계 변동 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$는 두 증가 함수의 차이이므로, $[a,\; b]$의 가산 개 점을 제외한 곳에서 연속이며, $[a,\; b]$의 거의 어디서나 $f$의 도함수가 존재한다(르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 $|f\text{'}|$는 르베그 적분 가능하다.

한 변수의 경우, 함수 $u$의 정의 구간 $[a\; ,\; b]\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$의 각 점 $x\_0$에 대해 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이다.

여러 변수의 함수인 경우, 주어진 점 '''$x\_0$'''가 속한 방향의 연속체가 있으며, 적절한 극한의 개념을 명확히 할 필요가 있다. 단위 벡터 $\{\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{a\}\}\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^n$을 선택하면 '''$\backslash Omega$'''를 두 집합으로 나눌 수 있다.

BV 함수 '''$u$'''의 정의 영역 $\backslash Omega\backslash in\backslash mathbb\{R\}^n$에 속하는 각 점 '''$x\_0$'''에 대해서도 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이거나, '''$x\_0$'''는 0의 $n-1$차원 하우스도르프 측도를 갖는 '''$\backslash Omega$'''의 부분 집합에 속한다.

==== 분해 불가능성 ====

$\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\{R\})$는 분해 가능 공간이 아니다.<sup>[6][7]</sup>

임의의 $\backslash alpha\backslash in(a,b)$에 대하여, 지시 함수

:$1\_\{[\backslash alpha,b]\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\; R)$

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립한다.

:$\backslash |1\_\{[\backslash alpha,b]\}\; -\; 1\_\{[\backslash beta,b]\}\backslash |\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\; =\; 2\; +\; |\backslash alpha-\backslash beta|\backslash qquad\backslash forall\; \backslash alpha,\backslash beta\backslash in[a,b],\backslash ;\backslash alpha\backslash ne\backslash beta$

임의의 $\backslash alpha\backslash in(a,b)$에 대하여 열린 공들의 족

:$\backslash operatorname\{ball\}(1\_\{[\backslash alpha,b]\},1)$

을 생각하면, 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이룬다.<sup>[6]</sup>

공간 $\backslash operatorname\{BV\}([0,1])$에 속하는 다음 예시를 고려해보자. 각 0 < ''α'' < 1에 대해, 왼쪽 닫힌 구간 $[\backslash alpha,1]$의 특성 함수인 지시 함수 $\backslash chi\_\backslash alpha=\backslash chi\_\{[\backslash alpha,1]\}$를 정의한다. $\backslash alpha,\backslash beta\; \backslash in\; [0,1]$이고 $\backslash alpha\; \backslash ne\; \backslash beta$이면, 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash Vert\; \backslash chi\_\backslash alpha\; -\; \backslash chi\_\backslash beta\; \backslash Vert\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}=2$

모든 $\backslash alpha\backslash in[0,1]$에 대해 공 $B\_\backslash alpha=\backslash left\backslash \{\backslash psi\backslash in\; \backslash operatorname\{BV\}([0,1]);\backslash Vert\; \backslash chi\_\backslash alpha\; -\; \backslash psi\; \backslash Vert\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\backslash leq\; 1\backslash right\backslash \}$을 구성할 수 있다. 이 공들은 상호소 집합이며, 색인 집합이 $[0,1]$인 색인화된 족의 집합들이다. 이는 이 족이 연속체의 기수를 가짐을 의미한다. $\backslash operatorname\{BV\}([0,1])$의 모든 조밀 부분 집합은 이 족의 각 구성원 내부에 적어도 하나의 점을 가져야 하므로, 그 기수는 연속체의 기수 이상이며 따라서 가산 부분 집합이 될 수 없다.<sup>[7]</sup>

4. 1. 연산에 대한 닫힘

열린집합 \(\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\)에 대하여, \(f, g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)이면 다음이 성립한다.

• \(f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)
• \(fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\)
• \((|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\qquad\forall a>0\)

매끄럽지 않은 함수에 대한 연쇄 법칙은 수학과 수리물리학에서 매우 중요한데, 매끄러움 정도가 매우 제한적인 함수 또는 범함수로 설명되는 중요한 물리적 모델이 여러 개 있기 때문이다. 'BV' 함수에 대한 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

:\(\frac{\partial v(\boldsymbol{x})u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} = {\bar u(\boldsymbol{x})}\frac{\partial v(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} + {\bar v(\boldsymbol{x})}\frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} \)

4. 2. 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:$\backslash mathcal\; C\_\{\backslash text\{comp\}\}^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)\; \backslash subseteq\; \backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)$

그러나

:$\backslash mathcal\; C\_\{\backslash text\{comp\}\}^0(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)\; \backslash not\backslash subseteq\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega,\backslash mathbb\; R)$

이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

4. 3. 전변동

만약 $f\backslash in\backslash mathcal\; C^2([a,b])$일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.

:$\backslash operatorname\; Vf\; =\; \backslash int\_a^b\backslash ,|f\text{'}(x)|\backslash ,\backslash mathrm\; dx$

마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\backslash Omega$에 대하여

• $\backslash operatorname\{cl\}(\backslash Omega)$가 콤팩트 집합이며,
• $\backslash partial\backslash Omega$가 어떤 매끄러운 다양체의 $\backslash mathcal\; C^1$ 매장이라면,

$f\; \backslash colon\; \backslash operatorname\{cl\}(\backslash Omega)\; \backslash to\; \backslash mathbb\; R$의 경우 $f\backslash restriction\; \backslash Omega$는 유계 변동 함수이며,

:$\backslash operatorname\; V(f\backslash restriction\backslash Omega)\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; |\backslash nabla\; f|$

이다. 함수 $V(\backslash cdot,\backslash Omega):\backslash operatorname\{BV\}(\backslash Omega)\backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}^+$는 아래쪽 반연속이다.

BV 함수들의 코시 수열 '''$\backslash \{u\_n\backslash \}\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}$'''을 선택하여 '''$u\backslash in\; L^1\_\backslash text\{loc\}(\backslash Omega)$'''로 수렴하게 한다. 그러면 수열의 모든 함수와 극한 함수가 적분 가능하고 하한의 정의에 의해,

:$\backslash begin\{align\}$

\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)

&\geq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\

&\geq \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\

&= \int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \qquad\forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\quad\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1

\end{align}

이제 $\backslash Vert\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash Vert\_\{L^\backslash infty(\backslash Omega)\}\backslash leq\; 1$을 만족하는 함수 $\backslash boldsymbol\{\backslash phi\}\backslash in\; C\_c^1(\backslash Omega,\backslash mathbb\{R\}^n)$의 집합에 대한 상한을 고려하면, 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash liminf\_\{n\backslash rightarrow\backslash infty\}V(u\_n,\backslash Omega)\backslash geq\; V(u,\backslash Omega)$

이것이 바로 아래쪽 반연속성의 정의이다.

4. 4. 특이점

유계 변동 함수 $f\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\{R\}$는 두 증가 함수의 차이이므로, $[a,\; b]$의 가산 개 점을 제외한 곳에서 연속이며, $[a,\; b]$의 거의 어디서나 $f$의 도함수가 존재한다(르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 $|f\text{'}|$는 르베그 적분 가능하다.

한 변수의 경우, 함수 $u$의 정의 구간 $[a\; ,\; b]\backslash subset\backslash mathbb\{R\}$의 각 점 $x\_0$에 대해 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이다.

여러 변수의 함수인 경우, 주어진 점 '''$x\_0$'''가 속한 방향의 연속체가 있으며, 적절한 극한의 개념을 명확히 할 필요가 있다. 단위 벡터 $\{\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{a\}\}\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^n$을 선택하면 '''$\backslash Omega$'''를 두 집합으로 나눌 수 있다.

BV 함수 '''$u$'''의 정의 영역 $\backslash Omega\backslash in\backslash mathbb\{R\}^n$에 속하는 각 점 '''$x\_0$'''에 대해서도 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이거나, '''$x\_0$'''는 0의 $n-1$차원 하우스도르프 측도를 갖는 '''$\backslash Omega$'''의 부분 집합에 속한다.

4. 5. 분해 불가능성

$\backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\{R\})$는 분해 가능 공간이 아니다.<sup>[6][7]</sup>

임의의 $\backslash alpha\backslash in(a,b)$에 대하여, 지시 함수

:$1\_\{[\backslash alpha,b]\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{BV\}([a,b],\backslash mathbb\; R)$

를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립한다.

:$\backslash |1\_\{[\backslash alpha,b]\}\; -\; 1\_\{[\backslash beta,b]\}\backslash |\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\; =\; 2\; +\; |\backslash alpha-\backslash beta|\backslash qquad\backslash forall\; \backslash alpha,\backslash beta\backslash in[a,b],\backslash ;\backslash alpha\backslash ne\backslash beta$

임의의 $\backslash alpha\backslash in(a,b)$에 대하여 열린 공들의 족

:$\backslash operatorname\{ball\}(1\_\{[\backslash alpha,b]\},1)$

을 생각하면, 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이룬다.<sup>[6]</sup>

공간 $\backslash operatorname\{BV\}([0,1])$에 속하는 다음 예시를 고려해보자. 각 0 < ''α'' < 1에 대해, 왼쪽 닫힌 구간 $[\backslash alpha,1]$의 특성 함수인 지시 함수 $\backslash chi\_\backslash alpha=\backslash chi\_\{[\backslash alpha,1]\}$를 정의한다. $\backslash alpha,\backslash beta\; \backslash in\; [0,1]$이고 $\backslash alpha\; \backslash ne\; \backslash beta$이면, 다음 관계가 성립한다.

:$\backslash Vert\; \backslash chi\_\backslash alpha\; -\; \backslash chi\_\backslash beta\; \backslash Vert\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}=2$

모든 $\backslash alpha\backslash in[0,1]$에 대해 공 $B\_\backslash alpha=\backslash left\backslash \{\backslash psi\backslash in\; \backslash operatorname\{BV\}([0,1]);\backslash Vert\; \backslash chi\_\backslash alpha\; -\; \backslash psi\; \backslash Vert\_\{\backslash operatorname\{BV\}\}\backslash leq\; 1\backslash right\backslash \}$을 구성할 수 있다. 이 공들은 상호소 집합이며, 색인 집합이 $[0,1]$인 색인화된 족의 집합들이다. 이는 이 족이 연속체의 기수를 가짐을 의미한다. $\backslash operatorname\{BV\}([0,1])$의 모든 조밀 부분 집합은 이 족의 각 구성원 내부에 적어도 하나의 점을 가져야 하므로, 그 기수는 연속체의 기수 이상이며 따라서 가산 부분 집합이 될 수 없다.<sup>[7]</sup>

5. 예

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $(0,1]$에서 연속 함수지만, $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

:
$\backslash operatorname\; V(f)\; =\; \backslash int\_0^1\; |\; x^\{-1\}\backslash cos\; x^\{-1\}|\backslash ,\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash infty$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고 $[0,1]$에서 연속 함수지만 $[0,1]$에서 유계 변동 함수가 아니다.

:
$\backslash operatorname\; V(f)\; =\; \backslash int\_0^1\; |\backslash sin\; x^\{-1\}\; -\; x^\{-1\}\backslash cos\; x^\{-1\}|\backslash ,\backslash mathrm\; dx\; =\; \backslash infty$

다음과 같은 함수는 $[0,1]$에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.

:

BV 함수의 두 가지 큰 예시는 단조 함수와 절대 연속 함수이다. 모든 단조 유계 함수는 유계 변동 함수이다. 구간 $[a,b]$에서의 이러한 함수 $f$와 이 구간의 임의의 분할 $P=\backslash \{x\_0,\backslash ldots,x\_\{n\_P\}\backslash \}$에 대해,

:$\backslash sum\_\{i=0\}^\{n\_P-1\}|f(x\_\{i+1\})-f(x\_i)|=|f(b)-f(a)|$

라는 사실로부터 알 수 있다. 좌변의 합이 테이퍼링이기 때문이다. 이로부터, 이러한 $f$에 대해,

:$V\_a^b(f)=|f(b)-f(a)|.$

가 성립한다. 특히, 단조 칸토어 함수는 절대 연속적이지 않은 유계 변동 함수의 잘 알려진 예이다.<sup>[8]</sup>

6. 응용

유계 변동 함수는 불연속성을 다룰 수 있다는 특징을 가지며, 이러한 특징은 여러 응용 과학 분야에서 널리 활용되도록 한다. 역학, 물리학, 화학 반응 속도 문제의 해는 유계 변동 함수로 표현될 수 있다.

• 멈포드-샤(Mumford–Shah) 함수: 2차원 이미지의 분할 문제, 즉 윤곽선과 회색조를 충실하게 재현하는 문제는 이러한 함수의 최소값을 구하는 것과 같다.
• 총 변동 노이즈 제거

7. 같이 보기

참조

<sub>[1]</sub> 문서 Tonelli plane variation
<sub>[2]</sub> 서적 1969
<sub>[3]</sub> 서적 1990
<sub>[4]</sub> 문서 finite measure
<sub>[5]</sub> 문서 Total variation
<sub>[6]</sub> 서적 1998
<sub>[7]</sub> 서적 1969
<sub>[8]</sub> 웹사이트 Real analysis - Continuous and bounded variation does not imply absolutely continuous https://math.stackex[...]
<sub>[9]</sub> 문서 トネリ平面変動
<sub>[10]</sub> 간행물 Jordan decomposition of a function https://math.stackex[...]
<sub>[11]</sub> 서적 1969
<sub>[12]</sub> 서적 1990
<sub>[13]</sub> 서적 Lebesgue Integration on Euclidean Space Jones and Bartlett Mathematics 2001

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