유계 변동 함수

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1. 개요

유계 변동 함수는 푸리에 급수의 수렴성 연구에서 처음 도입되었으며, 변분법, 편미분 방정식, 집합의 경계 측도 정의 등 다양한 수학 분야에서 활용된다. 유계 변동 함수는 함수의 총 변동이 유한한 함수를 의미하며, 1차원 및 다차원 공간에서 정의될 수 있다. 이 함수는 두 증가 함수의 차이로 표현될 수 있으며, 미분가능하고 도함수가 리만 적분 가능할 경우 그래프의 호 길이와 관련된다. 유계 변동 함수는 연산에 대한 닫힘, 포함 관계, 특이점, 분해 불가능성 등의 성질을 가지며, 멈포드-샤 함수, 총 변동 노이즈 제거 등 다양한 응용 분야에서 사용된다.

유계 변동 함수

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멱급수는 실수 또는 복소수 체에서 정의되며, 수렴 영역과 반지름을 가지며 미분, 적분, 사칙연산이 가능하고 해석 함수와 관련되어 상미분 방정식의 해를 구하는 데 활용된다.
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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 1차원 유계 변동 함수
- 3.2. 다차원 유계 변동 함수
4. 성질
5. 예
6. 응용
7. 같이 보기

2. 역사

카미유 조르당은 푸리에 급수의 수렴성을 연구하면서 1881년에 1차원 유계 변동 함수를 처음 도입하였다. 1926년, 레오니다 토넬리는 변분법 문제에 대한 해를 찾기 위해 연속 함수인 다변수 유계 변동 함수 클래스를 도입하며 일반화하였다. 10년 후인 1936년, 람베르토 체사리는 토넬리의 정의에서 연속성 조건을 적분 조건으로 완화하여, 다변수 유계 변동 함수 클래스를 일반화하였다. 그는 푸리에 급수의 수렴성 문제를 해결하기 위해 이 개념을 적용하였다.

이후, 레나토 카초폴리와 엔니오 데 조르지는 집합의 경계 측도를 정의하기 위해 유계 변동 함수를 활용하였다. 올가 아르세니에브나 올레이니크는 비선형 편미분 방정식에 대한 일반화된 해를 유계 변동 함수 공간에서 찾는 관점을 제시하였고, 1계 편미분 방정식의 유계 변동 일반화된 해를 구성하였다. 에드워드 D. 콘웨이와 조엘 A. 스몰러는 1차 비선형 쌍곡선 편미분 방정식 연구에 유계 변동 함수를 적용하여, 초기값이 유계 변동 함수일 때 코시 문제의 해가 유계 변동 함수임을 증명하였다.

아이직 이사코비치 볼페르트는 유계 변동 함수에 대한 연쇄 법칙을 증명하는 등 유계 변동 함수에 대한 미적분을 개발하였다. 루이지 암브로시오와 지아니 달 마소는 볼페르트의 연쇄 법칙 공식을 확장하였다.

3. 정의

닫힌구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb R$ 의 분할은 $P=(p_0, p_1, p_2, \dots, p_$

👆

좌우로 밀어서 보기

) (

a=p_0 \le p_1 \le p_2 \le \dotsb \le p_

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좌우로 밀어서 보기

=b)와 같은 수열이다. 닫힌구간

[a,b]

의 모든 분할들의 집합은

\operatorname{Part}([a,b])

로 표기한다.

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb{R}

및 분할

P\in\operatorname{Part}([a,b])

에 대하여 변동은 다음과 같이 정의된다.
:

\sum_{i=1}^

👆

좌우로 밀어서 보기

\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)

f

의 전변동(total variation)

\operatorname{V}(f)

는 모든 변동들의 상한이다.
:

\operatorname V(f)=\sup_{P\in\operatorname{Part}([a,b])}\sum^

👆

좌우로 밀어서 보기

_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb{R}

에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.
*

\operatorname V(f) < \infty

f = g-h

인 두 증가 함수

g,h \colon [a,b]\to\mathbb R

(

a\le s\le t\le b \implies g(s) \le  g(t),\;h(s) \le h(t)

)가 존재한다.
* 연속 함수의 공간

\mathcal C^0([a,b])

위에 유계 작용소

\mathcal C^0([a,b]) \to \mathbb R

g \mapsto \textstyle\int g\,\mathrm df

를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

위의 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다. 즉,
:

f \in \operatorname{BV}([a,b]) \iff V_a^b(f) < +\infty

실수 함수

f

가

[a,b]

에서 유계 변동인 것은

[a,b]

에서 두 개의 단조 증가 함수

f_1

과

f_2

의 차이

f=f_1-f_2

로 나타낼 수 있을 때, 그리고 그 때만 가능하다는 것이 증명될 수 있다. 이 결과는 [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_function) 함수의 조르당 분해]라고 알려져 있으며, 측도의 조르당 분해와 관련이 있다.

스틸체스 적분을 통해 닫힌 구간

[a, b]

에서 유계 변동 함수는

C([a, b])

에 대한 유계 선형 범함수를 정의한다. 이 특별한 경우, 리즈 표현 정리에 따르면 모든 유계 선형 범함수는 이 방식으로 고유하게 나타난다. 정규화된 양의 범함수 또는 확률 측도는 양의 단조 증가 하부 반연속 함수에 해당한다.

유계 변동 함수들의 공간을

\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)

로 표기하고,

(\operatorname{BV}([a,b],\mathbb{R}), \|-\|_{\operatorname L^1} + \operatorname{V}(-))

는 노름 공간을 이룬다.

만약 f가 미분가능하고 도함수가 리만 적분 가능하면, 총변동은 그래프의 호 길이의 수직 성분과 같다.
:

V_a^b(f) = \int _a^b |f'(x)|\,\mathrm{d}x.

유계 열린집합

\Omega\subseteq\mathbb{R}^n

이 주어졌을 때, 함수

f\in\operatorname{L}^1(\Omega, \mathbb{R})

의 전변동은 다음과 같이 정의된다.
:

\operatorname V(f) = \sup_{\mathbf g\in X} \int_\Omega f(x)\nabla\cdot \mathbf g(x)\,\mathrm dx

여기서
:

X = \operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\operatorname L^\infty(\Omega,\mathbb R^n))}(0,1)) \cap \mathcal C^1_{\text{comp}}(\Omega,\mathbb R^n)

는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
* 연속 미분 가능 함수이다 (

\mathcal C^1

).
* 어떤 콤팩트 집합

K\subseteq \Omega

에 대하여,

\forall x\in \Omega\setminus K\colon \mathbf g(x) = \mathbf0

이다.
* 노름이 1 이하이다. 즉,

\forall x\in\Omega \colon \|\mathbf g(x)\| \le 1

이다. 여기서

\operatorname{vol}(-)

은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉,

\mathbf g

의

\operatorname L^\infty

-노름이 1 이하이다.)

전변동이 유한한 함수들의 공간은

\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})

로 표기하며, 다음과 같다.
:

\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R) = \{f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)\colon \|f\|_{\operatorname{BV}} < \infty \}

\|f\|_{\operatorname{BV}} = \|f\|_{\operatorname{L}^1} + \operatorname{V}(f)

는 바나흐 공간을 이룬다.

분포적 미분이 유한 측도인 함수로 정의할 수 있다. 즉,

\Omega

를

\mathbb{R}^n

의 열린 집합이라고 할 때,

L^1(\Omega)

에 속하는 함수 $u$ 는 다음을 만족하는 유한 벡터 측도

Du\in\mathcal M(\Omega,\mathbb{R}^n)

가 존재하면 유계 변동 (BV 함수)라고 하며,

u\in \operatorname\operatorname{BV}(\Omega)

로 표기한다.

:

\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\,\mathrm{d}x = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Du(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)

여기서

\boldsymbol{\phi}

는 $\Omega$ 에 포함된 콤팩트 지지도를 가진 연속 미분 가능 벡터 함수이다. 벡터 측도 $Du$ 는 $u$ 의 분포 또는 약한 기울기를 나타낸다.

혹은,

L^1(\Omega)

에 속하는 함수 $u$ 가 주어지면,

\Omega

에서 $u$ 의 총 변동은 다음과 같이 정의된다.

:

V(u,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x : \boldsymbol{\phi} \in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}

여기서

\Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}

는 본질적 상한 노름이다. Caccioppoli 집합 이론에서는

\int_\Omega\vert D u\vert = V(u,\Omega)

와 같은 표기법을 사용한다.

유계 변동 함수 (BV 함수)의 공간은 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname\operatorname{BV}(\Omega)=\{ u\in L^1(\Omega)\colon V(u,\Omega)<+\infty\}

3.1. 1차원 유계 변동 함수

닫힌구간 $[a,b]\subsetneq \mathbb R$ 의 분할은 $P=(p_0, p_1, p_2, \dots, p_$

👆

좌우로 밀어서 보기

) (

a=p_0 \le p_1 \le p_2 \le \dotsb \le p_

👆

좌우로 밀어서 보기

=b)와 같은 수열이다. 닫힌구간

[a,b]

의 모든 분할들의 집합은

\operatorname{Part}([a,b])

로 표기한다.

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb{R}

및 분할

P\in\operatorname{Part}([a,b])

에 대하여 변동은 다음과 같이 정의된다.
:

\sum_{i=1}^

👆

좌우로 밀어서 보기

\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty)

f

의 전변동(total variation)

\operatorname{V}(f)

는 모든 변동들의 상한이다.
:

\operatorname V(f)=\sup_{P\in\operatorname{Part}([a,b])}\sum^

👆

좌우로 밀어서 보기

_{i=1}\|f(p_i) - f(p_{i-1})\| \in [0,\infty]

함수

f\colon[a,b]\to\mathbb{R}

에 대하여 다음 세 조건은 서로 동치이다.
*

\operatorname V(f) < \infty

f = g-h

인 두 증가 함수

g,h \colon [a,b]\to\mathbb R

(

a\le s\le t\le b \implies g(s) \le  g(t),\;h(s) \le h(t)

)가 존재한다.
* 연속 함수의 공간

\mathcal C^0([a,b])

위에 유계 작용소

\mathcal C^0([a,b]) \to \mathbb R

g \mapsto \textstyle\int g\,\mathrm df

를 정의한다. (이 적분은 르베그-스틸티어스 적분이다.)

위의 조건을 만족시키는 함수를 유계 변동 함수라고 한다. 즉,
:

f \in \operatorname{BV}([a,b]) \iff V_a^b(f) < +\infty

실수 함수

f

가

[a,b]

에서 유계 변동인 것은

[a,b]

에서 두 개의 단조 증가 함수

f_1

과

f_2

의 차이

f=f_1-f_2

[a, b]

에서 유계 변동 함수는

C([a, b])

\operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)

로 표기하고,

(\operatorname{BV}([a,b],\mathbb{R}), \|-\|_{\operatorname L^1} + \operatorname{V}(-))

는 노름 공간을 이룬다.

만약 f가 미분가능하고 도함수가 리만 적분 가능하면, 총변동은 그래프의 호 길이의 수직 성분과 같다.
:

V_a^b(f) = \int _a^b |f'(x)|\,\mathrm{d}x.

3.2. 다차원 유계 변동 함수

유계 열린집합 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ 이 주어졌을 때, 함수 $f\in\operatorname{L}^1(\Omega, \mathbb{R})$ 의 전변동은 다음과 같이 정의된다.
: $\operatorname V(f) = \sup_{\mathbf g\in X} \int_\Omega f(x)\nabla\cdot \mathbf g(x)\,\mathrm dx$
여기서
: $X = \operatorname{cl}(\operatorname{ball}_{\operatorname L^\infty(\Omega,\mathbb R^n))}(0,1)) \cap \mathcal C^1_{\text{comp}}(\Omega,\mathbb R^n)$ 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
* 연속 미분 가능 함수이다 ( $\mathcal C^1$ ).
* 어떤 콤팩트 집합 $K\subseteq \Omega$ 에 대하여, $\forall x\in \Omega\setminus K\colon \mathbf g(x) = \mathbf0$ 이다.
* 노름이 1 이하이다. 즉, $\forall x\in\Omega \colon \|\mathbf g(x)\| \le 1$ 이다. 여기서 $\operatorname{vol}(-)$ 은 유클리드 공간의 르베그 측도이다. (즉, $\mathbf g$ 의 $\operatorname L^\infty$ -노름이 1 이하이다.)

전변동이 유한한 함수들의 공간은 $\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$ 로 표기하며, 다음과 같다.
: $\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R) = \{f\in\operatorname L^1(\Omega,\mathbb R)\colon \|f\|_{\operatorname{BV}} < \infty \}$
$\|f\|_{\operatorname{BV}} = \|f\|_{\operatorname{L}^1} + \operatorname{V}(f)$ 는 바나흐 공간을 이룬다.

분포적 미분이 유한 측도인 함수로 정의할 수 있다. 즉, $\Omega$ 를 $\mathbb{R}^n$ 의 열린 집합이라고 할 때, $L^1(\Omega)$ 에 속하는 함수 $u$ 는 다음을 만족하는 유한 벡터 측도 $Du\in\mathcal M(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 가 존재하면 유계 변동 (BV 함수)라고 하며, $u\in \operatorname\operatorname{BV}(\Omega)$ 로 표기한다.

: $\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\,\mathrm{d}x = - \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, Du(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$

여기서 $\boldsymbol{\phi}$ 는 $\Omega$ 에 포함된 콤팩트 지지도를 가진 연속 미분 가능 벡터 함수이다. 벡터 측도 $Du$ 는 $u$ 의 분포 또는 약한 기울기를 나타낸다.

혹은, $L^1(\Omega)$ 에 속하는 함수 $u$ 가 주어지면, $\Omega$ 에서 $u$ 의 총 변동은 다음과 같이 정의된다.

: $V(u,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x : \boldsymbol{\phi} \in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}$

여기서 $\Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}$ 는 본질적 상한 노름이다. Caccioppoli 집합 이론에서는 $\int_\Omega\vert D u\vert = V(u,\Omega)$ 와 같은 표기법을 사용한다.

유계 변동 함수 (BV 함수)의 공간은 다음과 같이 정의된다.

: $\operatorname\operatorname{BV}(\Omega)=\{ u\in L^1(\Omega)\colon V(u,\Omega)<+\infty\}$

4. 성질

다음은 주어진 소스를 바탕으로 섹션 "성질" 아래의 하위 섹션 내용을 위키텍스트 형식으로 작성한 것입니다.

```text
==== 연산에 대한 닫힘 ====
열린집합 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ 에 대하여, $f, g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$이면 다음이 성립한다.

* $f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$
* $fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$
* $(|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\qquad\forall a>0$

매끄럽지 않은 함수에 대한 연쇄 법칙은 수학과 수리물리학에서 매우 중요한데, 매끄러움 정도가 매우 제한적인 함수 또는 범함수로 설명되는 중요한 물리적 모델이 여러 개 있기 때문이다. 'BV' 함수에 대한 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

:$\frac{\partial v(\boldsymbol{x})u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} = {\bar u(\boldsymbol{x})}\frac{\partial v(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} + {\bar v(\boldsymbol{x})}\frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} $

==== 포함 관계 ====
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\mathcal C_{\text{comp}}^1(\Omega,\mathbb R) \subseteq \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)$
그러나
: $\mathcal C_{\text{comp}}^0(\Omega,\mathbb R) \not\subseteq\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)$
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

==== 전변동 ====
만약 $f\in\mathcal C^2([a,b])$ 일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.
: $\operatorname Vf = \int_a^b\,|f'(x)|\,\mathrm dx$
마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\Omega$ 에 대하여
* $\operatorname{cl}(\Omega)$ 가 콤팩트 집합이며,
* $\partial\Omega$ 가 어떤 매끄러운 다양체의 $\mathcal C^1$ 매장이라면,
$f \colon \operatorname{cl}(\Omega) \to \mathbb R$ 의 경우 $f\restriction \Omega$ 는 유계 변동 함수이며,
: $\operatorname V(f\restriction\Omega) = \int_\Omega |\nabla f|$
이다. 함수 $V(\cdot,\Omega):\operatorname{BV}(\Omega)\rightarrow \mathbb{R}^+$ 는 아래쪽 반연속이다.

BV 함수들의 코시 수열 $\{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 을 선택하여 $u\in L^1_\text{loc}(\Omega)$ 로 수렴하게 한다. 그러면 수열의 모든 함수와 극한 함수가 적분 가능하고 하한의 정의에 의해,

: $\begin{align}\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)&\geq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\&\geq \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\&= \int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \qquad\forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\quad\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1\end{align}$

이제 $\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1$ 을 만족하는 함수 $\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 의 집합에 대한 상한을 고려하면, 다음 부등식이 성립한다.

: $\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)\geq V(u,\Omega)$

이것이 바로 아래쪽 반연속성의 정의이다.

==== 특이점 ====
유계 변동 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 는 두 증가 함수의 차이이므로, $[a, b]$ 의 가산 개 점을 제외한 곳에서 연속이며, $[a, b]$ 의 거의 어디서나 $f$ 의 도함수가 존재한다(르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 $|f'|$ 는 르베그 적분 가능하다.

한 변수의 경우, 함수 $u$ 의 정의 구간 $[a , b]\subset\mathbb{R}$ 의 각 점 $x_0$ 에 대해 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이다.

여러 변수의 함수인 경우, 주어진 점 $x_0$ 가 속한 방향의 연속체가 있으며, 적절한 극한의 개념을 명확히 할 필요가 있다. 단위 벡터 ${\boldsymbol{\hat{a}}}\in\mathbb{R}^n$ 을 선택하면 $\Omega$ 를 두 집합으로 나눌 수 있다.

BV 함수 $u$ 의 정의 영역 $\Omega\in\mathbb{R}^n$ 에 속하는 각 점 $x_0$ 에 대해서도 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이거나, $x_0$ 는 0의 $n-1$ 차원 하우스도르프 측도를 갖는 $\Omega$ 의 부분 집합에 속한다.

==== 분해 불가능성 ====
$\operatorname{BV}([a,b],\mathbb{R})$ 는 분해 가능 공간이 아니다.

임의의 $\alpha\in(a,b)$ 에 대하여, 지시 함수
: $1_{[\alpha,b]} \in \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)$
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립한다.
: $\|1_{[\alpha,b]} - 1_{[\beta,b]}\|_{\operatorname{BV}} = 2 + |\alpha-\beta|\qquad\forall \alpha,\beta\in[a,b],\;\alpha\ne\beta$

임의의 $\alpha\in(a,b)$ 에 대하여 열린 공들의 족
: $\operatorname{ball}(1_{[\alpha,b]},1)$
을 생각하면, 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이룬다.

공간 $\operatorname{BV}([0,1])$ 에 속하는 다음 예시를 고려해보자. 각 0 < α < 1에 대해, 왼쪽 닫힌 구간 $[\alpha,1]$ 의 특성 함수인 지시 함수 $\chi_\alpha=\chi_{[\alpha,1]}$ 를 정의한다. $\alpha,\beta \in [0,1]$ 이고 $\alpha \ne \beta$ 이면, 다음 관계가 성립한다.
: $\Vert \chi_\alpha - \chi_\beta \Vert_{\operatorname{BV}}=2$

모든 $\alpha\in[0,1]$ 에 대해 공 $B_\alpha=\left\{\psi\in \operatorname{BV}([0,1]);\Vert \chi_\alpha - \psi \Vert_{\operatorname{BV}}\leq 1\right\}$ 을 구성할 수 있다. 이 공들은 상호소 집합이며, 색인 집합이 $[0,1]$ 인 색인화된 족의 집합들이다. 이는 이 족이 연속체의 기수를 가짐을 의미한다. $\operatorname{BV}([0,1])$ 의 모든 조밀 부분 집합은 이 족의 각 구성원 내부에 적어도 하나의 점을 가져야 하므로, 그 기수는 연속체의 기수 이상이며 따라서 가산 부분 집합이 될 수 없다.

4.1. 연산에 대한 닫힘

열린집합 $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$에 대하여, $f, g\in\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$이면 다음이 성립한다.

* $f + g \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$
* $fg \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})$
* $(|f|+a)^{-1} \in \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb{R})\qquad\forall a>0$

매끄럽지 않은 함수에 대한 연쇄 법칙은 수학과 수리물리학에서 매우 중요한데, 매끄러움 정도가 매우 제한적인 함수 또는 범함수로 설명되는 중요한 물리적 모델이 여러 개 있기 때문이다. 'BV' 함수에 대한 라이프니츠 규칙은 다음과 같다.

:$\frac{\partial v(\boldsymbol{x})u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} = {\bar u(\boldsymbol{x})}\frac{\partial v(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} + {\bar v(\boldsymbol{x})}\frac{\partial u(\boldsymbol{x})}{\partial x_i} $

4.2. 포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
: $\mathcal C_{\text{comp}}^1(\Omega,\mathbb R) \subseteq \operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)$
그러나
: $\mathcal C_{\text{comp}}^0(\Omega,\mathbb R) \not\subseteq\operatorname{BV}(\Omega,\mathbb R)$
이다. 즉, 콤팩트 공간 위에서, 연속 미분 가능 함수는 유계 변동 함수이지만, 연속 함수는 유계 변동 함수가 아닐 수 있다.

4.3. 전변동

만약 $f\in\mathcal C^2([a,b])$ 일 경우, 그 전변동은 다음과 같다.
: $\operatorname Vf = \int_a^b\,|f'(x)|\,\mathrm dx$
마찬가지로, 만약 어떤 열린집합 $\Omega$ 에 대하여
* $\operatorname{cl}(\Omega)$ 가 콤팩트 집합이며,
* $\partial\Omega$ 가 어떤 매끄러운 다양체의 $\mathcal C^1$ 매장이라면,
$f \colon \operatorname{cl}(\Omega) \to \mathbb R$ 의 경우 $f\restriction \Omega$ 는 유계 변동 함수이며,
: $\operatorname V(f\restriction\Omega) = \int_\Omega |\nabla f|$
이다. 함수 $V(\cdot,\Omega):\operatorname{BV}(\Omega)\rightarrow \mathbb{R}^+$ 는 아래쪽 반연속이다.

BV 함수들의 코시 수열 $\{u_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ 을 선택하여 $u\in L^1_\text{loc}(\Omega)$ 로 수렴하게 한다. 그러면 수열의 모든 함수와 극한 함수가 적분 가능하고 하한의 정의에 의해,

: $\begin{align}\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)&\geq \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\&\geq \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} u_n(x)\operatorname{div}\, \boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \\&= \int_\Omega u(x)\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}\, \mathrm{d}x \qquad\forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\quad\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1\end{align}$

이제 $\Vert\boldsymbol{\phi}\Vert_{L^\infty(\Omega)}\leq 1$ 을 만족하는 함수 $\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 의 집합에 대한 상한을 고려하면, 다음 부등식이 성립한다.

: $\liminf_{n\rightarrow\infty}V(u_n,\Omega)\geq V(u,\Omega)$

이것이 바로 아래쪽 반연속성의 정의이다.

4.4. 특이점

유계 변동 함수 $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ 는 두 증가 함수의 차이이므로, $[a, b]$ 의 가산 개 점을 제외한 곳에서 연속이며, $[a, b]$ 의 거의 어디서나 $f$ 의 도함수가 존재한다(르베그 미분가능성 정리 참조). 또한 $|f'|$ 는 르베그 적분 가능하다.

한 변수의 경우, 함수 $u$ 의 정의 구간 $[a , b]\subset\mathbb{R}$ 의 각 점 $x_0$ 에 대해 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이다.

여러 변수의 함수인 경우, 주어진 점 $x_0$ 가 속한 방향의 연속체가 있으며, 적절한 극한의 개념을 명확히 할 필요가 있다. 단위 벡터 ${\boldsymbol{\hat{a}}}\in\mathbb{R}^n$ 을 선택하면 $\Omega$ 를 두 집합으로 나눌 수 있다.

BV 함수 $u$ 의 정의 영역 $\Omega\in\mathbb{R}^n$ 에 속하는 각 점 $x_0$ 에 대해서도 두 극한값이 같거나, 같지 않은 두가지 경우중 하나가 참이거나, $x_0$ 는 0의 $n-1$ 차원 하우스도르프 측도를 갖는 $\Omega$ 의 부분 집합에 속한다.

4.5. 분해 불가능성

$\operatorname{BV}([a,b],\mathbb{R})$ 는 분해 가능 공간이 아니다.

임의의 $\alpha\in(a,b)$ 에 대하여, 지시 함수
: $1_{[\alpha,b]} \in \operatorname{BV}([a,b],\mathbb R)$
를 생각하자. 이 경우, 다음이 성립한다.
: $\|1_{[\alpha,b]} - 1_{[\beta,b]}\|_{\operatorname{BV}} = 2 + |\alpha-\beta|\qquad\forall \alpha,\beta\in[a,b],\;\alpha\ne\beta$

임의의 $\alpha\in(a,b)$ 에 대하여 열린 공들의 족
: $\operatorname{ball}(1_{[\alpha,b]},1)$
을 생각하면, 이들은 비가산 무한 개의 열린집합으로 구성된 서로소 집합족을 이룬다.

공간 $\operatorname{BV}([0,1])$ 에 속하는 다음 예시를 고려해보자. 각 0 < α < 1에 대해, 왼쪽 닫힌 구간 $[\alpha,1]$ 의 특성 함수인 지시 함수 $\chi_\alpha=\chi_{[\alpha,1]}$ 를 정의한다. $\alpha,\beta \in [0,1]$ 이고 $\alpha \ne \beta$ 이면, 다음 관계가 성립한다.
: $\Vert \chi_\alpha - \chi_\beta \Vert_{\operatorname{BV}}=2$

모든 $\alpha\in[0,1]$ 에 대해 공 $B_\alpha=\left\{\psi\in \operatorname{BV}([0,1]);\Vert \chi_\alpha - \psi \Vert_{\operatorname{BV}}\leq 1\right\}$ 을 구성할 수 있다. 이 공들은 상호소 집합이며, 색인 집합이 $[0,1]$ 인 색인화된 족의 집합들이다. 이는 이 족이 연속체의 기수를 가짐을 의미한다. $\operatorname{BV}([0,1])$ 의 모든 조밀 부분 집합은 이 족의 각 구성원 내부에 적어도 하나의 점을 가져야 하므로, 그 기수는 연속체의 기수 이상이며 따라서 가산 부분 집합이 될 수 없다.

5. 예

다음과 같은 함수는 $[0,1]$ 에서 유계 함수이고 $(0,1]$ 에서 연속 함수지만, $[0,1]$ 에서 유계 변동 함수가 아니다.
: $f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ \sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}$
$\operatorname V(f) = \int_0^1 | x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm dx = \infty$

다음과 같은 함수는

[0,1]

에서 유계 함수이고

[0,1]

에서 연속 함수지만

[0,1]

에서 유계 변동 함수가 아니다.
:

f(x) = \begin{cases} 0&x = 0 \\ x\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}

\operatorname V(f) = \int_0^1 |\sin x^{-1} - x^{-1}\cos x^{-1}|\,\mathrm dx = \infty

다음과 같은 함수는

[0,1]

에서 유계 함수이고, 연속 함수이며, 유계 변동 함수이다.
:

f(x) = \begin{cases} 0&x =0 \\ x^2\sin(1/x)& x \ne 0 \end{cases}

\operatorname V(f) = \int_0^1 |2x\sin x^{-1} - \cos x^{-1}|\,\mathrm dx < \int_0^1 (2x + 1)\,\mathrm dx = 2

BV 함수의 두 가지 큰 예시는 단조 함수와 절대 연속 함수이다. 모든 단조 유계 함수는 유계 변동 함수이다. 구간

[a,b]

에서의 이러한 함수

f

와 이 구간의 임의의 분할

P=\{x_0,\ldots,x_{n_P}\}

에 대해,

:

\sum_{i=0}^{n_P-1}|f(x_{i+1})-f(x_i)|=|f(b)-f(a)|

라는 사실로부터 알 수 있다. 좌변의 합이 테이퍼링이기 때문이다. 이로부터, 이러한

f

에 대해,

:

V_a^b(f)=|f(b)-f(a)|.

가 성립한다. 특히, 단조 칸토어 함수는 절대 연속적이지 않은 유계 변동 함수의 잘 알려진 예이다.

6. 응용

유계 변동 함수는 불연속성을 다룰 수 있다는 특징을 가지며, 이러한 특징은 여러 응용 과학 분야에서 널리 활용되도록 한다. 역학, 물리학, 화학 반응 속도 문제의 해는 유계 변동 함수로 표현될 수 있다.

* 멈포드-샤(Mumford–Shah) 함수: 2차원 이미지의 분할 문제, 즉 윤곽선과 회색조를 충실하게 재현하는 문제는 이러한 함수의 최소값을 구하는 것과 같다.
* 총 변동 노이즈 제거

유계 변동 함수

1. 개요

2. 역사

3. 정의

3.1. 1차원 유계 변동 함수

3.2. 다차원 유계 변동 함수

4. 성질

4.1. 연산에 대한 닫힘

4.2. 포함 관계

4.3. 전변동

4.4. 특이점

4.5. 분해 불가능성

5. 예

6. 응용

7. 같이 보기