여과 확률 공간

1. 개요

여과 확률 공간은 확률론에서 사용되는 개념으로, 확률 공간과 시그마 대수의 증가하는 집합(여과)으로 구성된다. 이는 시간의 흐름에 따라 이용 가능한 정보의 양이 증가하는 상황을 수학적으로 모델링한다. 여과 확률 공간은 오른쪽 연속성, 완비성과 같은 추가적인 조건을 가질 수 있으며, 이러한 조건들은 확률 과정의 분석에 중요한 역할을 한다. 특히 자연 여과는 확률 과정에 의해 생성되는 여과 확률 공간을 나타낸다.

2. 정의

여과 확률 공간은 다음 데이터로 주어진다.

* 하계 $0\backslash in\; T$와 상계 $\backslash infty\backslash in\; T$를 갖는 전순서 집합 $(T,\backslash le)$
* 집합 $\backslash Omega$
* 각 $t\backslash in\; T$에 대하여, $\backslash Omega$ 위의 시그마 대수 $\backslash mathcal\; F\_t\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pow\}(\backslash Omega)$
* 확률 공간 구조 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F\_\backslash infty,\backslash Pr)$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

* $\backslash mathcal\; F\backslash colon\; T\; \backslash to\backslash operatorname\{Pow\}(\backslash operatorname\{Pow\}(\backslash Omega))$는 증가 함수이다. 즉, 임의의 $s,t\backslash in\; T$에 대하여, 만약 $s\backslash le\; t$라면, $\backslash mathcal\; F\_s\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\; F\_t$이다.
* (오른쪽 연속성 右連續性 right-continuity^영어) 임의의 $t\backslash in\; T$에 대하여,
* (완비성) $\backslash textstyle\backslash bigcup\_\{A\backslash in\backslash mathcal\; F\_\backslash infty\backslash colon\; \backslash Pr(A)\; =\; 0\}\; \backslash operatorname\{Pow\}(A)\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\; F\_0$

보통, $T\; =\; [0,\backslash infty]$ (연속 시간) 또는 $T\; =\; \backslash mathbb\; N\; \backslash sqcup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$ (이산 시간)를 사용한다.

시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, $T$의 하계의 존재는 크게 중요하지 않다. 만약 $T$에 하계가 존재하지 않는다면, 여기에 하계 $0$을 추가하고,
:$\backslash mathcal\; F\_0\; =\; \backslash bigcap\_\{t\backslash in\; T\}\backslash mathcal\; F\_t$
를 정의할 수 있다. 반면, $T$의 상계의 존재는 덜 자명하다. 시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 합집합으로 생성되는 시그마 대수를 취하더라도, 여기에 확률 측도가 잘 정의되는지 여부는 일반적으로 자명하지 않다. $T$의 상계에서의 시그마 대수 $\backslash mathcal\; F\_\backslash infty$는 어떤 전지적(全知的) 인물의 지식을 나타낸다.

오른쪽 연속성과 완비성은 보다 전문적인 조건이며, 대부분의 정리들을 증명할 때 필요하다. 이들은 대략 다음과 같이 해석될 수 있다.
* 오른쪽 연속성: 현재의 지식은 모든 미래 지식들의 교집합이다. (반면, 현재의 지식은 과거의 지식들의 합집합이 아닐 수 있는데, 이는 정확히 현재에 새 정보를 알 수 있기 때문이다.)
* 완비성: 만약 어떤 사건이 불가능하다면(또는 확실하다면), 그 불가능성(또는 확실성)은 처음부터 알 수 있다.

일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 ‘표준 여과 확률 공간’(standard filtered probability space^영어) 또는 ‘보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간’(filtered probability space satisfying the usual conditions^영어)이라고 둘러 일컫게 된다.

확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; P)$이 주어지고, $I$가 전순서 $\backslash leq$를 가진 인덱스 집합이라고 하자 (주로 $\backslash N$, $\backslash R^+$, 또는 $\backslash mathbb\; R^+$의 부분 집합).

모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해, $\backslash mathcal\; F\_i$를 $\backslash mathcal\; A$의 부분 σ-대수라고 하자. 그러면
:$\backslash mathbb\; F:=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$
는 여과(filtration)라고 불리며, 모든 $k\; \backslash leq\; \backslash ell$에 대해 $\backslash mathcal\; F\_k\; \backslash subseteq\; \backslash mathcal\; F\_\backslash ell$이다. 따라서 여과는 감소하지 않는 순서로 정렬된 σ-대수의 모임이다. 만약 $\backslash mathbb\; F$가 여과라면, $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mathbb\; F,\; P)$를 여과 확률 공간이라고 부른다.

3. 추가 조건

시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, $T$의 하계의 존재는 크게 중요하지 않다. 만약 $T$에 하계가 존재하지 않는다면, 여기에 하계 $0$을 추가하고,
:$\backslash mathcal\; F\_0\; =\; \backslash bigcap\_\{t\backslash in\; T\}\backslash mathcal\; F\_t$
를 정의할 수 있다. 반면, $T$의 상계의 존재는 덜 자명하다. 시그마 대수는 (가산 또는 비가산) 합집합에 대하여 닫혀 있지 않으며, 합집합으로 생성되는 시그마 대수를 취하더라도, 여기에 확률 측도가 잘 정의되는지 여부는 일반적으로 자명하지 않다. $T$의 상계에서의 시그마 대수 $\backslash mathcal\; F\_\backslash infty$는 어떤 전지적(全知的) 인물의 지식을 나타낸다.

오른쪽 연속성과 완비성은 보다 전문적인 조건이며, 대부분의 정리들을 증명할 때 필요하다. 이들은 대략 다음과 같이 해석될 수 있다.
* 오른쪽 연속성: 현재의 지식은 모든 미래 지식들의 교집합이다. (반면, 현재의 지식은 과거의 지식들의 합집합이 아닐 수 있는데, 이는 정확히 현재에 새 정보를 알 수 있기 때문이다.)
* 완비성: 만약 어떤 사건이 불가능하다면(또는 확실하다면), 그 불가능성(또는 확실성)은 처음부터 알 수 있다.
일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 ‘표준 여과 확률 공간’(standard filtered probability space^영어) 또는 ‘보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간’(filtered probability space satisfying the usual conditions^영어)이라고 둘러 일컫게 된다.

여과 확률 공간에서 오른쪽 연속성은 임의의 $t\backslash in\; T$에 대하여,

만약 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 필터레이션이라면, 이에 대응하는 우연속 필터레이션(right-continuous filtration)은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash mathbb\; F^+:=\; (\backslash mathcal\; F\_i^+)\_\{i\; \backslash in\; I\}$
여기서
:$\backslash mathcal\; F\_i^+:=\; \backslash bigcap\_\{z\; >\; i\}\; \backslash mathcal\; F\_z$
이다. 필터레이션 $\backslash mathbb\; F$ 자체가 $\backslash mathbb\; F^+\; =\; \backslash mathbb\; F$일 때 우연속이라고 한다.

오른쪽 연속성은 완비성과 함께 여과 확률 공간 관련 정리들을 증명할 때 필요한 전문적인 조건이다. 일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되기도 하며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 '표준 여과 확률 공간' 또는 '보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간'이라고 부르기도 한다.

여과 확률 공간의 완비성은 만약 어떤 사건이 불가능하거나 확실하다면, 그 불가능성 또는 확실성은 처음부터 알 수 있다는 것을 의미한다. 일부 문헌에서는 완비성 조건이 생략되며, 이 조건을 만족시키는 여과 확률 공간을 '표준 여과 확률 공간'(standard filtered probability space^영어) 또는 '보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간'(filtered probability space satisfying the usual conditions^영어)이라고 부른다.

확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F,\; P)$가 주어졌을 때, $\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash subseteq\; \backslash Omega\; \backslash mid\; A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash text\{\; for\; some\; \}\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\; F\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$는 $P$-영집합에 포함되는 모든 집합의 집합으로 정의된다. 여과 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 모든 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함하면, 이를 완비 여과라고 부른다. 이는 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간임을 의미한다. (역은 반드시 성립하지 않는다.) $\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash in\; \backslash mathcal\; P(\backslash Omega)\; \backslash mid\; A\; \backslash subset\; B\; \backslash text\{\; for\; a\; \}\; B\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$를 $P$-영집합이라고 한다.

정보계 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$는 임의의 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함할 때 완비 정보계 (complete filtration)라고 한다. 이는 임의의 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간인 것과 동치이다.

3.1. 오른쪽 연속성

여과 확률 공간에서 오른쪽 연속성은 임의의 $t\backslash in\; T$에 대하여,

만약 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 필터레이션이라면, 이에 대응하는 우연속 필터레이션(right-continuous filtration)은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash mathbb\; F^+:=\; (\backslash mathcal\; F\_i^+)\_\{i\; \backslash in\; I\}$
여기서
:$\backslash mathcal\; F\_i^+:=\; \backslash bigcap\_\{z\; >\; i\}\; \backslash mathcal\; F\_z$
이다. 필터레이션 $\backslash mathbb\; F$ 자체가 $\backslash mathbb\; F^+\; =\; \backslash mathbb\; F$일 때 우연속이라고 한다.

오른쪽 연속성은 완비성과 함께 여과 확률 공간 관련 정리들을 증명할 때 필요한 전문적인 조건이다. 일부 문헌에서는 이 조건들이 생략되기도 하며, 이 조건들을 만족시키는 여과 확률 공간을 '표준 여과 확률 공간' 또는 '보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간'이라고 부르기도 한다.

3.2. 완비성

여과 확률 공간의 완비성은 만약 어떤 사건이 불가능하거나 확실하다면, 그 불가능성 또는 확실성은 처음부터 알 수 있다는 것을 의미한다. 일부 문헌에서는 완비성 조건이 생략되며, 이 조건을 만족시키는 여과 확률 공간을 '표준 여과 확률 공간'(standard filtered probability space^영어) 또는 '보통 조건을 만족시키는 여과 확률 공간'(filtered probability space satisfying the usual conditions^영어)이라고 부른다.

확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F,\; P)$가 주어졌을 때, $\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash subseteq\; \backslash Omega\; \backslash mid\; A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash text\{\; for\; some\; \}\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\; F\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$는 $P$-영집합에 포함되는 모든 집합의 집합으로 정의된다. 여과 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 모든 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함하면, 이를 완비 여과라고 부른다. 이는 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간임을 의미한다. (역은 반드시 성립하지 않는다.) $\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash in\; \backslash mathcal\; P(\backslash Omega)\; \backslash mid\; A\; \backslash subset\; B\; \backslash text\{\; for\; a\; \}\; B\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$를 $P$-영집합이라고 한다.

정보계 $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$는 임의의 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함할 때 완비 정보계 (complete filtration)라고 한다. 이는 임의의 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간인 것과 동치이다.

4. 자연 여과

전순서 집합 $(T,\backslash le)$을 지표 집합으로 하는, 완비 확률 공간 $(\backslash Omega,\backslash mathcal\; F,\backslash Pr)$ 위의 확률 과정 $(X\_t\backslash colon\backslash Omega\backslash to\; S)\_\{t\backslash in\; T\}$이 주어졌다고 하자. 또한, 표본 공간 $S$의 시그마 대수를 $\backslash mathcal\; A\backslash subseteq\backslash operatorname\{Pow\}(S)$라고 하자. 그렇다면, $T\backslash sqcup\backslash \{\backslash infty\backslash \}$ 위의 여과 확률 공간은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathcal\; F\_\backslash infty\; =\; \backslash mathcal\; F$
:$\backslash mathcal\; F\_t\; =\; \backslash sigma\backslash left(\backslash \{X\_s^\{-1\}(A)\backslash colon\; s\backslash le\; t,\backslash ;A\backslash in\backslash mathcal\; A\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{A\backslash in\backslash mathcal\; F\backslash colon\; \backslash Pr(A)\; =\; 0\backslash \}$
\right)

이를 $X\_t$에 대응하는 자연 여과 확률 공간(natural filtered probability space^영어)이라고 한다. 모든 확률 과정은 스스로의 자연 여과 확률 공간 위의 순응 확률 과정을 이룬다.

확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; P)$에서 $(X\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash N\}$을 확률 과정이라고 할 때, $\backslash sigma(X\_k\; \backslash mid\; k\; \backslash leq\; n)$을 확률 변수 $X\_1,\; X\_2,\; \backslash dots,\; X\_n$에 의해 생성된 σ-대수라고 하면,

:$\backslash mathcal\; F\_n:=\backslash sigma(X\_k\; \backslash mid\; k\; \backslash leq\; n)$

은 σ-대수이고, $\backslash mathbb\; F=\; (\backslash mathcal\; F\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash N\}$은 여과가 된다.

$\backslash mathbb\; F$는 정의에 의해 모든 $\backslash mathcal\; F\_n$은 σ-대수이고
:$\backslash sigma(X\_k\; \backslash mid\; k\; \backslash leq\; n)\; \backslash subseteq\; \backslash sigma(X\_k\; \backslash mid\; k\; \backslash leq\; n+1).$
이므로, $(X\_n)\_\{n\; \backslash in\; \backslash N\}$에 대한 $\backslash mathcal\; A$의 자연 여과가 된다.

5. 종류

5.1. 우연속 여과

만약 $\backslash mathbb\; F\; =\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 정보계일 때, 대응하는 우연속 정보계는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mathbb\; F^+\; :=\; (\backslash mathcal\; F\_i^+)\_\{i\; \backslash in\; I\}$

여기서

:

이다. 정보계 $\backslash mathbb\; F$는 $\backslash mathbb\; F^+\; =\; \backslash mathbb\; F$를 만족할 때 우연속이라고 한다.

5.2. 완비 여과

확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F,\; P)$가 주어졌을 때,

:$\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash subseteq\; \backslash Omega\; \backslash mid\; A\; \backslash subseteq\; B\; \backslash text\{\; for\; some\; \}\; B\; \backslash in\; \backslash mathcal\; F\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$

를 $P$-영집합에 포함되는 모든 집합의 집합으로 정의한다.

여과 $\backslash mathbb\; F\; =\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$가 모든 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함하면, 이를 완비 여과라고 부른다. 이는 모든 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간임을 의미한다. (역은 반드시 성립하지 않는다.)
:$\backslash mathcal\; N\_P:=\; \backslash \{A\; \backslash in\; \backslash mathcal\; P(\backslash Omega)\; \backslash mid\; A\; \backslash subset\; B\; \backslash text\{\; for\; a\; \}\; B\; \backslash text\{\; with\; \}\; P(B)=0\; \backslash \}$를 $P$-영집합이라고 한다.

정보계 $\backslash mathbb\; F\; =\; (\backslash mathcal\; F\_i)\_\{i\; \backslash in\; I\}$는 임의의 $\backslash mathcal\; F\_i$가 $\backslash mathcal\; N\_P$를 포함할 때 완비 정보계 (complete filtration)라고 한다. 이는 임의의 $i\; \backslash in\; I$에 대해 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; F\_i,\; P)$가 완비 측도 공간인 것과 동치이다.

5.3. 확장 여과

필터레이션은 완전하고 오른쪽 연속일 경우 확장 필터레이션이라고 한다. 모든 필터레이션 $\backslash mathbb\; F$에 대해 $\backslash mathbb\; F$를 세분화하는 가장 작은 확장 필터레이션 $\backslash tilde\; \{\backslash mathbb\; F\}$이 존재한다.

필터레이션이 확장 필터레이션이면, 일반적인 가설 또는 일반적인 조건을 만족한다고 말한다. 정보계가 오른쪽 연속이고 완전할 때 확대 정보계(augmented filtration)라고 하며, 임의의 정보계 $\backslash mathbb\; F$에 대해 최소의 확대 정보계 $\backslash tilde\; \{\backslash mathbb\; F\}$가 존재한다.

정보계가 확대 정보계일 때, 여과 확률 공간 $(\backslash Omega,\; \backslash mathcal\; A,\; \backslash mathbb\; F,\; P)$는 완비(complete)라고 하거나, 통상적인 가정(usual hypothese) 또는 통상적인 조건(usual condition)이 충족된다고 한다.

6. 응용