중위 투표자 정리

3. 중위 투표자 정리의 가정 및 성립 조건

중위 투표자 정리가 성립하기 위해서는 몇 가지 가정이 필요하다. 다수결 투표에서 항상 중위 투표자 정리가 성립하는 것은 아니며, 다음과 같은 조건이 만족되어야 한다.

• 단일 쟁점(1차원): 투표의 쟁점이 하나여야 한다.^[18]
• 단봉형 선호(Single Peaked Preference): 각 투표자의 선호는 단봉형 선호여야 한다.^[7]
• 투표자 수: 일반적으로 투표자 수가 홀수여야 한다.^[21]

3. 1. 투표자의 수

3. 2. 단일 쟁점(1차원)

• 선호도가 근접성 순으로 투표된다는 가정은 단봉 선호도라고 말하도록 완화될 수 있다.^[7]
• 의견이 실선 위에 있다는 가정은 더 일반적인 위상 공간을 허용하도록 완화될 수 있다.^[8]
• '''공간 / 가치 모델:''' 각 후보가 공간에서의 위치 외에 가치(매력)를 가지고, 유권자 ''i''가 후보 ''j''의 순위를 ''v_j'' – ''d_ij''의 감소 순으로 매긴다고 가정하자.(여기서 ''v_j''는 ''j''의 가치이고 ''d_ij''는 ''i''에서 ''j''까지의 거리이다.) 그러면 중위 투표자 정리는 여전히 적용된다. 콩도르세 방식은 중위 투표자가 투표한 후보를 선출한다.

3. 3. 단봉형 선호(Single Peaked Preference)

3. 4. 근접성 투표

3. 5. 추가적인 가정 완화

• 선호도가 근접한 순서로 투표된다는 가정은 단봉 선호도라고 하는 것으로 완화될 수 있다.^[7]
• 의견이 1차원 스펙트럼 위에 있다는 가정은 더 일반적인 위상 공간을 허용하도록 완화될 수 있다.^[8]

4. 중위 투표자 정리의 확장

중위 투표자 정리는 2차원 이상의 공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 가능한 유권자 분포에 대해 단일하고 고유한 "중위"가 존재하지 않기 때문이다.^[8] 예를 들어,

4. 1. 다차원 공간으로의 확장

4. 2. 모든 방향의 중앙값과 기하 중앙값 간의 관계

5. 중위 투표자 정리의 응용

이 정리는 특정 투표 제도의 최적성(및 최적성의 한계)을 밝힌다는 점에서 가치가 있다.^[12] 발레리오 도티는 이 정리가 정치경제학 문헌에서 매우 인기가 있다고 언급하며, 그 이유로 정치 과정의 다른 특징들을 배제하고 투표 인구의 일부 특성과 정책 결과 간의 관계에 대한 검증 가능한 함의를 도출하는 데 적용할 수 있다는 점을 들었다.^[12]

중위 투표자 정리는 다음과 같은 다양한 질문에 적용되어 왔다.

• 소득 불평등과 재분배 정책에서 정부 개입 규모 간의 관계 분석 (Meltzer and Richard, 1981)^[15]
• 이민 정책의 결정 요인 연구 (Razin and Sadka, 1999)^[16]
• 다양한 유형의 소득에 대한 과세 범위 연구 (Bassetto and Benhabib, 2006)^[17]

5. 1. 다운즈 모델(Downsian Model)

5. 2. 호텔링의 법칙(Hotelling's Law)

6. 중위 투표자 정리의 한계와 비판

공간 모형이 1차원을 넘어서면, 모든 유권자 분포에 대해 단일하고 고유한 "중위"가 존재하지 않기 때문에 중위 투표자 정리는 일반적으로 적용되기 어렵다. 그러나 몇 가지 제한적인 조건에서는 유사한 정리가 성립할 수 있다.

위 표는 콩도르세 후작이 제시한 선거 예시이다. 콩도르세 후작은 이 예시를 통해 보르다 점수에 문제가 있음을 지적했다.^[10] 왼쪽 표에서 콘도르세 승자는 A인데, A는 B보다 41:40으로, C보다 60:21로 선호되기 때문이다. 그러나 보르다 승자는 B이다. 도널드 사아리는 2차원에서 보르다 점수가 (콘도르세 승자가 아닌) 기하학적 중앙값에 의해 결정된 중심에 가장 가까운 후보를 올바르게 식별하는 예시를 제시했다.^[11]

위 그림은 유권자와 후보자의 가능한 구성을 보여주는데, 유권자는 단위 원의 원주 위에 위치한다. 이 경우, A의 평균 절대 편차는 1.15km²이고, B의 편차는 1.09km², C의 편차는 1.7km²이므로 B가 공간적 승자가 된다.

이처럼 선거는 두 가지 다른 공간적 표현이 서로 다른 최적의 승자를 제시한다는 점에서 모호성을 띤다. 이는 공간 모형에 대한 중위 지표를 채택함으로써 피하고자 했던 모호함이다. 중위 지표는 1차원에서는 그 목적을 달성하지만, 그 속성은 더 높은 차원으로 완전히 일반화되지 않는다.

6. 1. 현실 정치와의 괴리

위 표는 콩도르세 후작이 제시한 선거의 예시이다. 그는 이 예시가 보르다 점수에 문제가 있음을 보여준다고 결론지었다.^[10] 왼쪽 표에서 콘돌세 승자는 A인데, A는 B보다 41:40으로, C보다 60:21로 선호된다. 보르다 승자는 B이다. 그러나 도널드 사아리는 2차원에서 보르다 점수가 (콘돌세 승자가 아닌) 기하학적 중앙값에 의해 결정된 중심에 가장 가까운 후보를 올바르게 식별하는 예시를 구성한다.^[11]

위 그림은 유권자와 후보자의 가능한 구성을 보여주며, 유권자는 단위 원의 원주 위에 위치한다. 이 경우, A의 평균 절대 편차는 1.15km²이고, B의 편차는 1.09km², C의 편차는 1.7km²이므로 B가 공간적 승자가 된다.

따라서 선거는 두 가지 다른 공간적 표현이 두 가지 다른 최적의 승자를 암시한다는 점에서 모호하다. 이것이 바로 공간 모형에 대한 중위 지표를 채택하여 이전에 피하고자 했던 모호성이지만, 중위 지표는 1차원에서는 그 목적을 달성하지만, 그 속성은 더 높은 차원으로 완전히 일반화되지 않는다.

6. 2. 맥켈비-쇼필드 혼돈 정리(McKelvey–Schofield chaos theorem)

위 표는 콩도르세 후작이 제시한 선거 예시를 보여준다. 콩도르세 후작은 이 예시를 통해 보르다 점수에 문제가 있음을 지적했다.^[10] 왼쪽 표에서 콘도르세 승자는 A인데, A는 B보다 41:40으로, C보다 60:21로 선호되기 때문이다. 그러나 보르다 승자는 B이다. 도널드 사아리는 2차원에서 보르다 점수가 (콘도르세 승자가 아닌) 기하학적 중앙값에 의해 결정된 중심에 가장 가까운 후보를 올바르게 식별하는 예시를 제시했다.^[11]

위 그림은 유권자와 후보자의 가능한 구성을 보여주는데, 유권자는 단위 원의 원주 위에 위치한다. 이 경우, A의 평균 절대 편차는 1.15이고, B의 편차는 1.09 (C의 편차는 1.70)이므로 B가 공간적 승자가 된다.

따라서 선거는 두 가지 다른 공간적 표현이 두 가지 다른 최적의 승자를 암시한다는 점에서 모호하다. 이는 공간 모형에 대한 중위 지표를 채택하여 이전에는 피하고자 했던 모호성이지만, 중위 지표는 1차원에서는 그 목적을 달성하지만, 그 속성은 더 높은 차원으로 완전히 일반화되지 않는다.

참조

_[1] 학술지 On the Rationale of Group Decision-making https://www.journals[...] 1948-02-01
_[2] 서적 An Economic Theory of Democracy 1957
_[3] 서적 Public Sector Economics: The Role of Government in the American Economy https://books.google[...] Pearson Education
_[4] 학술지 Stability in Competition
_[5] 학술지 A Theory of Voting Equilibria https://www.cambridg[...] 1993-03
_[6] 학술지 Australia: No party convergence where we would most expect it http://journals.sage[...] 2023-07-21
_[7] 문서 See Black's paper.
_[8] 문서 Condorcet winners on median spaces 2014
_[9] 문서 If you like the alternative vote (a.k.a. the instant runoff), then you ought to know about the Coombs rule 2004
_[10] 문서 Numbers Rule 2010
_[11] 웹사이트 Voting Methods 2019
_[12] 학위논문 Multidimensional Voting Models https://discovery.uc[...] 2016
_[13] 문서 A Notion of Equilibrium and its Possibility Under Majority Rule 1967
_[14] 학술지 Implications of strategic position choices by candidates https://doi.org/10.1[...] 2023-09-01
_[15] 문서 A Rational Theory of the Size of Government 1981
_[16] 문서 Migration and Pension with International Capital Mobility 1999
_[17] 문서 Redistribution, Taxes, and the Median Voter 2006
_[18] 문서
_[19] 문서 On the Rationale of Group Decision-making 1948
_[20] 서적 Public Sector Economics: The Role of Government in the American Economy https://books.google[...]
_[21] 문서 See Black's paper.
_[22] 서적 An Economic Theory of Democracy 1957
_[23] 문서 If you like the alternative vote (a.k.a. the instant runoff), then you ought to know about the Coombs rule 2004
_[24] 저널 Stability in Competition