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짧은반지름

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목차

1. 개요

짧은반지름은 타원과 쌍곡선에서 사용되는 용어로, 타원에서는 두 초점을 지나는 선분을 수직이등분하는 짧은지름의 절반을 의미하며, 쌍곡선에서는 공액축 또는 단축의 절반을 의미한다. 타원의 경우, 짧은반지름은 궤도 이심률, 긴반지름, 초점으로부터의 거리의 최댓값과 최솟값 등을 사용하여 계산할 수 있다. 쌍곡선에서 짧은반지름은 궤도 이심률과 긴반지름을 이용하여 표현하며, 긴반지름보다 클 수도 있다.

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짧은반지름
기본 정보
명칭짧은반지름
다른 이름반단축
소반축
기하학
정의타원의 중심에서 단축의 끝점까지의 거리
타원과의 관계타원의 모양을 결정하는 두 축 중 하나
다른 축과의 관계장반축과 함께 타원의 모양과 크기를 정의

2. 타원

타원에서 짧은반지름은 두 초점을 지나는 선분을 수직이등분하는 짧은지름의 절반이다.

타원 궤도의 짧은반지름은 타원의 중심(초점 사이를 잇는 선분의 중심)에서 타원의 가장자리까지 뻗어 있다. 궤도 짧은반지름은 짧은축의 절반 길이이다. 짧은축은 긴축(장축)과 직교하며 타원의 가장자리를 잇는 선분 중 가장 긴 것이다.

궤도 짧은반지름 ''b''는 궤도 이심률 e, 반통경 l을 사용하여 궤도 긴반지름 a와 다음과 같은 관계가 있다.

:\begin{align}

b &= a \sqrt{1-e^2} \\

al &= b^2

\end{align}

타원의 궤도 짧은반지름은 초점으로부터의 거리의 최댓값 r_{\mathrm{max}}과 최솟값 r_{\mathrm{min}}, 즉 초점으로부터 긴축의 끝까지의 거리의 기하 평균이다.

: b = \sqrt{r_{\mathrm{max}}r_{\mathrm{min}}}.

포물선은 ''l''을 변경하지 않고, 하나의 초점을 고정하고 다른 하나를 한 방향으로 임의로 멀리 움직여 얻을 수 있다. 따라서 ''a''와 ''b'' 모두 무한대가 되지만, ''a''가 ''b''보다 더 빨리 커진다.

궤도 짧은반지름의 길이는 다음 식으로도 나타낼 수 있다[1]。

: 2b = \sqrt{(p+q)^2 -f^2}

여기서 f는 초점 사이의 거리이고, p와 q는 각각의 초점에서 타원 내의 점까지의 거리이다.

2. 1. 타원의 짧은반지름 공식

긴반지름이 \(a\), 짧은반지름이 \(b\)인 타원의 방정식은 다음과 같다.[1]

:\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1;\,\!

이심률 \(e\)는 다음과 같이 표현된다.[1]

:b = a \sqrt{1-e^2}\,\!

반통경 \(l\)을 사용하여 궤도 장반지름 \(a\)와 다음과 같은 관계를 가진다.[1]

:\begin{align}

b &= a \sqrt{1-e^2} \\

al &= b^2

\end{align}

초점으로부터의 거리의 최댓값 \(r_{\mathrm{max}}\)과 최솟값 \(r_{\mathrm{min}}\)의 기하 평균으로도 표현 가능하다.[1]

: b = \sqrt{r_{\mathrm{max}}r_{\mathrm{min}}}.

초점 사이의 거리를 f, 각각의 초점에서 타원 내의 점까지의 거리를 p, q라고 할 때, 짧은반지름은 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1]

: 2b = \sqrt{(p+q)^2 -f^2}

2. 2. 포물선과의 관계

3. 쌍곡선

쌍곡선에서 2''b''의 길이를 갖는 공액축 또는 단축은 타원의 단축에 해당하며, 두 꼭짓점을 잇는 주축 또는 장축에 수직인 선으로 그릴 수 있다. 단축의 종점 (0, ±''b'')은 쌍곡선의 꼭짓점의 위아래 점근선 높이에 위치한다. 길이 ''b''인 단축의 절반을 궤도 단반지름이라고 부른다.

중심에서 꼭짓점까지의 거리(장반지름)를 ''a''라고 할 때, 짧은반지름 ''b''를 포함한 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

짧은반지름과 긴반지름(장반지름)은 궤도 이심률을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:b = a \sqrt{e^2-1}.

쌍곡선에서는 ''b''의 값이 ''a''의 값보다 클 수 있다.

3. 1. 쌍곡선의 짧은반지름 공식

쌍곡선에서 2''b''의 길이를 갖는 공액축 또는 단축은 타원의 단축에 해당하며, 두 꼭짓점을 잇는 주축 또는 장축에 수직인 선으로 그릴 수 있다. 단축의 종점 (0, ±''b'')은 쌍곡선의 꼭짓점의 위아래 점근선 높이에 위치한다. 길이 ''b''인 단축의 절반을 궤도 단반지름이라고 부른다.

중심에서 꼭짓점까지의 거리(장반지름)를 ''a''라고 할 때, 짧은반지름 ''b''를 포함한 쌍곡선의 방정식은 다음과 같다.

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

짧은반지름과 긴반지름(장반지름)은 궤도 이심률을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:b = a \sqrt{e^2-1}.

쌍곡선에서는 ''b''의 값이 ''a''의 값보다 클 수 있다.

3. 2. 쌍곡선의 공액축

쌍곡선에서 2''b''의 길이를 갖는 공액축 또는 단축은 타원의 단축에 해당하며, 두 꼭짓점을 잇는 주축 또는 장축에 수직인 선으로 그릴 수 있다. 단축의 종점 (0, ±''b'')은 쌍곡선의 꼭짓점의 위아래 점근선 높이에 위치한다. 길이 ''b''인 단축의 절반을 궤도 짧은반지름이라고 부른다.

궤도 긴반지름의 길이 (중심에서 꼭짓점까지)를 ''a''라고 하면, 궤도 짧은반지름과 궤도 긴반지름의 길이는 다음 식으로 표현된다.

:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

궤도 짧은반지름과 궤도 긴반지름의 길이는 다음과 같이 궤도 이심률을 사용하여 관련 지을 수 있다.

:b = a \sqrt{e^2-1}.

쌍곡선에서는, ''b''의 값이 ''a''의 값보다 크다.


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