점근선

3. 점근선 판별 방법

Asymptote^영어 연구에서 가장 일반적으로 접하는 점근선은 $y\; =\; f(x)$ 형태의 곡선이다. 이는 극한을 사용하여 계산할 수 있으며, 방향에 따라 ''수평'', ''수직'', ''기울어진'' 점근선으로 분류된다.

직선 ''x'' = ''a''는 다음 중 적어도 하나가 참일 경우 함수 $y\; =\; f(x)$의 그래프의 ''세로 점근선''이다.^[6]

# $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a^\{-\}\}\; f(x)=\backslash pm\backslash infty,$

# $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; a^\{+\}\}\; f(x)=\backslash pm\backslash infty,$

여기서 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}$는 ''x''가 왼쪽에서 (더 작은 값에서) 값 ''a''로 접근할 때의 극한이고, $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}$는 ''x''가 오른쪽에서 ''a''로 접근할 때의 극한이다.

함수 ''ƒ''(''x'')는 ''a''에서 정의될 수도 있고 그렇지 않을 수도 있으며, 점 ''x'' = ''a''에서의 정확한 값은 점근선에 영향을 미치지 않는다. 함수의 그래프가 둘 이상의 점에서 세로 점근선 (또는 일반적으로 세로선)과 교차하는 것은 불가능하다. 또한, 함수가 정의된 각 점에서 연속이면 그래프가 세로 점근선과 교차하는 것은 불가능하다.

세로 점근선의 일반적인 예는 분모가 0이고 분자가 0이 아닌 점 x에서의 유리 함수의 경우이다.

''수평 점근선''은 함수 그래프가 $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$로 다가갈 때 근접하는 수평선이다. 수평선 ''y'' = ''c''는 함수 ''y'' = ''ƒ''(''x'')의 수평 점근선이며, 다음을 만족한다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}f(x)=c$ 또는 $\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}f(x)=c$.

첫 번째 경우, ''ƒ''(''x'')는 ''x''가 $-\backslash infty$로 향할 때 ''y'' = ''c''를 점근선으로 가지며, 두 번째 경우 ''x''가 $+\backslash infty$로 향할 때 ''ƒ''(''x'')는 ''y'' = ''c''를 점근선으로 가진다.

함수는 양쪽 또는 양쪽 모두에서 수평 점근선이 없을 수 있으며, 양쪽 방향에서 동일한 하나의 수평 점근선을 가질 수도 있다.

선형 점근선이 ''x''축 또는 ''y''축과 평행하지 않을 때, 이를 ''기울어진 점근선'' 또는 ''사선 점근선''이라고 부른다. 함수 ''ƒ''(''x'')가 직선 $y\; =\; mx\; +\; n$ (''m'' ≠ 0)에 점근한다는 것은

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; +\backslash infty\}\backslash left[\; f(x)-(mx+n)\backslash right]\; =\; 0\; \backslash ,\; \backslash mbox\{\; or\; \}\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; -\backslash infty\}\backslash left[\; f(x)-(mx+n)\backslash right]\; =\; 0.$

첫 번째 경우, 직선 $y\; =\; mx\; +\; n$은 ''x''가 +∞로 향할 때 ''ƒ''(''x'')의 기울어진 점근선이며, 두 번째 경우, 직선 $y\; =\; mx\; +\; n$은 ''x''가 −∞로 향할 때 ''ƒ''(''x'')의 기울어진 점근선이다.

대부분의 초등 함수의 점근선은 극한을 명시적으로 사용하지 않고 찾을 수 있다(비록 이러한 방법의 유도 과정은 일반적으로 극한을 사용하지만).

함수 ''f''(''x'')의 기울어진 점근선은 방정식 ''y'' = ''mx'' + ''n''으로 주어집니다. ''m''의 값은 먼저 계산되며 다음과 같이 주어집니다.

:$m\backslash ;\backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\backslash ,\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}f(x)/x$

여기서 ''a''는 연구 중인 경우에 따라 $-\backslash infty$ 또는 $+\backslash infty$이다. 두 경우를 개별적으로 처리하는 것이 좋다. 이 극한이 존재하지 않으면 해당 방향으로 기울어진 점근선이 없다.

''m''을 구한 다음에는 ''n''의 값을 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$n\backslash ;\backslash stackrel\{\backslash text\{def\}\}\{=\}\backslash ,\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow\; a\}(f(x)-mx)$

여기서 ''a''는 이전에 사용한 것과 동일한 값이어야 한다. 이 극한이 존재하지 않으면 ''m''을 정의하는 극한이 존재하더라도 해당 방향으로 기울어진 점근선이 없다. 그렇지 않으면 $y\; =\; mx\; +\; n$는 ''x''가 ''a''로 향할 때 ''ƒ''(''x'')의 기울어진 점근선이다.

분수 함수의 점근선 방정식은 다른 방법을 통해서도 구할 수 있다.

분수 함수의 식을 $y\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}$ (기약 분수식)으로 한다.

; ''y''축 평행 점근선

:$h(a\_i)\; =\; 0$을 만족하는 $a\_i$를 구한다. ($i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; n$). 기약식이므로 $g(a\_i)\; \backslash neq\; 0$이고, $x\; =\; a\_i$가 점근선이다.

; $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$에서 점근하는 직선

: 존재할 필요 충분 조건은 $\backslash deg\; g\; -\; \backslash deg\; h\; \backslash le\; 1$이다. 이 때, $g(x)\; \backslash div\; h(x)$의 몫 $q(x)$, 나머지 $r(x)$를 구한다. $\backslash deg\; q\; \backslash le\; 1$이며, 직선 $y\; =\; q(x)$가 $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$에서 점근하는 직선이다.

$\backslash deg\; g\; -\; \backslash deg\; h$의 값에 따라 점근선의 위치가 분류된다.

4. 여러 가지 함수의 점근선

미적분학 연구에서 가장 일반적으로 접하는 점근선은 형태의 곡선이다. 이는 극한을 사용하여 계산할 수 있으며, 방향에 따라 ''수평'', ''수직'', ''기울어진'' 점근선으로 분류된다.

• 수평 점근선: ''x''가 +∞ 또는 −∞로 갈 때 함수의 그래프가 접근하는 수평선이다. ''x''축과 평행하다.
• 수직 점근선: 함수가 경계 없이 증가하는 수직선(''x''축에 수직)이다.
• 기울어진 점근선: ''x''가 +∞ 또는 −∞로 갈 때 곡선과 선의 차이가 0에 접근하는 대각선이다.

그래프와 점근선이 아무리 멀리 떨어져 있어도 무한히 교차하는 예도 있다. 감쇠 곡선 (나 등)과 축이 그 예이다.

4. 1. 유리 함수

• $f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$의 그래프에서 곡선 위의 점의 좌표는 x가 0이 아닐 때 $\backslash left(x,\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash right)$ 형태이다.
• x의 값이 커질수록 해당 $y$ 값은 0에 가까워지지만, $\backslash frac\{1\}\{x\}$는 0이 되지 않으므로 곡선은 ''x''축에 닿지 않는다.
• x의 값이 작아질수록 해당 $y$ 값은 점점 더 커지므로, 곡선은 ''y''축에 가까워진다.
• 따라서 ''x''축과 ''y''축 모두 곡선의 점근선이다.

수직 점근선은 분모가 0일 때만 발생한다. 예를 들어, $f(x)=\backslash frac\{x^2-5x+6\}\{x^3-3x^2+2x\}=\backslash frac\{(x-2)(x-3)\}\{x(x-1)(x-2)\}$는 ''x'' = 0과 ''x'' = 1에서 수직 점근선을 갖지만, ''x'' = 2에서는 갖지 않는다.

분수 함수에서 분자의 차수가 분모보다 정확히 1 더 클 때, 함수는 기울어진 (사선) 점근선을 갖는다. 점근선은 분자와 분모를 나누기한 후의 다항식 항이다. 예를 들어, $f(x)=\backslash frac\{x^2+x+1\}\{x+1\}=x+\backslash frac\{1\}\{x+1\}$에서 ''x''의 값이 증가함에 따라, ''f''는 점근선 ''y'' = ''x''에 접근한다.

분수 함수의 점근선 방정식은 다음 방법으로 구할 수 있다.

분수 함수의 식을 $y\; =\; \backslash frac\{g(x)\}\{h(x)\}$ (기약 분수식)으로 한다.

; $y$축 평행 점근선

$h(a\_i)\; =\; 0$을 만족하는 $a\_i$를 구한다. ($i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; n$). 기약식이므로 $g(a\_i)\; \backslash neq\; 0$이고, $x\; =\; a\_i$가 점근선이다.

; $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$에서 점근하는 직선

존재할 필요충분조건은 $deg\; g\; -\; deg\; h\; \backslash le\; 1$이다. 이 때, $g(x)\; \backslash div\; h(x)$의 몫 $q(x)$, 나머지 $r(x)$를 구한다. $deg\; q\; \backslash le\; 1$이며, 직선 $y\; =\; q(x)$가 $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$에서 점근하는 직선이다.

(예)

:$y=\backslash frac\{x^3\; +2x^2-2x+2\}\{x^2\; -x\}\; =x+3+\backslash frac\{x+2\}\{x(x-1)\}$

점근선은, $y$축 평행 점근선은 $x\; =\; 0$, $x\; =\; 1$이고, $x\; \backslash to\; \backslash pm\backslash infty$에서 점근하는 직선은 $y\; =\; x\; +\; 3$이다.

$deg\; g\; -\; deg\; h$의 값에 따라 점근선의 위치가 분류된다.

4. 2. 무리 함수

4. 3. 삼각 함수

5. 매개변수로 표현된 곡선의 점근선

parameterized curve^영어로 표현된 평면 곡선를 생각해 보자. 이 곡선은 좌표로 주어진다. 여기서 는 일 수도 있고 는 일 수도 있다. 곡선 가 무한원점으로 향한다고 가정하면, 즉,

:$\backslash lim\_\{t\backslash rightarrow\; b\}(x^2(t)+y^2(t))=\backslash infty.$

이다.

이때, 직선 이 ''A''의 점근선이 되려면, 점 에서 까지의 거리가 로 갈 때 0으로 접근해야 한다.^[7] 이 정의에 따르면, 무한 가지를 가지는 열린 곡선만이 점근선을 가질 수 있으며, 닫힌 곡선은 점근선을 가질 수 없다.

예를 들어, 곡선 의 오른쪽 위 가지는 (여기서 ''t'' > 0)로 매개변수화될 수 있다. 일 때 이고, 곡선에서 ''x''축까지의 거리는 인데, 이는 로 갈 때 0으로 접근한다. 그러므로 ''x''축은 곡선의 점근선이다. 또한, 으로 오른쪽에서 갈 때 이고, 곡선과 ''y''축 사이의 거리는 ''t''인데, 이는 으로 갈 때 0으로 접근한다. 따라서 ''y''축도 점근선이다. 유사한 논증을 통해 곡선의 왼쪽 아래 가지도 동일한 두 선을 점근선으로 갖는다는 것을 알 수 있다.

점근선의 개념은 곡선의 매개변수화에 의존하지 않는다. 실제로, 선의 방정식이 이라면, 점 에서 선까지의 거리는 다음과 같다.

:$\backslash frac$

분수 함수에서는 분모가 0이 되는 지점에서 점근선이 되며, $x\; \backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$에서 점근선이 존재하는 경우가 있지만, 각각 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어

::$y=\backslash frac\{x^4\; +x^2\; +1\}\{x^2\; +1\}$

와 같은 함수는 $x\; \backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$에서 점근선이 존재하지 않는다.

무리 함수에서 점근선이 존재하는 것은

::$y=\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; k\_i\; \backslash sqrt[p\_i]\{(x-\; u\_i)^\{p\_i\}\; \backslash pm\; \{a\_i\}^\{p\_i\}\}\; +(bx+c)$ ($a\_i$ > 0)

의 형태에 한정된다(점근선은 $y=\; \backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; k\_i\; (x-\; u\_i\; )\; +bx+c$).

그래프와 점근선이 아무리 멀리 떨어져 있어도 무한히 교차하는 예도 있다. 감쇠 곡선($y\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$나 $y\; =\; e^\{-x\}\backslash sin\; x$ 등)과 $x$축이 그 예이다.

7. 대수 곡선의 점근선

8. 점근 원뿔

쌍곡선

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=\; 1$

은 두 개의 점근선을 갖는다.

:$y=\backslash pm\backslash frac\{b\}\{a\}x.$

이 두 직선의 합집합에 대한 방정식은

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=0.$

이다. 마찬가지로, 쌍곡면

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=1$

은 '''점근 원뿔'''^[16][17]을 갖는다고 한다.

:$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}-\backslash frac\{z^2\}\{c^2\}=0.$

쌍곡면과 원뿔 사이의 거리는 원점에서 거리가 무한대로 갈수록 0에 접근한다.

더 일반적으로, 암시적 방정식이 있는 표면을 고려해 보자.

:$P\_d(x,y,z)+P\_\{d-2\}(x,y,z)\; +\; \backslash cdots\; P\_0=0,$

여기서 $P\_i$는 차수 $i$의 동차 다항식이고 $P\_\{d-1\}=0$이다. 그러면 방정식 $P\_d(x,y,z)=0$은 원점을 중심으로 하는 원뿔을 정의한다. 이는 표면 위의 점이 무한대로 갈 때 원뿔까지의 거리가 0에 접근하기 때문에 '''점근 원뿔'''이라고 한다.

9. 점근선과 곡선 개형

곡선 곡선 개형을 그리는 과정에서 점근선은 무한대로 향하는 곡선의 행동을 보여주는 지침선 역할을 한다.^[10]

상수 함수, 다항 함수의 그래프에는 점근선이 존재하지 않는다. 점근선이 존재하는 가장 간단한 예는 함수 $f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{x\}$의 그래프이다. 이 그래프의 점근선은 직선 $x\; =\; 0$과 직선 $y\; =\; 0$이다.

다음은 좌표 평면상의 함수와 그 점근선의 예시이다.

분수 함수에서는 분모가 $0$이 되는 지점에서 점근선이 되며, $x\; \backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$에서 점근선이 존재하는 경우가 있지만, 각각 존재하지 않을 수도 있다.

그래프와 점근선이 아무리 멀리 떨어져 있어도 무한히 교차하는 예도 있다. 감쇠 곡선($y\; =\; \backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{x\}$나 $y\; =\; e^\{-x\}\backslash sin\; x$ 등)과 $x$축이 그 예이다.

참조

_[1] 서적 An elementary treatise on the differential calculus
_[2] 간행물 Asymptotes, Cubic Curves, and the Projective Plane
_[3] 사전 Oxford English Dictionary
_[4] 서적 History of Mathematics, vol 2 Dover
_[5] 서적 Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra https://archive.org/[...] John Wiley & Sons
_[6] 웹사이트 Asymptote https://books.google[...] The Penny Cyclopædia
_[7] 서적 Differential geometry P. Noordhoff N. V.
_[8] 서적 The elementary differential geometry of plane curves https://archive.org/[...] Cambridge, University Press
_[9] 기타 The British enciclopaedia, or dictionary of arts and sciences; comprising an accurate and popular view of the present improved state of human knowledge
_[10] 서적 An elementary treatise on curve tracing https://archive.org/[...]
_[11] 서적 The elementary differential geometry of plane curves https://archive.org/[...] Cambridge, University Press
_[12] 서적 An elementary treatise on curve tracing
_[13] 서적 Elementary Geometry of Algebraic Curves Cambridge University Press
_[14] 서적 A treatise on algebraic plane curves Dover Publications
_[15] 서적 Introduction to plane algebraic curves Birkhäuser Boston
_[16] 웹사이트 Analytic geometry https://books.google[...]
_[17] 웹사이트 Solid geometry https://books.google[...]
_[18] 웹사이트 Asymptotes https://web.archive.[...]
_[19] PDF 数研通信80号（2014年9月） https://www.chart.co[...]
_[20] 서적 An elementary treatise on the differential calculus https://books.google[...]
_[21] 간행물 Asymptotes, Cubic Curves, and the Projective Plane
_[22] 서적 岩波 数学入門辞典 岩波書店 2005-09-29
_[23] 서적 Differential geometry P. Noordhoff N. V.
_[24] 서적 An elementary treatise on the differential calculus
_[25] 간행물 Asymptotes, Cubic Curves, and the Projective Plane
_[26] 사전 Oxford English Dictionary
_[27] 서적 History of Mathematics, vol 2 Dover
_[28] 서적 Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra https://archive.org/[...] John Wiley & Sons