차플리긴 방정식

1. 개요

차플리긴 방정식은 2차원 포텐셜 흐름을 설명하는 편미분 방정식이다. 이 방정식은 유체 속도, 비 엔탈피, 밀도 등의 변수를 포함하는 연속 방정식과 오일러 방정식을 기반으로 유도된다. 속도 포텐셜과 르장드르 변환을 활용하여 독립 변수를 변환하고, 등엔트로피 흐름 조건을 적용하여 최종적인 차플리긴 방정식을 얻는다.

2. 유도

2차원 포텐셜 흐름의 경우, 직교 좌표 $(x,y)$에서 유체 속도 $(v\_x,v\_y)$, 비 엔탈피 $h$ 및 밀도 $\backslash rho$ 변수를 포함하는 연속 방정식과 오일러 방정식 (사실, 비회전성으로 인한 압축성 베르누이 방정식)은 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
\frac{\partial }{\partial x}(\rho v_x) + \frac{\partial }{\partial y}(\rho v_y) &=0,\\
h + \frac{1}{2}v^2 &= h_o.
\end{align}


여기서 상태 방정식 $\backslash rho=\backslash rho(s,h)$는 세 번째 방정식으로 작용하며, $h\_o$는 정체 엔탈피, $v^2\; =\; v\_x^2\; +\; v\_y^2$는 속도 벡터의 크기이고 $s$는 엔트로피이다. 등엔트로피 흐름의 경우 밀도는 엔탈피의 함수 $\backslash rho=\backslash rho(h)$로만 표현할 수 있으며, 이는 베르누이 방정식을 사용하여 $\backslash rho=\backslash rho(v)$로 쓸 수 있다.

흐름이 비회전성이므로 속도 포텐셜 $\backslash phi$가 존재하며, 미분은 $d\backslash phi\; =\; v\_x\; dx\; +\; v\_y\; dy$이다. $v\_x=v\_x(x,y)$ 및 $v\_y=v\_y(x,y)$를 종속 변수로 취급하는 대신, $x=x(v\_x,v\_y)$ 및 $y=y(v\_x,v\_y)$가 새로운 종속 변수가 되는 좌표 변환을 사용한다. 마찬가지로 속도 포텐셜은 새로운 함수(르장드르 변환)

:$\backslash Phi\; =\; xv\_x\; +\; yv\_y\; -\; \backslash phi$

로 대체된다. 따라서 미분은 $d\backslash Phi\; =\; xdv\_x\; +\; y\; dv\_y$이므로

:$x\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_x\},\; \backslash quad\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_y\}$

이다.

독립 변수에 대해 $(v\_x,v\_y)$에서 $(v,\backslash theta)$로의 또 다른 좌표 변환을 $v\_x\; =\; v\backslash cos\backslash theta$ 및 $v\_y\; =\; v\backslash sin\backslash theta$ 관계에 따라 도입한다. 여기서 $v$는 속도 벡터의 크기이고 $\backslash theta$는 속도 벡터가 $v\_x$ 축과 이루는 각도이며, 종속 변수는 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
x &= \cos\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}-\frac{\sin\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\
y &= \sin\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}+\frac{\cos\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\
\phi & = -\Phi + v\frac{\partial \Phi}{\partial v}.
\end{align}


새로운 좌표에서 연속 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{dv\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{v\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; \backslash theta^2\}\backslash right)\; +\; \backslash rho\; v\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v^2\}\; =0.$

등엔트로피 흐름의 경우, $dh=\backslash rho^\{-1\}c^2\; d\backslash rho$이며, 여기서 $c$는 음속이다. 베르누이 방정식을 사용하면

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{d\; v\}\; =\; \backslash rho\; \backslash left(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\backslash right)$

여기서 $c=c(v)$이다. 따라서, 다음을 얻는다.

:$$
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} +
\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial v^2}+v \frac{\partial \Phi}{\partial v}=0.

2.1. 직교 좌표계에서의 연속 방정식과 오일러 방정식

2차원 포텐셜 흐름의 경우, 직교 좌표 $(x,y)$에서 유체 속도 $(v\_x,v\_y)$, 비 엔탈피 $h$ 및 밀도 $\backslash rho$ 변수를 포함하는 연속 방정식과 오일러 방정식 (사실, 비회전성으로 인한 압축성 베르누이 방정식)은 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
\frac{\partial }{\partial x}(\rho v_x) + \frac{\partial }{\partial y}(\rho v_y) &=0,\\
h + \frac{1}{2}v^2 &= h_o.
\end{align}


여기서 상태 방정식 $\backslash rho=\backslash rho(s,h)$는 세 번째 방정식으로 작용하며, $h\_o$는 정체 엔탈피, $v^2\; =\; v\_x^2\; +\; v\_y^2$는 속도 벡터의 크기이고 $s$는 엔트로피이다. 등엔트로피 흐름의 경우 밀도는 엔탈피의 함수 $\backslash rho=\backslash rho(h)$로만 표현할 수 있으며, 이는 베르누이 방정식을 사용하여 $\backslash rho=\backslash rho(v)$로 쓸 수 있다.

2.2. 속도 포텐셜과 르장드르 변환

2차원 포텐셜 흐름에서 흐름이 비회전성이므로 속도 포텐셜 $\backslash phi$가 존재하며, 미분은 $d\backslash phi\; =\; v\_x\; dx\; +\; v\_y\; dy$이다. $v\_x=v\_x(x,y)$ 및 $v\_y=v\_y(x,y)$를 종속 변수로 취급하는 대신, $x=x(v\_x,v\_y)$ 및 $y=y(v\_x,v\_y)$가 새로운 종속 변수가 되는 좌표 변환을 사용한다. 마찬가지로 속도 포텐셜은 새로운 함수(르장드르 변환)

:$\backslash Phi\; =\; xv\_x\; +\; yv\_y\; -\; \backslash phi$

로 대체된다. 따라서 미분은 $d\backslash Phi\; =\; xdv\_x\; +\; y\; dv\_y$이므로

:$x\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_x\},\; \backslash quad\; y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\_y\}$

이다.

2.3. 극좌표계로의 변환

2차원 포텐셜 흐름에서 독립 변수를 $(v\_x,\; v\_y)$에서 $(v,\; \backslash theta)$로 변환한다. 여기서 $v$는 속도 벡터의 크기이고, $\backslash theta$는 속도 벡터가 $v\_x$ 축과 이루는 각도이다. $v\_x\; =\; v\backslash cos\backslash theta$ 및 $v\_y\; =\; v\backslash sin\backslash theta$ 관계를 이용한다.

종속 변수 $x$, $y$, $\backslash phi$는 새로운 좌표계 $(v,\; \backslash theta)$로 표현하면 다음과 같다.

:$$
\begin{align}
x &= \cos\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}-\frac{\sin\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\
y &= \sin\theta \frac{\partial \Phi}{\partial v}+\frac{\cos\theta}{v}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta},\\
\phi & = -\Phi + v\frac{\partial \Phi}{\partial v}.
\end{align}


여기서 $\backslash Phi$는 르장드르 변환으로 얻어지는 새로운 함수이다.

2.4. 풀 포텐셜 방정식 유도

2차원 포텐셜 흐름에서, 직교 좌표 $(x,y)$를 사용하는 대신, $v\_x\; =\; v\backslash cos\backslash theta$ 및 $v\_y\; =\; v\backslash sin\backslash theta$ 관계에 따라 새로운 좌표 $(v,\backslash theta)$를 도입한다. 여기서 $v$는 속도 벡터의 크기이고 $\backslash theta$는 속도 벡터가 $v\_x$ 축과 이루는 각도이다. 속도 포텐셜 $\backslash phi$는 르장드르 변환을 통해 새로운 함수 $\backslash Phi\; =\; xv\_x\; +\; yv\_y\; -\; \backslash phi$로 대체된다.

새로운 좌표계에서 연속 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{dv\}\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{v\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; \backslash theta^2\}\backslash right)\; +\; \backslash rho\; v\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash Phi\}\{\backslash partial\; v^2\}\; =0.$

등엔트로피 흐름의 경우, $dh=\backslash rho^\{-1\}c^2\; d\backslash rho$이며, 여기서 $c$는 음속이다. 베르누이 방정식을 사용하면 다음을 얻는다.

:$\backslash frac\{d(\backslash rho\; v)\}\{d\; v\}\; =\; \backslash rho\; \backslash left(1-\backslash frac\{v^2\}\{c^2\}\backslash right)$

따라서, 최종적으로 풀 포텐셜 방정식은 다음과 같다.

:$$
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} +
\frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial v^2}+v \frac{\partial \Phi}{\partial v}=0.