르장드르 변환

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 매끄러운 함수에 대한 성질
4. 예
- 4.1. 대표적인 예
- 4.2. 구체적인 예
5. 기하학적 해석
6. 다차원 르장드르 변환
7. 응용
참조

1. 개요

르장드르 변환은 볼록 함수를 다른 표현으로 변환하는 수학적 방법이다. 이는 벡터 공간의 볼록 집합에서 정의된 볼록 함수를 도함수의 상으로 변환하며, 함수 그래프와 접선 집합 사이의 관계를 나타낸다. 1차원 및 n차원 실수 공간에서 정의되며, 물리학, 특히 해석역학 및 열역학에서 독립 변수를 편미분 값으로 대체하는 데 사용된다. 르장드르 변환은 자기 자신을 역으로 하는 성질을 가지며, 함수와 그 볼록 공액 사이에는 펜켈 부등식이 성립한다. 해석역학에서는 라그랑지안을 해밀토니안으로 변환하거나 그 반대로 변환하는 데 사용되며, 열역학에서는 내부 에너지, 엔탈피, 헬름홀츠 자유 에너지, 깁스 자유 에너지와 같은 열역학적 포텐셜 간의 변환에 활용된다. 또한 확률론의 대편차 이론, 미시경제학의 공급 함수 도출 등 다양한 분야에 응용된다.

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볼록 해석 - 볼록 함수
볼록 함수는 실수 벡터 공간의 볼록 집합에서 정의되고 그래프 상의 두 점을 연결한 선분이 항상 그래프 위에 있거나 접하는 특징을 가지며 다양한 수학적 성질과 여러 분야에 응용되는 함수이다.

르장드르 변환
일반 정보
함수 f와 그 르장드르 변환 f* 사이의 관계를 보여주는 다이어그램. 각 점의 좌표는 (x, y) = (x, f(x))입니다. 점 (x, y)에서 함수 f의 그래프에 대한 접선은 y = x p - f*(p)입니다. 여기서 p는 접선의 기울기입니다.
유형	수학적 변환
분야	미적분학 볼록 해석학 열역학 해밀턴 역학
정의
원본 함수	f(x)
변환된 함수	f*(p) = supₓ (p x - f(x))
변수	x: 원본 함수의 변수 p: 변환된 함수의 변수 (x에 대한 f의 도함수)
속성
쌍대성	르장드르 변환은 쌍대 변환이다.
볼록성	볼록 함수에 대해 르장드르 변환은 정보를 잃지 않는다.
활용
열역학	열역학 퍼텐셜 간의 변환
해밀턴 역학	해밀턴 함수와 라그랑주 함수 간의 변환

2. 정의

벡터 공간 $V$ 속의 볼록집합 $A\subset X$ 위에 연속 볼록함수 $f\colon X\to\mathbb R$ 가 주어졌다고 하자. $f$ 의 도함수의 상 $A^\star=\nabla f(A)$ 을 정의한다. 그렇다면 $f$ 의 '''르장드르 변환''' $f^\star\colon A^\star\to\mathbb R$ 은 다음과 같다.

: $f^\star(x^\star)=\sup_{x\in A}\{x^\star x-f(x)\}$

만약 $f$ 가 연속미분가능하다면, 그 도함수의 역함수를 정의할 수 있다.

: $f'(x)=x^\star\Leftrightarrow x=(f')^{-1}(x^\star)$

그렇다면 $f^\star(x^\star)$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $f^\star(x^\star)=x^\star x-f(x)=(f')^{-1}(x^\star)x^\star-f((f')^{-1}(x^\star))$

2. 1. 1차원 실수 공간에서의 정의

구간

I \subset \mathbb{R}

에서 정의된 볼록 함수

f\colon I \to \mathbb{R}

에 대해, 르장드르 변환

f^*\colon I^* \to \mathbb{R}

는 다음과 같이 정의된다.

:

f^*(x^*) = \sup_{x\in I}(x^*x-f(x)),\ \ \ \ I^*= \left \{x^*\in \R:f^*(x^*)<\infty \right \}

여기서

\sup

는

I

에 대한 상한을 나타낸다. 각

x^*

에서

x^*x - f(x)

가 최대가 되도록

I

에서

x

를 선택하거나,

x^*x-f(x)

가

I

전체에서 유계 값을 갖도록 (

f(x)

가 선형 함수일 경우)

x^*

를 선택한다.

함수

f^*

는

f

의 볼록 켤레 함수라고 불린다. 켤레 변수는 역사적인 이유(해석 역학)로

x^*

대신

p

로 표시되기도 한다. 볼록 함수

f

가 전체 직선에서 정의되고 모든 곳에서 미분 가능하다면,

:

f^*(p)=\sup_{x\in I}(px - f(x)) = \left( p x - f(x) \right)|_{x = (f')^{-1}(p)}

는 기울기가

p

인

f

의 그래프에 대한

y

절편의 음수로 해석될 수 있다.

2. 2. n차원 실수 공간에서의 정의

벡터 공간

V

속의 볼록집합

A\subset X

위에 연속 볼록함수

f\colon X\to\mathbb R

가 주어졌을 때,

f

의 르장드르 변환은 다음과 같이 정의된다.

:

f^\star\colon A^\star\to\mathbb R

:

f^\star(x^\star)=\sup_{x\in A}\{x^\star x-f(x)\}

볼록 집합

X \sub \R^n

상의 볼록 함수

f:X \to \R

의 르장드르 변환

f^*:X^* \to \R

는 다음과 같은 정의역을 갖는다.

:

X^*= \left \{x^* \in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x))<\infty \right \}

그리고 다음과 같이 정의된다.

:

f^*(x^*) = \sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x)),\quad x^*\in X^* ~,

여기서

\langle x^*,x \rangle

는

x^*

와

x

의 내적을 나타낸다.

이는 점과 선 사이의 쌍대성 관계를 응용한 것이다.

2. 3. 물리학에서의 정의

해석역학과 열역학에서 르장드르 변환은 일반적으로 다음과 같이 정의된다. 함수

f

가

x

의 함수라고 가정하면, 다음이 성립한다.

::

\mathrm{d} f = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \mathrm{d} x.

이 함수에 르장드르 변환을 수행하는 것은

p = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}

를 독립 변수로 취하는 것을 의미하며, 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

::

\mathrm{d} f = p \mathrm{d} x,

라이프니츠 규칙

\mathrm{d} (uv) = u\mathrm{d} v + v\mathrm{d} u,

에 따라, 다음을 얻는다.

::

\mathrm{d} \left(x p - f \right) = x\mathrm{d} p,

그리고

f^* = xp-f

로 두면,

\mathrm d f^* = x \mathrm{d} p,

가 되며, 이는 다음을 의미한다.

::

\frac{\mathrm{d} f^*}{\mathrm{d} p} = x.

f

가

n

개의 변수

x_1, x_2, \cdots, x_n

의 함수일 때, 각 변수 또는 여러 변수에 르장드르 변환을 수행할 수 있다.

::

\mathrm{d} f = p_1\mathrm{d} x_1 + p_2 \mathrm{d} x_2 + \cdots + p_n \mathrm{d} x_n,

여기서

p_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}.

예를 들어

x_1

에 대해 르장드르 변환을 수행하려는 경우,

p_1

과

x_2, \cdots, x_n

을 독립 변수로 취하며, 라이프니츠 규칙을 사용하면 다음을 얻는다.

::

\mathrm{d} (f - x_1 p_1) = -x_1 \mathrm{d} p_1 + p_2 \mathrm{d} x_2 + \cdots + p_n \mathrm{d} x_n.

따라서 함수

\varphi(p_1, x_2, \cdots, x_n) = f(x_1, x_2, \cdots, x_n) - x_1 p_1,

에 대해, 다음이 성립한다.

::

\frac{\partial \varphi}{\partial p_1} = -x_1,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial x_2} = p_2,\quad \cdots,\quad \frac{\partial \varphi}{\partial x_n} = p_n.

변수

x_2, \cdots, x_n

에 대해서도 이 변환을 수행할 수 있다. 모든 변수에 대해 변환을 수행하면 다음을 얻는다.

::

\mathrm{d} \varphi = -x_1 \mathrm d p_1 - x_2 \mathrm{d} p_2 - \cdots - x_n \mathrm{d} p_n

여기서

\varphi = f-x_1 p_1 - x_2 p_2 - \cdots - x_n p_n.

해석역학에서, 라그랑지언

L(q_1, \cdots, q_n, \dot{q}_1, \cdots, \dot{q}_n)

의 변수

\dot q_1, \dot q_2, \cdots, \dot q_n

에 이 변환을 수행하여 해밀토니언을 얻는다.

::

H(q_1, \cdots, q_n, p_1, \cdots, p_n) = \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i -L(q_1, \cdots, q_n, \dot{q}_1 \cdots, \dot{q}_n).

열역학에서, 원하는 열역학적 시스템의 종류에 따라 변수에 이 변환을 수행한다. 예를 들어, 상태의 기본 함수인 내부 에너지

U(S,V)

에서 시작하면, 다음을 얻는다.

::

\mathrm{d}U = T \mathrm{d} S - p \mathrm{d} V,

따라서

S, V

중 하나 또는 둘 모두에 대해 르장드르 변환을 수행하여 다음을 얻는다.

::

\mathrm{d} H = \mathrm{d} (U + pV) = T\mathrm{d} S + V \mathrm{d} p

::

\mathrm{d} F = \mathrm{d} (U - TS) = -S\mathrm{d} T - p \mathrm{d} V

::

\mathrm{d} G = \mathrm{d} (U - TS + pV) = -S\mathrm{d} T + V \mathrm{d} p,

그리고 이 세 식 각각은 물리적인 의미를 가진다.

이 르장드르 변환의 정의는 1787년 아드리앵마리 르장드르가 그의 연구에서 처음 소개한 것으로,^[1] 오늘날에도 물리학자들에 의해 사용된다.

3. 성질

르장드르 변환은 자기 자신을 역변환으로 갖는 특별한 성질을 가지고 있다. 즉, 어떤 함수 f에 르장드르 변환을 두 번 적용하면 원래 함수 f로 돌아온다. 이를 수식으로 표현하면 f^{**} = f 와 같다.

이계도함수 값이 모두 양수인 볼록 함수에 르장드르 변환을 적용하면, 변환된 함수 역시 이계도함수 값이 모두 양수인 볼록 함수가 된다.

원래 함수 f의 도함수 f'와 변환된 함수 f^*의 도함수 (f^*)'는 서로 역함수 관계를 가진다. 이를 수식으로 나타내면 (f^*)' = (f')^{-1} 와 같다.
영 부등식 (Fenchel-Young 부등식)임의의 함수 f와 그 르장드르 변환 f^*에 대해, 다음 부등식이 항상 성립한다.

: $f^*(p) + f(x) \ge px$

이는 르장드르 변환의 정의로부터 유도될 수 있다.

: $f^*(p) = \sup_x(px - f(x)) \geq px - f(x)$

위 식의 양변에 f(x)를 더하면 영 부등식을 얻을 수 있다.
볼록성 보존함수 f(x)가 아래로 볼록하면, 그 르장드르 변환 f^*(p)도 아래로 볼록하다. 즉, 르장드르 변환은 함수의 볼록성을 유지한다.
꺾인 점과 직선 영역의 대응

f(x)의 좌미분과 우미분이 다른 점 (꺾인 점)은 f^*(p)에서 p에 대한 1차 함수 (직선) 영역에 대응된다.
반대로 f(x)에서 x에 대한 직선 영역은 f^*(p)에서 꺾인 점에 대응된다.

이는 감각적으로 f''(x) → ∞ 와 f^*{''}(p) → 0 이 대응되는 것으로 해석할 수 있다.
x와 p의 대칭적 관계다음과 같이 x와 p에 대해 대칭적인 관계가 있다.

:

p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},\qquad x=\frac{\mathrm{d}f^*}{\mathrm{d}p}

역함수의 르장드르 변환f(x)의 역함수 f^{-1}(x)의 르장드르 변환은 다음과 같다.

:

(f^{-1})^*(p) = -pf^*(1/p).

3. 1. 매끄러운 함수에 대한 성질

Legendre transformation^영어은 스스로의 역이다. 즉,

:

\frac{df^\star}{dx^\star}=x+x^\star\frac{dx}{dx^\star}-\frac{df}{dx}\frac{dx}{dx^\star}=x

이므로,

:

f^{\star\star}(x)=xx^\star-f^\star(x^\star)=xx^\star-(xx^\star-f(x))=f(x)

이다.

원래 함수 f(x)의 1차 도함수 f'(x)가 x에 대해 연속이고 단조 증가하는 경우, 즉 함수 f(x)가 아래로 볼록하고 매끄럽다면, 함수 g(x) = px - f(x)의 상한이 되는 x는, g(x)의 x에 대한 1차 도함수 g'(x)가 0이 되는 점이므로, 르장드르 변환은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

f^*(p) = px^*(p) - f(x^*(p)) \,.

여기서 함수 x^*(p)는 f(x)의 도함수 f'(x)의 역함수이다.

:

x^*(p) = {f'}^{-1}(p) \,.

이는 방정식 f'(x) = p의 해이다.

또한, f와 그 르장드르 변환 f^* 모두 2계 미분 가능하다면, 둘은 역수 관계에 있다.^[1] 즉,

:

f''(x)f^*{''}(p) = 1 \,.

단, x와 p는 p = f'(x)를 만족한다고 한다.

4. 예

다음은 다양한 함수에 대한 르장드르 변환의 예시이다.

$f(x)$	$\operatorname{dom}f$	$f^\star(x^\star)$	$\operatorname{dom}f^\star$	조건
$ax+b$	$\mathbb R$	$-b$	$\{a\}$
>x\|^p/p	$\mathbb R$	>x^\star\|^{p^\star}/p^\star	$\mathbb R$	$1/p+1/p^\star=1$ , $p>1$
$-x^p/p$	$[0,\infty)$	->x^\star\|^{p^\star}/p^\star	$(-\infty,0]$	$1/p+1/p^\star=1$ , $p<1$
$\exp(x)$	$\mathbb R$	$x^\star(\ln(x^\star)-1)$	$\mathbb R^+$
$x\ln(x)$	$\mathbb R^+$	$\exp(x-1)$	$\mathbb R$
$-1/2-\ln x$	$\mathbb R^+$	-1/2-\ln>x^\star\|	$\mathbb R^-$
$x\exp(x+1)$	$\mathbb R$	$x^\star(W(x^\star)-1)^2/W(x^\star)$	$[-1/e,\infty)$	$W$ 는 람베르트 W 함수

볼록 켤레#대표적인 볼록 켤레 표도 참조.

4. 1. 대표적인 예

f(x)	\operatorname{dom} f	f^★(x^★)	\operatorname{dom} f^★	조건
af(x)	\operatorname{dom} f	af^★(x^★/a)	a · \operatorname{dom} f^★	a > 0
f(ax)	a^-1 · \operatorname{dom} f	f^★(x^★/a)	a · \operatorname{dom} f^★	a > 0
f(x) + a	\operatorname{dom} f	f^★(x^★) - a	\operatorname{dom} f^★	a ∈ ℝ
f(x - a)	a + \operatorname{dom} f	f^★(x^★) + ax^★	\operatorname{dom} f^★	a ∈ ℝ
f(x) + ax	\operatorname{dom} f	f^★(x^★ - a)	a + \operatorname{dom} f^★	a ∈ ℝ
f(x) + g(x)	\operatorname{dom} f ∩ \operatorname{dom} g	(f^★★_infg^★)(x^★)	\operatorname{dom} f^★ + \operatorname{dom} g^★	(f★_infg)(x) = \inf_{y{f(x - y) + g(y)}
(f★_infg)(x)	\operatorname{dom} f + \operatorname{dom} g	f^★(x^★) + g^★(x^★)	\operatorname{dom} f^★ ∩ \operatorname{dom} g^★	(f★_infg)(x) = \inf_{y{f(x - y) + g(y)}
ax + b	ℝ	-b	{a}
x\|^p/p	ℝ	x^★\|^{p^★}/p^★	ℝ	1/p + 1/p^★ = 1, p > 1
-x^p/p	[0, ∞)	x^★\|^{p^★}/p^★	(-∞, 0]	1/p + 1/p^★ = 1, p < 1
\exp(x)	ℝ	x^★(\ln(x^★) - 1)	ℝ⁺
x \ln(x)	ℝ⁺	\exp(x - 1)	ℝ
-1/2 - \ln x	ℝ⁺	x^★\|	ℝ^-
x \exp(x + 1)	ℝ	x^★(W(x^★) - 1)²/W(x^★)	[-1/e, ∞)	W는 람베르트 W 함수

볼록 켤레#대표적인 볼록 켤레 표도 참조.

4. 2. 구체적인 예

exponential function|지수 함수^영어

f(x) = e^x

를 생각해보자. 이 함수의 정의역은

I=\mathbb{R}

이다. 정의에 따라 르장드르 변환은 다음과 같다.

:

f^*(x^*) = \sup_{x\in \mathbb{R}}(x^*x-e^x),\quad x^*\in I^*

여기서

I^*

는 아직 결정되지 않았다. 상한을 구하기 위해,

x^*x-e^x

를

x

에 대해 미분하고 0으로 설정하면,

:

\frac{d}{dx} (x^*x-e^x) = x^*-e^x = 0.

이계도함수

-e^x

는 모든 곳에서 음수이므로, 최댓값은

x = \ln(x^*)

에서 얻어진다. 따라서 르장드르 변환은

:

f^*(x^*) = x^*\ln(x^*)-e^{\ln(x^*)} = x^*(\ln(x^*) - 1)

이며 정의역은

I^* = (0, \infty)

이다. 이는 함수와 그 르장드르 변환의 정의역이 서로 다를 수 있음을 보여준다.

f

의 르장드르 변환의 르장드르 변환을 구하기 위해,

:

f^{**}(x) = \sup_{x^*\in \mathbb{R}}(xx^*-x^*(\ln(x^*) - 1)),\quad x\in I,

여기서 변수

x

는 르장드르 변환의 대합 성질

f^{

} = f를 보여주기 위해 의도적으로 함수 $f^{$ }의 인수로 사용되었다. 다음을 계산하면,

:

\begin{aligned}0&= \frac{d}{dx^*}\big( xx^*-x^*(\ln(x^*) - 1) \big)= x - \ln(x^*)\end{aligned}

따라서 최댓값은

x^* = e^x

에서 발생한다. 왜냐하면 이계도함수

\frac{d^2}{{dx^*}^2}f^{

}(x) = - \frac{1}{x^*} < 0는 $f^{$ }의 정의역

I^* = (0, \infty)

에서 음수이기 때문이다. 결과적으로,

f^{**}

는 다음과 같이 구해진다.

:

\begin{aligned}f^{**}(x)&= xe^x - e^x(\ln(e^x) - 1)= e^x,\end{aligned}

따라서 예상대로

f = f^{**}

임을 확인한다.

실수 집합 에서 정의된 함수를 고려하자. 여기서 는 고정된 상수이다.

고정된 에 대해, 의 함수 는 첫 번째 도함수 와 두 번째 도함수 를 갖는다. 에서 하나의 정지점이 있으며, 이는 항상 최댓값이다.

따라서, 이고

:

f^*(x^*)=\frac{ {x^*}^2}{4c} ~.

5. 기하학적 해석

엄밀히 볼록 함수의 경우, 르장드르 변환은 함수의 그래프와 그 그래프의 접선 집합 사이의 매핑으로 해석될 수 있다. (한 변수의 함수에 대해, 볼록 함수는 미분 가능하고, 많아봤자 가산 개수의 점에서만 미분 불가능하므로, 접선은 많아봤자 가산 개수의 점을 제외한 모든 점에서 잘 정의된다.)

기울기 $p$ 와 $y$ -절편 $b$ 를 갖는 직선의 방정식은 $y = p x + b$ 로 주어진다. 이 직선이 점 $\left(x_0, f(x_0)\right)$ 에서 함수 $f$ 의 그래프에 접하려면 다음 두 조건을 만족해야 한다.

$f(x_0) = p x_0 + b$

$p = f'(x_0).$

$f$ 가 엄밀히 볼록 함수이므로, 그 도함수 $f'$ 은 엄밀히 단조 증가 함수이고, 따라서 단사 함수이다. 두 번째 방정식에서 $x_0 = f^{\prime-1}(p)$ 로 쓸 수 있다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하여 $x_0$ 을 제거하고, 접선의 $y$ -절편 $b$ 를 기울기 $p$ 의 함수로 나타내면 다음과 같다.

$b = f(x_0) - p x_0 = f\left(f^{\prime-1}(p)\right) - p \cdot f^{\prime-1}(p) = -f^\star(p)$

여기서 $f^{\star}$ 는 $f$ 의 르장드르 변환을 나타낸다.

따라서 기울기 $p$ 로 매개변수화된 $f$ 의 그래프의 접선은 다음과 같이 주어진다.

$y = p x - f^{\star}(p)$

이를 음함수로 나타내면, 다음 방정식의 해로 표현할 수 있다.

$F(x,y,p) = y + f^{\star}(p) - p x = 0~.$

원래 함수의 그래프는 다음 조건을 만족하는 이 직선 집합의 포락선으로 재구성할 수 있다.

$\frac{\partial F(x,y,p)}{\partial p} = f^{\star\prime}(p) - x = 0.$

위의 두 방정식에서 $p$ 를 제거하면 다음과 같다.

$y = x \cdot f^{\star\prime-1}(x) - f^{\star}\left(f^{\star\prime-1}(x)\right).$

$y$ 를 $f(x)$ 와 동일시하고, 앞의 방정식의 우변을 $f^{\star}$ 의 르장드르 변환으로 인식하면, 다음을 얻는다.

$f(x) = f^{\star\star}(x) ~.$

6. 다차원 르장드르 변환

볼록 집합 $X \sub \R^n$ 상의 볼록 함수 $f:X \to \R$ 로의 일반화는 간단하다. $f^*:X^* \to \R$ 는 다음과 같은 정의역을 갖는다.

$X^*= \left \{x^* \in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x))<\infty \right \}$

그리고 다음과 같이 정의된다.

$f^*(x^*) = \sup_{x\in X}(\langle x^*,x\rangle-f(x)),\quad x^*\in X^* ~,$

여기서 $\langle x^*,x \rangle$ 는 $x^*$ 와 $x$ 의 내적을 나타낸다.

르장드르 변환은 점과 선 사이의 쌍대성 관계의 응용이다. $f$ 에 의해 지정된 함수 관계는 $(x,y)$ 점 집합 또는 기울기와 절편 값으로 지정된 접선 집합으로 똑같이 잘 표현될 수 있다.

열린 볼록 부분 집합 $U$ 의 미분 가능한 실수 값을 갖는 함수에 대해, $\R^n$ 의 $U$ 의 르장드르 공액은 쌍 $(V, g)$ 로 정의되며, 여기서 $V$ 는 경사 매핑 $Df$ 에 의해 $U$ 의 이미지이고, $g$ 는 공식에 의해 주어진 $V$ 상의 함수이다.

$g(y) = \left\langle y, x \right\rangle - f(x), \qquad x = \left(Df\right)^{-1}(y)$

여기서

$\left\langle u,v\right\rangle = \sum_{k=1}^n u_k \cdot v_k$

는 $\R^n$ 의 스칼라 곱이다. 다차원 변환은 함수의 에피그래프의 볼록 껍질을 지지 초평면의 관점에서 인코딩하는 것으로 해석할 수 있다.^[2]

또는, $X$ 가 벡터 공간이고 $Y$ 가 그 쌍대 벡터 공간이면, $X$ 의 각 점 $x$ 와 $Y$ 의 $y$ 에 대해 여접선 공간 $T^*X_x$ 과 $Y$ , $T^*Y_y$ 와 $X$ 를 자연스럽게 식별할 수 있다. 만약 $f$ 가 $X$ 에 대한 실수 미분 가능 함수이면, 그 외미분, $df$ ,은 여접다발 $T^*X$ 의 단면이며, 따라서 우리는 $X$ 에서 $Y$ 로의 맵을 구성할 수 있다. 마찬가지로, $g$ 가 $Y$ 에 대한 실수 미분 가능 함수이면, $dg$ 는 $Y$ 에서 $X$ 로의 맵을 정의한다. 만약 두 맵이 서로의 역함수이면, 우리는 르장드르 변환을 갖는다고 말한다.

함수가 미분 가능하지 않은 경우, 르장드르 변환은 여전히 확장될 수 있으며, 르장드르-펜켈 변환으로 알려져 있다.

다변수 함수에 대해서는 그 일부 변수에 관해서만 르장드르 변환을 고려할 수 있다.

2변수 함수 $f(x, y)$ 를 $x$ 에 대해 르장드르 변환한 함수를 $f^*(p, y)$ 라고 한다. 이때, 변환되지 않는 변수 $y$ 는 스펙테이터라고 불린다. 스펙테이터 $y$ 에 의한 편미분은 르장드르 변환의 영향을 받지 않는다. 즉, 다음 식이 성립한다：

: $\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)_x= -\left(\frac{\partial f^*(p,y)}{\partial y}\right)_p \,.$

7. 응용

르장드르 변환은 여러 분야에서 활용된다.

'''볼록성 유지''': 함수 ''f''(''x'')가 아래(또는 위)로 볼록하면, 르장드르 변환된 함수 ''f''^*(''p'')도 아래(또는 위)로 볼록하다. 즉, 르장드르 변환은 볼록성을 보존한다.^[1]
'''꺾인 점과 직선 영역의 대응''': ''f''(''x'')에서 좌미분과 우미분이 다른 점(꺾인 점)은 ''f''^*(''p'')에서 1차 함수(직선) 영역에 대응된다. 반대로 ''f''(''x'')에서 직선 영역은 ''f''^*(''p'')에서 꺾인 점에 대응된다.^[1] 이는 ''f''′′(''x'') → ∞와 ''f''^*′′(''p'') → 0이 대응되는 것으로 해석할 수 있다.
'''대칭적인 관계''': 변수 ''x''와 ''p''에 대해 다음과 같은 대칭적인 관계가 성립한다.

:

p=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},\qquad x=\frac{\mathrm{d}f^*}{\mathrm{d}p}

'''역함수의 르장드르 변환''': 함수 ''f''(''x'')의 역함수 ''f''^-1(''x'')의 르장드르 변환은 다음과 같다. (이는 헬름홀츠 자유 에너지와 매튜 함수의 관계 등에 응용된다.)

:

(f^{-1})^*(p) = -pf^*(1/p).

이 외에도 르장드르 변환은 다음과 같은 분야에 활용된다.

해석역학: 라그랑지안을 해밀토니안으로 변환하는 데 사용된다.
열역학: 열역학적 포텐셜 간의 변환에 사용된다. 특히 내부 에너지, 엔탈피, 헬름홀츠 자유 에너지, 깁스 자유 에너지 간의 변환에 활용된다.
확률론: 대편차 이론에서 속도 함수를 정의하는 데 사용되며, 독립 동일 분포 확률 변수의 합의 꼬리 확률 계산에 응용된다.
미시경제학: 주어진 가격에서 특정 제품의 공급을 찾는 과정에 사용될 수 있다. 생산자의 비용 함수를 알 때, 르장드르 변환을 통해 최대 이윤을 얻을 수 있는 공급량을 결정할 수 있다.
물리학: 평행한 전도성 판 커패시터에서 판 사이의 거리에 따른 힘을 계산하는 데 응용될 수 있다.

7. 1. 해석역학

해석역학에서는 라그랑지안을 해밀토니안으로 변환할 때 르장드르 변환이 사용된다. 좌표를 라고 했을 때 정준 운동량을

p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

로 하여, 해밀토니안은

:

H = \dot{q}p - L

로 정의된다.^[1] 이에 따라 에서 로 변환된다.

실제로 이것은 다음 관계를 만족한다.

:

\frac{\partial H}{\partial \dot{q}} = p - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0 \,.

이 해밀토니안과 오일러-라그랑주 방정식 혹은 최소 작용의 원리를 조합하여 정준 방정식이 유도된다.^[1] 해밀토니안의 전미분은,

:

\mathrm{d}H = \frac{\partial H}{\partial p}\mathrm{d}p + \frac{\partial H}{\partial q}\mathrm{d}q + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t

로 쓸 수 있지만, 한편으로 해밀토니안의 정의로부터,

:

\begin{align}\mathrm{d}H&= p\mathrm{d}\dot{q} + \dot{q}\mathrm{d}p - \frac{\partial L}{\partial q}\mathrm{d}q - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\mathrm{d}\dot{q} - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \\&= p\mathrm{d}\dot{q} + \dot{q}\mathrm{d}p - \dot{p}\mathrm{d}q - p\mathrm{d}\dot{q} - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t \\&= \dot{q}\mathrm{d}p - \dot{p}\mathrm{d}q - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t\end{align}

가 되므로, 해밀토니안의 편미분은 다음 관계를 만족한다. 이 중 정준 변수 , 의 편미분에 관한 식을 묶어 '''정준 방정식'''(canonical equations^영어)이라고 부른다.

:

\begin{cases}& \dfrac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \\& \dfrac{\partial H}{\partial q} = -\dot{p} \\& \dfrac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}\end{cases}

반대로 해밀토니안에서 라그랑지안을 얻는 경우에는, 함수 을 다음과 같이 정의하고,

:

L = \dot{q}p - H

변수 에 대한 편미분이 0이 되도록 한다. 즉,

:

\frac{\partial L}{\partial p} = \dot{q} - \frac{\partial H}{\partial p} = 0 \,.

결국 이 때 변수 는 해밀토니안의 운동량 미분과 같게 된다.

다변수의 경우에는, 라그랑지안의 모든 일반화 속도에 대해 르장드르 변환을 행한 것이 해밀토니안이라고 불린다. 또한 부분적으로 르장드르 변환을 한 것은 Routhian^영어이라고 불린다.^[1]

7. 2. 열역학

열역학에서 르장드르 변환은 열역학적 포텐셜 간의 변환에 사용된다. 특히 내부 에너지 ''U''(''S'', ''V'')를 엔탈피 ''H''(''S'', ''p''), 헬름홀츠 자유 에너지 ''F''(''T'', ''V'')로, 또 그것들로부터 깁스 자유 에너지 ''G''(''T'', ''p'')로 변환할 때 사용된다.

:

\begin{align}H(S,p) &= U(S,V) + pV, \\F(T,V) &= U(S,V) - TS, \\G(T,p) &= H(S,p) - TS  \\&= F(T,V) + pV  \\&= U(S,V) + pV - TS \,.\end{align}

여기서, ''V'': 부피, ''p'': 압력, ''S'': 엔트로피, ''T'': 온도이다. ''U''가 ''S'', ''V''에 대해 아래로 볼록하기^[1] 때문에, ''U''(''S'', ''V''), ''H''(''S'', ''p''), ''F''(''T'', ''V''), ''G''(''T'', ''p'')는 르장드르 변환을 통해 서로 동등한 정보를 갖는다.

예를 들어, 내부 에너지 U는 ''외연적 변수'' 엔트로피 ''S'', 부피 ''V'', 화학 조성 ''N_i'' (여기서 i = 1, 2, 3, ...)의 함수이다.

U = U \left (S,V,\{N_i\} \right ),

이는 다음과 같은 전체 미분을 갖는다.

dU = T\,dS - P\,dV + \sum \mu_i \,dN _i

여기서

T = \left. \frac{\partial U}{\partial S} \right \vert _{V, N_{i\ for\ all\  i\ values}}, P = \left. -\frac{\partial U}{\partial V} \right \vert _{S, N_{i\ for\ all\  i\ values}}, \mu_i = \left. \frac{\partial U}{\partial N_i} \right \vert _{S,V, N_{j\ for\ all\ j \ne i}}

이다.

일반적인 기준 상태에서, 부피 ''V''에 대한 내부 에너지 ''U''의 르장드르 변환을 통해 엔탈피 ''H''를 다음과 같이 얻을 수 있다.

:

H = U + PV

''H''는 ''PV'' (''P''와 ''V''는 상태 변수)를 상태 함수

U = U \left (S,V,\{N_i\} \right )

에 더하여 얻어지므로 상태 함수이며, 따라서 그 미분은 완전 미분이다.

dH = T\,dS + V\,dP + \sum \mu_i \,dN _i

이고 이는 완전 미분이어야 하므로

H = H(S,P,\{N_i\})

이다.

엔탈피는 주변으로부터 압력이 제어되는 과정의 설명을 위해 적합하다.

마찬가지로, 에너지의 의존성을 엔트로피 ''S''의 외연적 변수에서 (종종 더 편리한) 내포적 변수 ''T''로 이동하여 헬름홀츠 자유 에너지 ''A''와 깁스 자유 에너지 ''G''를 얻을 수 있다. 헬름홀츠 자유 에너지와 깁스 자유 에너지는 각각 내부 에너지와 엔탈피의 르장드르 변환을 수행하여 얻어진다.

A = U - TS ~,

G = H - TS = U + PV - TS ~.

헬름홀츠 자유 에너지는 종종 온도와 부피가 주변으로부터 제어될 때 가장 유용한 열역학적 포텐셜인 반면, 깁스 에너지는 온도와 압력이 주변으로부터 제어될 때 가장 유용하다.

thumb와 그 변수의 요약.]]

7. 3. 확률론

대편차 이론에서 ''속도 함수''는 확률 변수의 적률 생성 함수의 로그에 대한 르장드르 변환으로 정의된다.^[1] 속도 함수의 중요한 적용 분야는 독립 동일 분포 확률 변수의 합의 꼬리 확률을 계산하는 데 있으며, 특히 크라머의 정리에 사용된다.^[1]

X_n

이 독립 동일 분포(i.i.d.) 확률 변수일 경우,

S_n=X_1+\cdots+X_n

을 관련 임의 보행으로,

M(\xi)

를

X_1

의 적률 생성 함수로 둔다.^[1]

\xi\in\mathbb R

에 대해,

E[e^{\xi S_n}] = M(\xi)^n

이다.^[1] 따라서 마르코프 부등식에 의해,

\xi\ge 0

및

a\in\mathbb R

에 대해 다음이 성립한다.^[1]

:

P(S_n/n > a) \le e^{-n\xi a}M(\xi)^n=\exp[-n(\xi a - \Lambda(\xi))]

여기서

\Lambda(\xi)=\log M(\xi)

이다.^[1] 좌변은

\xi

와 독립적이므로, 우변의 하한을 취할 수 있으며, 이는

x=a

에서 평가된

\xi a - \Lambda(\xi)

의 상한, 즉

\Lambda

의 르장드르 변환을 고려하게 한다.^[1]

7. 4. 미시경제학

미시경제학에서 시장에서 고정된 가격 P^영어가 주어졌을 때 특정 제품의 공급 S|P^영어을 찾는 과정에서 르장드르 변환이 사용될 수 있다. 이는 생산자가 주어진 제품 Q^영어 단위를 생산하는 데 드는 비용 함수 C|Q^영어를 알고 있을 때 가능하다.

비용 함수만을 기반으로 공급 곡선의 모양을 설명할 수 있다. 어떤 상품의 단위당 시장 가격이 P^영어라고 가정하면, 이 상품을 판매하는 회사는 생산량 Q^영어를 조정하여 이윤을 극대화하는 전략을 취한다. 이윤은 수입에서 비용을 뺀 값으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:이윤 = 수입 - 비용 = PQ - C|Q^영어

Q^영어에 대해 미분하고 풀면 다음과 같다.

:P - C'|Q_opt^영어 = 0

Q_opt^영어는 생산자가 공급하려는 최적의 상품 수량 Q^영어를 나타내며, 이것이 바로 공급이다.

:S|P^영어 = Q_opt|P^영어 = (C')^-1|P^영어

최대 이윤을 가격의 함수, 즉 이윤_max|P^영어로 간주하면, 이것이 비용 함수 C|Q^영어의 르장드르 변환임을 알 수 있다.

7. 5. 기타

물리학의 또 다른 예로, 플레이트가 서로 상대적으로 움직일 수 있는 평행한 전도성 판 커패시터를 생각해 볼 수 있다. 이러한 커패시터는 커패시터에 저장된 전기 에너지를 판에 작용하는 힘에 의해 수행되는 외부 기계적 일로 전달할 수 있다. 전기 전하를 실린더의 가스 "전하"와 유사하게 생각할 수 있으며, 그 결과 피스톤에 가해지는 기계적 힘이 발생한다.^[1]

판 사이의 거리인 x^영어의 함수로 판에 작용하는 힘을 계산해 보자. 힘을 찾으려면, 퍼텐셜 에너지를 계산한 다음 퍼텐셜 에너지 함수의 기울기 정의를 적용한다.^[1]

전기적 퍼텐셜 에너지는 정전 용량 C(x)^영어과 각 전도성 판에 +Q^영어 또는 -Q^영어의 양전하 또는 음전하가 있는 커패시터에 저장된다(정전 용량의 정의

C = \frac{Q}{V}

사용).^[1]

:

U (Q, \mathbf{x}) = \frac{1}{2} QV(Q,\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C(\mathbf{x})},~

여기서 판의 면적, 판 사이의 절연 재료의 유전 상수, 그리고 간격 x^영어에 대한 의존성은 정전 용량 C(x)^영어으로 추상화된다. (평행 판 커패시터의 경우, 이것은 판의 면적에 비례하고 간격에 반비례한다.)^[1]

전하 분리에 의해 생성된 전기장에 의한 판 사이의 힘 F^영어는 다음과 같다.^[1]

:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{dU}{d\mathbf{x}} ~.

커패시터가 어떤 전기 회로에도 연결되어 있지 않으면, 판의 ''전기 전하''는 일정하게 유지되고 판이 서로 상대적으로 움직일 때 전압이 변하며, 힘은 다음과 같이 기울기의 음수이다.^[1]

:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \frac{dC(\mathbf{x})}{d\mathbf{x}} \frac{Q^2}V(\mathbf{x})^2

여기서 전하는 이 구성에서 고정되어 있으므로

V(Q,\mathbf{x}) = V(\mathbf{x})

이다.^[1]

그러나 대신, 판이 배터리에 연결되어 판이 움직일 때 판 사이의 ''전압'' V^영어가 일정하게 유지된다고 가정해 보자. 이 배터리는 일정한 전위차에서 전하의 저장소이다. 그러면 ''전하''

Q

의 양은 전압 대신 ''변수''이다.

Q

와

V

는 서로 르장드르 켤레이다. 힘을 찾으려면, 먼저

Q

에 대한 비표준 르장드르 변환

U^*

를 계산한다(

C = \frac{Q}{V}

사용).^[1]

:

U^* = U - \left.\frac{\partial U}{\partial Q} \right|_\mathbf{x} \cdot Q =U - \frac{1}{2C(\mathbf{x})} \left. \frac{\partial Q^2}{\partial Q} \right|_\mathbf{x} \cdot Q = U - QV = \frac{1}{2} QV - QV = -\frac{1}{2} QV= - \frac{1}{2} V^2 C(\mathbf{x}).

이 변환이 가능한 이유는

U

가 이제

Q

의 선형 함수이므로 볼록하기 때문이다. 힘은 이제 이 르장드르 변환의 음의 기울기가 되며, 원래 함수

U

에서 얻은 것과 동일한 힘이 발생한다.^[1]

:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{dU^*}{d\mathbf{x}} = \frac{1}{2} \frac{dC(\mathbf{x})}{d\mathbf{x}}V^2 .

두 켤레 에너지

U

와

U^*

는 서로 반대 위치에 있는 것으로 보인다(부호가 반대). 이는 선형적인 정전 용량 때문이며, 이제 Q^영어는 더 이상 상수 값이 아니다. 이들은 커패시터에 에너지를 저장하는 두 가지 다른 경로를 반영하며, 예를 들어 커패시터 판 사이의 동일한 "당김"이 발생한다.^[1]

참조

_[1] 서적 Mémoire sur l'intégration de quelques équations aux différences partielles. In Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique https://www.biodiver[...] Imprimerie royale
_[2] 웹사이트 Legendre Transform {{pipe}} Nick Alger // Maps, art, etc https://web.archive.[...] 2011-01-26
_[3] 서적 Lectures on Symplectic Geometry Springer-Verlag
_[4] 웹사이트 ルジャンドル変換、物質情報学 1（解析力学）講義ノート 6 http://www.phys.cs.i[...] 2022-08-27

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