초완전수

1. 개요

초완전수는 약수 함수와 관련된 정수론 개념으로, 특정 조건을 만족하는 수들을 지칭한다. k-초완전수는 k 값에 따라 정의되며, k=1일 때 완전수가 된다. 초완전수의 목록은 k 값에 따라 다양한 수들이 존재하며, k가 1보다 큰 홀수일 때 특정 형태의 소수 조건을 만족하면 k-초완전수가 된다는 가설이 제시되었지만 아직 증명되지 않았다. 또한 초부족수라는 개념은 초완전수와 관련되어 정의된다. 초완전수 연구는 Daniel Minoli, Judson S. McCranie, Herman te Riele 등 여러 수학자에 의해 진행되었다.

2. 초완전수의 정의

Superperfect number^영어는 다음의 식을 만족하는 자연수 n이다.

:σ(σ(n))=2n

여기서 σ는 약수 함수를 의미한다. 다시 말해, n의 모든 약수들의 합을 구하는 함수를 두 번 반복했을 때 원래 숫자의 두 배가 되는 숫자이다.

초완전수의 정의를 약간 변형하면 k-초완전수라는 개념을 얻을 수 있다. n이 k-초완전수라는 것은 다음의 식을 만족하는 것을 의미한다.

:n = 1 + k(σ(n) - n - 1)

3. 초완전수의 목록

다음은 k값에 대한 알려진 k-초완전수를 나타낸 표이다.

3.1. k값에 따른 초완전수 목록

다음은 k값에 따른 알려진 k-초완전수를 나타낸 표이다.

4. 초완전수의 성질

$k$가 1보다 큰 홀수이고 $p\; =\; \backslash frac\{3k\; +\; 1\}\; 2,\; \backslash \; q\; =\; 3k\; +\; 4$가 모두 소수라면 $p^2\; q$가 $k$-초완전수라는 것이 증명되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine은 모든 1보다 큰 홀수 $k$에 대해 모든 $k$-초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 $p$와 $q$가 존재하고 $k(p\; +\; q)\; =\; pq\; -\; 1$를 만족하는 자연수 $k$가 있다면 $pq$는 $k$-초완전수이다.

$k\; >\; 0$이고 $p\; =\; k\; +\; 1$이 소수일 때, $q\; =\; p^i\; -\; p\; +\; 1$이 소수임을 성립시키는 모든 $i$에 대해 $p^\{i\; -\; 1\}\; q$가 $k$-초완전수라는 사실도 알려졌다.

4.1. 홀수 k-초완전수 조건

$k$가 1보다 큰 홀수이고 $p\; =\; \backslash frac\{3k\; +\; 1\}\; 2,\; \backslash \; q\; =\; 3k\; +\; 4$가 모두 소수라면 $p^2\; q$가 $k$-초완전수라는 것이 증명되어 있다. 2000년 Judson S. McCraine은 모든 1보다 큰 홀수 $k$에 대해 모든 $k$-초완전수가 이 꼴이라고 추측했지만 아직 증명이 되지 않았다. 서로 다른 홀수인 소수 $p$와 $q$가 존재하고 $k(p\; +\; q)\; =\; pq\; -\; 1$를 만족하는 자연수 $k$가 있다면 $pq$는 $k$-초완전수이다.

$k\; >\; 0$이고 $p\; =\; k\; +\; 1$이 소수일 때, $q\; =\; p^i\; -\; p\; +\; 1$이 소수임을 성립시키는 모든 $i$에 대해 $p^\{i\; -\; 1\}\; q$가 $k$-초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 표는 이를 만족시키는 $k$와 $i$의 목록을 나타내고 있다.

4.2. 짝수 k-초완전수 조건

$k\; >\; 0$이고 $p\; =\; k\; +\; 1$이 소수일 때, $q\; =\; p^i\; -\; p\; +\; 1$이 소수임을 성립시키는 모든 $i$에 대해 $p^\{i\; -\; 1\}\; q$가 $k$-초완전수라는 사실도 알려졌다. 아래 표는 이를 만족시키는 $k$와 $i$의 목록을 나타내고 있다.

5. 초부족수

새롭게 도입된 수학적 개념인 초부족수는 초완전수와 관련이 있다.

모든 정수 n과 정수 k > 0에 대해, 수 n의 k-초부족(또는 간단히 초부족수)을 다음과 같이 정의한다.

:$$\backslash delta\_k(n)\; =\; n(k+1)\; +\; (k-1)\; -\; k\backslash sigma(n)$$

수 n은 $\backslash delta\_k(n)\; >\; 0.$이면 k-초부족수라고 한다.

k = 1인 경우 $\backslash delta\_1(n)\; =\; 2n-\backslash sigma(n),$을 얻는데, 이는 부족수의 표준적인 전통적 정의이다.

보조 정리: 수 n이 k-초완전수 (k = 1 포함)일 필요충분조건은 수 n의 k-초부족수, $\backslash delta\_k(n)\; =\; 0.$이다.

보조 정리: 수 n이 k-초완전수 (k = 1 포함)일 필요충분조건은 어떤 k에 대해, 최소한 하나의 j > 0에 대해 $\backslash delta\_\{k-j\}(n)\; =\; -\backslash delta\_\{k+j\}(n)$이 성립하는 것이다.

6. 관련 연구 및 논문

초완전수 관련 연구는 여러 학술지에 게재되었다. 주요 연구 논문은 다음과 같다:

* 다니엘 미놀리와 로버트 베어, Hyperperfect Numbers, PME (Pi Mu Epsilon) Journal, 1975.
* 다니엘 미놀리, Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers, Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, 1978.
* 다니엘 미놀리, Structural Issues For Hyperperfect Numbers, Fibonacci Quarterly, 1981.
* 다니엘 미놀리, Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers, Mathematics of Computation, 1980.
* 다니엘 미놀리, New Results For Hyperperfect Numbers, Abstracts American Math. Soc., 1980.
* 다니엘 미놀리와 W. Nakamine, Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms, IEEE 국제 음향, 음성 및 신호 처리 컨퍼런스, 1980.
* 저드슨 S. 맥크라니, A Study of Hyperperfect Numbers, Journal of Integer Sequences, 2000.
* 허먼 테 릴레, 세 개의 서로 다른 소인수를 가진 초완전수(Hyperperfect numbers with three different prime factors), Math. Comp., 1981.
* 허먼 테 릴레, 초완전수를 구성하는 규칙(Rules for constructing hyperperfect numbers), Fibonacci Q., 1984.
* 다니엘 미놀리, Voice over MPLS, McGraw-Hill, 2002. (114-134 페이지)

6.1. 주요 연구자

초완전수 연구에 기여한 주요 연구자들은 다음과 같다:

* 다니엘 미놀리(Daniel Minoli)는 로버트 베어(Robert Bear)와 함께 1975년 PME (Pi Mu Epsilon) Journal에 Hyperperfect Numbers라는 논문을 발표했다. 1978년에는 Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire에 Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers를, 1981년에는 Fibonacci Quarterly에 Structural Issues For Hyperperfect Numbers를 발표했다. 1980년에는 Mathematics of Computation에 Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers를, Abstracts American Math. Soc.에 New Results For Hyperperfect Numbers를 발표했다. W. Nakamine과 함께 1980년 IEEE 국제 음향, 음성 및 신호 처리 컨퍼런스에서 Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms를 발표했다.

* 저드슨 S. 맥크라니(Judson S. McCranie)는 2000년 Journal of Integer Sequences에 A Study of Hyperperfect Numbers를 발표했다.

* 허먼 테 릴레(Herman te Riele)는 1981년 Math. Comp.에 세 개의 서로 다른 소인수를 가진 초완전수(Hyperperfect numbers with three different prime factors)를, 1984년 Fibonacci Q.에 초완전수를 구성하는 규칙(Rules for constructing hyperperfect numbers)을 발표했다.