로피탈의 정리

3. 증명

우선^한국어 $a\backslash ne\backslash pm\backslash infty$이며 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}f(x)=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}g(x)=0$인 경우를 증명한다. $f(a)=g(a)=0$라고 재정의하면, $f,g$는 $I$에서 연속 함수이면서, (빠진) 근방 $I\backslash setminus\backslash \{a\backslash \}$에서 미분 가능 함수이다. 코시 평균값 정리에 따라, 다음이 성립한다.^[16]

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f(x)-f(a)\}\{g(x)-g(a)\}=\backslash lim\_\{\backslash xi\_x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f\text{'}(\backslash xi\_x)\}\{g\text{'}(\backslash xi\_x)\}=L$

이제 $a\backslash ne\backslash pm\backslash infty$이며 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}|f(x)|=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}|g(x)|=\backslash infty$이며 $L\backslash ne\backslash pm\backslash infty$인 경우를 증명한다. 임의의 $\backslash epsilon>0$을 취하면, 다음을 만족시키는 $(a,b)\backslash subseteq\; I$가 존재한다.

:

코시 평균값 정리에 따라, 임의의 $x\backslash in(a,b)$에 대하여, 다음을 만족시키는 $\backslash xi\_x\backslash in(x,b)$가 존재한다.

:$\backslash frac\{f\text{'}(\backslash xi\_x)\}\{g\text{'}(\backslash xi\_x)\}=\backslash frac\{f(x)-f(b)\}\{g(x)-g(b)\}=\backslash frac\{\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}-\backslash frac\{f(b)\}\{g(x)\}\}\{1-\backslash frac\{g(b)\}\{g(x)\}\}$

즉,

:$\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\backslash frac\{f\text{'}(\backslash xi\_x)\}\{g\text{'}(\backslash xi\_x)\}\backslash left(1-\backslash frac\{g(b)\}\{g(x)\}\backslash right)+\backslash frac\{f(b)\}\{g(x)\}$

이 경우, $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash \; a\}|g(x)|=\backslash infty$이므로, 다음을 만족시키는 $(a,b\text{'})\backslash subseteq(a,b)$가 존재한다.

:

:$\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}>(L-\backslash epsilon)\backslash left(1-\backslash frac\{g(b)\}\{g(x)\}\backslash right)+\backslash frac\{f(b)\}\{g(x)\}>L-2\backslash epsilon\backslash qquad(x\backslash in(a,b\text{'}))$

이에 따라, $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^+\}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=L$이며, 비슷하게 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a^-\}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=L$ 역시 증명할 수 있다.

마찬가지로, $a\backslash ne\backslash pm\backslash infty$이며 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}|f(x)|=\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}|g(x)|=\backslash infty$이며 $L=\backslash pm\backslash infty$인 경우를 증명할 수 있다.

마지막으로, $a=\backslash infty$인 경우는 다음과 같이 증명할 수 있다.

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\backslash lim\_\{t\backslash to\; 0^+\}\backslash frac\{f(\backslash frac\; 1t)\}\{g(\backslash frac\; 1t)\}=\backslash lim\_\{t\backslash to\; 0^+\}\backslash frac\{f\text{'}(\backslash frac\; 1t)\backslash cdot(-\backslash frac\; 1\{t^2\})\}\{g\text{'}(\backslash frac\; 1t)\backslash cdot(-\backslash frac\; 1\{t^2\})\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}=L$

마찬가지로, $a=-\backslash infty$인 경우를 증명할 수 있다.

4. 예

L'Hôpital's rule^영어은 다양한 예시를 통해 어떻게 적용되는지 살펴본다.

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash sin\; x\}x=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash cos\; x\}1=\backslash cos\; 0=1$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{a^x-1\}x=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{a^x\backslash ln\; a\}1=\backslash ln\; a$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{x-\backslash sin\; x\}\{x^3\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1-\backslash cos\; x\}\{3x^2\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash sin\; x\}\{6x\}=\backslash frac\; 16$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}x\backslash left(\backslash frac\backslash pi\; 2-\backslash arctan\; x\backslash right)=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash frac\backslash pi\; 2-\backslash arctan\; x\}\{\backslash frac\; 1x\}$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash ln\; x\}x=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{\backslash frac\; 1x\}1=0$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{x^2\}\{e^x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\{2x\}\{e^x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash frac\; 2\{e^x\}=0$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}x\backslash ln\; x=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}\backslash frac\{\backslash ln\; x\}\{\backslash frac\; 1x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}\backslash frac\{\backslash frac\; 1x\}\{-\backslash frac\; 1\{x^2\}\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}(-x)=0$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}x^x=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}e^\{x\backslash ln\; x\}=e^0=1$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash left(\backslash frac\; 1\{\backslash sin\; x\}-\backslash frac\; 1x\backslash right)=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{x-\backslash sin\; x\}\{x\backslash sin\; x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{x-\backslash sin\; x\}\{x^2\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1-\backslash cos\; x\}\{2x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash sin\; x\}2=0$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}x^\{\backslash frac\; 1x\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}e^\{\backslash frac\{\backslash ln\; x\}x\}=e^0=1$

• $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}(\backslash cot\; x)^\{\backslash frac\; 1\{\backslash ln\; x\}\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}e^\{\backslash frac\{\backslash ln\backslash cot\; x\}\{\backslash ln\; x\}\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}e^\{\backslash frac\{-\backslash tan\; x-\backslash cot\; x\}\{1/x\}\}=\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0^+\}e^\{-\backslash frac\; x\{\backslash sin\; x\backslash cos\; x\}\}=e^\{-1\}$

다음은 싱크 함수와 0/0 꼴의 부정형을 포함하는 예이다.

:$$

\begin{align}

\lim_{x \to 0} \operatorname{sinc}(x)

& = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} \\

& = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \\

& = \lim_{y \to 0} \frac{\cos y}{1} \\

& = 1.

\end{align}



이 극한은 y=0에서의 sin 함수의 미분 정의가 된다는 것을 알 수 있다.

다음 식은 0/0을 포함하는, 더욱 교묘한 예이다. 로피탈의 정리를 한 번 적용해도 여전히 부정형이다. 이 경우에는 본 정리를 세 번 적용하여 극한을 구할 수 있다.

:$$

\begin{align}

\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}

& =\lim_{x\to 0}{\frac{2\cos x -2\cos 2x}{1-\cos x}} \\

& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin x +4\sin 2x}{\sin x}} \\

& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos x +8\cos 2x}{\cos x}} \\

& ={\frac{-2 +8}{1}} \\

& =6

\end{align}



이 예는 ∞/∞ 꼴의 부정형을 가진다. $n$이 양의 정수일 때,

:$\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\; x^n\; e^\{-x\}$

=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^n}{e^x}}

=\lim_{x\to\infty}{\frac{nx^{n-1}}{e^x}}

=n\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}}

이다. 거듭제곱이 0이 되어 그 극한이 0이 될 때까지 로피탈의 정리를 반복 적용한다.

이것은 레이즈드 코사인 필터 (en)의 임펄스 응답과 0/0 꼴의 부정형을 갖는 예이다.

:$$

\begin{align}

\lim_{t\to 1/2} \operatorname{sinc}(t) \frac{\cos \pi t}{1 - (2t)^2}

& = \operatorname{sinc}(1/2) \lim_{t\to 1/2} \frac{\cos \pi t}{1 - (2 t)^2} \\

& = \frac{2}{\pi} \lim_{t\to 1/2} \frac{-\pi \sin \pi t}{-8 t} \\

& = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \\

& = \frac{1}{2}.

\end{align}



다음 정리를 증명하기 위해 로피탈의 정리를 사용할 수 있다. 만약 $\backslash scriptstyle\; f\text{'}\text{'}$가 $x$에서 연속이라면,

:$$

\begin{align}

\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2}

& = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x - h)}{2h} \\

& = f''(x).

\end{align}



이다.

로피탈의 정리는 종종 교묘한 방식으로 사용된다. 여기서 $f(x)\; +\; f\text{'}(x)$가 $x\; \backslash to\; \backslash infty$에서 수렴하면,

::$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f(x)\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \{e^x\; f(x)\; \backslash over\; e^x\}\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \{e^x\; (f(x)\; +\; f\text{'}(x))\; \backslash over\; e^x\}\; =\; \backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; (f(x)\; +\; f\text{'}(x))$

이므로 극한 $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f(x)$가 존재하고, $\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; \backslash infty\}\; f\text{'}(x)\; =\; 0$이다. 여기서, 첫 번째 등식의 분모에서 $e^x\; \backslash to\; \backslash infty$는 로피탈의 정리를 적용하기 위해 필요하지만, 분자의 $e^x\; f(x)\; \backslash to\; \backslash infty$는 확인할 필요가 없다는 것에 주의해야 한다.

0/0, ∞/∞ 이외, 즉 1^∞, 0⁰, ∞⁰, 0·∞, ∞ − ∞ 등의 부정형에 대해서도 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 가능성이 있다. 예를 들어, ∞ − ∞를 포함하는 극한을 구하기 위해서는 두 함수의 차를 분수로 변환함으로써,

:$$

\begin{align}

\lim_{x \to 1} \left(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x}\right)

& = \lim_{x \to 1} \frac{x \ln x - x + 1}{(x-1) \ln x} \quad &(1) \\

& = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\frac{x-1}{x} + \ln x} \quad &(2) \\

& = \lim_{x \to 1} \frac{x \ln x}{x - 1 + x \ln x} \quad &(3) \\

& = \lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln x}{2 + \ln x} \quad &(4) \\

& = \frac{1}{2}

\end{align}



를 얻는다. 여기에 로피탈의 정리가 (1)에서 (2) 그리고 (3)에서 (4)로의 변형에 사용되었다.

지수 함수를 포함하는 부정형에서는, 로그를 사용하여 '''지수부에서 내리면''' 로피탈의 정리를 적용할 수 있는 가능성이 있다. 다음 식은 0⁰형 부정형을 포함하는 예이다.

:$$

\lim_{x \to 0^+} x^x

= \lim_{x \to 0^+} e^{\ln x^x}

= \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x}

= e^{\lim_{x \to 0^+} x \ln x}



여기서, 지수 함수는 연속이므로, 극한을 지수 함수의 안쪽으로 이동하는 것이 유효하다. 그러면 지수 $x$를 '''지수부에서 내릴''' 수 있다. 극한 $\backslash scriptstyle\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^+\}\; x\; \backslash ln\; x$는 0·(−∞) 형 부정형이 되지만, 위에서 나타낸 예와 마찬가지로 로피탈의 정리를 적용할 수 있으며,

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^+\}\; x\; \backslash ln\; x\; =\; 0$

를 얻어, 극한은 다음과 같이 구해진다.

:$\backslash lim\_\{x\; \backslash to\; 0^+\}\; x^x\; =\; e^0\; =\; 1$

5. 로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우

로피탈의 정리를 적용할 수 없는 경우는 다음과 같다.

• 도함수의 비의 극한, 즉 $\backslash lim\_\{x\backslash to\; a\}\backslash frac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}$이 존재하지 않는 경우, 로피탈의 정리는 효력을 잃는다. 예를 들어,

• $g\text{'}(x)=0$인 $x$가 $x\backslash to\backslash infty$ 도중에 끊임없이 나타나는 경우. 즉, $0=g\text{'}(x\_0)=g\text{'}(x\_1)=\backslash cdots$인 수열 $x\_n\backslash to\backslash infty$가 존재한다면, $f\text{'}/g\text{'}$는 $(b,\backslash infty)$ 꼴의 구간에 정의될 수 없으므로, 로피탈의 정리를 적용할 수 없다.

6. 관련 정리

로피탈의 정리와 관련된 정리로는 슈톨츠-체사로 정리가 있다. 이 정리는 수열의 극한 계산에 사용되며, 미분 연산자 대신 유한한 차분 연산자를 사용한다.^[1]

6. 1. 복소함수의 경우

• 복소함수 f와 g가 a에서 해석적이라 하자. f(a) = 0 = g(a)이지만 g'(a) ≠ 0, 또는 f(a) = ±∞ = g(a)이면, 다음이 성립한다.
• lim_z→af(z)/g(z) = f'(a)/g'(a)^영어

6. 2. 슈톨츠-체사로 정리

7. 역사

정리의 이름은 17세기에 활동하였던 프랑스의 수학자이자 후작인 기욤 드 로피탈의 이름에서 유래되었다. 그는 저서 《곡선을 이해하기 위한 무한소 해석》(''l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes'')에서 이 정리를 소개하였다.^[1]

기욤 드 로피탈은 1696년 저서 ''곡선의 이해를 위한 무한소 분석''(직역: ''곡선의 이해를 위한 무한소 분석'')에서 이 규칙을 발표했는데, 이는 미분 적분학에 관한 최초의 교과서였다.^[1] 그러나 이 규칙은 스위스 수학자 요한 베르누이에 의해 발견된 것으로 여겨진다.^[3]

본 정리는 스위스의 수학자 요한 베르누이에 의해 발견된 것으로 알려져 있다^[11] (로피탈의 정리에 대한 논쟁 참조). 본 정리의 명칭은 유럽 최초의 미분학 서적인 Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696년, 직역: 곡선의 이해를 위한 무한소 해석)를 출판하고,^[12] 그 안에서 본 정리를 널리 세상에 알린 기욤 드 로피탈의 이름을 따서 로피탈의 정리라고 불리는 것이 통례이다. 베르누이와 로피탈 사이에는 계약이 있었고, 로피탈은 명명권을 위해 얼마간의 대가를 지불했다. 로피탈이 사망한 후, 베르누이는 자신이 이 정리의 발견자라고 폭로했다.^[13]

8. 한국의 고등학교 수학 및 대학 입시에서의 취급

로피탈의 정리는 일본 고등학교 수학 III에서 분수 함수의 극한을 다룰 때 유용하게 사용될 수 있지만, 학습 지도 요령에 포함되지 않아 사용에 신중해야 한다는 의견이 있다. 야스다 토오루는 저서 『대학으로 가는 수학』에서 대학 입시에서 로피탈의 정리 사용에 대한 논쟁이 자주 발생한다고 언급했다.^[20]

일부 대학에서는 로피탈의 정리를 사용하면 감점한다는 방침을 밝히기도 했다.^[21][22] 대학마다 로피탈의 정리 취급이 다르므로 주의해야 한다.^[20] 야스다 토오루는 수험생들에게 자기 책임 하에 로피탈의 정리를 사용하되, 감점 위험을 감수하고서라도 사용하는 것이 0점보다는 낫다고 조언한다. 특히 빈칸 채우기 문제에서는 문제가 되지 않는다고 덧붙였다.^[22]

참조

_[1] 웹사이트 De L'Hopital biography https://mathshistory[...] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews 2008-12-21
_[2] 서적 Analyse des infiniment petits http://gallica.bnf.f[...]
_[3] 서적 A History of Mathematics https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[4] harv
_[5] harv
_[6] 간행물 Ueber die Grenzwerthe der Quotienten https://resolver.sub[...]
_[7] 간행물 Counterexamples to L'Hopital's Rule 1986
_[8] 문서 Multiplying by $e^\{-x\}$ instead yields a solution to the limit without need for l'Hôpital's rule.
_[9] 웹사이트 L'Hopital's Theorem http://www.imomath.c[...] International Mathematical Olympiad
_[10] 문서 綴り・読みの揺れについては[[ギヨーム・ド・ロピタル]]の項を参照。
_[11] 웹사이트 L'Hospital's Rule http://mathworld.wol[...] Wolfram Research, Inc 2008-12-21
_[12] 웹사이트 De_L'Hopital biography http://www-history.m[...] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews 2008-12-21
_[13] 문서 志村五郎『数学をいかに使うか』筑摩書房刊、2012年（52ページ）
_[14] 문서 Boas, R. P. “Counterexamples to L'Hopital's Rule.” Amer. Math. Monthly 93, 644-645, 1986.
_[15] 서적 Calculus Wellesley-Cambridge Press
_[16] 서적 Calculus Publish or Perish 1994
_[17] 문서 樋口　禎一・森田　康夫編，「高校数学解法事典(第九版)」第四章(微分法)、微分法の応用節，旺文社，2012年，ISBN 978-4010752005．
_[18] 문서 藤田宏，「理解しやすい数学III+C(改訂版)」第三章 2.2節，文英堂，2009年，ISBN 978-4578241133．
_[19] 문서 宮腰 忠，「高校数学＋α：基礎と論理の物語」第十三章 2節，共立出版，2004年，ISBN 978-4320017689．
_[20] 간행물 要点の整理／数III 極限の基本
_[21] 간행물 特別講義 ロピタルの定理とその使用法
_[22] 서적 2021 大学入試良問集 理系 星雲社 2021-11-18
_[23] 서적 수학사 경문사 2008-07-17
_[24] 서적 Principles of mathematical analysis http://www.mcgraw-hi[...] McGraw-Hill 2014-10-06
_[25] 문서 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 253쪽.