큰 별모양 십이면체

1. 개요

큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 별모양화 중 세 번째로 만들어지는 다면체이다. 이 다면체는 12개의 오각성 면으로 이루어져 있으며, 깎는 과정을 통해 여러 고른 다면체를 생성한다. 깎은 큰 별모양 십이면체, 큰 이십십이면체, 깎은 큰 이십면체, 큰 이십면체 등이 파생될 수 있으며, 관련 공식으로는 내반경, 중반경, 외접반경, 겉넓이, 부피 등이 있다. 또한 큰 별모양 깎은 십이면체와 큰 이십이십면체와 같은 파생 입체도 존재한다.

2. 그림

큰 별모양 십이면체에 깎는 과정을 거치면 일련의 고른 다면체가 만들어진다. 깎아서 모서리가 점이 되면 절반 깎은 큰 별모양 십이면체처럼 큰 이십십이면체를 만들어낸다. 이 과정은 원래 면이 점이 되도록 하는 이중 절단을 하면 끝나고 큰 이십면체를 만들어낸다.

깎은 큰 별모양 십이면체는 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 만드는 불가능한 다면체이다.

2.1. 투명 모형

2.2. 전개도

2.3. 별모양화 면

큰 별모양 십이면체는 정십이면체의 세 번째 별모양화로 만들어질 수 있으며, 웨닝거 모델 [W20]을 가리킨다.

3. 공식

큰 별모양 십이면체의 모서리 길이 E에 대해,

* 내반경 = $\backslash tfrac\{\backslash text\{E\}(\backslash sqrt\{5\}-1)\}\{2\}$

* 중반경 = $\backslash tfrac\{\backslash text\{E\}(1+\backslash sqrt\{5\})\}\{4\}$

* 외접반경 = $\backslash tfrac\{\backslash text\{E\}(3+\backslash sqrt\{5\})\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}$

* 겉넓이 = $15\backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}\backslash text\{E\}^2$

* 부피 = $\backslash tfrac\{(3+\backslash sqrt\{5\})\backslash text\{E\}^3\}\{4\}$

4. 관련 다면체

큰 별모양 십이면체에 깎는 과정을 적용하면 일련의 고른 다면체들을 얻을 수 있다. 이 과정은 원래 면이 점이 되도록 하는 이중정리 과정이 끝나면 큰 이십면체가 만들어진다.

4.1. 깎은 큰 별모양 십이면체

큰 별모양 십이면체의 꼭짓점을 깎아 만든 다면체이다. 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 만드는 불가능한 다면체이다.

4.2. 큰 이십십이면체

큰 별모양 십이면체의 모서리를 점으로 깎으면 절반 깎은 큰 별모양 십이면체처럼 큰 이십십이면체를 만든다.

4.3. 깎은 큰 이십면체

큰 이십면체를 깎으면 깎은 꼭짓점에서 삼각형 면 20개가 나오고, 원래의 오각성 면에서 (숨은) 오각형 면 12개가 만들어진다. 이때 만들어지는 다면체는 정이십면체에 들어있고 정십이면체와 모서리를 공유하는 큰 십이면체를 형성하는 불가능한 다면체이다.

4.4. 큰 이십면체

큰 별모양 십이면체의 면을 점으로 줄여 만든 다면체이다.

5. 파생적인 입체