큰 십이면체

1. 개요

큰 십이면체는 정십이면체의 면을 확장하여 별 모양으로 만든 다면체이다. 12개의 오각성 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점으로 구성되며, 각 꼭짓점에는 5개의 오각성 면이 만난다. 정이십면체를 패싯하거나 십이면체의 두 번째 별 모양화로 구성할 수 있으며, 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않는다. 1568년 벤젤 잠니처에 의해 처음 언급되었으며, 루이 푸앵소에 의해 재발견되었다. 알렉산더의 별 퍼즐과 같은 큐브 형태로 활용되며, 관련 다면체로 깎은 큰 십이면체와 십이십이면체가 있다.

2. 기하학적 성질

큰 십이면체는 정십이면체의 면을 확장하여 별모양으로 만든 것이다. 12개의 별 모양 오각형 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점으로 구성된다. 각 꼭짓점에는 5개의 오각성 면이 별 모양으로 만난다.

면, 변, 꼭짓점의 개수를 고려하면 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다(12 - 30 + 12 = -6).

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

큰 십이면체의 모습

투명 모형	구면 타일링
(애니메이션)	이 다면체는 밀도가 3인 구면 타일링을 나타낸다. (위에서 구면 오각형 면 하나를 노란색으로 칠했다)
전개도	별모양화
표면 기하학의 전개도; 이등변삼각형 삼각뿔 이십개를 정이십면체의 면처럼 배열해서 만들 수 있다.	이것은 정십이면체의 별모양화 세 개 중 두 번째를 만들 수 있고, 웨닝거 모델 [W21]을 가리킨다.

2.1. 구성 방법

큰 십이면체는 정 이십면체를 패싯(새로운 꼭짓점을 변경하거나 생성하지 않고 다각형 면을 제거하는 방법)하여 만들 수 있다. 또 다른 방법은 정이십면체 내부의 각 다섯 꼭짓점으로 정오각형을 만들고, 서로 교차하는 12개의 정오각형을 통해 별 모양 오각형을 꼭짓점 도형으로 만드는 것이다.

큰 십이면체는 십이면체의 두 번째 별 모양화로도 볼 수 있다. 이 구조는 정십이면체의 각 면에 12개의 오각뿔을 붙여 첫 번째 별 모양화를 만들고, 여기에 30개의 쐐기를 부착하여 만든다.

2.2. 공식

큰 십이면체의 모서리 길이 E가 주어졌을 때 다음 공식들이 성립한다.

* 내접 반지름 = $\backslash frac\{E\; \backslash sqrt\{10(5\; +\; \backslash sqrt\{5\})\}\}\{20\}$
* 중간 반지름 = $\backslash frac\{E(1\; +\; \backslash sqrt\{5\})\}\{4\}$
* 외접 반지름 = $\backslash frac\{E\; \backslash sqrt\{10\; +\; 2\backslash sqrt\{5\}\}\}\{4\}$
* 겉넓이 = $15E^2\; \backslash sqrt\{5\; -\; 2\backslash sqrt\{5\}\}$
* 부피 = $\backslash frac\{5(\backslash sqrt\{5\}\; -\; 1)E^3\}\{4\}$

3. 역사

큰 십이면체는 1810년 루이 푸앵소에 의해 발견되었으며, 일부에서는 '푸앵소 다면체'라고도 불린다. 푸앵소는 요하네스 케플러가 이미 발견했던 작은 별모양 십이면체와 큰 별모양 십이면체도 재발견하였다. 그러나, 큰 십이면체는 1568년 벤젤 잠니처의 Perspectiva Corporum Regularium에 이미 등장한 바 있다.

--
--

4. 관련 다면체

큰 십이면체는 정이십면체와 모서리 배열을 공유한다. 깎은 큰 십이면체, 십이십이면체 등은 큰 십이면체에서 파생되는 다면체이다.

작은 별모양 십이면체와 큰 십이면체는 서로 쌍대다면체 관계이며, 이 둘을 조합하면 십각성 형태가 된다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

정십이면체의 별모양화
플라톤의 다면체	케플러-푸앵소 다면체

4.1. 깎은 큰 십이면체와 십이십이면체

큰 십이면체에 깎는 과정을 적용하면 일련의 비볼록 고른 다면체들이 만들어진다. 깎아서 모서리가 점이 되면 절반 깎은 큰 십이면체처럼 십이십이면체를 만들어낸다. 이 과정은 원래 면이 점이 되도록 하는 birectification이 되면 끝나고 작은 별모양 십이면체를 만들어낸다.

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

이름	작은 별모양 십이면체	십이십이면체	깎은 큰 십이면체	큰 십이면체
그림

👆

좌우로 밀어서 보기

📌 열 고정 해제

깎은 큰 십이면체

십이십이면체

5. 활용

* 알렉산더의 별은 큰 십이면체를 기본 형태로 하는 퍼즐로, 루빅스 큐브와 유사한 구조를 가진다.
* 큰 십이면체는 이진 골레 부호의 쉬운 기억법을 제공한다.
* 벤젤 잠니처의 Perspectiva Corporum Regularium에 큰 십이면체가 등장한다.
--
--

6. 그림