정이십면체

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1. 개요
2. 기하학적 성질
3. 관련 다면체
- 3.1. 4차원 도형과의 관계
4. 활용 및 등장
5. 기타
참조

1. 개요

정이십면체는 20개의 정삼각형 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점을 가진 다면체이다. 정십이면체와 쌍대 관계에 있으며, 꼭짓점 모양은 정오각형이다. 한 모서리의 길이를 a라고 할 때, 겉넓이는 5√3a², 부피는 (5φ²/6)a³이며, φ는 황금비이다. 정이십면체는 자이로연장 이각뿔의 일종으로, 정오각 기둥에 정오각뿔 2개를 붙여 만들 수 있다.

정이십면체는 20면체 주사위로 널리 사용되며, 바이러스 캡시드나 방사충의 골격, 클로소-카보란과 같은 화학 화합물, 그리고 다이맥션 지도 제작에도 활용된다. 요하네스 케플러는 이 도형을 사용하여 태양계 모델을 제시하기도 했다.

2. 기하학적 성질

정이십면체는 20개의 정삼각형 면, 30개의 모서리, 12개의 꼭짓점으로 이루어져 있다. 각 꼭짓점에는 5개의 면이 모이며, 서로 마주보는 면은 평행하다. 정십이면체와 쌍대 관계이다. 전개도는 43,380가지이다. 정이십면체는 면이 정삼각형으로만 이루어진 델타면체의 일종이기도 하다.

한 모서리의 길이를 $a$ 라고 할 때, 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

: $V=\frac{3+\sqrt{5}}{12}5a^3$

: $A=5\sqrt{3}a^2$

2. 1. 구성

정이십면체는 자이로연장 이각뿔의 일종으로, 정오각기둥에 정오각뿔 두 개를 붙여 만들 수 있다. 이 과정을 자이로연장이라고 한다.^[1] 정팔면체에 스너브 연산을 적용하여 만들 수도 있으며, 이 경우 '스너브 팔면체'라고도 불린다.^[2]

세 개의 서로 수직인 황금비 직사각형은 모서리를 연결하여 정 이십면체를 형성한다.

서로 수직인 세 개의 황금비 직사각형을 이용하여 정이십면체를 구성할 수도 있다.^[3]

모서리 길이가 2인 정 이십면체의 꼭짓점에 대한 데카르트 좌표계는 다음과 같다.

:

\left(0, \pm 1, \pm \varphi \right), \left(\pm 1, \pm \varphi, 0 \right), \left(\pm \varphi, 0, \pm 1 \right),

여기서

\varphi = (1 + \sqrt{5})/2

는 황금비를 나타낸다.^[4]

정반오각기둥의 양쪽 밑면에 정오각뿔을 붙인 형태이다. 따라서 정이십면체를 '''쌍오각뿔반기둥''' (Gyroelongated bipyramid|자이로연장된 쌍각뿔^영어) 이라고 부르는 경우가 있다.
서로 마주보는 면은 평행하다.
전개도의 수는 43,380 종류이다.
면의 수는 20개, 모서리의 수는 30개, 꼭짓점의 수는 12개이다.
꼭짓점 모양은 정오각형이며, 5개의 모서리와 5개의 정삼각형이 모인다.
정십이면체와 쌍대이다.

2. 2. 공식

한 모서리의 길이를 a^영어라고 할 때, 정이십면체의 공식은 다음과 같다.

면의 면적
겉넓이
부피
가장 긴 대각선의 길이
외접구 반지름
내접구 반지름
이면각	약 138.19°

2. 3. 좌표

모서리 길이가 2인 정이십면체의 꼭짓점 좌표는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

좌표
* $(0, \pm 1, \pm \varphi)$
* $(\pm 1, \pm \varphi, 0)$
* $(\pm \varphi, 0, \pm 1)$

여기서 $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2$ 는 황금비를 나타낸다.

다음은 표준 좌표를 잡는 방법 중 하나이다. 여기서 $\varphi$ 는 황금비 $\frac{1+\sqrt5}2$ 이며, $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3=\pm 1$ 이다.

12개의 꼭짓점(원점으로부터의 거리 $\sqrt{\varphi+2}$ )의 좌표: $(0, \epsilon_2, \epsilon_3 \varphi)$ 의 xyz 좌표를 짝순열한 12개
30개의 변(길이 $2$ )의 양 끝점 및 중심 좌표
양 끝점 $(0, \epsilon_2, \epsilon_3 \varphi)$ 과 $(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0)$ , 중심 $\frac12(\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi^2, \epsilon_3 \varphi)$ 의 xyz 좌표를 짝순열한 24개
양 끝점 $(0, 1, \epsilon_3\varphi)$ 과 $(0, -1, \epsilon_3\varphi)$ , 중심 $(0, 0, \epsilon_3\varphi)$ 의 xyz 좌표를 짝순열한 6개
20개의 면의, 바깥쪽에서 봤을 때 반시계 방향의 꼭짓점 열 및 중심의 좌표
꼭짓점 $(0,\epsilon_2, \epsilon_1\epsilon_2 \varphi), (\epsilon_1 \varphi, 0,\epsilon_1\epsilon_2 ), (\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0)$ 의 4개
꼭짓점 $(0,\epsilon_2, -\epsilon_1\epsilon_2 \varphi), (\epsilon_1, \epsilon_2 \varphi, 0), (\epsilon_1 \varphi, 0,-\epsilon_1\epsilon_2 )$ 의 4개
꼭짓점 $(0, \epsilon_2, \epsilon_3\varphi)$ , $(0,-\epsilon_2, \epsilon_3\varphi)$ , $(\epsilon_2 \epsilon_3\varphi, 0, \epsilon_3)$ 의 xyz 좌표를 짝순열한 12개

2. 4. 대칭성

전체 정이십면체 대칭은 15개의 대칭 평면(이 구에서 시안색 대원으로 보임)이 $\pi/5, \pi/3, \pi/2$ 각도로 만나며, 구를 120개의 삼각형 기본 영역으로 나눈다. 6개의 5중 회전축(파란색), 10개의 3중 회전축(빨간색), 15개의 2중 회전축(자홍색)이 있다. 정이십면체의 꼭짓점은 5중 회전축 지점에 존재한다.

정이십면체의 회전 대칭군은 다섯 글자에 대한 교대군과 동형이다. 이 비아벨 단순군은 다섯 글자에 대한 대칭군의 유일한 비자명 정규 부분군이다. 일반적인 5차 방정식의 갈루아 군이 다섯 글자에 대한 대칭군과 동형이므로, 이 정규 부분군은 단순하고 비아벨이므로 일반적인 5차 방정식은 근을 이용한 해를 갖지 않는다. 아벨-루피니 정리의 증명은 이 단순한 사실을 사용하며, 펠릭스 클라인은 정이십면체 대칭 이론을 사용하여 일반적인 5차 방정식의 해석적 해를 유도하는 책을 썼다.^[4]

정이십면체의 전체 대칭군(반사 포함)은 전체 정이십면체 군이라고 한다. 이는 회전 대칭군과 이십면체의 중심을 통과하는 반사에 의해 생성되는 크기 2의 군

C_2

의 곱과 동형이다.

모든 플라톤 그래프, 즉 '''정이십면체 그래프'''를 포함하는 그래프는 다면체 그래프이다. 이는 평면에서 교차하는 변 없이 그릴 수 있는 평면 그래프이고, 임의의 두 정점을 제거해도 연결된 부분 그래프가 남는다는 의미에서 3-정점 연결 그래프이다.

정이십면체 그래프는 해밀턴 그래프이며, 이는 각 정점을 정확히 한 번씩 방문하는 해밀턴 사이클, 즉 사이클을 포함한다는 의미이다.

3. 관련 다면체

정이십면체는 정십이면체와 쌍대 관계에 있다. 즉, 정이십면체의 각 면의 중심을 연결하면 정십이면체가 되고, 그 반대도 성립한다. 정팔면체와 정육면체의 모서리를 황금비로 나누어 정이십면체를 내접시킬 수 있다.

정이십면체의 별모양은 59개가 존재한다.^[4] 정이십면체의 페이싱(Faceting)에는 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 이십면체가 있다.

존슨의 다면체 중 자이로연장 오각뿔(쌍오각뿔 반기둥), 메타쌍감소 이십면체(이측뿔 결손 이십면체), 삼중감소 이십면체(삼측뿔 결손 이십면체) 등은 정이십면체의 일부를 제거하여 만들 수 있다.

정오각뿔 반기둥	쌍오각뿔 기둥	쌍오각뿔
쌍사각뿔 반기둥	이측뿔 결손 이십면체	삼측뿔 결손 이십면체

3. 1. 4차원 도형과의 관계

정이십면체는 차원 유사로서, 정규 4-다포체인 600-셀과 관련이 있다. 600-셀은 두 가지 크기의 정이십면체 단면을 가지며, 각 120개의 꼭짓점은 정이십면체 피라미드이다. 정이십면체는 600-셀의 꼭짓점 도형이다.

단위 반지름 600-셀은 변의 길이가 φ|피^영어 분의 1인 정사면체 셀을 가지며, 각 꼭짓점에서 20개가 만나 정이십면체 피라미드(4-각뿔의 밑면이 정이십면체)를 형성한다. 따라서 600-셀은 변의 길이가 φ|피^영어 분의 1인 120개의 정이십면체를 포함한다. 600-셀은 또한 단위 길이의 코드로 형성된 내부 특징으로 단위 길이의 정육면체와 단위 길이의 정팔면체를 포함한다. 단위 반지름 120-셀(600-셀의 쌍대이자 5개의 600-셀의 화합물인 또 다른 정규 4-다포체)에서 우리는 세 종류의 내접 정이십면체(십이면체, 팔면체, 정육면체)를 모두 찾을 수 있다.

준정규 4-다포체인 엇깎은 24-포체는 정이십면체 셀을 가지고 있다.

4. 활용 및 등장

Q, U, V, X, Y, Z 6개의 글자를 제외한 ''스캐터고리'' 20면체 주사위

주사위는 다양한 다면체를 사용하는 가장 흔한 물건이며, 그중 하나가 정이십면체이다. 20면체 주사위는 고대 시대에 많이 발견되었다. 한 예로 그리스와 로마 시대에 면에 그리스 문자가 새겨진 이집트 프톨레마이오스 시대의 주사위가 있다.^[6] 여러 롤플레잉 게임, 예를 들어 ''던전 앤 드래곤''에서 20면체 주사위 (d20으로 표시)는 행동의 성공 또는 실패를 결정하는 데 일반적으로 사용된다.

정규 이십면체는 과학의 여러 분야에도 나타난다.

바이러스학에서 헤르페스 바이러스는 이십면체 껍질을 가지고 있다. HIV의 외부 단백질 껍질은 정이십면체로 둘러싸여 있으며, 전형적인 미오바이러스의 머리도 마찬가지이다.^[6] 에른스트 헤켈이 발견한 여러 종의 방사충 껍질은 다양한 정다면체와 유사하게 묘사되었으며, 그중 하나가 골격이 정이십면체 모양인 ''Circogonia icosahedra''이다.^[6]
화학에서 클로소-카보란은 정이십면체와 유사한 모양을 가진 화합물이다.^[6] 결정 쌍정은 특히 나노입자에서 이십면체 모양으로 결정에 발생한다.^[6] 붕소와 붕소의 동소체(α- 및 β-능면체)는 B₁₂ 붕소 이십면체를 기본 구조 단위로 포함한다.^[6]
지도 제작에서 R. 벅민스터 풀러는 정이십면체의 전개도를 사용하여 다이맥션 지도를 만들었다.^[6]
톰슨 문제에서, n = 12에 대해 알려진 최소 솔루션은 정이십면체의 꼭짓점에 점을 배치하는 것이며, 구에 내접된다.^[6]

위에 언급했듯이 정이십면체는 다섯 개의 플라톤 입체 중 하나이다. 유클리드의 ''원론''은 플라톤 입체를 정의하고 외접구의 지름과 모서리 길이의 비율을 구하는 문제를 해결했다.^[6] 요하네스 케플러는 그의 ''우주의 조화''에서 정이십면체를 스케치했다.^[6] 그는 또한 그의 ''우주의 신비''에서 플라톤 입체를 내접 및 외접구의 반경이 여섯 개의 알려진 행성의 공통 중심으로부터의 거리를 제공하는 동심원 시퀀스로 배치한 것을 기반으로 한 태양계 모델을 제안했다. 고체의 순서는 가장 안쪽에서 가장 바깥쪽으로 정팔면체, 정이십면체, 정십이면체, 정사면체, 정육면체 순이다.^[6]

5. 기타

정반오각기둥의 양쪽 밑면에 정오각뿔을 붙인 형태이다. 따라서 정이십면체를 '''쌍오각뿔반기둥'''(Gyroelongated bipyramid|자이로일롱게이티드 펜타고날 바이피라미드^영어)이라고 부르는 경우가 있다.
서로 마주보는 면은 평행하다.
전개도는 43,380가지가 존재한다.
면은 20개, 모서리는 30개, 꼭짓점은 12개이다.
꼭짓점 모양은 정오각형이며, 5개의 모서리와 5개의 정삼각형이 모인다.
정십이면체와 쌍대이다.

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[6] 웹사이트 Dungeons & Dragons Dice https://www.gmdice.c[...] 2019-08-20
_[7] 서적 正多面体を解く東海大学出版会 2002-05-20

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