작은 별모양 십이면체

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1. 개요

작은 별모양 십이면체는 12개의 별 모양 오각형을 면으로 하는 다면체이다. 오각별 면을 삼각형 면으로 간주하면 오각뿔 십이면체와 동일한 표면 위상을 가지며, 오일러 지표를 통해 종수가 4임을 알 수 있다. 이 다면체는 리만 곡면의 분기 덮개로 볼 수 있으며, 예술 작품에도 등장한다. 또한, 정십이면체의 별모양화로 만들 수 있으며, 깎은 작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체 등과 관련이 있다.

작은 별모양 십이면체

개요

이미지 준비중입니다.

종류	케플러-푸앵소 다면체

면

개수	12

모서리

개수	30

꼭짓점

개수	12

쌍대

다면체	큰 별모양 십이면체

일반 정보

종류	별모양 정다면체, 정십이면체의 별형, 십이면체
면	12개의 별모양 오각형
꼭짓점 배열	(5/2)⁵ (각 꼭짓점에 별모양 오각형 5개)
위토프 기호	5 \| 2 5/2
슐레플리 기호	{5/2, 5}
대칭군	I_h
외접	정이십면체
핵	정십이면체
밀도	3
쌍대	큰 십이면체

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1. 개요
2. 성질
3. 그림
4. 예술에서의 등장
5. 관련 다면체
- 5.1. 깎은 작은 별모양 십이면체
- 5.2. 정십이면체의 별모양화

2. 성질

--

만약 별 모양 오각형 면을 5개의 삼각형 면으로 간주한다면, 오각뿔 십이면체와 동일한 표면 위상을 공유하지만, 훨씬 더 키가 큰 이등변 삼각형 면을 가지며, 오각형 피라미드의 높이는 별 모양 오각형의 다섯 삼각형이 동일 평면에 있도록 조정된다. 임계 각도는 십이면체 면 위에서 atan(2)이다.

만약 12개의 별 모양 오각형을 면으로 간주하고, 이 별 모양 오각형이 30개의 모서리와 12개의 꼭짓점에서 만난다고 생각하면, 오일러 지표를 사용하여 종수를 계산할 수 있다.

: V - E + F = 2 - 2g

그리고 작은 별 모양 십이면체의 종수는 4라고 결론 내릴 수 있다. 루이 푸앵소가 한 이 관찰은 처음에는 혼란스러웠지만, 펠릭스 클라인은 1877년에 작은 별 모양 십이면체가 각 별 모양 오각형의 중심에 분기점이 있는 종수 4의 리만 곡면에 의해 리만 구의 분기 덮개로 볼 수 있음을 보였다. 이 리만 곡면은 브링 곡선이라고 불리며, 종수 4의 모든 리만 곡면 중 가장 많은 대칭을 갖는다. 대칭군 S₅는 자기 동형 사상으로 작용한다.

작은 별모양 십이면체의 모서리 길이 E에 대해,

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종류	공식
내접반지름	$\frac{\text{E}\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{11}{10}\sqrt{5}}}{2}$
중간반지름	$\frac{\text{E}(3+\sqrt{5})}{4}$
외접반지름	$\frac{\text{E}\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{4}$
겉넓이	$15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\text{E}^2$
부피	${\tfrac{5}{4}}(7+3\sqrt{5})\text{E}^3$

면, 모서리, 꼭짓점의 개수를 고려하면 오일러의 다면체 정리가 성립하지 않음을 알 수 있다(12-30+12=-6).

3. 그림

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투명 모형	수제 모형
(애니메이션)
구면 타일링	별모양화	전개도
이 다면체는 밀도가 3인 구면 타일링을 나타낸다. (윤곽선이 파란색이고 노란색으로 칠해진 구면 오각성 면 하나)	정십이면체의 첫 번째 별모양화 (웨닝거 모델 [W20])	다섯 면을 가지는 이등변 삼각형 각뿔 12개를 연결해서 만든 전개도

작은 별모양 깎은 십이면체
t{5/3, 5}

십이이십면체
r{5/2, 5}

5. 관련 다면체

작은 별모양 십이면체의 볼록 폐포는 정이십면체이다. 또한 큰 이십면체와 모서리를 공유한다.

별 모양 오각형 면을 5개의 삼각형 면으로 간주하면, 오각뿔 십이면체와 동일한 표면 위상을 공유하지만, 훨씬 더 키가 큰 이등변 삼각형 면을 가진다. 오각형 피라미드의 높이는 별 모양 오각형의 다섯 삼각형이 동일 평면에 있도록 조정되며, 임계 각도는 십이면체 면 위에서 atan(2)이다.

12개의 별 모양 오각형을 면으로 간주하고, 이 별 모양 오각형이 30개의 모서리와 12개의 꼭짓점에서 만난다고 생각하면, 오일러 지표를 사용하여 종수를 계산할 수 있다.

V - E + F = 2 - 2g

계산 결과, 작은 별모양 십이면체의 종수는 4이다. 루이 푸앵소의 이 관찰은 처음에는 혼란스러웠지만, 1877년 펠릭스 클라인은 작은 별모양 십이면체가 각 별 모양 오각형의 중심에 분기점이 있는 종수 4의 리만 곡면에 의해 리만 구의 분기 덮개로 볼 수 있음을 보였다. 브링 곡선이라고 불리는 이 리만 곡면은 종수 4의 모든 리만 곡면 중 가장 많은 대칭을 가지며, 대칭군

S_5

는 자기 동형 사상으로 작용한다.

이 다면체의 볼록 덮개는 정 볼록 이십면체이다. 또한 큰 이십면체와 모서리를 공유하며, 두 다면체의 화합물은 큰 복합 이십이십면체이다.

절단 정도에 따라 구성된 4개의 관련 균일 다면체가 있다. 쌍대 다면체는 큰 십이면체이며, 십이이십면체는 변이 점까지 절단되는 정류이다.

이름

작은 별모양 십이면체

깎은 작은 별모양 십이면체

십이십이면체

깎은 큰 십이면체

큰 십이면체

정십이면체의 별모양화
플라톤의 다면체	케플러-푸앵소 다면체
정십이면체	작은 별모양 십이면체	큰 십이면체	큰 별모양 십이면체
정십이면체 면	작은 별모양 십이면체 면	큰 십이면체 면	큰 별모양 십이면체 면

정십이면체의 별모양화

플라톤의 다면체

케플러-푸앵소 다면체