탄성 충돌

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1. 개요
2. 방정식
3. 질량 중심 좌표계
4. 같이 보기
참조

1. 개요

탄성 충돌은 두 물체가 충돌할 때 운동 에너지의 손실 없이 운동량이 보존되는 현상이다. 1차원 탄성 충돌의 경우, 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙을 연립하여 충돌 후 속도를 계산할 수 있으며, 두 물체의 질량이 같으면 속도가 교환된다. 상대론적 충돌에서는 특수 상대성 이론을 적용하여 운동량과 에너지 보존 법칙을 사용하며, 2차원 충돌은 충돌 지점에서 접하는 속도는 변하지 않고 충돌 선을 따르는 속도는 1차원 충돌과 유사하게 분석한다. 질량 중심 좌표계에서는 충돌 전후 속도가 반전되며, 질량 중심의 속도는 변하지 않는다.

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탄성 충돌
개요
정의	두 물체 간의 충돌에서 계의 운동 에너지가 보존되는 현상
특징	충돌 전후 운동 에너지의 총합이 변하지 않음
이상적인 탄성 충돌
조건	에너지 손실이 전혀 없음 열에너지, 소리 에너지 등으로의 전환 없음 물체 변형 없음
현실	실제로는 존재하지 않음
탄성 충돌의 예
거시적 예	당구공의 충돌 진자의 운동 (근사적)
미시적 예	기체 분자 간의 충돌 (기체 분자 운동론) 원자 충돌
충돌의 종류
탄성 충돌	운동 에너지 보존
비탄성 충돌	운동 에너지 보존되지 않음 (일부 에너지 손실)
완전 비탄성 충돌	충돌 후 두 물체가 합쳐짐 (운동 에너지 손실 최대)
계산
1차원 탄성 충돌	충돌 전후 속도 변화 계산 가능
2차원 탄성 충돌	운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙 적용
활용
입자 물리학	입자 간의 상호 작용 연구
재료 과학	재료의 탄성 특성 분석

2. 방정식

두 입자의 질량을 각각 m₁, m₂라 하고, 충돌 전 속도를 u₁, u₂, 충돌 후 속도를 v₁, v₂라고 하자.

운동량 보존 법칙에 의하여 충돌 전과 후의 운동량은 보존된다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\,! m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$

마찬가지로 운동 에너지 보존 법칙에 의하여 충돌 전후 운동에너지는 다음과 같이 보존된다.

: $\frac{m_1u_1^2}2+\frac{m_2u_2^2}2=\frac{m_1v_1^2}2+\frac{m_2v_2^2}2$

''u_i''를 알 때 위의 두 방정식을 연립하여 ''v_i''를 구할 수 있으며, 그 반대도 가능하다. 그러나 방정식을 직접 풀면 복잡하므로, 기준계를 바꾸어 간단하게 풀 수 있다. 값을 아는 속력 중 하나가 0이 되도록 기준계를 바꾼 뒤, 새 기준계에서 방정식을 풀어 값을 모르는 속력을 결정한다. 그 후, 다시 원래 기준계로 변환하면 같은 결과를 얻는다. 일단 값을 모르는 속력 하나가 결정되면, 대칭성에 의해 나머지도 알 수 있다.

''v_i''에 대해 연립하면 다음을 얻는다.

: $v_{1} = \frac{u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ , $v_{2} = \frac{u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}$

또는

: $\ v_{1} = u_{1}$ , $\ v_{2} = u_{2}$

두 번째 해는 충돌이 일어나지 않은 경우에 해당한다.

특수 상대성이론에 따르면, 운동량 p는 속도 v, 광속 c, 질량 m에 대해 다음과 같은 관계식을 갖는다.

: $p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

총 운동량 합이 0이 되는 지점(운동량중심)을 기준으로 한 좌표계에서, 두 물체의 운동량 $p_1, p_2$ 과 총 에너지 $E$ 는 두 물체의 불변질량 $m_1, m_2$ , 충돌 전 속도 $u_1, u_2$ , 충돌 후 속도 $v_1, v_2$ 를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\begin{align}p_1 &= - p_2 \\p_1^2 &= p_2^2 \\E &= \sqrt {m_1^2c^4 + p_1^2c^2} + \sqrt {m_2^2c^4 + p_2^2c^2} = E \\p_1 &= \pm \frac{\sqrt{E^4 - 2E^2m_1^2c^4 - 2E^2m_2^2c^4 + m_1^4c^8 - 2m_1^2m_2^2c^8 + m_2^4c^8}}{2cE} \\u_1 &= -v_1.\end{align}$

운동량 보존을 적용하면 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

: $\begin{align}m_1u_1 + m_2u_2 &= m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \\m_1u_1^2 + m_2u_2^2 &= m_1v_1^2 + m_2v_2^2 \\\frac{(m_2u_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} &= \frac{(m_2v_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2v_2)^2}{2m_2} \\(m_1 + m_2)(m_2u_2)^2 &= (m_1 + m_2)(m_2v_2)^2 \\u_2 &= -v_2 \\\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1u_1)^2}{2m_2} &=\frac{(m_1v_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1v_1)^2}{2m_2} \\(m_1 + m_2)(m_1u_1)^2 &= (m_1 + m_2)(m_1v_1)^2 \\u_1 &= -v_1\,.\end{align}$

이제 계의 총 운동량 $p_T,$ 총 에너지 $E$ , 운동량 중심의 속도 $v_c$ 로 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

: $\begin{align}\frac{m_1\;u_1}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +\frac{m_2\;u_2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=\frac{m_1\;v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +\frac{m_2\;v_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=p_T \\\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E\end{align}$

운동량 중심의 속도는 다음과 같이 정리할 수 있다.

: $v_c = \frac{p_T c^2}{E}$

이때 충돌 전 두 물체의 속도 $u_1 '$ 와 $u_2 '$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\begin{align}u_1' &= \frac{u_1 - v_c}{1- \frac{u_1 v_c}{c^2}} \\u_2' &= \frac{u_2 - v_c}{1- \frac{u_2 v_c}{c^2}} \\v_1' &= -u_1' \\v_2' &= -u_2' \\v_1 &= \frac{v_1' + v_c}{1+ \frac{v_1' v_c}{c^2}} \\v_2 &= \frac{v_2' + v_c}{1+ \frac{v_2' v_c}{c^2}}\end{align}$

$u_1 \ll c$ 와 $u_2 \ll c$ (두 물체의 속도가 광속보다 매우 작은 경우)라고 가정하면, 고전역학의 계산식을 얻을 수 있다.

: $\begin{align}p_T &\approx m_1 u_1 + m_2 u_2 \\v_c &\approx \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\u_1' &\approx u_1 - v_c \approx \frac {m_2 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\u_2' &\approx \frac {m_1 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\v_1' &\approx \frac {m_2 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\v_2' &\approx \frac {m_1 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\v_1 &\approx v_1' + v_c \approx \frac{u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\v_2 &\approx \frac{u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}\end{align}$

2. 1. 1차원 뉴턴 충돌

2. 1. 1. 예시

월터 레윈 교수가 1차원 탄성 충돌에 대해 설명하는 영상에서 볼 수 있듯이, 외부 힘이 없는 모든 충돌에서 운동량은 보존된다. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존된다.^[1]

두 물체의 질량을 각각 ''m''_A, ''m''_B라 하고, 충돌 전 속도를 ''v''_A1, ''v''_B1, 충돌 후 속도를 ''v''_A2, ''v''_B2라 하면, 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1} \ =\ m_{A}v_{A2} + m_{B}v_{B2}

:

\tfrac12 m_{A}v_{A1}^2+\tfrac12 m_{B}v_{B1}^2 \ =\ \tfrac12 m_{A}v_{A2}^2 +\tfrac12 m_{B}v_{B2}^2

이 방정식들을 연립하여 ''v''_A1, ''v''_B1가 알려진 경우 ''v''_A2, ''v''_B2를 구할 수 있다.^[2]

:

v_{A2} = \dfrac{m_A-m_B}{m_A+m_B} v_{A1} + \dfrac{2m_B}{m_A+m_B} v_{B1}

:

v_{B2} = \dfrac{2m_A}{m_A+m_B} v_{A1} + \dfrac{m_B-m_A}{m_A+m_B} v_{B1}

또는, 반발 계수 ''e''와 질량 중심 속도 ''v''_CoM을 이용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:

v_2 = (1+e)v_{CoM}-ev_1

여기서,

:

v_{CoM} = \dfrac{m_Av_{A1} + m_Bv_{B1}}{m_A+m_B}

이고, ''v''₁은 입자의 초기 속도, v₂는 입자의 최종 속도이다.

두 질량이 같은 경우(m_A=m_B), 물체는 서로의 초기 속도를 교환한다.^[2]

:

v_{A2} = v_{B1}

:

v_{B2} = v_{A1}

이는 갈릴레이 상대성 원리에 따라 모든 속도에 상수를 더해도 변하지 않는다. 방정식을 유도하기 위해 참조 프레임을 변경하여 계산을 간단하게 할 수도 있다.
구체적인 예시:

예시 1

	질량 (kg)	충돌 전 속도 (m/s)	충돌 후 속도 (m/s)
공 A	3	4	-1
공 B	5	0	3

예시 2

	질량 (kg)	충돌 전 속도 (m/s)	충돌 후 속도 (m/s)
공 1	3	4	-8.5
공 2	5	-6	1.5

$m_1$ 이 $m_2$ 보다 훨씬 큰 경우, 무거운 질량의 속도는 거의 변하지 않고, 가벼운 질량은 튕겨져 나가 속도가 반전되며, 무거운 질량 속도의 약 두 배가 된다.^[15]

$v_{1}$ 이 큰 경우, 질량이 거의 같으면 $v_{1}$ 의 값은 작아진다. 훨씬 가벼운 입자에 부딪히면 속도는 크게 변하지 않지만, 훨씬 무거운 입자에 부딪히면 빠른 입자가 고속으로 튕겨 나간다. 중성자 감속재가 가벼운 원자핵을 가진 원소로 채워진 이유가 바로 이 때문이다.

2. 1. 2. 해 유도

\left\{\begin{array}{rcrcc}v_{1} & - & v_{2} &=& u_{2}-u_{1} \\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2} &=& m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}\right.

만약 두 물체의 질량이 같다면, v|브이^영어₁ = u|유^영어₂, v|브이^영어₂ = u|유^영어₁이 되어, 두 물체는 충돌 후 서로의 속도를 교환한다.^[2]^[14]

이 해는 갈릴레이 불변성에 따라 모든 속도에 상수를 더해도 변하지 않는다. 이는 병진 속도가 일정한 좌표계를 사용하는 것과 같다. 방정식을 유도할 때, 알려진 속도 중 하나가 0이 되도록 좌표계를 변경하고, 새로운 좌표계에서 미지의 속도를 결정한 다음, 원래 좌표계로 변환하는 방법을 사용할 수 있다.

2. 2. 1차원 상대론적 충돌

특수 상대성이론에 따르면, 질량을 가진 입자의 운동량 ''p''는 속도 ''v'', 광속 ''c'', 질량 ''m''에 대해 다음과 같은 관계를 가진다.

:

p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

총 운동량 합이 0이 되는 지점(운동량 중심 좌표계)을 기준으로, 두 물체의 운동량

p_1, p_2

과 총 에너지

E

는 두 물체의 불변질량

m_1, m_2

, 충돌 전 속도

u_1, u_2

, 충돌 후 속도

v_1, v_2

를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}p_1 &= - p_2 \\p_1^2 &= p_2^2 \\E &= \sqrt {m_1^2c^4 + p_1^2c^2} + \sqrt {m_2^2c^4 + p_2^2c^2} = E \\p_1 &= \pm \frac{\sqrt{E^4 - 2E^2m_1^2c^4 - 2E^2m_2^2c^4 + m_1^4c^8 - 2m_1^2m_2^2c^8 + m_2^4c^8}}{2cE} \\u_1 &= -v_1.\end{align}

고전역학에서는 운동량 보존을 적용하면 다음과 같이 정리된다.

:

\begin{align}m_1u_1 + m_2u_2 &= m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \\m_1u_1^2 + m_2u_2^2 &= m_1v_1^2 + m_2v_2^2 \\\frac{(m_2u_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} &= \frac{(m_2v_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2v_2)^2}{2m_2} \\(m_1 + m_2)(m_2u_2)^2 &= (m_1 + m_2)(m_2v_2)^2 \\u_2 &= -v_2 \\\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1u_1)^2}{2m_2} &=\frac{(m_1v_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1v_1)^2}{2m_2} \\(m_1 + m_2)(m_1u_1)^2 &= (m_1 + m_2)(m_1v_1)^2 \\u_1 &= -v_1\,.\end{align}

특수 상대성 이론에서, 계의 총 운동량

p_T,

총 에너지

E

, 운동량 중심의 속도

v_c

로 나타내면 다음과 같다.

:

\begin{align}\frac{m_1\;u_1}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +\frac{m_2\;u_2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=\frac{m_1\;v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +\frac{m_2\;v_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=p_T \\\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E\end{align}

운동량 중심의 속도는 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

v_c = \frac{p_T c^2}{E}

이때 충돌 전 두 물체의 속도

u_1 '

와

u_2 '

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}u_1' &= \frac{u_1 - v_c}{1- \frac{u_1 v_c}{c^2}} \\u_2' &= \frac{u_2 - v_c}{1- \frac{u_2 v_c}{c^2}} \\v_1' &= -u_1' \\v_2' &= -u_2' \\v_1 &= \frac{v_1' + v_c}{1+ \frac{v_1' v_c}{c^2}} \\v_2 &= \frac{v_2' + v_c}{1+ \frac{v_2' v_c}{c^2}}\end{align}

u_1 \ll c

와

u_2 \ll c

(두 물체의 속도가 광속보다 매우 작은 경우)라고 가정하면, 고전역학의 계산식을 얻을 수 있다.

:

\begin{align}p_T  &\approx m_1 u_1 + m_2 u_2 \\v_c  &\approx \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\u_1' &\approx u_1 - v_c \approx \frac {m_2 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\u_2' &\approx \frac {m_1 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\v_1' &\approx \frac {m_2 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\v_2' &\approx \frac {m_1 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\v_1  &\approx v_1' + v_c \approx \frac{u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\v_2  &\approx \frac{u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}\end{align}

래피디티를 사용하면 상대론적 에너지와 운동량은 다음과 같이 표현된다.

:

\begin{align}E &= \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = m c^2 \cosh(s) \\p &= \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m c \sinh(s)\end{align}

충돌하는 질량

m_1

과

m_2

의 에너지와 운동량 보존 방정식은 다음과 같다.

:

\begin{align}m_1 \cosh(s_1)+m_2 \cosh(s_2) &= m_1 \cosh(s_3)+m_2 \cosh(s_4) \\m_1 \sinh(s_1)+m_2 \sinh(s_2) &= m_1 \sinh(s_3)+m_2 \sinh(s_4)\end{align}

이를 통해 최종적으로 충돌 후 속도

v_1

과

v_2

를 얻을 수 있다.

:

\begin{align}v_1 &= \frac{2 m_1 m_2 c^2 u_2 Z+2 m_2^2 c^2 u_2-(m_1^2+m_2^2) u_1 u_2^2+(m_1^2-m_2^2) c^2 u_1} {2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_2^2 u_1 u_2-(m_1^2-m_2^2) u_2^2+(m_1^2+m_2^2) c^2} \\v_2 &= \frac{2 m_1 m_2 c^2 u_1 Z+2 m_1^2 c^2 u_1-(m_1^2+m_2^2) u_1^2 u_2+(m_2^2-m_1^2) c^2 u_2} {2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_1^2 u_1 u_2-(m_2^2-m_1^2) u_1^2+(m_1^2+m_2^2) c^2}\,.\end{align}

여기서

Z=\sqrt{\left(1-u_1^2/c^2\right) \left(1-u_2^2/c^2\right)}

이다.

2. 3. 2차원 충돌

두 물체가 2차원에서 충돌할 때, 이 물체들의 운동은 운동량, 운동 에너지, 그리고 각운동량이라는 세 가지 보존 법칙에 의해 결정된다. 각 물체의 전체 속도는 두 개의 수직 속도로 나눌 수 있는데, 하나는 충돌 지점에서 물체들의 공통 법선 표면에 접하는 방향이고, 다른 하나는 충돌 선을 따르는 방향이다. 충돌은 충돌 선을 따라서만 힘을 전달하기 때문에, 충돌 지점에 접하는 속도는 변하지 않는다. 따라서 충돌 선을 따르는 속도는 1차원 충돌과 같은 방정식을 사용하여 계산할 수 있다. 최종 속도는 두 개의 새로운 구성 요소 속도로부터 계산되며, 이는 충돌 지점에 따라 달라진다. 2차원 충돌에 대한 연구는 2차원 기체의 틀 안에서 여러 물체에 대해 이루어진다.

운동량 중심 좌표계에서 두 물체의 속도는 항상 반대 방향을 가리키며, 그 크기는 질량에 반비례한다. 탄성 충돌에서 이 크기는 변하지 않지만, 방향은 물체의 모양과 충돌 지점에 따라 바뀔 수 있다. 예를 들어, 구형 물체의 경우, 각도는 두 물체의 중심 경로 사이의 거리에 따라 달라진다. 이 거리가 0이면 속도는 충돌 시 반전되고, 거리가 구의 반지름 합에 가까우면 두 물체는 약간만 편향된다.

두 번째 입자가 충돌 전에 정지해 있다고 가정하면, 두 입자의 굴절 각도

\theta_1

과

\theta_2

는 질량 중심계에서의 굴절 각도

\theta

와 다음과 같은 관계를 가진다.^[4]

:

\tan \theta_1=\frac{m_2 \sin \theta}{m_1+m_2 \cos \theta},\qquad\theta_2=\frac{\pi-\theta}{2}.

충돌 후 입자들의 속도 크기는 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}v'_1 &= v_1\frac{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos \theta}}{m_1+m_2} \\v'_2 &= v_1\frac{2m_1}{m_1+m_2}\sin \frac{\theta}{2}.\end{align}

첫 번째 공의 최종 x 및 y 속도 성분은 다음 방정식으로 계산할 수 있다:^[5]

:

\begin{align}v'_{1x} &= \frac{v_{1}\cos(\theta_1-\varphi)(m_1-m_2)+2m_2v_{2}\cos(\theta_2-\varphi)}{m_1+m_2}\cos(\varphi)+v_{1}\sin(\theta_1-\varphi)\cos(\varphi + \tfrac{\pi}{2})\\[0.8em]v'_{1y} &= \frac{v_{1}\cos(\theta_1-\varphi)(m_1-m_2)+2m_2v_{2}\cos(\theta_2-\varphi)}{m_1+m_2}\sin(\varphi)+v_{1}\sin(\theta_1-\varphi)\sin(\varphi + \tfrac{\pi}{2}),\end{align}

여기서

v_1

과

v_2

는 두 물체의 원래 속도의 스칼라 크기,

m_1

과

m_2

는 질량,

\theta_1

과

\theta_2

는 운동 각도이다.

v_{1x} = v_1\cos\theta_1,\; v_{1y}=v_1\sin\theta_1

이며, 오른쪽 아래로 직접 이동하는 경우는 -45° 또는 315° 각도이다. 소문자 파이(

\varphi

)는 접촉 각도를 나타낸다. 두 번째 공의 x 및 y 속도를 얻으려면, 모든 '1' 아래첨자를 '2'로 바꾸면 된다.

이 방정식들은 두 물체 간의 상호작용이 접촉 각도를 따라 쉽게 계산된다는 사실로부터 유도된다. 즉, 물체의 속도를 x축과 y축이 물체의 접촉 각도에 평행하도록 회전시켜 1차원에서 계산한 다음, 다시 원래 방향으로 회전시켜 속도의 실제 x 및 y 성분을 얻을 수 있다.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

각도를 사용하지 않는 표현에서는, 변경된 속도를 접촉 시점의 중심

\mathbf{x}_1

및

\mathbf{x}_2

를 사용하여 다음과 같이 계산한다.

:

\begin{align}\mathbf{v}'_1 &= \mathbf{v}_1-\frac{2 m_2}{m_1+m_2} \ \frac{\langle \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\,\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\rangle}{\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\|^2} \ (\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2),\\\mathbf{v}'_2 &= \mathbf{v}_2-\frac{2 m_1}{m_1+m_2} \ \frac{\langle \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\,\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\rangle}{\|\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\|^2} \ (\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)\end{align}

여기서 꺾쇠 괄호는 두 벡터의 내적(또는 점곱)을 의미한다.

질량이 같은 입자의 특별한 경우, 충돌 전후 속도의 스칼라 곱이 같다는 것을 위 결과로부터 직접 계산하여 확인할 수 있다. 즉,

\langle \mathbf{v}'_1,\mathbf{v}'_2 \rangle = \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \rangle

이다. 이 곱은 탄성 충돌에서 운동량과 운동 에너지가 그러하듯 가산 불변량은 아니지만, 이 양의 보존은 고차 보존 법칙을 도출하는 데 사용될 수 있을 것으로 보인다.^[12]

3. 질량 중심 좌표계

질량 중심의 속도는 충돌에 의해 변하지 않는다. 이를 확인하기 위해, 충돌 전 시간 $t$ 와 충돌 후 시간 $t'$ 에서의 질량 중심을 고려하면 다음과 같다.

$\begin{align}\bar{x}(t) &= \frac{m_{A} x_{A}(t)+m_{B} x_{B}(t)}{m_{A}+m_{B}} \\\bar{x}(t') &= \frac{m_{A} x_{A}(t')+m_{B} x_{B}(t')}{m_{A}+m_{B}}.\end{align}$

따라서, 충돌 전후 질량 중심의 속도는 다음과 같다.

$\begin{align}v_{ \bar{x} } &= \frac{m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}} \\v_{ \bar{x} }' &= \frac{m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}}{m_{A}+m_{B}}.\end{align}$

$v_{ \bar{x} }$ 와 $v_{ \bar{x} }'$ 의 분자는 충돌 전후의 총 운동량이다. 운동량이 보존되므로, $v_{ \bar{x} } = v_{ \bar{x} }'$ 이다. 즉, 질량 중심의 속도는 충돌 전후에 변하지 않는다.

이러한 질량 중심 좌표계를 이용하면 복잡한 충돌 문제를 단순화할 수 있다. 질량 중심 좌표계에서 보면, 두 물체의 속도는 충돌에 의해 반전된다. 무거운 입자는 질량 중심을 향해 천천히 움직이고, 동일한 속도로 튕겨져 나오며, 가벼운 입자는 질량 중심을 향해 빠르게 움직이고, 역시 같은 속도로 튕겨져 나온다.

4. 같이 보기

운동량 보존 법칙
운동 에너지
특수 상대성 이론
질량 중심

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적 https://archive.org/[...]
_[5] 웹사이트 Elastic Collisions http://williamecrave[...] 2013-08-13
_[6] 서적 An Elementary Treatise on Mechanics MacMillan
_[7] 서적 Principles of Dynamics Cambridge University Press
_[8] 서적 A Treatise on Dynamics of a Particle Cambridge University Press
_[9] 서적 Dynamics Cambridge University Press
_[10] 서적 Mechanics MacMillan
_[11] 서적 Mechanics and Properties of Matter Wiley
_[12] 간행물 Kinetic theory beyond the Stosszahlansatz
_[13] 서적 Physics for scientists and engineers with modern physics. 2013-03-05
_[14] 서적 Physics for scientists and engineers with modern physics. 2013-03-05
_[15] 서적 Physics for scientists and engineers with modern physics. 2013-03-05

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