반발 계수

2.2. 고정된 물체와의 충돌

물체가 고정된 표면과 충돌하는 경우, 반발 계수는 충돌 전후 물체의 속도 비율로 나타낼 수 있다.

:$e\; =\; \backslash frac\{V\_\{f\}\}\{V\_\{i\}\}$

위의 식에서,

* $V\_\{f\}$는 물체가 충돌한 후의 스칼라 속도이다.
* $V\_\{i\}$는 물체가 충돌하기 전의 스칼라 속도이다.

반발 계수는 다음의 방법으로도 구할 수 있다.

:$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{h\}\{H\}\}$

위의 식에서,

* $h$는 물체가 튀어오른 높이이다.
* $H$는 물체를 떨어뜨린 높이이다.

정지된 표면에서 튕겨 나오는 물체의 경우, e는 충돌 후 물체의 반발 속도와 충돌 전 속도의 비율로 정의된다.

:$$e\; =\; \backslash frac\{v\}\{u\},$$

여기서

* $u$는 충돌 전 물체의 속도이다.
* $v$는 충돌 후 반발하는 물체의 속도(반대 방향)이다.

마찰력을 무시할 수 있고 물체가 정지 상태에서 수평 표면에 떨어지는 경우, 이는 다음과 같다.

:$$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{h\}\{H\}\},$$

여기서

* $H$는 낙하 높이이다.
* $h$는 튕김 높이이다.

반발 계수는 물체가 표면에서 튕겨 나올 때 에너지가 얼마나 보존되는지를 측정하는 척도로 생각할 수 있다. 정지된 표면에서 튕겨 나오는 물체의 경우, 충돌 과정에서 중력 위치 에너지, E_p,의 변화는 본질적으로 0이다. 따라서, e는 충돌 직전 물체의 운동 에너지, E_k,와 충돌 직후 운동 에너지 간의 비교이다.

:$$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{E\_\backslash text\{k,\; (after\; impact)\}\}\{E\_\backslash text\{k,\; (before\; impact)\}\}\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{2\}mv^2\}\{\backslash frac\{1\}\{2\}mu^2\}\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{v^2\}\{u^2\}\}\; =\; \backslash frac\{v\}\{u\}$$

마찰력을 무시할 수 있는 경우(이 주제에 대한 거의 모든 학생 실험실), 물체가 정지 상태에서 수평 표면에 떨어지는 경우, 위 식은 낙하 높이에서의 물체의 E_p와 튕김 높이에서의 E_p 간의 비교와 같다. 이 경우, E_k의 변화는 0이다(물체는 충돌 과정에서 본질적으로 정지 상태이며, 튕김의 정점에서도 정지 상태이다). 따라서:

:$$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{E\_\backslash text\{p,\; (at\; bounce\; height)\}\}\{E\_\backslash text\{p,\; (at\; drop\; height)\}\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{mgh\}\{mgH\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{h\}\{H\}\}$$

2.3. 낙하-튕김 높이 관계

마찰을 무시할 수 있고, 물체가 정지 상태에서 수평면에 낙하하는 경우, 반발 계수는 낙하 높이와 튕김 높이의 비율로 나타낼 수 있다.

정지된 표면에서 튕겨 나오는 물체의 경우, 반발 계수 e는 다음과 같이 정의된다.

:$e\; =\; \backslash frac\{v\}\{u\}$

* $u$는 충돌 전 물체의 속도이다.
* $v$는 충돌 후 반발하는 물체의 속도(반대 방향)이다.

마찰력을 무시할 수 있고 물체가 정지 상태에서 수평 표면에 떨어지는 경우, 반발 계수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{h\}\{H\}\}$

* $H$는 낙하 높이이다.
* $h$는 튕김 높이이다.

반발 계수는 물체가 표면에서 튕겨 나올 때 에너지가 얼마나 보존되는지를 측정하는 척도로 생각할 수 있다. 정지된 표면에서 튕겨 나오는 물체의 경우, 충돌 과정에서 중력 위치 에너지(E_p)의 변화는 0이다. 따라서, e는 충돌 직전 물체의 운동 에너지(E_k)와 충돌 직후 운동 에너지 간의 비교이다.

:$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{E\_\backslash text\{k,\; (after\; impact)\}\}\{E\_\backslash text\{k,\; (before\; impact)\}\}\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{2\}mv^2\}\{\backslash frac\{1\}\{2\}mu^2\}\}\; =\backslash sqrt\{\backslash frac\{v^2\}\{u^2\}\}\; =\; \backslash frac\{v\}\{u\}$

마찰력을 무시할 수 있는 경우, 물체가 정지 상태에서 수평 표면에 떨어지는 경우, 위 식은 낙하 높이에서의 물체의 E_p와 튕김 높이에서의 E_p 간의 비교와 같다. 이 경우, E_k의 변화는 0이다(물체는 충돌 과정에서 본질적으로 정지 상태이며, 튕김의 정점에서도 정지 상태이다). 따라서 다음과 같다.

:$e\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{E\_\backslash text\{p,\; (at\; bounce\; height)\}\}\{E\_\backslash text\{p,\; (at\; drop\; height)\}\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{mgh\}\{mgH\}\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{h\}\{H\}\}$

스포츠의 구기 종목에서는 공의 반발 계수가 중요하기 때문에 규칙으로 반드시 지정하고 있다. 다만, 반발 계수를 직접 지정하는 것은 알기 어렵기 때문에, 통상적으로는 해당 구기 종목에서 사용하는 바닥면에, 어떤 높이에서 공을 자유 낙하시켜 바닥면과의 충돌 후, 공이 어느 높이까지 올라가는가 하는 형태로 간접적으로 지정하고 있다. 이는 다음 일반적인 사실을 이용한 것이다. 물체가 높이 h_i에서 자유 낙하하여 바닥면에 충돌한 후, 높이 h_f까지 튀어 올랐을 때, 공기 저항을 무시하면, 물체와 바닥면 사이의 반발 계수 e는 다음 식으로 구할 수 있다.

:$e=\backslash sqrt\{\backslash frac\{h\_f\}\{h\_i\}\}$

3. 반발 계수의 값과 충돌의 종류

반발 계수는 보통 0과 1 사이의 값을 가진다. 반발 계수가 1인 경우는 탄성 충돌이며, 운동 에너지가 손실되지 않는다. 0인 경우는 완전 비탄성 충돌로, 물체가 전혀 튕겨나가지 않고 접촉하게 된다. 0과 1 사이의 값을 가지는 경우는 비탄성 충돌이며, 운동에너지의 일부가 열 에너지나 소리 에너지등 다른 형태의 에너지로 변환된다.

반발 계수가 반드시 물체의 고유한 속성은 아니다. 예를 들어, 5종류의 물체가 충돌할 때, 두 물체 쌍마다 각각 다른 반발 계수를 가질 수 있다.

충돌에서 운동량과 운동 에너지가 모두 보존될 때 반발 계수가 1이 됨을 다음과 같이 보일 수 있다.

운동 에너지 보존 법칙에 의해,

:$\backslash frac\{1\}\{2\}m\_1\{v\_1\}^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2\{v\_2\}^2=\backslash frac\{1\}\{2\}m\_1\{v\text{'}\_1\}^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2\{v\text{'}\_2\}^2$

:$\backslash Leftrightarrow\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\_1(\{v\_1\}^2-\{v\text{'}\_1\}^2)=\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2(\{v\text{'}\_2\}^2-\{v\_2\}^2)$

:$\backslash Leftrightarrow\; m\_1(v\_1+v\text{'}\_1)(v\_1-v\text{'}\_1)=m\_2(v\text{'}\_2+v\_2)(v\text{'}\_2-v\_2)$

운동량 보존 법칙에 의해,

:$m\_1v\_1+m\_2v\_2=m\_1v\text{'}\_1+m\_2v\text{'}\_2$

:$\backslash Leftrightarrow\; m\_1(v\_1-v\text{'}\_1)=m\_2(v\text{'}\_2-v\_2)$

충돌 후 각 물체의 속도가 변한다고 가정하면,

:$v\_1-v\text{'}\_1\; \backslash neq\; 0$

:$v\text{'}\_2-v\_2\; \backslash neq\; 0$

따라서, 위의 두 식을 나누면,

:$v\_1+v\text{'}\_1=v\text{'}\_2+v\_2$

:$\backslash Leftrightarrow\; v\_1-v\_2=-(v\text{'}\_1-v\text{'}\_2)$

이는 충돌 전후의 상대 속도가 크기는 같고 방향은 반대임을 의미한다. 따라서,

:$e=-\backslash frac\{v\text{'}\_1-v\text{'}\_2\}\{v\_1-v\_2\}=1$

이 된다. 이 결과는 물체의 질량과 무관하게 성립한다.

0과 1 사이의 값을 가지는 일반적인 경우 외에, 0보다 작거나 1보다 큰 반발 계수를 가지는 경우도 이론적으로 가능하다.

3.1. 비탄성 충돌 (0 < ''e'' < 1)

대부분의 충돌은 물체가 충돌할 때 운동 에너지의 일부가 열 에너지나 소리 에너지 등 다른 형태의 에너지로 변환되면서 발생한다. 이러한 충돌을 비탄성 충돌이라고 하며, 반발 계수 e는 0과 1 사이의 값을 갖는다. (0 ≦ e < 1) 특히 e = 0인 충돌은 완전 비탄성 충돌이라고 부른다.

3.2. 초탄성 충돌 (''e'' > 1)

반발 계수가 1보다 큰 충돌은 이론적으로 역학적 에너지를 생성하는 충돌로 표현할 수 있다. 예를 들어, 함께 던져져 폭발하는 지뢰를 들 수 있다. 몇몇 최근 연구에서는 비스듬하게 일어나는 특수한 충돌의 경우에 반발 계수가 1보다 클 수 있다는 것을 명백히 했다.

3.3. 음의 반발 계수 (''e'' < 0)

반발 계수가 0보다 작은 경우는 물체가 서로를 튕겨내지 않고 끌어당기는 충돌로 이론적으로 표현할 수 있다.

4. 반발 계수와 운동량 보존 법칙

반발 계수는 운동량 보존 법칙과 함께 사용되어 충돌 후 물체의 속도를 계산하는 데 사용될 수 있다. 반발 계수 e는 충돌하는 물체의 질량에 따라 변하지 않지만, 최종 속도는 운동량 보존에 의해 질량에 의존한다.

반발 계수가 1이 되는 충돌을 (완전) 탄성 충돌이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다. 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙을 통해 반발 계수가 1이 됨을 보일 수 있다.

운동 에너지 보존 식으로 부터,

:$$
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2


:$$
\Leftrightarrow \frac{1}{2}m_1({v_1}^2-{v'_1}^2)=\frac{1}{2}m_2({v'_2}^2-{v_2}^2)


:$$
\Leftrightarrow m_1(v_1+v'_1)(v_1-v'_1)=m_2(v'_2+v_2)(v'_2-v_2)


운동량 보존의 식으로 부터,

:$$
m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2


:$$
\Leftrightarrow m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2)


여기서, 충돌로 인해 각 물체의 속도가 반드시 바뀐다고 가정하면,

:$$
v_1-v'_1 \neq 0


:$$
v'_2-v_2 \neq 0


따라서, 앞서의 두 식을 변변 나눗셈을 할 수 있으며, 그 결과로,

:$$
v_1+v'_1=v'_2+v_2


:$$
\Leftrightarrow v_1-v_2=-(v'_1-v'_2)


이는 충돌 전후의 상대 속도가 같은 크기로 반대 방향임을 나타낸다. 따라서,

: $$
e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}=1


이 된다. 도출 과정과 같이, 이 사실은 물체의 질량에 관계없이 성립한다.

4.1. 충돌 후 속도 계산

1차원 충돌에서 두 물체 A, B의 충돌 후 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

입자 간의 탄성 충돌에 대한 방정식은 반발 계수를 사용하도록 변형하여 비탄성 충돌을 포함한 모든 경우에 적용시킬 수 있다.

:$V\_\{1f\}=\backslash frac\{(e\; +\; 1)M\_\{2\}V\_2+V\_\{1\}(M\_1-e\; M\_2)\}\{M\_1+M\_2\}$
:$V\_\{2f\}=\backslash frac\{(e\; +\; 1)M\_\{1\}V\_1+V\_\{2\}(M\_2-e\; M\_1)\}\{M\_1+\; M\_2\}$

위의 식에서,

* $V\_\{1f\}$는 첫 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.
* $V\_\{2f\}$는 두 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.
* $V\_\{1\}$는 첫 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.
* $V\_\{2\}$는 두 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.
* $M\_\{1\}$는 첫 번째 물체의 질량이다.
* $M\_\{2\}$는 두 번째 물체의 질량이다.
* $e$는 반발계수이다.

비록 e가 충돌하는 물체의 질량에 따라 변하지는 않지만, 최종 속도는 운동량 보존으로 인해 질량에 의존한다.

:$$v\_\backslash text\{a\}\; =\; \backslash frac\{m\_\backslash text\{a\}\; u\_\backslash text\{a\}\; +\; m\_\backslash text\{b\}\; u\_\backslash text\{b\}\; +\; m\_\backslash text\{b\}\; e(u\_\backslash text\{b\}-u\_\backslash text\{a\})\}\{m\_\backslash text\{a\}+m\_\backslash text\{b\}\}$$
:$$v\_\backslash text\{b\}\; =\; \backslash frac\{m\_\backslash text\{a\}\; u\_\backslash text\{a\}\; +\; m\_\backslash text\{b\}\; u\_\backslash text\{b\}\; +\; m\_\backslash text\{a\}\; e(u\_\backslash text\{a\}-u\_\backslash text\{b\})\}\{m\_\backslash text\{a\}+m\_\backslash text\{b\}\}$$

여기서,

* $v\_\backslash text\{a\}$는 충돌 후 A의 속도이다.
* $v\_\backslash text\{b\}$는 충돌 후 B의 속도이다.
* $u\_\backslash text\{a\}$는 충돌 전 A의 속도이다.
* $u\_\backslash text\{b\}$는 충돌 전 B의 속도이다.
* $m\_\backslash text\{a\}$는 A의 질량이다.
* $m\_\backslash text\{b\}$는 B의 질량이다.

반발 계수가 1이 되는 충돌을 (완전) 탄성 충돌이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.

충돌에서 운동량과 운동 에너지 모두가 보존될 때, 반발 계수가 1이 된다는 것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

운동 에너지 보존의 식으로,

:$$
\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2


:$$
\Leftrightarrow \frac{1}{2}m_1({v_1}^2-{v'_1}^2)=\frac{1}{2}m_2({v'_2}^2-{v_2}^2)


:$$
\Leftrightarrow m_1(v_1+v'_1)(v_1-v'_1)=m_2(v'_2+v_2)(v'_2-v_2)


운동량 보존의 식으로,

:$$
m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2


:$$
\Leftrightarrow m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2)


여기서, 충돌로 인해 각 물체의 속도가 반드시 바뀐다고 가정하면,

:$$
v_1-v'_1 \neq 0


:$$
v'_2-v_2 \neq 0


따라서, 앞서의 두 식을 변변 나눗셈을 할 수 있으며, 그 결과로,

:$$
v_1+v'_1=v'_2+v_2


:$$
\Leftrightarrow v_1-v_2=-(v'_1-v'_2)


이는 충돌 전후의 상대 속도가 같은 크기로 반대 방향임을 나타낸다. 따라서,

: $$
e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}=1


이 된다. 도출 과정과 같이, 이 사실은 물체의 질량에 관계없이 성립한다.

4.2. 방정식 유도

위의 방정식은 반발 계수의 정의와 운동량 보존 법칙에 따라 생성된 연립 방정식을 풀어서 유도할 수 있다. 반발 계수가 1이 되는 충돌을 (완전) 탄성 충돌이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.

충돌에서 운동량과 운동 에너지 모두가 보존될 때, 반발 계수가 1이 된다는 것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

운동 에너지 보존의 식으로,

:$\backslash frac\{1\}\{2\}m\_1\{v\_1\}^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2\{v\_2\}^2=\backslash frac\{1\}\{2\}m\_1\{v\text{'}\_1\}^2+\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2\{v\text{'}\_2\}^2$

:$\backslash Leftrightarrow\; \backslash frac\{1\}\{2\}m\_1(\{v\_1\}^2-\{v\text{'}\_1\}^2)=\backslash frac\{1\}\{2\}m\_2(\{v\text{'}\_2\}^2-\{v\_2\}^2)$

:$\backslash Leftrightarrow\; m\_1(v\_1+v\text{'}\_1)(v\_1-v\text{'}\_1)=m\_2(v\text{'}\_2+v\_2)(v\text{'}\_2-v\_2)$

운동량 보존의 식으로,

:$m\_1v\_1+m\_2v\_2=m\_1v\text{'}\_1+m\_2v\text{'}\_2$

:$\backslash Leftrightarrow\; m\_1(v\_1-v\text{'}\_1)=m\_2(v\text{'}\_2-v\_2)$

여기서, 충돌로 인해 각 물체의 속도가 반드시 바뀐다고 가정하면,

:$v\_1-v\text{'}\_1\; \backslash neq\; 0$

:$v\text{'}\_2-v\_2\; \backslash neq\; 0$

따라서, 앞서의 두 식을 변변 나눗셈을 할 수 있으며, 그 결과로,

:$v\_1+v\text{'}\_1=v\text{'}\_2+v\_2$

:$\backslash Leftrightarrow\; v\_1-v\_2=-(v\text{'}\_1-v\text{'}\_2)$

이는 충돌 전후의 상대 속도가 같은 크기로 반대 방향임을 나타낸다. 따라서,

:$e=-\backslash frac\{v\text{'}\_1-v\text{'}\_2\}\{v\_1-v\_2\}=1$

이 된다. 도출 과정과 같이, 이 사실은 물체의 질량에 관계없이 성립한다.

5. 반발 계수의 실제 적용

반발 계수는 스포츠와 재료 시험 등 다양한 분야에서 활용된다.

스포츠에서 공의 반발 계수는 경기력에 큰 영향을 미치므로, 각 종목의 규칙으로 규정된다. 골프, 탁구, 농구 등 다양한 구기 종목에서 공의 반발 계수는 경기 규칙의 중요한 부분이다. 예를 들어, 국제 탁구 연맹은 공을 30.5cm 높이에서 떨어뜨렸을 때 24–26cm까지 튀어 올라야 한다고 규정하여 반발 계수를 간접적으로 명시하고 있다. 당구공의 경우에는 반발 계수를 1에 가깝게 하기 위해 단단하게 만든다.

리브 반발 경도 시험과 같은 재료 시험에서도 반발 계수를 활용하여 재료의 특성을 파악한다.

5.1. 스포츠

스포츠에서 공의 반발 계수는 경기력에 큰 영향을 미치므로, 각 종목의 규칙으로 규정된다.

얇은 페이스의 골프 클럽 드라이버는 "트램펄린 효과"를 이용하여 유연성을 높이고 저장된 에너지를 방출하여 공에 더 큰 충격을 가함으로써 더 먼 거리를 만들 수 있다. 미국 골프 협회(USGA)는 드라이버의 반발 계수를 테스트하고 상한선을 0.83으로 설정했다. 반발 계수는 클럽 헤드 속도에 따라 달라지며, 클럽 헤드 속도가 증가함에 따라 감소한다. 보고서에 따르면 반발 계수는 90mph에서 0.845, 130mph에서 0.797까지 변화한다. 앞서 언급한 "트램펄린 효과"는 충돌 시간을 늘려 충돌 스트레스율을 감소시키기 때문에 이를 보여준다. 한 기사(테니스 라켓의 반발 계수를 다룸)에 따르면 "[표준 조건]의 경우 모든 라켓에 대해 반발 계수는 0.85를 사용하며, 반발 계수를 더하거나 뺄 수 있는 스트링 장력과 프레임 강성의 변수를 제거했다."

국제 탁구 연맹은 공을 표준 강철 블록 위에 30.5cm 높이에서 떨어뜨렸을 때 24–26cm까지 튀어 올라야 한다고 규정하며, 이는 반발 계수가 0.887에서 0.923임을 의미한다.

국제 농구 연맹(FIBA) 규칙에 따르면 공을 1800mm 높이에서 떨어뜨렸을 때 1035mm에서 1085mm 사이의 높이로 튀어 올라야 하며, 이는 반발 계수가 0.758에서 0.776임을 의미한다.
* 당구공이 단단한 것은 반발 계수를 1에 가깝게 하기 위해서이다.

구기 종목에서는 공의 반발 계수가 중요하기 때문에 규칙으로 반드시 지정하고 있다. 다만, 반발 계수를 직접 지정하는 것은 알기 어렵기 때문에, 통상적으로는 해당 구기 종목에서 사용하는 바닥면에, 어떤 높이에서 공을 자유 낙하시켜 바닥면과의 충돌 후, 공이 어느 높이까지 올라가는가 하는 형태로 간접적으로 지정하고 있다. 이는 다음 일반적인 사실을 이용한 것이다. 물체가 높이 h_i에서 자유 낙하하여 바닥면에 충돌한 후, 높이 h_f까지 튀어 올랐을 때, 공기 저항을 무시하면, 물체와 바닥면 사이의 반발 계수 e는 다음 식으로 구할 수 있다.

::$e=\backslash sqrt\{\backslash frac\{h\_f\}\{h\_i\}\}$

5.2. 재료 시험

리브 반발 경도 시험을 통해 두 물체 간의 반발 계수를 실험적으로 결정할 수 있다. 이 시험에서는 가장 단단한 물질 중 하나인 텅스텐 카바이드 팁을 특정 높이에서 시험 샘플에 떨어뜨리는 방식으로 진행된다. 재료 특성(탄성 계수, 유변학), 충격 방향, 마찰 계수 및 충돌체의 점착 특성에 따른 반발 계수에 대한 포괄적인 연구는 Willert (2020)에서 찾을 수 있다.