반발 계수
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2. 정의 및 기본 원리
반발 계수는 충돌 전후 물체의 상대 속도 비율로 정의되며, 충돌하는 두 물체의 쌍에 대한 속성이다. 속도는 벡터이므로 한 방향은 양수 로, 다른 방향은 음수 로 정의된다. 방정식에는 질량 이 들어가지 않지만, 최종 속도가 질량과 연관되기 때문에 여전히 운동량 과 관계가 있다.e = \frac{V_{2f} - V_{1f}}{V_{1} - V_{2}}
V_{1f} : 첫 번째 물체가 충돌한 직후의 속도V_{2f} : 두 번째 물체가 충돌한 직후의 속도V_{1} : 첫 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도V_{2} : 두 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도e = \frac{V_{f}}{V_{i}} 또는 e = \sqrt{\frac{h}{H}} V_{f} : 물체가 충돌한 후의 스칼라 속도V_{i} : 물체가 충돌하기 전의 스칼라 속도h : 물체가 튀어 오른 높이H : 물체를 떨어뜨린 높이스포츠 의 구기 종목에서는 공의 반발 계수가 중요하기 때문에, 특정 높이에서 공을 자유 낙하 시켜 바닥면과 충돌 후 공이 어느 높이까지 올라가는지를 통해 간접적으로 반발 계수를 규정한다.2. 1. 1차원 충돌에서의 정의
두 물체 A와 B의 1차원 충돌에서 반발 계수 ''e''는 다음과 같이 정의된다.e = \frac{\left | v_\text{b} - v_\text{a} \right |}{\left | u_\text{a} - u_\text{b} \right |} v_\text{a} 는 충돌 후 물체 A의 최종 속도이다.v_\text{b} 는 충돌 후 물체 B의 최종 속도이다.u_\text{a} 는 충돌 전 물체 A의 초기 속도이다.u_\text{b} 는 충돌 전 물체 B의 초기 속도이다.1 에서 ''v''1 '으로, ''v''2 에서 ''v''2 '으로 변했다고 할 때, 반발 계수 ''e''는 다음과 같이 정의된다.e=\frac=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}2. 2. 고정된 물체와의 충돌
물체가 고정된 표면과 충돌하는 경우, 반발 계수는 충돌 전후 물체의 속도 비율로 나타낼 수 있다.e = \frac{V_{f}}{V_{i}} V_{f} 는 물체가 충돌한 후의 스칼라 속도이다.V_{i} 는 물체가 충돌하기 전의 스칼라 속도이다.e = \sqrt{\frac{h}{H}} h 는 물체가 튀어오른 높이이다.H 는 물체를 떨어뜨린 높이이다.e = \frac{v}{u}, u 는 충돌 전 물체의 속도이다.v 는 충돌 후 반발하는 물체의 속도(반대 방향)이다.e = \sqrt{\frac{h}{H}}, p ,의 변화는 본질적으로 0이다. 따라서, ''e''는 충돌 직전 물체의 운동 에너지, ''E''k ,와 충돌 직후 운동 에너지 간의 비교이다.e = \sqrt{\frac{E_\text{k, (after impact)}}{E_\text{k, (before impact)}}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mu^2}} =\sqrt{\frac{v^2}{u^2}} = \frac{v}{u} p 와 튕김 높이에서의 ''E''p 간의 비교와 같다. 이 경우, ''E''k 의 변화는 0이다(물체는 충돌 과정에서 본질적으로 정지 상태이며, 튕김의 정점에서도 정지 상태이다). 따라서:e = \sqrt{\frac{E_\text{p, (at bounce height)}}{E_\text{p, (at drop height)}}} = \sqrt{\frac{mgh}{mgH}} = \sqrt{\frac{h}{H}} 2. 3. 낙하-튕김 높이 관계
마찰을 무시할 수 있고, 물체가 정지 상태에서 수평면에 낙하하는 경우, 반발 계수는 낙하 높이와 튕김 높이의 비율로 나타낼 수 있다.e = \frac{v}{u} u 는 충돌 전 물체의 속도이다.v 는 충돌 후 반발하는 물체의 속도(반대 방향)이다.e = \sqrt{\frac{h}{H}} p )의 변화는 0이다. 따라서, ''e''는 충돌 직전 물체의 운동 에너지 (''E''k )와 충돌 직후 운동 에너지 간의 비교이다.e = \sqrt{\frac{E_\text{k, (after impact)}}{E_\text{k, (before impact)}}} =\sqrt{\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}mu^2}} =\sqrt{\frac{v^2}{u^2}} = \frac{v}{u} p 와 튕김 높이에서의 ''E''p 간의 비교와 같다. 이 경우, ''E''k 의 변화는 0이다(물체는 충돌 과정에서 본질적으로 정지 상태이며, 튕김의 정점에서도 정지 상태이다). 따라서 다음과 같다.e = \sqrt{\frac{E_\text{p, (at bounce height)}}{E_\text{p, (at drop height)}}} = \sqrt{\frac{mgh}{mgH}} = \sqrt{\frac{h}{H}} 스포츠 의 구기 종목에서는 공의 반발 계수가 중요하기 때문에 규칙으로 반드시 지정하고 있다. 다만, 반발 계수를 직접 지정하는 것은 알기 어렵기 때문에, 통상적으로는 해당 구기 종목에서 사용하는 바닥면에, 어떤 높이에서 공을 자유 낙하 시켜 바닥면과의 충돌 후, 공이 어느 높이까지 올라가는가 하는 형태로 간접적으로 지정하고 있다. 이는 다음 일반적인 사실을 이용한 것이다. 물체가 높이 ''h''''i'' 에서 자유 낙하하여 바닥면에 충돌한 후, 높이 ''h''''f'' 까지 튀어 올랐을 때, 공기 저항을 무시하면, 물체와 바닥면 사이의 반발 계수 ''e''는 다음 식으로 구할 수 있다.e=\sqrt{\frac{h_f}{h_i}}
3. 반발 계수의 값과 충돌의 종류
반발 계수는 보통 0과 1 사이의 값을 가진다. 반발 계수가 1인 경우는 탄성 충돌 이며, 운동 에너지가 손실되지 않는다. 0인 경우는 완전 비탄성 충돌로, 물체가 전혀 튕겨나가지 않고 접촉하게 된다. 0과 1 사이의 값을 가지는 경우는 비탄성 충돌이며, 운동에너지의 일부가 열 에너지나 소리 에너지등 다른 형태의 에너지로 변환된다.\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}m_1({v_1}^2-{v'_1}^2)=\frac{1}{2}m_2({v'_2}^2-{v_2}^2) \Leftrightarrow m_1(v_1+v'_1)(v_1-v'_1)=m_2(v'_2+v_2)(v'_2-v_2) m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2 \Leftrightarrow m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2) v_1-v'_1 \neq 0 v'_2-v_2 \neq 0 v_1+v'_1=v'_2+v_2 \Leftrightarrow v_1-v_2=-(v'_1-v'_2) e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}=1
3. 1. 비탄성 충돌 (0 < ''e'' < 1)
대부분의 충돌은 물체가 충돌할 때 운동 에너지의 일부가 열 에너지나 소리 에너지 등 다른 형태의 에너지로 변환되면서 발생한다. 이러한 충돌을 비탄성 충돌이라고 하며, 반발 계수 ''e''는 0과 1 사이의 값을 갖는다. (0 ≦ ''e'' < 1) 특히 ''e'' = 0인 충돌은 완전 비탄성 충돌이라고 부른다.3. 2. 초탄성 충돌 (''e'' > 1)
반발 계수가 1보다 큰 충돌은 이론적으로 역학적 에너지 를 생성하는 충돌로 표현할 수 있다. 예를 들어, 함께 던져져 폭발하는 지뢰를 들 수 있다. 몇몇 최근 연구에서는 비스듬하게 일어나는 특수한 충돌의 경우에 반발 계수가 1보다 클 수 있다는 것을 명백히 했다.3. 3. 음의 반발 계수 (''e'' < 0)
반발 계수가 0보다 작은 경우는 물체가 서로를 튕겨내지 않고 끌어당기는 충돌로 이론적으로 표현할 수 있다.
4. 반발 계수와 운동량 보존 법칙
반발 계수는 운동량 보존 법칙과 함께 사용되어 충돌 후 물체의 속도를 계산하는 데 사용될 수 있다. 반발 계수 ''e''는 충돌하는 물체의 질량에 따라 변하지 않지만, 최종 속도는 운동량 보존에 의해 질량에 의존한다.탄성 충돌 이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다. 운동량 보존 법칙과 운동 에너지 보존 법칙을 통해 반발 계수가 1이 됨을 보일 수 있다.
4. 1. 충돌 후 속도 계산
1차원 충돌에서 두 물체 A, B의 충돌 후 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.V_{1f}=\frac{(e + 1)M_{2}V_2+V_{1}(M_1-e M_2)}{M_1+M_2} V_{2f}=\frac{(e + 1)M_{1}V_1+V_{2}(M_2-e M_1)}{M_1+ M_2} V_{1f} 는 첫 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.V_{2f} 는 두 번째 물체가 충돌한 직후의 속도이다.V_{1} 는 첫 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.V_{2} 는 두 번째 물체가 충돌하기 직전의 속도이다.M_{1} 는 첫 번째 물체의 질량이다.M_{2} 는 두 번째 물체의 질량이다.e 는 반발계수이다.운동량 보존 으로 인해 질량에 의존한다.v_\text{a} = \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{b} e(u_\text{b}-u_\text{a})}{m_\text{a}+m_\text{b}} v_\text{b} = \frac{m_\text{a} u_\text{a} + m_\text{b} u_\text{b} + m_\text{a} e(u_\text{a}-u_\text{b})}{m_\text{a}+m_\text{b}} v_\text{a} 는 충돌 후 A의 속도이다.v_\text{b} 는 충돌 후 B의 속도이다.u_\text{a} 는 충돌 전 A의 속도이다.u_\text{b} 는 충돌 전 B의 속도이다.m_\text{a} 는 A의 질량이다.m_\text{b} 는 B의 질량이다.탄성 충돌 이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.4. 2. 방정식 유도
위의 방정식은 반발 계수의 정의와 운동량 보존 법칙에 따라 생성된 연립 방정식을 풀어서 유도할 수 있다. 반발 계수가 1이 되는 충돌을 (완전) 탄성 충돌 이라고 한다. 탄성 충돌에서는 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.\frac{1}{2}m_1{v_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v_2}^2=\frac{1}{2}m_1{v'_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v'_2}^2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}m_1({v_1}^2-{v'_1}^2)=\frac{1}{2}m_2({v'_2}^2-{v_2}^2) \Leftrightarrow m_1(v_1+v'_1)(v_1-v'_1)=m_2(v'_2+v_2)(v'_2-v_2) m_1v_1+m_2v_2=m_1v'_1+m_2v'_2 \Leftrightarrow m_1(v_1-v'_1)=m_2(v'_2-v_2) v_1-v'_1 \neq 0 v'_2-v_2 \neq 0 v_1+v'_1=v'_2+v_2 \Leftrightarrow v_1-v_2=-(v'_1-v'_2) e=-\frac{v'_1-v'_2}{v_1-v_2}=1
5. 반발 계수의 실제 적용
반발 계수는 스포츠와 재료 시험 등 다양한 분야에서 활용된다.골프 , 탁구 , 농구 등 다양한 구기 종목에서 공의 반발 계수는 경기 규칙의 중요한 부분이다. 예를 들어, 국제 탁구 연맹 은 공을 30.5cm 높이에서 떨어뜨렸을 때 24–26cm까지 튀어 올라야 한다고 규정하여 반발 계수를 간접적으로 명시하고 있다.당구 공의 경우에는 반발 계수를 1에 가깝게 하기 위해 단단하게 만든다.
5. 1. 스포츠
스포츠에서 공의 반발 계수는 경기력에 큰 영향을 미치므로, 각 종목의 규칙으로 규정된다.골프 클럽 드라이버는 "트램펄린 효과"를 이용하여 유연성을 높이고 저장된 에너지를 방출하여 공에 더 큰 충격을 가함으로써 더 먼 거리를 만들 수 있다. 미국 골프 협회 (USGA)는 드라이버의 반발 계수를 테스트하고 상한선을 0.83으로 설정했다. 반발 계수는 클럽 헤드 속도에 따라 달라지며, 클럽 헤드 속도가 증가함에 따라 감소한다. 보고서에 따르면 반발 계수는 90mph에서 0.845, 130mph에서 0.797까지 변화한다. 앞서 언급한 "트램펄린 효과"는 충돌 시간을 늘려 충돌 스트레스율을 감소시키기 때문에 이를 보여준다. 한 기사(테니스 라켓 의 반발 계수를 다룸)에 따르면 "[표준 조건]의 경우 모든 라켓에 대해 반발 계수는 0.85를 사용하며, 반발 계수를 더하거나 뺄 수 있는 스트링 장력과 프레임 강성의 변수를 제거했다."국제 탁구 연맹 은 공을 표준 강철 블록 위에 30.5cm 높이에서 떨어뜨렸을 때 24–26cm까지 튀어 올라야 한다고 규정하며, 이는 반발 계수가 0.887에서 0.923임을 의미한다.국제 농구 연맹 (FIBA) 규칙에 따르면 공을 1800mm 높이에서 떨어뜨렸을 때 1035mm에서 1085mm 사이의 높이로 튀어 올라야 하며, 이는 반발 계수가 0.758에서 0.776임을 의미한다.당구 공이 단단한 것은 반발 계수를 1에 가깝게 하기 위해서이다.자유 낙하 시켜 바닥면과의 충돌 후, 공이 어느 높이까지 올라가는가 하는 형태로 간접적으로 지정하고 있다. 이는 다음 일반적인 사실을 이용한 것이다. 물체가 높이 ''h''''i'' 에서 자유 낙하하여 바닥면에 충돌한 후, 높이 ''h''''f'' 까지 튀어 올랐을 때, 공기 저항을 무시하면, 물체와 바닥면 사이의 반발 계수 ''e''는 다음 식으로 구할 수 있다.e=\sqrt{\frac{h_f}{h_i}} 5. 2. 재료 시험
리브 반발 경도 시험을 통해 두 물체 간의 반발 계수를 실험적으로 결정할 수 있다. 이 시험에서는 가장 단단한 물질 중 하나인 텅스텐 카바이드 팁을 특정 높이에서 시험 샘플에 떨어뜨리는 방식으로 진행된다.
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