터커 원
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1. 개요
터커 원은 삼각형 ABC에 내접하는 특정 육각형의 외접원을 지칭하며, 육각형의 변들이 특정 평행 또는 반평행 조건을 만족할 때 형성된다. 터커 원의 중심은 대칭 중점 K와 외심 O를 지나는 직선 위에 위치하며, 외접원, 제1 르무안 원, 제2 르무안 원, 테일러 원 등 삼각형의 여러 특징을 나타내는 특수한 경우들을 포함한다. 테일러 원은 터커 원의 한 종류로, 특정 비율 관계를 만족하는 경우에 해당하며, 오일러 선 위에 중심을 가진다. 이 원은 영국의 수학자 로버트 터커의 이름을 따서 명명되었다.
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페르마 점은 삼각형 세 꼭짓점까지의 거리 합이 최소가 되는 점으로, 120도 이상의 각이 없는 삼각형에서는 내부에 존재하며 ∠AFB=∠BFC=∠CFA=120도를 만족하고, 120도 이상의 각이 있는 삼각형에서는 가장 큰 각의 꼭짓점이 되며, 작도를 통해 찾을 수 있고 기하중앙값, 슈타이너 나무 문제 등과 관련된다.
터커 원 | |
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기본 정보 | |
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정의 | 삼각형의 세 변에 접하는 여섯 개의 원으로, 삼각형 내부에서 특정 조건을 만족하는 점들을 지나는 원 |
관련 개념 | 삼각형 원 공원점 |
역사 및 배경 | |
이름 유래 | 미국의 수학자 앨버트 윌리엄 터커의 이름에서 유래 |
특징 | 터커 원은 삼각형의 다양한 특징과 관련되어 있으며, 삼각형의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용됨 |
구성 요소 | |
터커 점 | 터커 원의 중심 |
터커 각 | 터커 원을 정의하는 각도 |
콘사이클릭 점 | 터커 원 위에 놓이는 점들 |
터커 원의 종류 | |
코시프 원 (Coshif Circle) | 코시프 원은 터커 원의 특별한 경우 중 하나 |
테바르츠 원 | 테바르츠 원 역시 터커 원의 특별한 경우 |
응용 | |
삼각형 기하학 | 터커 원은 삼각형의 다양한 성질을 연구하는 데 사용 |
작도 문제 | 특정 조건을 만족하는 삼각형이나 원을 작도하는 문제에 응용 |
2. 정의
삼각형 ABC에 내접하는 비단순 육각형 PQRSTU에서, 다음 조건을 만족할 경우 이 육각형의 외접원을 터커 원(Tucker circle)이라고 정의한다.
- PQ // BC, RS // CA, TU // AB
- QR // AB, ST // BC, UP // CA
- PQ, RS, TU가 한 점에서 만남
- QR, ST, UP가 한 점에서 만남
육각형의 변에 대한 조건은 나머지 변에 대한 조건을 암시하며, 이를 통해 터커 원을 구성할 수 있다. 예를 들어 PQ, RS, TU가 평행선이면 QR, ST, UP도 평행선이 된다.
3. 성질
삼각형 ABC의 터커 원의 중심은 대칭 중점 K와 외심 O를 지나는 직선 KO 위에 위치한다. 터커 원은 삼각형의 중요한 특징을 나타내며, 외접원, 제1 르무안 원, 제2 르무안 원, 테일러 원 등이 있다.
P=Q=A, R=S=B, T=U=C인 경우, 터커 원은 삼각형 ABC의 외접원이 된다. 이는 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C를 모두 지나는 원이다.
삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 평행하고 K를 지나는 세 개의 선은 각 변을 두 번씩 교차한다. 각 변의 교점은 터커 원을 형성한다. 즉, K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점이다.
삼각형 ABC의 대칭 중점 K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 반평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점으로 정의되는 터커 원을 제2 르무안 원이라고 부른다.
삼각형 ABC의 수심을 H, 외심을 O, 무게중심을 G라고 하자. 이 때, 삼각형 ABC의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 D, E, F라고 하자. D, E, F를 지나는 원이 존재하며, 이 원은 다음 조건을 만족한다. 원 위의 점 P에 대해, AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점을 X, Y, Z라고 할 때, AX/XP = BY/YP = CZ/ZP가 성립한다. 이러한 원을 터커 원(Tucker circle)이라고 한다.
테일러 원은 터커 원의 특수한 경우로, 터커 원의 조건에서 AX/XP = BY/YP = CZ/ZP = k (k는 상수)를 만족할 때, k = 1인 경우이다. 즉, 테일러 원은 AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점 X, Y, Z에 대해 AX = XP, BY = YP, CZ = ZP를 만족하는 경우이다. 테일러 원은 삼각형의 세 변에 평행한 세 선분에 의해 형성되는, 삼각형의 새로운 변을 갖는 6개의 점으로 정의된다. 이 6개의 점은 삼각형의 각 변과 테일러 원의 교차점이다. 테일러 원의 중심은 오일러 선 위에 있으며, 삼각형의 외심과 무게중심 사이의 중점이다. 또한, 테일러 원은 삼각형의 3개의 꼭짓점과 페르마 점을 지나는 원과 관련이 있다.
4. 예
터커 원은 삼각형의 특수한 경우로, 제1 르무안 원, 제2 르무안 원, 테일러 원 등이 있다.
제1 르무안 원은 삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 평행하고 K를 지나는 세 개의 선이 각 변을 두 번씩 교차하여 형성된다. 즉, K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점이다.
제2 르무안 원은 삼각형 ABC의 대칭 중점 K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 반평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점으로 정의되는 터커 원이다.
테일러 원은 삼각형 ABC의 수심을 H, 외심을 O, 무게중심을 G라고 할 때, 삼각형 ABC의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 D, E, F라고 하고 D, E, F를 지나는 원을 말한다. 원 위의 점 P에 대해, AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점을 X, Y, Z라고 할 때, AX/XP = BY/YP = CZ/ZP가 성립한다. 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우로, 터커 원의 조건에서 AX/XP = BY/YP = CZ/ZP = k (k는 상수)를 만족할 때, k = 1인 경우이다. 즉, 테일러 원은 AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점 X, Y, Z에 대해 AX = XP, BY = YP, CZ = ZP를 만족하는 경우이다. 테일러 원은 삼각형의 세 변에 평행한 세 선분에 의해 형성되는, 삼각형의 새로운 변을 갖는 6개의 점으로 정의된다. 이 6개의 점은 삼각형의 각 변과 테일러 원의 교차점이다. 테일러 원의 중심은 오일러 선 위에 있으며, 삼각형의 외심과 무게중심 사이의 중점이다. 또한, 테일러 원은 삼각형의 3개의 꼭짓점과 페르마 점을 지나는 원과 관련이 있다.
4. 1. 외접원
P=Q=A, R=S=B, T=U=C인 경우, 터커 원은 삼각형 ABC의 외접원이 된다. 이는 삼각형의 세 꼭짓점 A, B, C를 모두 지나는 원으로, 외접원이라고도 불린다. 터커 원은 이처럼 특정 조건에서 삼각형의 중요한 특징을 나타낸다.4. 2. 제1 르무안 원
삼각형 ABC의 세 변 BC, CA, AB에 평행하고 K를 지나는 세 개의 선은 각 변을 두 번씩 교차한다. 각 변의 교점은 터커 원을 형성한다. 즉, K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점이다.[1]4. 3. 제2 르무안 원
삼각형 ABC의 대칭 중점 K를 지나는 각 변 BC, CA, AB의 반평행선 ST, UP, QR과 남은 두 변의 교점으로 정의되는 터커 원을 제2 르무안 원이라고 부른다.4. 4. 테일러 원
삼각형 ABC의 수심을 H, 외심을 O, 무게중심을 G라고 하자. 이 때, 삼각형 ABC의 각 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 D, E, F라고 하자. D, E, F를 지나는 원이 존재하며, 이 원은 다음 조건을 만족한다:- 원 위의 점 P에 대해, AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점을 X, Y, Z라고 할 때, AX/XP = BY/YP = CZ/ZP가 성립한다.
이러한 원을 터커 원(Tucker circle)이라고 한다.
테일러 원은 터커 원의 특수한 경우로, 터커 원의 조건에서 AX/XP = BY/YP = CZ/ZP = k (k는 상수)를 만족할 때, k = 1인 경우이다. 즉, 테일러 원은 AP, BP, CP가 각각 EF, FD, DE와 만나는 점 X, Y, Z에 대해 AX = XP, BY = YP, CZ = ZP를 만족하는 경우이다.
테일러 원은 삼각형의 세 변에 평행한 세 선분에 의해 형성되는, 삼각형의 새로운 변을 갖는 6개의 점으로 정의된다. 이 6개의 점은 삼각형의 각 변과 테일러 원의 교차점이다. 테일러 원의 중심은 오일러 선 위에 있으며, 삼각형의 외심과 무게중심 사이의 중점이다. 또한, 테일러 원은 삼각형의 3개의 꼭짓점과 페르마 점을 지나는 원과 관련이 있다.
5. 역사
터커 원(Tucker circle)은 영국의 수학자 로버트 터커(Robert Tucker)의 이름을 따서 명명되었다.
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