페르마 점

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1. 개요

페르마 점은 삼각형의 세 꼭짓점으로부터의 거리의 합이 최소가 되는 점으로, 최대 각도가 120° 이하인 삼각형에서는 삼각형 내부에 위치하며, 각 변과의 각도가 120°를 이룬다. 이 점은 정삼각형을 외접시켜 작도하거나, 밑각이 30°인 이등변삼각형을 이용하여 작도할 수 있다. 페르마 점은 외심, 구점원 중심 등과 함께 레스터 원 위에 위치하며, 제1 페르마 점과 제2 페르마 점은 서로 등각 켤레 관계에 있다. 페르마 점 문제는 기하중앙값 및 슈타이너 나무 문제와 관련 있으며, 페르마가 토리첼리에게 문제를 제기하고 토리첼리가 해결했다.

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페르마 점
페르마 점
페르마 점의 예시
다른 이름	토리첼리 점 페르마-토리첼리 점
정의	삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 합이 최소가 되는 점
기호	F
구성
건설	각 변을 바깥쪽으로 밑변으로 하는 정삼각형을 그리고, 각 정삼각형의 꼭짓점과 원래 삼각형의 반대쪽 꼭짓점을 연결한다. 이 세 선은 페르마 점에서 교차한다.
위치	각 꼭짓점에서 페르마 점으로 이어지는 선이 인접한 변과 120°의 각도를 이루는 삼각형 내부의 점.
조건	삼각형의 각도가 120° 미만이어야 한다. 120° 이상의 각도가 있는 경우 페르마 점은 둔각 꼭짓점에 위치한다.
좌표	삼각형 ABC의 꼭짓점 좌표가 (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)일 때, 페르마 점의 좌표는 복잡한 식으로 표현될 수 있다. 또는, 삼각형 ABC의 면적을 Δ라고 할 때, 페르마 점의 삼선형 좌표는 다음과 같다: csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3)
속성
최소 거리 합	페르마 점은 삼각형의 세 꼭짓점까지의 거리의 합을 최소화한다.
유클리드 거리 문제	페르마 점은 유클리드 거리 문제의 해답을 제공한다.
일반화	페르마 점의 개념은 사각형이나 다른 다각형으로 일반화될 수 있다.

2. 작도

삼각형의 최대 각도가 120°를 초과하는 경우와 그렇지 않은 경우에 따라 페르마 점을 작도하는 방법이 달라진다.

최대 각도가 120°보다 큰 경우 페르마 점은 둔각 꼭짓점에 위치한다. 삼각형의 각도가 120°를 초과하는 경우를 "Case 1", 120°를 초과하지 않는 경우를 "Case 2"라고 한다.

주어진 삼각형과 같은 쪽에 정삼각형을 그렸을 때, 꼭짓점을 이어 만든 세 직선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 제2 페르마 점이라고 한다.

2. 1. 최대 각도가 120° 이하인 경우

최대 각도가 120° 이하인 삼각형의 페르마 점은 제1 등각 중심 또는 X(13)이라고 하며,^[2] 다음과 같이 구할 수 있다.

1. 주어진 삼각형의 임의로 선택된 두 변 각각에 정삼각형을 외접시킨다.

2. 각 새로운 꼭짓점에서 원래 삼각형의 반대쪽 꼭짓점으로 선을 그린다.

3. 두 선이 페르마 점에서 교차한다.

다른 방법은 다음과 같다.

1. 임의로 선택된 두 변 각각에 밑변이 해당 변이고, 밑각이 30도이며, 각 이등변삼각형의 세 번째 꼭짓점이 원래 삼각형의 외부에 있는 이등변삼각형을 그린다.

2. 각 이등변삼각형에 대해, 각 경우 이등변삼각형의 새로운 꼭짓점을 중심으로 하고 그 이등변삼각형의 두 새로운 변과 길이가 같은 반지름을 가진 원을 그린다.

3. 두 원 사이의 원래 삼각형 내부의 교차점이 페르마 점이다.

페르마 점을 구하는 또 다른 방법은 다음과 같다.

1. 삼각형의 세 변에 대해 각각을 한 변으로 하는 정삼각형을 삼각형의 외부에 그린다.

2. 원래 삼각형의 한 꼭짓점과, 그 대변을 한 변으로 하는 정삼각형의 꼭짓점 중, 원래 삼각형과 공유하지 않는 꼭짓점을 잇는다.

3. 2.의 세 직선이 교차하는 점이 페르마 점이다.

2. 2. 최대 각도가 120°보다 큰 경우

삼각형에서 가장 큰 각도가 120°보다 큰 경우, 페르마 점은 둔각 꼭짓점에 위치한다.^[2]

2. 3. 대안적인 작도 방법 (최대 각도가 120° 이하인 경우)

최대 각도가 120° 이하인 삼각형의 페르마 점을 구하는 대안적인 방법은 다음과 같다.

# 주어진 삼각형에서 임의로 두 변을 선택하여, 각 변을 밑변으로 하고 밑각이 30°인 이등변삼각형을 그린다. 이때, 각 이등변삼각형의 세 번째 꼭짓점은 원래 삼각형의 외부에 위치해야 한다.

# 각 이등변삼각형에 대해, 이등변삼각형의 새로운 꼭짓점을 중심으로 하고, 그 이등변삼각형의 두 새로운 변과 길이가 같은 반지름을 갖는 원을 그린다.

# 두 원이 원래 삼각형 내부에서 만나는 점이 페르마 점이다.^[2]

3. 위치

삼각형의 최대 각의 크기에 따라 페르마 점의 위치는 다음과 같이 달라진다.

최대 각이 120° 이하인 경우: 페르마 점은 삼각형 내부에 위치하며, 세 꼭짓점을 잇는 선분들이 이루는 각은 각각 120°이다.
최대 각이 120°보다 큰 경우: 페르마 점은 가장 큰 각을 가진 꼭짓점에 위치한다.

페르마 점과 관련된 추가적인 성질은 다음과 같다.

페르마 점, 외심, 구점원의 중심, 제2 페르마 점은 동일 원 위에 있다. 이 원을 레스터 원이라고 한다.
제1, 제2 페르마 점과 유사 무게 중심은 공선이다. 이 직선을 '''페르마 축'''이라고 한다.
제1 페르마 점, 제2 페르마 점의 등각 켤레 점은 각각 제1 등력점, 제2 등력점이다.
작도 1에서 정삼각형이 아닌 각 변을 밑변으로 하는 닮은 이등변삼각형을 그리면 세 직선의 교차점은 키페르트 점이 된다. 페르마 점을 포함하여, 키페르트 점은 동일 쌍곡선 위에 있다. 이 쌍곡선을 키페르트 쌍곡선이라고 한다.
제1 페르마 점의 삼선 좌표는 $\csc\left(A+\frac{\pi}{3}\right):\csc\left(B+\frac{\pi}{3}\right):\csc\left(C+\frac{\pi}{3}\right)$ 이다. 제2 페르마 점은 $\csc\left(A-\frac{\pi}{3}\right):\csc\left(B-\frac{\pi}{3}\right):\csc\left(C-\frac{\pi}{3}\right)$ 이다.
오른쪽 그림과 같이 각각의 점을 정의한다. 원 QAR, RBP, PCQ는 공점이며 그 점을 제1 베르나우 점 (1st Wernau point)이라고 한다.^[10] 내측의 삼각형으로 동일하게 생기는 점을 제2 베르나우 점이라고 한다.

3. 1. 최대 각도가 120° 이하인 경우

페르마 점의 작도가 올바르다는 것을 증명: 구축된 3개의 선이 공선임을 증명한다. 빨간색과 파란색 삼각형은 두 변과 끼인각이 같으므로 합동이며, 따라서 원주각의 역에 의해, 2개의 내접 사각형의 존재를 시사한다. 따라서, 나머지 4개의 점도 동일 원주상에 있으며, 원주각의 정리에 의해, 나머지 선은 직선이 된다.

thumb

그림 2는 임의의 삼각형 의 변에 붙어 있는 정삼각형 를 보여준다.

다음은 세 선 가 모두 점 에서 교차하고 서로 60° 각도로 만난다는 것을 보여주기 위한 증명이다.

삼각형 는 첫 번째 삼각형을 에 대해 60° 회전시킨 것이므로 합동이다. 따라서 이고 이다. 세그먼트 에 적용된 원주각 정리의 역에 의해 점 는 공원(원 위에 있다)이다. 마찬가지로 점 도 공원이다.

이므로 원주각 정리를 사용하여 이다. 마찬가지로 이다.

그래서 이다. 따라서 이다. 원주각 정리를 사용하면 이는 점 가 공원임을 의미한다. 따라서 세그먼트 에 적용된 원주각 정리를 사용하여 이다. 이므로 점 는 선분 위에 있다. 따라서 선 는 공점(단일 점에서 교차한다).

이 증명은 인 경우 점 가 의 외접원 내부에 놓여 와 의 상대적인 위치가 바뀌기 때문에 적용되지 않는다. 그러나, 이므로 인데, 이는 가 공원이고 임을 의미한다. 따라서 는 위에 있다.

그림 2의 원 중심을 연결하는 선은 선분 에 수직이다. 예를 들어, 를 포함하는 원의 중심과 를 포함하는 원의 중심을 연결하는 선은 세그먼트 에 수직이다. 따라서 원의 중심을 연결하는 선도 60° 각도로 교차한다. 따라서 원의 중심은 정삼각형을 형성한다. 이는 나폴레옹 정리로 알려져 있다.

120도 이상의 각을 갖지 않는 삼각형에서, 3개의 꼭짓점으로부터의 거리의 합이 가장 작아지는 점이다.
120도 이상의 각을 갖지 않는 삼각형의 경우, 페르마 점 ''F''는 삼각형의 내부에 있으며, 를 만족한다.
작도 항목에서 그린 3개의 정삼각형의 외접원은 페르마 점에서 교차한다.
위에 언급한 3개의 외접원의 중심은 정삼각형을 이룬다 (나폴레옹의 정리).
페르마 점에서 3변에 내린 수선의 발은 정삼각형을 이룬다.

3. 2. 최대 각도가 120°보다 큰 경우

삼각형에서 가장 큰 각이 120°보다 큰 경우, 페르마 점은 그 꼭짓점에 위치한다. 이 꼭짓점은 세 꼭짓점까지의 거리 합이 최소가 되는 점이다.^[10]

4. 증명

페르마 점이 거리 합을 최소화하는 점이라는 것은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.
벡터 해석적 증명평면상의 다섯 점 를 생각하고, 벡터 $\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OX}$ 를 각각 $\mathbf{a, b, c, x}$ 로, $\mathbf{i, j, k}$ 를 $\mathbf{O}$ 에서 $\mathbf{a, b, c}$ 방향의 단위 벡터로 정의하면 다음과 같은 부등식이 성립한다.

: $\begin{align}|\mathbf a| &= \mathbf{a \cdot i} = (\mathbf a - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,i} + \mathbf{x \cdot i} \leq |\mathbf a - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot i}, \\|\mathbf b| &= \mathbf{b \cdot j} = (\mathbf b - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,j} + \mathbf{x \cdot j} \leq |\mathbf b - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot j}, \\|\mathbf c| &= \mathbf{c \cdot k} = (\mathbf c - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,k} + \mathbf{x \cdot k} \leq |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot k}.\end{align}$

세 부등식을 더하면 다음을 얻는다.

: $|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leq |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf x \cdot (\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k).$

만약 $\mathbf{a, b, c}$ 가 $\mathbf{O}$ 에서 120° 각도로 만난다면 $\mathbf{i + j + k = 0}$ 이므로,

: $|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leq |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x|$

가 모든 $\mathbf{x}$ 에 대해 성립한다. 즉,

: $|OA| + |OB| + |OC| \leq |XA| + |XB| + |XC|$

이므로 $\mathbf{O}$ 는 △ABC의 페르마 점이다.

삼각형의 한 각이 120°보다 큰 경우(∠''C'' > 120°)에는 $\mathbf{k = -(i + j)}$ 로 재정의하고 $\mathbf{O}$ 를 $\mathbf{C}$ 에 위치시켜 위 논증을 적용할 수 있다.
라그랑주 승수법을 이용한 증명삼각형의 각 꼭짓점까지의 거리 합을 최소화하는 문제는 라그랑주 승수법과 코사인 법칙을 이용하여 해결할 수 있다.

삼각형 내부의 점에서 각 꼭짓점까지의 선분 $\mathbf{X, Y, Z}$ 와 그 길이 $\mathbf{x, y, z}$ , 그리고 선분 사이의 각 $\alpha, \beta$ 를 정의하고, 라그랑지안

: $L=x+y+z+\lambda_1 (x^2 + y^2 - 2xy\cos(\alpha) - a^2) + \lambda_2 (y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta) - b^2) + \lambda_3 (z^2 + x^2 - 2zx\cos(\alpha+\beta) - c^2)$

를 설정한다. 여기서 $\mathbf{a, b, c}$ 는 삼각형 변의 길이이다.

$L$ 의 편미분 값들을 0으로 놓고 연립 방정식을 풀면 $\alpha = \beta = 120^\circ$ 를 얻는다.

4. 1. 전통 기하학적 증명

그림 2는 임의의 삼각형의 각 변에 정삼각형을 붙인 모습을 보여준다. 세 선분가 모두 점에서 만나고 서로 60° 각도로 교차한다는 것을 공원점의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형는 첫 번째 삼각형을 에 대해 60° 회전시킨 것이므로 합동이다. 따라서 이고 이다. 선분 에 적용된 원주각 정리의 역에 의해 점는 공원점(원 위에 있다). 마찬가지로 점도 공원점이다.

이므로 원주각 정리에 의해 이다. 마찬가지로 이다.

따라서 이다. 따라서 이다. 원주각 정리에 의해 점가 공원점임을 알 수 있다. 따라서 선분 에 적용된 원주각 정리에 의해 이다. 이므로 점는 선분 위에 있다. 따라서 선는 공점(한 점에서 만난다)이다.

이 증명은 인 경우 점 가의 외접원 내부에 놓여 와 의 상대적인 위치가 바뀌기 때문에 Case 2에만 적용된다. 그러나 Case 1을 다루도록 쉽게 수정할 수 있다. 그러면 이므로 인데, 이는 가 공원점이고 임을 의미한다. 따라서 는 위에 있다.

그림 2의 원 중심을 연결하는 선은 선분에 수직이다. 예를 들어, 를 포함하는 원의 중심과를 포함하는 원의 중심을 연결하는 선은 선분에 수직이다. 따라서 원의 중심을 연결하는 선도 60° 각도로 교차한다. 따라서 원의 중심은 정삼각형을 형성한다. 이를 나폴레옹 정리라고 한다.

임의의 유클리드 삼각형 와 임의의 점에 대해

d(P) = |PA|+|PB|+|PC|.

라고 하자. 이 절의 목표는 모든

P\ne P_0

에 대해

d(P_0) 를 만족하는 점을 찾는 것이다. 만약 그러한 점이 존재한다면, 그 점이 바로 페르마 점이 될 것이다. 다음에서 는 삼각형 내부의 점들을 나타내며 경계를 포함하는 것으로 간주한다.

여기서 사용될 핵심 결과는 개다리 규칙(dogleg rule)인데, 삼각형과 다각형이 한 변을 공유하고 삼각형의 나머지가 다각형 내부에 있으면 삼각형이 다각형보다 짧은 둘레를 가진다는 것이다.

:만약 가 공통 변이라면 를 연장하여 다각형을 점에서 자른다. 그러면 다각형의 둘레는 삼각 부등식에 의해:

:

\text{둘레} > |AB|+|AX|+|XB| = |AB|+|AC|+|CX|+|XB| \geq |AB|+|AC|+|BC|.

를 외부의 임의의 점이라고 하자. 각 꼭짓점을 원격 영역, 즉 (연장된) 반대쪽 변 너머의 반평면에 연결한다. 이 3개의 영역은 자체와 를 제외한 전체 평면을 덮으며, 는 분명히 그 중 하나 또는 두 개에 위치한다. 가 두 개(예: 와 영역의 교차점)에 있는 경우

P' = A

로 설정하면 개다리 규칙에 의해

d(P')=d(A) 가 된다. 또는 가 영역과 같이 하나의 영역에만 있는 경우 d(P') 여기서 는 와 의 교차점이다. 따라서 ''' 외부의 모든 점 에 대해''' d(P')'''를 만족하는 점 가 에 존재한다.'''

'''사례 1. 삼각형의 각도 ≥ 120°.'''

일반성을 잃지 않고, 에서의 각도가 120° 이상이라고 가정하자. 정삼각형 를 구성하고 내의 모든 점 에 대해( 자체 제외) 삼각형 가 정삼각형이고 표시된 방향을 갖도록 를 구성한다. 그러면 삼각형 는 를 중심으로 한 삼각형 의 60° 회전이므로 이 두 삼각형은 합동이고

d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|

가 되며, 이는 단순히 경로 의 길이이다. 는 내에 존재하도록 제한되므로 개다리 규칙에 의해 이 경로의 길이는

|AC|+|AF|=d(A).

를 초과한다. 따라서 모든

P \in \Delta, P \ne A.

에 대해

d(A) 이다. 이제 가 외부로 범위를 확장하도록 하자. 위에서 d(P') 를 만족하는 점 P' \in \Omega 가 존재하며 d(A) \leq d(P') 이므로 모든 외부의 모든 에 대해 d(A) 가 된다. 즉 모든 P\ne A 에 대해 d(A) 가 되며 이는 가 의 페르마 점임을 의미한다. 다시 말해서, '''페르마 점은 둔각 꼭짓점에 위치한다'''.

'''사례 2. 삼각형의 각도가 ≥ 120°가 아니다.'''

정삼각형 를 구성하고, 를 내부의 임의의 점이라고 하고, 정삼각형 를 구성한다. 그러면 는 를 중심으로 한 의 60° 회전이므로

:

d(P) = |PA|+|PB|+|PC| = |AP|+|PQ|+|QD|

이며, 이는 단순히 경로 의 길이이다. 를 와 가 교차하는 점이라고 하자. 이 점은 일반적으로 첫 번째 등각 중심이라고 불린다. 에 대해 했던 것과 동일한 연습을 으로 수행하고 점 을 찾는다. 각도 제한에 의해 는 내부에 있다. 또한 는 를 중심으로 한 의 60° 회전이므로 는 어딘가에 위치해야 한다. 이므로 는 와 사이에 위치하며, 이는 가 직선이므로

d(P_0=|AD|.

을 의미한다. 또한

P\ne P_0

인 경우 또는 가 에 위치하지 않으므로

d(P_0)=|AD| 이다. 이제 가 외부로 범위를 확장하도록 하자. 위에서 d(P') 를 만족하는 점 P' \in \Omega 가 존재하며 d(P_0)\leq d(P') 이므로 모든 외부의 모든 에 대해 d(P_0) 가 된다. 즉 는 의 페르마 점임을 의미한다. 다시 말해서, '''페르마 점은 첫 번째 등각 중심과 일치한다'''.

4. 2. 벡터 해석적 증명

다음과 같이 평면상의 다섯 점 O, A, B, C, X를 가정한다. 벡터

\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB},\ \overrightarrow{OC},\ \overrightarrow{OX}

를 각각 '''a''', '''b''', '''c''', '''x'''로 표시하고, '''i''', '''j''', '''k'''를 O에서 '''a''', '''b''', '''c''' 방향의 단위 벡터로 한다.

:

\begin{align}|\mathbf a| &= \mathbf{a \cdot i} = (\mathbf a - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,i} + \mathbf{x \cdot i} \leq |\mathbf a - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot i}, \\|\mathbf b| &= \mathbf{b \cdot j} = (\mathbf b - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,j} + \mathbf{x \cdot j} \leq |\mathbf b - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot j}, \\|\mathbf c| &= \mathbf{c \cdot k} = (\mathbf c - \mathbf x)\mathbf{\,\cdot\,k} + \mathbf{x \cdot k} \leq |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot k}.\end{align}

'''a''', '''b''', '''c'''를 더하면 다음과 같다.

:

|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leq |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x| + \mathbf x \cdot (\mathbf i + \mathbf j + \mathbf k).

만약 '''a''', '''b''', '''c'''가 O에서 120° 각도로 만난다면 '''i''' + '''j''' + '''k''' = '''0'''이므로,

:

|\mathbf a| + |\mathbf b| + |\mathbf c| \leq |\mathbf a - \mathbf x| + |\mathbf b - \mathbf x| + |\mathbf c - \mathbf x|

는 모든 '''x'''에 대해 성립한다. 다시 말해,

:

|OA| + |OB| + |OC| \leq |XA| + |XB| + |XC|

이므로 O는 △''ABC''의 페르마 점이다.

이 논증은 삼각형이 각도 ∠''C'' > 120°를 가질 때 실패하는데, '''a''', '''b''', '''c'''가 120° 각도로 만나는 점 O가 없기 때문이다. 그럼에도 불구하고, '''k''' = − ('''i''' + '''j''')로 재정의하고 O를 C에 위치시켜 '''c''' = '''0'''으로 설정하면 쉽게 해결된다. 단위 벡터 '''i''', '''j''' 사이의 각이 ∠''C''가 120°를 초과하므로

\lVert \mathbf{k} \rVert \le 1

임을 기억하자.

:

|\mathbf 0| \leq |\mathbf 0 - \mathbf x| + \mathbf{x \cdot k},

이므로 세 번째 부등식은 여전히 성립하며, 다른 두 부등식은 변경되지 않는다. 이제 위와 같이 (세 개의 부등식을 더하고 '''i''' + '''j''' + '''k''' = '''0'''를 사용하여) O(또는 이 경우 C)가 반드시 △''ABC''의 페르마 점이어야 한다는 결론에 도달하기 위해 증명이 계속된다.

4. 3. 라그랑주 승수법을 이용한 증명

삼각형 내부에서 삼각형의 꼭짓점까지의 거리 합이 최소가 되는 점을 찾는 또 다른 방법은 수학적 최적화 방법 중 하나인 라그랑주 승수법과 코사인 법칙을 사용하는 것이다.

삼각형 내부의 점에서 꼭짓점까지 선을 긋고, 이 선들을 '''X''', '''Y''', '''Z'''라고 부른다. 또한, 이 선들의 길이를 각각 ''x, y, z''라고 한다. '''X'''와 '''Y''' 사이의 각도를 ''α'', '''Y'''와 '''Z''' 사이의 각도를 ''β''라고 한다. 그러면 '''X'''와 '''Z''' 사이의 각도는 π − ''α'' − ''β''이다. 라그랑주 승수법을 사용하여 다음과 같이 표현되는 라그랑지안 ''L''의 최솟값을 찾아야 한다.

:

L=x+y+z+\lambda_1 (x^2 + y^2 - 2xy\cos(\alpha) - a^2) + \lambda_2 (y^2 + z^2 - 2yz\cos(\beta) - b^2) + \lambda_3 (z^2 + x^2 - 2zx\cos(\alpha+\beta) - c^2)

여기서 ''a, b, c''는 삼각형의 변의 길이다.

다섯 개의 편미분

\tfrac{\partial L}{\partial x},  \tfrac{\partial L}{\partial y}, \tfrac{\partial L}{\partial z},  \tfrac{\partial L}{\partial \alpha}, \tfrac{\partial L}{\partial \beta}

각각을 0으로 놓고 ''λ''₁, ''λ''₂, ''λ''₃을 제거하면 결국 sin ''α'' = sin ''β'' 및 − sin ''β'' = sin(''α'' + ''β'')가 나와 ''α'' = ''β'' = 120°가 된다. 그러나 제거 과정은 길고 지루하며, 최종 결과는 경우 2에만 해당된다.

5. 성질

페르마 점은 다음과 같은 다양한 기하학적 성질을 갖는다.

120도 이상의 각을 갖지 않는 삼각형에서, 세 꼭짓점으로부터의 거리의 합이 가장 작아지는 점이다. 120도 이상의 각을 갖는 삼각형의 경우, 가장 큰 각을 갖는 꼭짓점이 이 성질을 만족한다.
직선 ''X''(13)''X''(15)와 ''X''(14)''X''(16)은 오일러선과 평행하다. 세 선은 오일러 무한대점인 ''X''(30)에서 만난다.
점 ''X''(13), ''X''(14), 외심, 구점원의 중심은 레스터 원 위에 있다.
직선 ''X''(13)''X''(14)는 오일러선과 ''X''(2)와 ''X''(4)의 중점에서 만난다.^[7]
페르마 점은 자체 중심에서 뚫린 열린 직교중심원 안에 있으며, 그 안의 어떤 점이든 될 수 있다.^[8]
다음 삼각형은 정삼각형이다.
''X''(13)의 족삼각형
''X''(14)의 반족삼각형
''X''(15)의 족삼각형
''X''(16)의 족삼각형
''X''(15)의 외심체바 삼각형
''X''(16)의 외심체바 삼각형

두 개의 등각 중심은 삼각형의 꼭지점을 쌍으로 하는 물고기 부레 세 개의 교차점이다.

5. 1. 각도

삼각형의 가장 큰 각도가 120° 이하일 때, ''X''(13)(페르마 점)에서 삼각형 변이 이루는 각은 모두 120°이다.^[3] 120° 이상의 각을 갖지 않는 삼각형의 경우, 페르마 점 ''F''는 삼각형 내부에 있으며, ∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°를 만족한다.^[10]

5. 2. 외접원

그림 2와 같이 임의의 삼각형 ABC의 각 변에 정삼각형 ARB, AQC, CPB를 붙이면, 세 선 RC, BQ, AP는 모두 점 F에서 교차하고 서로 60° 각도로 만난다.

삼각형 RAC와 BAQ는 합동이므로 ∠ARF = ∠ABF 이고 ∠AQF = ∠ACF 이다. 원주각 정리의 역에 의해 점 ARBF와 AFCQ는 공원(원 위에 존재)이다.

∠ARB = 60° 이므로 원주각 정리를 사용하면 ∠AFB = 120° 이다. 마찬가지로 ∠AFC = 120° 이다.

그래서 ∠BFC = 120° 이다. 따라서 ∠BFC + ∠BPC = 180° 이다. 원주각 정리를 사용하면 이는 점 BPCF가 공원임을 의미한다. 따라서 ∠BFP = ∠BCP = 60° 이다. ∠BFP + ∠BFA = 180° 이므로 점 F는 선분 AP 위에 있다. 따라서 선 RC, BQ, AP는 공점(단일 점에서 교차)이다.

그림 2의 세 정삼각형의 외접원 중심을 연결하는 선은 각각의 선분 AP, BQ, CR에 수직이며, 이 선들 또한 60° 각도로 교차한다. 따라서 외접원의 중심들은 정삼각형을 형성한다. 이를 나폴레옹 정리라고 한다.

작도 항목에서 그린 3개의 정삼각형의 외접원은 페르마 점에서 교차한다.^[3]
위에 언급한 3개의 외접원의 중심은 정삼각형을 이룬다 (나폴레옹의 정리).

5. 3. 수선의 발

페르마 점에서 삼각형의 세 변에 내린 수선의 발은 정삼각형을 이룬다.^[8]

5. 4. 레스터 원

페르마 점, 외심, 구점원의 중심, 제2 페르마 점은 레스터 원 위에 있다.^[8]

5. 5. 페르마 축

제1 페르마 점과 제2 페르마 점, 유사 무게 중심은 공선이며, 이 직선을 '''페르마 축'''이라고 한다.^[10]

5. 6. 등각 켤레점

제1 페르마 점의 등각 켤레점은 제1 등력점이고, 제2 페르마 점의 등각 켤레점은 제2 등력점이다.^[6]

5. 7. 키페르트 쌍곡선

작도 1에서 각 변을 밑변으로 하는 닮은 이등변삼각형을 그려 3직선의 교차점을 구하면 키페르트 점이 된다. 페르마 점을 포함하여, 키페르트 점은 동일 쌍곡선 위에 있는데, 이 쌍곡선을 키페르트 쌍곡선이라고 한다.^[10]

5. 8. 베르나우 점

주어진 삼각형의 각 변에 외접하는 정삼각형을 이용하여 작도한 점으로, 제1 베르나우 점과 제2 베르나우 점이 있다. 제1 베르나우 점은 원 QAR, RBP, PCQ의 공점이다.^[10] 내측 삼각형으로 동일하게 작도하면 제2 베르나우 점을 얻는다.

5. 9. 삼선좌표

6. 관련 문제

기하중앙값과 슈타이너 나무 문제는 페르마 점을 다각형으로 일반화한 문제이다. 기하중앙값은 주어진 다각형에서 각 꼭짓점까지의 거리 합이 최소가 되는 점을 찾는 문제이다. 슈타이너 나무 문제는 주어진 점들을 연결하는 가장 짧은 길이의 나무를 만드는 문제이다. 페르마 점은 삼각형에서 이 문제들의 해법이 될 수 있다.

7. 역사

이 문제는 페르마가 에반젤리스타 토리첼리에게 도전 과제로 제시하였다.^[9] 토리첼리는 페르마와 유사한 방식으로 문제를 해결했지만, 세 개의 정삼각형 외접원의 교차점을 사용했다. 그의 제자 비비아니는 1659년에 이 해법을 발표했다.^[9]

페르마 점에 관한 문제는 페르마가 토리첼리에게 보낸 편지에서 출제되었기 때문에 "토리첼리의 문제"라고 불리기도 한다.

참조

_[1] 웹사이트 Cut The Knot - The Fermat Point and Generalizations http://www.cut-the-k[...]
_[2] 간행물 Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle
_[3] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evans[...] 2012-04-19
_[4] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evans[...] 2012-04-19
_[5] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evans[...] 2012-04-19
_[6] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evans[...] 2012-04-19
_[7] 웹사이트 Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evans[...]
_[8] 간행물 The locations of triangle centers http://forumgeom.fau[...] 2016-03-04
_[9] MathWorld Fermat Points
_[10] 웹사이트 ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS Part2　X(1337) https://faculty.evan[...] 2024-04-13

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