외접원

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1. 개요

외접원은 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 의미하며, 그 중심을 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 내접 다각형이라고 하며, 특히 사각형의 경우 내접 사각형이라고 한다. 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이며, 예각삼각형은 내부에, 둔각삼각형은 외부에, 직각삼각형은 빗변의 중점에 위치한다. 외접원의 지름은 사인 법칙을 통해 구할 수 있으며, 삼각형의 외심은 무게중심, 수심과 함께 오일러선 위에 놓인다. 사각형은 특정 조건을 만족할 때 외접원을 가질 수 있으며, 직사각형과 등변사다리꼴이 이에 해당한다. 외접원은 항해술에서 위치를 파악하는 데 사용되기도 하며, 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 외접원의 방정식, 외심의 좌표, 그리고 외접원과 관련된 다양한 기하학적 성질과 정리가 존재한다.

외접원

정의

설명	삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원

성질

중심	수직이등분선의 교점
반지름	외접원의 반지름

관련 요소	외심

외접원 반지름 (R)	R = abc / 4K (a, b, c는 삼각형 변의 길이, K는 삼각형의 넓이)
넓이 (K)	K = abc / 4R (a, b, c는 삼각형 변의 길이, R은 외접원의 반지름)

2. 정의

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 외접원이라고 하며, 외접원의 중심을 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 내접 다각형(cyclic polygon, inscribed polygon^영어)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 사각형을 내접 사각형이라고 한다.

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삼각형의 외심은 세 수직 이등분선 중 임의의 두 개를 그리는 것으로 작도할 수 있다. 모든 삼각형에는 외접원이 존재하며, 삼각형의 외심은 3개의 변의 수직이등분선이 교차하는 점이다. 예각삼각형의 외심은 삼각형 내부에 있고, 둔각삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있다. 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

연안 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없을 때 육분의를 사용하여 위치선을 얻는 방법으로 사용되기도 한다.

3. 성질

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 다각형의 외접원이라고 하고, 그 중심을 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 외심은 다각형 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름으로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선 중 임의의 두 개를 그리는 것으로 작도할 수 있다.

연안 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없을 때 육분의를 사용하여 위치선을 얻는 방법으로 사용되기도 한다.

3.1. 삼각형의 외심

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 있고, 둔각 삼각형의 외심은 삼각형 외부에 있다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 이는 탈레스의 정리의 한 형태이다.

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모든 삼각형에는 외접원이 존재하며, 삼각형의 외심은 3개의 변의 수직이등분선이 교차하는 점이다. 항해에서 삼각형의 외접원은 나침반을 사용할 수 없는 상황에서 육분의를 이용하여 위치를 파악하는 데 사용될 수 있다.

삼각형에서 어떤 꼭짓점과 그 대변의 수직이등분선의 연장선상에 있는 외접원(원주)과의 교점(대변에서 삼각형의 바깥쪽)을 잇는 직선은 그 꼭짓점의 내각을 이등분하는 직선이 된다.

3.1.1. 반지름

삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 R이라고 하고, 세 변의 길이를 a=BC, b=CA, c=AB라고 할 때, 사인 법칙에 따라 다음 등식이 성립한다.

: $\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R$

삼각형의 넓이를 S라고 하면, 다음이 성립한다.

: $S=\frac{abc}{4R}$

삼각형의 내접원의 반지름을 r이라고 하면, 오일러 삼각형 정리에 따라 외심 O와 내심 I 사이의 거리는 다음과 같다.

: $OI=\sqrt{R^2-2Rr}$

특히, 오일러 부등식에 의해 다음 부등식이 성립한다.

: $R\ge 2r$

외접원의 지름은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: $\begin{align}\text{지름} & {}= \frac{abc}{2\cdot\text{면적}} = \frac$

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{2|\Delta ABC|} \\[5pt]& {}= \frac{abc}{2\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}\\[5pt]& {}= \frac{2abc}{\sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}\end{align}

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이이고

s=\tfrac{a+b+c}{2}

는 반둘레이다.

\scriptstyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

는 헤론의 공식에 의한 삼각형의 면적이다.

외접원의 지름에 대한 삼각 표현에는 다음이 포함된다.

:

\text{지름} = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{면적}}{\sin A \sin B \sin C}}.

기하학의 오일러 정리에 의해, 외심 O와 내심 I 사이의 거리는

:

\overline{OI} = \sqrt{R(R - 2r)},

여기서 r은 내접원 반지름이고, R은 외접원 반지름이다. 따라서 외접 반지름은 적어도 내접 반지름의 두 배이다(오일러의 삼각형 부등식).

삼각형이 외접원과 내접원으로 두 개의 특정 원을 갖는 경우, 외접원의 꼭짓점으로 외접원의 임의의 점을 사용하여 동일한 외접원과 내접원을 갖는 무한한 수의 다른 삼각형이 존재한다. (이것은 퐁슬레의 포리즘의 n = 3인 경우이다.)

외접원의 반지름은 다음과 같은 식으로 나타낸다.

:

\begin{align}R &= \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\&= \frac{abc}{4rs} \\&= \frac{r}{\cos A + \cos B + \cos C - 1}\end{align}

여기서 a, b, c는 세 변의 길이, A, B, C는 세 각의 크기, r은 내접원의 반지름, s는 둘레의 절반을 의미한다.

3.1.2. 오일러 직선

삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위에 있으며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

3.2. 사각형의 외심

(볼록) 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

* 내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
* 두 대각의 합은 $180^\circ$ 이다. ( $\angle BAD+\angle BCD=180^\circ$ )
* (원주각) $\angle ACB=\angle ADB$
* (방멱 정리) 두 대각선 $AC$ , $BD$ 의 교점을 $E$ 라고 할 때, $EA\cdot EC=EB\cdot ED$ 이다.
* (프톨레마이오스 정리) $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$ 이다.

사각형이 특정 조건—예를 들어 대각이 보각 (서로 더해서 180° 또는 π^영어 라디안)이 될 때—을 만족하면, 원을 외접시킬 수 있다.

이를 만족하는 대표적인 사각형으로는 직사각형, 등변사다리꼴이 있다.

외접원의 반지름은

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

로 나타낼 수 있다. (브라마굽타의 공식) 여기서 s는 반둘레이다.

4개의 변의 길이를

a, b, c, d

, 대각선의 길이를

p, q

라고 하면,

ac + bd = pq

가 성립한다. (프톨레마이오스의 정리)

3.3. 미켈 정리

삼각형 $ABC$ 와 직선 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 가 주어졌을 때, 미켈 정리(Miquel theorem^영어)에 따르면 삼각형 $AEF$ , $BFD$ , $CDE$ 의 외접원은 한 점 $P$ 에서 만난다. 이 점 $P$ 를 삼각형 $ABC$ 에 대한 점 $D$ , $E$ , $F$ 의 미켈 점(Miquel point^영어)이라고 한다. 만약 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 직선 위에 있지 않다면, 삼각형 $DEF$ 를 삼각형 $ABC$ 에 대한 점 $P$ 의 미켈 삼각형(Miquel triangle^영어)이라고 한다.

미켈 정리는 네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원이 한 점에서 만나는 경우로 확장할 수 있는데, 이는 $D$ , $E$ , $F$ 가 한 직선 위에 있는 특수한 경우이다.

삼각형 $ABC$ 와 직선 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 및 점 $P$ 에 대하여, 삼각형 $DEF$ 가 점 $P$ 의 미켈 삼각형일 필요충분조건은 유향각 $\angle PFA$ , $\angle PDB$ , $\angle PEC$ 의 크기가 같은 것이다. 따라서, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 $ABC$ 와 직선 $BC$ , $CA$ , $AB$ 위의 점 $D$ , $E$ , $F$ 및 미켈 점 $P$ 가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

: $\angle BPC=\angle BAC+\angle EDF$
: $\angle CPA=\angle CBA+\angle FED$
: $\angle APB=\angle ACB+\angle DFE$

여기서 모든 각도는 유향각이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 $ABC$ 에 대한 점 $P$ 의 모든 미켈 삼각형은 $P$ 를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.

3.4. 키페르트 포물선과의 관계

삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위에 있다. 특히 삼각형의 키페르트 포물선(Kiepert’s parabola^영어)의 초점은 외접원 위에 있다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 증명할 수 있다.

내접 포물선의 초점 $F$ 가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 $F$ 를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 $F$ 를 지나는, 포물선 위 임의의 점 $P$ 에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 $V$ 에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점 $P$ 또는 초점 $F$ 를 지나는 준선의 수선의 발을 $D$ , $E$ 라고 하고, 꼭짓점 $V$ 에서의 접선과 $DF$ 의 교점을 $M$ 이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 $V$ 는 선분 $EF$ 의 중점이며, $VM$ 과 $DE$ 는 평행하므로 $M$ 은 선분 $DF$ 의 중점이다. $PD=PF$ 이므로 $PM$ 은 $DF$ 의 수선이자 $\angle DPF$ 의 이등분선이다. 이에 따라 광선 $FP$ 가 직선 $PM$ 에 반사된 광선은 $DP$ 의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 $FP$ 가 포물선에 반사된 광선은 $DP$ 의 연장선이므로, $PM$ 은 포물선의 $P$ 에서의 접선이다.

4. 외접원의 방정식

유클리드 평면에서 삼각형 꼭짓점의 데카르트 좌표를 사용하여 외접원의 방정식을 표현할 수 있다. 점 A, B, C의 좌표를 다음과 같이 가정한다.

: $\begin{align}\mathbf{A} &= (A_x, A_y) \\\mathbf{B} &= (B_x, B_y) \\\mathbf{C} &= (C_x, C_y)\end{align}$

외접원은 다음 방정식을 만족하는 점 $\mathbf v = (v_x,v_y)$ 의 집합으로 표현된다.

: $\begin{align}|\mathbf{v} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{A} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{B} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{C} - \mathbf{u}|^2 &= r^2\end{align}$

여기서 A, B, C, v는 모두 원의 중심 $\mathbf u$ 에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 편광 항등식을 사용하면, 이 방정식은 다음 행렬 조건으로 단순화된다.

: $\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1\end{bmatrix}$

이 행렬은 0이 아닌 커널을 가진다. 따라서 외접원은 다음 행렬의 행렬식이 0이 되는 점들의 자취로 표현할 수 있다.

: $\det\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & v_x & v_y & 1 \\|\mathbf{A}|^2 & A_x & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_x & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1\end{bmatrix}=0.$

여인수 전개를 사용하여 정리하면 다음과 같다.

: $\begin{align}S_x &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]S_y &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]a &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & 1 \\B_x & B_y & 1 \\C_x & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]b &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2\end{bmatrix}\end{align}$

$a|\mathbf v|^2 - 2\mathbf{Sv} - b = 0$ 이고, 여기서 $\mathbf S = (S_x, S_y)$ 이다. 세 점이 일직선상에 있지 않으면(외접원은 $\mathbf{S}$ 가 무한대인 일반화된 원), 외심은 $\tfrac{\mathbf S}{a}$ 이고 외접반경은 $\sqrt{\tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2}}$ 이다. 사면체의 외접구 방정식도 비슷한 방법으로 유도할 수 있다.

원에 포함된 평면에 수직인 단위 벡터는 다음과 같다.

: $\widehat{n} = \frac{(P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)}$

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.

반지름

r

, 중심

P_c

, 원 위의 점

P_0

, 원을 포함하는 평면의 단위 법선 벡터

\widehat n

이 주어졌을 때, 점

P_0

에서 시작하여

\widehat n

에 대해 양의 방향(오른손 법칙)으로 진행하는 원의 매개 변수 방정식은 다음과 같다.

:

\mathrm{R} (s) = \mathrm{P_c} +\cos\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}\right)(P_0 - P_c) +\sin\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}\right)\left[\widehat{n} \times(P_0 - P_c)\right].

삼선좌표계에서 외접원의 방정식은

\tfrac{a}{x} + \tfrac{b}{y} + \tfrac{c}{z} =0

이다. 바리중심 좌표계에서 외접원의 방정식은

\tfrac{a^2}{x} + \tfrac{b^2}{y} + \tfrac{c^2}{z} =0

이다.

외접원의 등각 켤레점은 무한대선이며, 삼선좌표계에서는

ax+by+cz=0

, 바리중심 좌표계에서는

x+y+z=0

으로 주어진다.

직교 좌표계에서의 외접원의 방정식은 행렬식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\det\begin{vmatrix}v^2 & v_x & v_y & 1 \\A^2 & A_x & A_y & 1 \\B^2 & B_x & B_y & 1 \\C^2 & C_x & C_y & 1\end{vmatrix}=0

여기서 A, B, C는 각 꼭짓점을 나타내며, 이 식을 만족하는 v의 집합이 외접원이 된다. (A² = A_x² + A_y²)

5. 외심의 좌표

유클리드 평면에서 삼각형의 세 꼭짓점 데카르트 좌표를 사용하여 외접원의 방정식을 표현할 수 있다. 세 점 A, B, C의 좌표를 다음과 같이 가정한다.

: $\begin{align}\mathbf{A} &= (A_x, A_y) \\\mathbf{B} &= (B_x, B_y) \\\mathbf{C} &= (C_x, C_y)\end{align}$

외접원은 다음 방정식을 만족하는 점 $\mathbf v = (v_x,v_y)$ 의 집합으로 표현된다.

: $\begin{align}|\mathbf{v} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{A} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{B} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\|\mathbf{C} - \mathbf{u}|^2 &= r^2\end{align}$

여기서 A, B, C, v는 모두 원의 중심 $\mathbf u$ 에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 편광 항등식을 이용하면, 위 방정식은 다음 행렬 조건으로 간단하게 표현된다.

: $\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1\end{bmatrix}$

이 행렬은 0이 아닌 커널을 가진다. 따라서 외접원은 다음 행렬식의 영점의 자취로 표현할 수 있다.

: $\det\begin{bmatrix}|\mathbf{v}|^2 & v_x & v_y & 1 \\|\mathbf{A}|^2 & A_x & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_x & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1\end{bmatrix}=0.$

여인수 전개를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\begin{align}S_x &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]S_y &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]a &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & 1 \\B_x & B_y & 1 \\C_x & C_y & 1\end{bmatrix}, \\[5pt]b &= \det\begin{bmatrix}A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2\end{bmatrix}\end{align}$

$a|\mathbf v|^2 - 2\mathbf{Sv} - b = 0$ 이고, 여기서 $\mathbf S = (S_x, S_y)$ 이다. 세 점이 일직선상에 있지 않으면(그렇지 않으면 외접원은 S가 무한대인 일반화된 원으로 볼 수 있는 선이다), $\left|\mathbf v - \tfrac{\mathbf S}{a}\right|^2 = \tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2},$ 가 외심 $\tfrac{\mathbf S}{a}$ 와 외접반경 $\sqrt{\tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2}}.$ 를 제공한다.

외심의 삼선좌표는 다음과 같다.

: $\cos \alpha : \cos \beta : \cos \gamma$

여기서 α, β, γ는 삼각형의 각이다.

변의 길이 a, b, c로 나타내면, 삼선좌표는 다음과 같다.

: $a\left(b^2 + c^2 - a^2\right) : b\left(c^2 + a^2 - b^2\right) : c\left(a^2 + b^2 - c^2\right).$

외심의 바리중심 좌표는 다음과 같다.

: $a^2\left(b^2 + c^2 - a^2\right):\;b^2\left(c^2 + a^2 - b^2\right):\;c^2\left(a^2 + b^2 - c^2\right),\,$

여기서 a, b, c는 삼각형의 변의 길이이다.

삼각형의 각 α, β, γ로 표현하면, 외심의 바리중심 좌표는 다음과 같다.

: $\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .$

6. 기타 성질

외접 지름은 외접 반지름의 두 배이며, 사인 법칙을 이용하여 계산할 수 있다. 삼각형의 한 변의 길이를 마주보는 각의 사인 값으로 나눈 값으로, 예를 들어 변 a와 마주보는 각 A에 대해 다음과 같이 표현된다.

: $\text{지름} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.$

사인 법칙에 의해, 어떤 변과 마주보는 각을 사용하든 결과는 같다. 외접원의 지름은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

: $\begin{align}\text{지름} & {}= \frac{abc}{2\cdot\text{면적}} = \frac$

👆

좌우로 밀어서 보기

s=\tfrac{a+b+c}{2}

는 반둘레이다.

\scriptstyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

는 헤론의 공식에 따른 삼각형의 면적이다.

외심은 무게 중심, 수심과 함께 오일러 직선 위에 있다.

외심과 내심 사이의 거리는 기하학의 오일러 정리에 의해 다음과 같이 계산된다.

:

\overline{OI} = \sqrt{R(R - 2r)},

여기서 r은 내접원 반지름이고 R은 외접원 반지름이다. 따라서 외접 반지름은 내접 반지름의 최소 두 배이며(오일러의 삼각형 부등식), 정삼각형일 때만 같다.

7. 내접 다각형

꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 다각형을 내접 다각형이라고 한다. 모든 삼각형은 내접 다각형이지만, 모든 사각형이 내접 다각형인 것은 아니다. 내접 사각형은 대각의 합이 180°라는 중요한 성질을 갖는다.

(볼록) 사각형

ABCD

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
* 내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
* (두 대각의 합은

180^\circ

)

\angle BAD+\angle BCD=180^\circ

* (원주각)

\angle ACB=\angle ADB

* (방멱 정리) 두 대각선

AC

BD

의 교점을

E

라고 할 때,

EA\cdot EC=EB\cdot ED

* (프톨레마이오스 정리)

AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

사각형이 특정 조건—예를 들어 대각이 보각 (서로 더해서 180° 또는 π 라디안)이 될 때—을 만족할 때, 원을 외접시킬 수 있다.

이를 만족하는 대표적인 사각형으로, 직사각형·등변사다리꼴이 있다.

외접원의 반지름은

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

로 나타낼 수 있다. (브라마굽타의 공식) s는 반둘레이다.

4개의 변의 길이를

a, b, c, d

, 대각선의 길이를

p, q

라고 하면,

ac + bd = pq

가 성립한다. (프톨레마이오스의 정리)

외접원과 내접원이 모두 존재하는 사각형을 쌍심 사각형이라고 한다.

모든 각의 크기가 같은 공원 다각형이 되기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다.

* 각의 개수가 홀수인 경우: 정다각형
* 각의 개수가 짝수인 경우: 변의 길이가 교대로 같다(즉, 각 변에 인접한 두 변의 길이가 서로 같다)

변의 길이와 면적이 모두 유리수인 공원 오각형은 Robbins pentagon^영어이라고 하며, 알려진 모든 경우에서 대각선 길이도 모두 유리수이다.

짝수

n

에 대한 임의의 공원

n

-각형에 대해, 각을 교대로 두 개의 그룹으로 나눌 때, 각 그룹에 속하는 각의 합은 서로 같다("홀수 번째 각의 합" = "짝수 번째 각의 합"). 이 사실은

n = 4

의 경우에서 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다. 귀납 단계에서는 하나의 변을 새로운 세 변으로 교체하여 원래 변과 더해진 세 변이 같은 조건을 만족하는 사각형을 이루도록 할 수 있다는 점에 유의한다(이때, 얻어진 사각형의 교대 각은 원래

n

-각형의 교대 각의 합에 각각 더해지지만, 그 합이 서로 같다는 것은 변하지 않는다).

어떤

n

-각형

X

가 원

C

에 내접하고, 다른

n

-각형

Y

가 앞선

n

-각형

X

의 각 꼭짓점에서 접하는 방식으로 원

C

에 외접한다고 하자. 이 때 원

C

위의 임의의 점

P

에서 다각형

X

의 각 변에 내린 수선의 길이의 곱은

P

에서 다각형

Y

의 각 변에 내린 수선의 길이의 곱과 같다.

설명	삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원

성질

중심	수직이등분선의 교점
반지름	외접원의 반지름