토션트 상수

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1. 개요
2. 토션트 상수 변형
- 2.1. 토션트 상수의 정의
- 2.2. 토션트 상수 표현식 유도
3. 스티븐스 상수에서 알틴 상수와 토션트 상수
- 3.1. 각 상수의 정의
- 3.2. 상수 간 관계 유도
참조

1. 개요

토션트 상수는 다음과 같은 무한곱으로 정의되는 수학 상수이다. 토션트 상수는 알틴 상수와 스티븐스 상수와 연관되어 있으며, 스티븐스 상수는 알틴 상수와 토션트 상수의 조합으로 표현될 수 있다.

2. 토션트 상수 변형

토션트 상수( $C_t$ )는 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)$

이는 다음과 같이 변형될 수 있다.

: $\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)$

: $\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)$

: $\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)$

: $\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)$

: $\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)$

2. 1. 토션트 상수의 정의

토션트 상수(

C_t

)는 다음과 같은 무한곱으로 정의된다.

:

C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

2. 2. 토션트 상수 표현식 유도

토션트 상수(

C_t

)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)

이는 다음과 같이 변형될 수 있다.

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

:

\;\;\;=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

3. 스티븐스 상수에서 알틴 상수와 토션트 상수

wikitext

알틴 상수는 다음과 같이 정의된다.

: $C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)- \left(\right)$

토션트 상수는 다음과 같이 정의된다.

: $C_t=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)$

스티븐스 상수는 다음과 같이 정의된다.

: $C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-\left( \right) + \left( \right) \right) \left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left( \right) \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left( \right) + \left( \right) - \left( \right) \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right)- \left(\right) - \left( \right) \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + 1- \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right) \right)\left()}} \right)$

: $\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) - \left( \right) \right)\left()}} \right)$

3. 1. 각 상수의 정의

알틴 상수는 다음과 같이 정의된다.

:

C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)- \left(\right)

토션트 상수는 다음과 같이 정의된다.

:

C_t=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

스티븐스 상수는 다음과 같이 정의된다.

:

C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-\left( \right) + \left( \right)    \right) \left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left(  \right) + \left(  \right) - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + \left(  \right)- \left(\right)  - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + 1-      \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

3. 2. 상수 간 관계 유도

스티븐스 상수(

C_S

)는 알틴 상수(

C_A

)와 토션트 상수(

C_t

)의 조합으로 나타낼 수 있다.

:

C_A= \prod_{p}^{} \left(\right)- \left(\right)

:

C_t=\prod_{p}^{} \left(  \right) + \left(  \right)

:

C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-\left( \right) + \left( \right)    \right) \left()}} \right)

위 식에서,

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

로 표현할 수 있다. 이어서,

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left(  \right) + \left(  \right) - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + \left(  \right)- \left(\right)  - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + 1-      \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) + \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

:

\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left(  \right) - \left(  \right)    \right)\left()}} \right)

와 같이 정리할 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 https://oeis.org/A06[...]
_[2] 웹사이트 Some Number-Theoretical Constants http://mathworld.wol[...]

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