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토션트 상수

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1. 개요

토션트 상수는 다음과 같은 무한곱으로 정의되는 수학 상수이다. 토션트 상수는 알틴 상수와 스티븐스 상수와 연관되어 있으며, 스티븐스 상수는 알틴 상수와 토션트 상수의 조합으로 표현될 수 있다.

토션트 상수
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목차

2. 토션트 상수 변형

토션트 상수(C_t)는 다음과 같이 표현될 수 있다.
:C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)
이는 다음과 같이 변형될 수 있다.
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)

2.1. 토션트 상수의 정의

토션트 상수(C_t)는 다음과 같은 무한곱으로 정의된다.

:C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)

:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)

:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)

2.2. 토션트 상수 표현식 유도

토션트 상수(C_t)는 다음과 같이 표현될 수 있다.
:C_t=\prod_{p}^{} \left( 1+ \right)
이는 다음과 같이 변형될 수 있다.
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)
:\;\;\;=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)

3. 스티븐스 상수에서 알틴 상수와 토션트 상수

wikitext
알틴 상수는 다음과 같이 정의된다.

: C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)- \left(\right)

토션트 상수는 다음과 같이 정의된다.

:C_t=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)

스티븐스 상수는 다음과 같이 정의된다.

:C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-
\left( \right) + \left( \right) \right) \left( \right)

:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left( \right) \right)
\left( \right)

:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left( \right) + \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right)- \left(\right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + 1- \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)

3.1. 각 상수의 정의

알틴 상수는 다음과 같이 정의된다.

: C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)- \left(\right)

토션트 상수는 다음과 같이 정의된다.

:C_t=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)

스티븐스 상수는 다음과 같이 정의된다.

:C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-
\left( \right) + \left( \right) \right) \left( \right)

:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left( \right) \right)
\left( \right)

:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left( \right) + \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right)- \left(\right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + 1- \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)

3.2. 상수 간 관계 유도

스티븐스 상수(C_S)는 알틴 상수(C_A)와 토션트 상수(C_t)의 조합으로 나타낼 수 있다.

: C_A= \prod_{p}^{} \left(\right)- \left(\right)
:C_t=\prod_{p}^{} \left( \right) + \left( \right)
:C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-
\left( \right) + \left( \right) \right) \left( \right)

위 식에서,

:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + C_t - \left( \right) \right)
\left( \right)

로 표현할 수 있다. 이어서,

:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)- \left(\right) + \left( \right) + \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right)- \left(\right) - \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + 1- \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) + \left( \right) \right)
\left( \right)
:\;\;\;= \prod_{p} \left( \left(\right)+ \left( \right) - \left( \right) \right)
\left( \right)

와 같이 정리할 수 있다.