알틴 상수

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1. 개요

알틴 상수는 정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아닐 때, a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합 S(a)의 점근 밀도에 대한 추측과 관련된 상수이다. 특히, a가 완전 거듭제곱이 아니고, a0이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 경우, S(a)의 밀도는 아르틴 상수 C_Artin과 같으며, 다음과 같은 무한 곱으로 표현된다: C_Artin = ∏ (1 - 1/(p(p-1))) = 0.3739558136... 알틴 상수는 자연로그 지수함수, 스티븐스 상수 등을 이용하여 표현될 수 있으며, 2급 알틴 상수와 타원 곡선, 소수의 소수 전개 주기와도 관련이 있다.

알틴 상수

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1. 개요
2. 아르틴 원시근 추측
3. 아르틴 상수의 표현
4. 2급 알틴 상수
- 4.1. 타원 곡선
- 4.2. 짝수 차수

2. 아르틴 원시근 추측

아르틴 원시근 추측은 정수 a가 주어졌을 때, a를 원시근으로 갖는 소수 p의 집합 S(a)에 대한 추측이다. 이 추측은 아직 완전히 증명되지 않았지만, 여러 부분적인 결과들이 알려져 있다.

크리스토퍼 훌리는 1967년에 일반화된 리만 가설을 가정하여 이 추측에 대한 조건부 증명을 발표했다.

일반화된 리만 가설이 없으면, 아르틴 추측이 증명되는 단일 값 a는 존재하지 않는다. D. R. 히스-브라운은 1986년에 2, 3 또는 5 중 적어도 하나는 무한히 많은 소수 p에 대해 원시근임을 증명했다. 그는 또한 아르틴 추측이 실패하는 소수가 최대 두 개 존재한다는 것을 증명했다.

2.1. 추측의 내용

정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아니라고 하자. a = a₀b²로 표기하고, 여기서 a₀는 제곱-무료 정수이다. S(a)를 a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합으로 표기한다. 그러면 추측은 다음과 같다.

# S(a)는 소수의 집합 내에서 양의 점근 밀도를 갖는다. 특히, S(a)는 무한하다.
# a가 완전 거듭제곱이 아니고 a₀이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 조건을 만족하는 경우, 이 밀도는 a에 의존하지 않으며 다음과 같은 무한 곱으로 표현되는 아르틴 상수와 같다.
#: $C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots$

위 조건을 a가 만족하지 않는 경우에도 밀도에 대한 유사한 추측 곱 공식이 존재한다. 이러한 경우, 추측 밀도는 항상 C_Artin의 유리수 배수이다.

예를 들어, a = 2라고 하자. 이 추측은 2가 원시 근인 소수 p의 집합이 위에 언급된 밀도 C_Artin을 갖는다고 주장한다. 이러한 소수의 집합은 다음과 같다.
: S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

이 집합은 500보다 작은 원소를 38개 가지고 있으며, 500보다 작은 소수는 95개 있다. (추측상 C_Artin에 수렴하는) 비율은 38/95 = 2/5 = 0.4이다.

2.2. 아르틴 상수

아르틴 상수는 다음과 같은 무한 곱으로 표현된다.

: $C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots$ .

이는 정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아니며, a = a₀b² (a₀는 제곱-무료 정수)로 표현될 때, a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합 S(a)가 양의 점근 밀도를 갖는다는 추측에서 나온다.

특히, a가 완전 거듭제곱이 아니고 a₀이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 조건을 만족하는 경우, 이 밀도는 a에 의존하지 않고 위와 같은 아르틴 상수 값과 같다.

위 조건을 만족하지 않는 a에 대해서도 밀도에 대한 유사한 추측 곱 공식이 존재하며, 이 경우 추측 밀도는 항상 C_Artin의 유리수 배수이다.

2.3. 예시

a = 2인 경우, 2를 원시근으로 갖는 소수의 집합은 {3, 5, 11, 13, 19, 29, ...}이며, 이 집합의 밀도는 아르틴 상수에 근접한다. 이 집합은 500보다 작은 원소를 38개 가지고 있으며, 500보다 작은 소수는 95개 있다. 이 비율은 38/95 = 2/5 = 0.4이다.

2.4. 부분적인 결과

크리스토퍼 훌리는 1967년에 일반화된 리만 가설을 가정하여 이 추측에 대한 조건부 증명을 발표했다.

일반화된 리만 가설이 없으면, 아르틴 추측이 증명되는 단일 값 a는 존재하지 않는다. D. R. 히스-브라운은 1986년에 2, 3, 5 중 적어도 하나는 무한히 많은 소수 p에 대해 원시근임을 증명했다. 또한 아르틴 추측이 실패하는 소수는 최대 두 개 존재한다는 것을 증명했다.

3. 아르틴 상수의 표현

아르틴 상수는 자연로그를 이용한 지수함수 표현, 스티븐스 상수를 이용한 표현 등 여러 가지 형태로 표현될 수 있다.

3.1. 자연로그 지수함수 표현

$C_{A}= \prod_{p=prime}^{} \left( 1-\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left( 1-\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)$

$\;\;\;= exp \left( \sum_{p=prime}^{} ln(\left((p+1)(p-1)\right)-p) - ln(p^2 -p) \right)$

3.2. 스티븐스 상수 형식

아르틴 상수( $C_A$ )는 스티븐스 상수( $C_S$ )를 이용하여 표현될 수 있다. 아래는 그 관계를 나타내는 식이다.

: $C_{A}= \prod_{p}^{} \left(\right)- \left(\right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-\left( \right) \right)\left( \right)$
: $\left(\right) + x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)- \left(\right)$
: $x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)- \left( \right) + \left( \right) \right) \left( \right)$
: $\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right) \left( \right)$

3.3. 스티븐스 상수와의 관계

알틴 상수의 스티븐스 상수 접근 표현은 다음과 같다.

: $C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{p^2 -p-1}{p^2 -p}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)-p}{p(p -1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{p}{p(p -1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{1}{(p -1)}\right)$

여기서 $C_A$ 는 알틴 상수, $C_S$ 는 스티븐스 상수이다.

: $C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{1}{(p -1)}\right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left(\frac{(p^2-1)}{p(p-1)} - \frac{1}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)\right)$

: $\frac{1}{(p -1)} + x = \frac{1}{p^2(p-1)}$
: $x = \frac{1}{p^2(p-1)} - \frac{1}{(p -1)}$
: $x = \frac{p-1-p^2(p-1)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{(p-1)-p^2(p-1)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{(p-1)(1-p^2)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{1-p^2}{p^2(p-1)}$

: $C_S= \prod_{p} \left( \left(\frac{(p^2-1)}{p(p-1)} - \frac{1}{(p-1)} + \frac{1-p^2}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)\right)$
: $= \prod_{p} \left( C_A + \frac{1-p^2}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)$

4. 2급 알틴 상수

2급 알틴 상수(Rank 2 Artin constant)는 다음과 같이 정의된다.

: $C_{A2}=\prod_{p}^{} \left( 1- \right)$

4.1. 타원 곡선

타원 곡선 $E$ 는 $y^2 = x^3+ax+b$ 로 주어지며, 랭과 트로터는 아르틴의 원시근 추측과 유사하게 $E(\mathbb{Q})$ 상의 유리점에 대한 추측을 제시했다.

구체적으로, 그들은 무한 차수를 갖는 주어진 점 $P$ 가 유리점 집합 $E(\mathbb{Q})$ 에 존재하며, 소수 $p\leq x$ 의 개수 $N(P)$ 에 대해 상수 $C_E$ 가 존재하여 점 $P\pmod p$ 의 환원, 즉 $\bar{P}$ 가 $E$ 의 $\mathbb{F_p}$ 내의 모든 점 집합, 즉 $\bar{E}(\mathbb{F_p})$ 을 생성하고, $N(P)\sim C_E\left ( \frac{x}{\log x} \right )$ 로 주어진다고 말했다. 여기서 $P$ 의 좌표 분모를 나누는 소수는 제외한다.

굽타와 머티는 일반화된 리만 가설 하에서 복소수 곱셈을 갖는 $E/\mathbb{Q}$ 에 대해 랭-트로터 추측을 관련 허수 이차 체에서 분할되는 소수에 대해 증명했다.

4.2. 짝수 차수

크리슈나무르티는 소수 p의 소수 전개 1/p의 주기가 짝수인 빈도에 대한 질문을 제기했다.

기저 g에서 소수의 소수 전개 주기가 짝수일 필요충분조건은 g^{(p-1)/2^j} ≢ 1 mod p이며, 여기서 j ≥ 1이고 j는 유일하며 p ≡ 1 + 2^j mod 2^j이다.

이 결과는 1966년 하세에 의해 증명되었다.