알틴 상수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

알틴 상수는 정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아닐 때, a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합 S(a)의 점근 밀도에 대한 추측과 관련된 상수이다. 특히, a가 완전 거듭제곱이 아니고, a0이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 경우, S(a)의 밀도는 아르틴 상수 C_Artin과 같으며, 다음과 같은 무한 곱으로 표현된다: C_Artin = ∏ (1 - 1/(p(p-1))) = 0.3739558136... 알틴 상수는 자연로그 지수함수, 스티븐스 상수 등을 이용하여 표현될 수 있으며, 2급 알틴 상수와 타원 곡선, 소수의 소수 전개 주기와도 관련이 있다.

알틴 상수

📚 더 읽어볼만한 페이지

소수에 관한 추측 - 쌍둥이 소수 추측
쌍둥이 소수 추측은 차이가 2인 소수인 쌍둥이 소수가 무한히 많다는 추측이며, 브룬 상수는 쌍둥이 소수의 역수 합이 수렴하는 값이고, 천징룬은 소수 간격에 대한 정리를 발표했다.
소수에 관한 추측 - 르장드르 상수
르장드르 상수 B(x)는 x가 커질수록 1에 근접하는 값으로, 수치적 근사, 정확한 값, 리만 R 함수 추정 등을 통해 큰 x 값에 대한 점근적 행동을 파악할 수 있다.
수론의 미해결 문제 - 오일러-마스케로니 상수
오일러-마스케로니 상수 <math>\gamma</math>는 조화급수와 자연로그 함수의 차이의 극한으로 정의되는 수학 상수로, 감마 함수, 리만 제타 함수 등 다양한 수학적 개념과 관련되어 있으며 유리수인지 무리수인지 밝혀지지 않은 미해결 문제이다.
수론의 미해결 문제 - 리만 가설
리만 가설은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 모든 영점의 실수부가 1/2이라는 추측으로, 힐베르트 문제와 클레이 수학 연구소의 밀레니엄 문제 중 하나이며 정수론과 복소해석학을 연결하는 다양한 수학적 명제들과 동치이다.
해석적 수론 - 타원곡선
타원곡선은 체 위에서 정의되고 특이점이 없으며 종수가 1인 사영 대수 곡선으로, 유리점을 가지며, 특정 형태의 방정식으로 표현되고, 실수체 위에서는 연결 성분 개수가 판별식에 따라 달라지며, 복소수체 위에서는 원환면과 위상적으로 동형이고, 점들 간에 군 연산이 정의되어 암호학 및 정수론에 활용된다.
해석적 수론 - 리만 제타 함수
리만 제타 함수는 복소수 s의 함수로, 실수부가 1보다 큰 영역에서 무한급수로 정의되고 s ≠ 1인 모든 복소수에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능하며 함수 방정식과 오일러 곱 공식을 만족하고, 영점 분포는 소수 분포와 관련이 있으며, 비자명 영점이 임계선 상에 있다는 리만 가설은 중요한 미해결 문제이다.

1. 개요
2. 아르틴 원시근 추측
3. 아르틴 상수의 표현
4. 2급 알틴 상수
- 4.1. 타원 곡선
- 4.2. 짝수 차수

2. 아르틴 원시근 추측

아르틴 원시근 추측은 정수 a가 주어졌을 때, a를 원시근으로 갖는 소수 p의 집합 S(a)에 대한 추측이다. 이 추측은 아직 완전히 증명되지 않았지만, 여러 부분적인 결과들이 알려져 있다.

크리스토퍼 훌리는 1967년에 일반화된 리만 가설을 가정하여 이 추측에 대한 조건부 증명을 발표했다.

일반화된 리만 가설이 없으면, 아르틴 추측이 증명되는 단일 값 a는 존재하지 않는다. D. R. 히스-브라운은 1986년에 2, 3 또는 5 중 적어도 하나는 무한히 많은 소수 p에 대해 원시근임을 증명했다. 그는 또한 아르틴 추측이 실패하는 소수가 최대 두 개 존재한다는 것을 증명했다.

2.1. 추측의 내용

정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아니라고 하자. a = a₀b²로 표기하고, 여기서 a₀는 제곱-무료 정수이다. S(a)를 a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합으로 표기한다. 그러면 추측은 다음과 같다.

# S(a)는 소수의 집합 내에서 양의 점근 밀도를 갖는다. 특히, S(a)는 무한하다.
# a가 완전 거듭제곱이 아니고 a₀이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 조건을 만족하는 경우, 이 밀도는 a에 의존하지 않으며 다음과 같은 무한 곱으로 표현되는 아르틴 상수와 같다.
#: $C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots$

위 조건을 a가 만족하지 않는 경우에도 밀도에 대한 유사한 추측 곱 공식이 존재한다. 이러한 경우, 추측 밀도는 항상 C_Artin의 유리수 배수이다.

예를 들어, a = 2라고 하자. 이 추측은 2가 원시 근인 소수 p의 집합이 위에 언급된 밀도 C_Artin을 갖는다고 주장한다. 이러한 소수의 집합은 다음과 같다.
: S(2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.

이 집합은 500보다 작은 원소를 38개 가지고 있으며, 500보다 작은 소수는 95개 있다. (추측상 C_Artin에 수렴하는) 비율은 38/95 = 2/5 = 0.4이다.

2.2. 아르틴 상수

아르틴 상수는 다음과 같은 무한 곱으로 표현된다.

: $C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots$ .

이는 정수 a가 제곱수가 아니고 -1이 아니며, a = a₀b² (a₀는 제곱-무료 정수)로 표현될 때, a가 법 p에 대한 원시근인 소수 p의 집합 S(a)가 양의 점근 밀도를 갖는다는 추측에서 나온다.

특히, a가 완전 거듭제곱이 아니고 a₀이 4를 법으로 1과 합동이 아닌 조건을 만족하는 경우, 이 밀도는 a에 의존하지 않고 위와 같은 아르틴 상수 값과 같다.

위 조건을 만족하지 않는 a에 대해서도 밀도에 대한 유사한 추측 곱 공식이 존재하며, 이 경우 추측 밀도는 항상 C_Artin의 유리수 배수이다.

2.3. 예시

a = 2인 경우, 2를 원시근으로 갖는 소수의 집합은 {3, 5, 11, 13, 19, 29, ...}이며, 이 집합의 밀도는 아르틴 상수에 근접한다. 이 집합은 500보다 작은 원소를 38개 가지고 있으며, 500보다 작은 소수는 95개 있다. 이 비율은 38/95 = 2/5 = 0.4이다.

2.4. 부분적인 결과

크리스토퍼 훌리는 1967년에 일반화된 리만 가설을 가정하여 이 추측에 대한 조건부 증명을 발표했다.

일반화된 리만 가설이 없으면, 아르틴 추측이 증명되는 단일 값 a는 존재하지 않는다. D. R. 히스-브라운은 1986년에 2, 3, 5 중 적어도 하나는 무한히 많은 소수 p에 대해 원시근임을 증명했다. 또한 아르틴 추측이 실패하는 소수는 최대 두 개 존재한다는 것을 증명했다.

3. 아르틴 상수의 표현

아르틴 상수는 자연로그를 이용한 지수함수 표현, 스티븐스 상수를 이용한 표현 등 여러 가지 형태로 표현될 수 있다.

3.1. 자연로그 지수함수 표현

$C_{A}= \prod_{p=prime}^{} \left( 1-\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left( 1-\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)$
$\;\;\;= \prod_{p=prime}^{} \left(\right)$

$\;\;\;= exp \left( \sum_{p=prime}^{} ln(\left((p+1)(p-1)\right)-p) - ln(p^2 -p) \right)$

3.2. 스티븐스 상수 형식

아르틴 상수( $C_A$ )는 스티븐스 상수( $C_S$ )를 이용하여 표현될 수 있다. 아래는 그 관계를 나타내는 식이다.

: $C_{A}= \prod_{p}^{} \left(\right)- \left(\right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)-\left( \right) \right)\left( \right)$
: $\left(\right) + x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)- \left(\right)$
: $x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)$
: $x = \left( \right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left( \right)- \left( \right) + \left( \right) \right) \left( \right)$
: $\;\;\;= \prod_{p} \left( C_A + \left( \right) \right) \left( \right)$

3.3. 스티븐스 상수와의 관계

알틴 상수의 스티븐스 상수 접근 표현은 다음과 같다.

: $C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{p^2 -p-1}{p^2 -p}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)-p}{p(p -1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{p}{p(p -1)}\right)$
: $= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{1}{(p -1)}\right)$

여기서 $C_A$ 는 알틴 상수, $C_S$ 는 스티븐스 상수이다.

: $C_A= \prod_{p=prime}^{} \left(\frac{(p^2 -1)}{p(p -1)}- \frac{1}{(p -1)}\right)$
: $C_S= \prod_{p} \left( \left(\frac{(p^2-1)}{p(p-1)} - \frac{1}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)\right)$

: $\frac{1}{(p -1)} + x = \frac{1}{p^2(p-1)}$
: $x = \frac{1}{p^2(p-1)} - \frac{1}{(p -1)}$
: $x = \frac{p-1-p^2(p-1)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{(p-1)-p^2(p-1)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{(p-1)(1-p^2)}{p^2(p-1)^2}$
: $x = \frac{1-p^2}{p^2(p-1)}$

: $C_S= \prod_{p} \left( \left(\frac{(p^2-1)}{p(p-1)} - \frac{1}{(p-1)} + \frac{1-p^2}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)\right)$
: $= \prod_{p} \left( C_A + \frac{1-p^2}{p^2(p-1)} \right) \left(\frac{p}{p+1+\frac{1}{p}} \right)$

4. 2급 알틴 상수

2급 알틴 상수(Rank 2 Artin constant)는 다음과 같이 정의된다.

: $C_{A2}=\prod_{p}^{} \left( 1- \right)$

4.1. 타원 곡선

타원 곡선 $E$ 는 $y^2 = x^3+ax+b$ 로 주어지며, 랭과 트로터는 아르틴의 원시근 추측과 유사하게 $E(\mathbb{Q})$ 상의 유리점에 대한 추측을 제시했다.

구체적으로, 그들은 무한 차수를 갖는 주어진 점 $P$ 가 유리점 집합 $E(\mathbb{Q})$ 에 존재하며, 소수 $p\leq x$ 의 개수 $N(P)$ 에 대해 상수 $C_E$ 가 존재하여 점 $P\pmod p$ 의 환원, 즉 $\bar{P}$ 가 $E$ 의 $\mathbb{F_p}$ 내의 모든 점 집합, 즉 $\bar{E}(\mathbb{F_p})$ 을 생성하고, $N(P)\sim C_E\left ( \frac{x}{\log x} \right )$ 로 주어진다고 말했다. 여기서 $P$ 의 좌표 분모를 나누는 소수는 제외한다.

굽타와 머티는 일반화된 리만 가설 하에서 복소수 곱셈을 갖는 $E/\mathbb{Q}$ 에 대해 랭-트로터 추측을 관련 허수 이차 체에서 분할되는 소수에 대해 증명했다.

4.2. 짝수 차수

크리슈나무르티는 소수 p의 소수 전개 1/p의 주기가 짝수인 빈도에 대한 질문을 제기했다.

기저 g에서 소수의 소수 전개 주기가 짝수일 필요충분조건은 g^{(p-1)/2^j} ≢ 1 mod p이며, 여기서 j ≥ 1이고 j는 유일하며 p ≡ 1 + 2^j mod 2^j이다.

이 결과는 1966년 하세에 의해 증명되었다.