특성곡선법

1. 개요

특성곡선법은 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 변환하여 해를 구하는 방법이다. 이 방법은 1계 편미분 방정식의 해를 구하는 데 주로 사용되며, 특성 곡선을 찾아 상미분 방정식을 푼 후 원래 편미분 방정식의 해로 변환한다. 특성점과 특성 초곡면의 개념을 포함하며, 1계 편미분 방정식, 특히 준선형 및 완전 비선형 방정식에 적용될 수 있다. 또한, 선형 미분 연산자의 특성을 분석하고, 충격파, 희소 영역, 수치적 해법 등 정성적인 분석과 응용에도 활용된다.

2. 정의

미분 가능 다양체 X 위에 정의된 k차 선형 미분 연산자 P를 생각하자. 국소 좌표계 xⁱ에서 P는 다음과 같이 표현된다.

:$P\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|\backslash le\; k\}\; P^\{\backslash alpha\}(x)\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash alpha\}$

여기서 α는 다중 지표이다. P의 주표상 σ_P는 여접속 다발 T^∗X 상의 함수로, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_P(x,\backslash xi)\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|=k\}\; P^\backslash alpha(x)\backslash xi\_\backslash alpha$

여기서 ξ_i는 좌표 미분 dxⁱ에 의해 유도되는 여접속 다발의 섬유 좌표이다. 이 함수는 ξ 변수에 대해 k차 동차 함수이다.

σ_P의 영점들은 P의 특성을 나타낸다. 방정식 F(x) = c로 정의된 X의 초곡면이 x에서 특성 초곡면이 되려면 다음 조건을 만족해야 한다.

:$\backslash sigma\_P(x,dF(x))\; =\; 0.$

이는 해당 초곡면의 여법다발이 P의 특성 집합에 속한다는 것을 의미한다.

특성점과 특성 초곡면에 대한 더 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

2.1. 특성점

characteristic point^영어는 미분 연산자의 주표상의 핵으로 정의되는 점들의 집합이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

* $n$차원 매끄러운 다양체 $M$
* $M$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 $E,F\backslash twoheadrightarrow\; M$
* $M$ 위의 $k$차 미분 연산자 $D\backslash colon\backslash Gamma^\backslash infty(M,E)\backslash to\backslash Gamma^\backslash infty(M,F)$

$D$의 주표상이 국소 좌표계에서
:$\backslash sigma\_D(x,v)=P^\{\backslash mu\_1\backslash dotso\backslash mu\_k\}v\_\{\backslash mu\_1\}\backslash dotsm\; v\_\{\backslash mu\_k\}\backslash qquad\backslash left(x\backslash in\; M,\backslash ;v\backslash in\backslash mathrm\; T^*\_xM,\backslash ;P^\{\backslash mu\_1\backslash dotso\backslash mu\_k\}\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(E\_x,F\_x;\backslash mathbb\; R)\backslash right)$
라고 하자. 이는 벡터 다발 사상
:$\backslash sigma\_D\backslash colon\; E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)\backslash to\; F$
를 정의한다. ($\backslash operatorname\{Sym\}^k$는 올별 $k$차 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상의 핵, 즉
:$\backslash ker\backslash sigma\_D=\backslash left\backslash \{(x,u)\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)\backslash colon\; \backslash sigma\_D(x,u)=0\backslash right\backslash \}\backslash subseteq\; E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)$
을 $s$의 특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수
:$h\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 $t\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여 $h^\{-1\}(t)$는 (적절한 조건 아래) $n-1$차원 초곡면을 이룬다. 만약
:$\backslash sigma\_D(x,\backslash mathrm\; dh|\_x)=0$
일 경우, 각 $h^\{-1\}(t)$를 $D$의 특성 초곡면(characteristic hypersurface^영어)이라고 한다. 만약 $n=2$일 경우 이는 $D$의 특성 곡선(characteristic curve^영어)이라고 하며, $n=3$일 경우 특성 곡면(characteristic surface^영어)이라고 한다.

2.2. 특성 초곡면

특성 초곡면(characteristic hypersurface^영어)은 미분 연산자의 주표상이 0이 되는 점들로 구성된 초곡면이다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수
:$h\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$
가 주어졌을 때, 각 $t\backslash in\backslash mathbb\; R$에 대하여 $h^\{-1\}(t)$는 (적절한 조건 아래) $n-1$차원 초곡면을 이룬다.

만약
:$\backslash sigma\_D(x,\backslash mathrm\; dh|\_x)=0$
일 경우, 각 $h^\{-1\}(t)$를 $D$의 특성 초곡면이라고 한다.

$n=2$일 경우 이는 $D$의 특성 곡선(characteristic curve^영어)이라고 하며, $n=3$일 경우 특성 곡면(characteristic surface^영어)이라고 한다.

좀 더 일반적으로, 방정식 F(x) = c로 정의된 X의 초곡면은 다음을 만족하면 x에서 특성 초곡면이라고 한다.
:$\backslash sigma\_P(x,dF(x))\; =\; 0.$
불변적으로, 특성 초곡면은 공노멀 다발이 P의 특성 집합에 있는 초곡면이다.

3. 1계 편미분 방정식의 특성곡선

특성곡선법은 1계 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 변환하여 해를 구하는 방법이다. 매끄러운 다양체 $M$ 위의 벡터장 $X\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(\backslash mathrm\; TM)$이 주어졌을 때, 이에 대한 미분 연산자 $D=\backslash nabla\_X\backslash colon\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R)\backslash to\backslash mathcal\; C^\backslash infty(\backslash mathbb\; R)$를 생각할 수 있다. $D$의 특성 초곡면을 정의하는 함수 $h\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$는 $\backslash langle\; X,\backslash mathrm\; dh\backslash rangle\; =\; 0$을 만족시킨다.

예를 들어, 준 리만 계량 $g$가 주어진 경우, 임의의 곡선 $\backslash gamma\backslash colon\; \backslash mathbb\; R\backslash to\; M$이 특성 곡선을 이룰 조건은 $g(X,\backslash dot\backslash gamma)=0$이다. 이는 1차 상미분 방정식이다.

구체적인 예로, $M=\backslash mathbb\; R^2=\backslash \{(x,y)\backslash colon\; x,y\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash \}$이고 $X=p\backslash partial\_x+q\backslash partial\_y$인 경우, 특성 곡선은 $h(x,y)=qx-py$로 정의되는 직선족 $(h^\{-1\}(t))\_\{t\backslash in\backslash mathbb\; R\}$이다.

3.1. 준선형 편미분 방정식

특성곡선법은 1계 편미분 방정식에서 편미분 방정식을 상미분 방정식으로 변환하는 특성 곡선을 찾는 방법이다. 두 개의 독립 변수 x와 y를 갖는 함수에 대한 준선형 편미분 방정식은 다음과 같은 형태를 가진다.

:$a(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}+b(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}=c(x,y,z).$

여기서 해 z가 알려져 있다고 가정하고, 3차원 공간(R³)에서 표면 그래프 z = z(x,y)를 생각한다. 이 표면에 대한 법선 벡터는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}(x,y),\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}(x,y),-1\backslash right).\backslash ,$

위의 편미분 방정식은 벡터장 (a(x,y,z), b(x,y,z), c(x,y,z))이 각 점에서 표면 z = z(x,y)에 접한다는 것을 의미한다. 즉, 해의 그래프는 이 벡터장의 적분 곡선들의 합집합이어야 한다. 이 적분 곡선들을 원래 편미분 방정식의 특성 곡선이라고 부른다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 편미분 방정식을 고려한다.

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; a\_i(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\_i\}=c(x\_1,\backslash dots,x\_n,u).$

이 편미분 방정식이 선형이 되려면, 계수 a_i는 공간 변수의 함수여야 하고, u에 독립적이어야 한다. 준선형이 되려면, a_i는 함수의 값에 의존할 수 있지만, 어떤 도함수에도 의존해서는 안 된다.

선형 또는 준선형 편미분 방정식의 경우, 특성 곡선은 매개변수 s를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)\; =\; (x\_1(s),\backslash dots,x\_n(s),u(s))$

이때, 다음 상미분 방정식 시스템을 만족해야 한다.

:$\backslash frac\{dx\_i\}\{ds\}\; =\; a\_i(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)$
:$\backslash frac\{du\}\{ds\}\; =\; c(x\_1,\backslash dots,x\_n,u).$

위의 두 식은 편미분 방정식의 특성을 나타낸다.

3.1.1. 라그랑주-샤르피 방정식

특성 곡선의 방정식은 라그랑주-샤르피 방정식에 의해 다음과 같이 불변의 형태로 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{dx\}\{a(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dy\}\{b(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dz\}\{c(x,y,z)\}.$

이 곡선의 매개변수화 t가 고정된 경우, 이들 방정식은 x(t), y(t), z(t)에 대한 연립 상미분 방정식으로 쓸 수 있다.

:$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=a(x,y,z),\\[8pt]
\frac{dy}{dt}&=b(x,y,z),\\[8pt]
\frac{dz}{dt}&=c(x,y,z).
\end{align}


이것들을 원래의 편미분 방정식의 특성 방정식(characteristic equation)이라고 한다.

3.2. 선형 및 준선형 편미분 방정식

준선형 편미분 방정식의 경우, 특성 곡선은 매개변수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)\; =\; (x\_1(s),\backslash dots,x\_n(s),u(s))$
:$u(\backslash mathbf\{X\}(s))\; =\; U(s)$

이때, 다음 상미분 방정식 시스템을 만족해야 한다.

:$\backslash frac\{dx\_i\}\{ds\}\; =\; a\_i(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)$
:$\backslash frac\{du\}\{ds\}\; =\; c(x\_1,\backslash dots,x\_n,u)$

이 방정식들은 편미분 방정식의 특성을 나타낸다.

1계 편미분 방정식에서 특성곡선법은 상미분 방정식이 되는 곡선(특성 곡선 또는 특성선)을 찾는 것이다. 이러한 상미분 방정식을 찾으면, 특성 곡선을 따라 해를 구하고 원래의 편미분 방정식의 해로 변환할 수 있다.

두 개의 독립 변수 x와 y를 가진 함수를 예로 들어, 다음과 같은 형태의 준선형 편미분 방정식을 생각한다.

:$a(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}+b(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}=c(x,y,z).$

해 z가 주어졌다고 가정하고, R³ 공간에서 곡면 그래프 z = z(x,y)를 생각한다. 이 곡면에 대한 법선 벡터는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}(x,y),\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}(x,y),-1\backslash right).\backslash ,$

이 법선 벡터는 x, y 방향의 접벡터($n\_1=(1,0,\backslash partial\; z\; /\backslash partial\; x\; )\; dx$, $n\_2\; =\; (0,1,\backslash partial\; z\; /\; \backslash partial\; y\; )\; dy$)의 외적을 통해 구할 수 있다.

원래의 편미분 방정식은, 벡터장

:$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\backslash ,$

가 모든 점에서 곡면 z = z(x, y)에 접한다는 기하학적 의미를 가진다. 즉, 해는 이 벡터장의 적분 곡선들의 합집합이 된다. 이 적분 곡선들을 원래 편미분 방정식의 특성 곡선이라 부른다.

특성 곡선의 방정식은 라그랑주-샤르피 방정식을 통해 다음과 같이 불변 형태로 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{dx\}\{a(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dy\}\{b(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dz\}\{c(x,y,z)\}.$

또한, 이 곡선의 매개변수 t를 고정하면, 이 방정식들은 x(t), y(t), z(t)에 대한 연립 상미분 방정식으로 표현할 수 있다.

:$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=a(x,y,z),\\
\frac{dy}{dt}&=b(x,y,z),\\
\frac{dz}{dt}&=c(x,y,z).
\end{align}


이 방정식들을 원래 편미분 방정식의 특성 방정식이라고 한다.

선형 편미분 방정식의 경우, 계수 a_i는 공간 변수에만 의존하고 u에는 독립적이다. 준선형의 경우, a_i는 함수 값에 의존할 수 있지만, 도함수에는 의존하지 않는다.

3.3. 완전 비선형 편미분 방정식

다음 편미분 방정식을 고려한다.

:$F(x\_1,\backslash dots,x\_n,u,p\_1,\backslash dots,p\_n)=0$

여기서 변수 $p\_i$는 편미분으로 나타낸다.

:$p\_i\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\_i\}.$

R²ⁿ⁺¹에서 ($x\_i(s),\; u(s),\; p\_i(s)$)를 곡선이라고 한다. u가 임의의 해이고,

:$u(s)\; =\; u(x\_1(s),\backslash dots,x\_n(s)).$

해를 따라, s에 관해 미분하면

:$\backslash sum\_i(F\_\{x\_i\}\; +\; F\_u\; p\_i)\backslash dot\{x\}\_i\; +\; \backslash sum\_i\; F\_\{p\_i\}\backslash dot\{p\}\_i\; =\; 0$

:$\backslash dot\{u\}\; -\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash dot\{x\}\_i\; =\; 0$

:$\backslash sum\_i\; (\backslash dot\{x\}\_i\; dp\_i\; -\; \backslash dot\{p\}\_i\; dx\_i)=\; 0.$

두 번째 방정식은 연쇄 법칙을 해 u에 적용하여 얻으며, 세 번째 방정식은 관계식 $du\; -\; \backslash sum\_i\; p\_i\; \backslash ,\; dx\_i\; =\; 0$의 외미분을 취하여 얻는다. 이 방정식들을 조작하면

:$\backslash dot\{x\}\_i=\backslash lambda\; F\_\{p\_i\},\backslash quad\backslash dot\{p\}\_i=-\backslash lambda(F\_\{x\_i\}+F\_up\_i),\backslash quad\; \backslash dot\{u\}=\backslash lambda\backslash sum\_i\; p\_iF\_\{p\_i\}$

여기서 λ는 상수이다. 이 방정식들을 더 대칭적으로 쓰면, 특성 곡선에 대한 라그랑주-샤르피 방정식을 얻는다.

:$\backslash frac\{\backslash dot\{x\}\_i\}\{F\_\{p\_i\}\}=-\backslash frac\{\backslash dot\{p\}\_i\}\{F\_\{x\_i\}+F\_up\_i\}=\backslash frac\{\backslash dot\{u\}\}\{\backslash sum\; p\_iF\_\{p\_i\}\}.$

기하학적으로, 완전 비선형인 경우의 특성곡선법은 미분 방정식의 몽주 원뿔이 해의 그래프에 모든 곳에서 접해야 함을 요구하는 것으로 해석될 수 있다.

4. 선형 미분 연산자의 특성

미분 연산자의 주표상은 국소 좌표계에서 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_D(x,v)=P^\{\backslash mu\_1\backslash dotso\backslash mu\_k\}v\_\{\backslash mu\_1\}\backslash dotsm\; v\_\{\backslash mu\_k\}\backslash qquad\backslash left(x\backslash in\; M,\backslash ;v\backslash in\backslash mathrm\; T^*\_xM,\backslash ;P^\{\backslash mu\_1\backslash dotso\backslash mu\_k\}\backslash in\backslash operatorname\{GL\}(E\_x,F\_x;\backslash mathbb\; R)\backslash right)$

이는 벡터 다발 사상

:$\backslash sigma\_D\backslash colon\; E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)\backslash to\; F$

를 정의한다. 여기서 $\backslash operatorname\{Sym\}^k$는 올별 $k$차 대칭 대수 벡터 다발이다.

이 벡터 다발 사상의 핵은 다음과 같다.

:$\backslash ker\backslash sigma\_D=\backslash left\backslash \{(x,u)\backslash in\backslash Gamma^\backslash infty(E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)\backslash colon\; \backslash sigma\_D(x,u)=0\backslash right\backslash \}\backslash subseteq\; E\backslash otimes\backslash operatorname\{Sym\}^k(\backslash mathrm\; T^*\backslash !M)$

이를 $s$의 특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수 $h\backslash colon\; M\backslash to\backslash mathbb\; R$에 대해, 각 $t\backslash in\backslash mathbb\; R$에서 $h^\{-1\}(t)$는 $n-1$차원 초곡면을 이룬다. 만약

:$\backslash sigma\_D(x,\backslash mathrm\; dh|\_x)=0$

이 성립하면, 각 $h^\{-1\}(t)$를 $D$의 특성 초곡면(characteristic hypersurface^영어)이라고 한다. $n=2$일 경우 특성 곡선(characteristic curve^영어), $n=3$일 경우 특성 곡면(characteristic surface^영어)이라고 한다.

미분 가능 다양체 X 위의 k차 선형 미분 연산자 P는 국소 좌표계 xⁱ에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$P\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|\backslash le\; k\}\; P^\{\backslash alpha\}(x)\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash alpha\}$

여기서 α는 다중 지표이다. P의 주 기호 σ_P는 코탄젠트 다발 T^∗X 상의 함수로, 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash sigma\_P(x,\backslash xi)\; =\; \backslash sum\_\{|\backslash alpha|=k\}\; P^\backslash alpha(x)\backslash xi\_\backslash alpha$

여기서 ξ_i는 좌표 미분 dxⁱ에 의해 유도된 코탄젠트 다발의 섬유 좌표이다. σ_P는 ξ 변수에서 차수 k의 동차 함수이다.

T^∗X의 영 단면에서 벗어난 σ_P의 영점은 P의 특성이다. 방정식 F(x) = c로 정의된 X의 초곡면은 다음을 만족하면 x에서 특성 초곡면이라고 한다.

:$\backslash sigma\_P(x,dF(x))\; =\; 0.$

불변적으로, 특성 초곡면은 공노멀 다발이 P의 특성 집합에 있는 초곡면이다.

5. 특성곡선의 정성적 분석

특성곡선은 편미분방정식(PDE)의 해에 대한 정성적인 정보를 파악하는 데 유용한 도구이다.

압축성 유체에서 충격파를 찾기 위해 특성곡선의 교점을 이용할 수 있다. 각 특성곡선은 그 자체를 따라 $u\backslash ,$의 해를 나타낸다고 볼 수 있다. 따라서 두 특성곡선이 교차하면 함수는 여러 값을 가지게 되는데, 이는 물리적이지 않은 해이다. 이러한 모순은 충격파, 접선 불연속성, 또는 약한 불연속성에 의해 해결될 수 있으며, 초기 가정을 만족하지 않는 비포텐셜 흐름을 초래할 수 있다.

특성곡선이 PDE의 정의역 일부를 덮지 못하는 경우도 있다. 이를 희소영역이라고 하며, 이는 적분 방정식과 같은 약한 의미에서만 해가 존재함을 의미한다.

특성곡선의 방향은 해를 따라 값이 어떻게 흐르는지를 보여준다. 이러한 정보는 문제에 어떤 유한 차분 방법이 적합한지를 판단하는 데 도움을 주어, PDE를 수치적으로 해결하는 데 유용하다.

5.1. 충격파와 희소 영역

특성곡선은 편미분방정식(PDE)에 대한 정성적 통찰력을 얻는 강력한 도구이다.

특성곡선의 교차점을 사용하여 압축성 유체 내의 충격파를 찾을 수 있다. 직관적으로, 각 특성선이 그 자체를 따라 $u$에 대한 해를 의미한다고 생각할 수 있다. 따라서 두 개의 특성선이 교차하면 함수가 다중 값을 가지게 되어 비물리적인 해가 발생한다. 물리적으로, 이러한 모순은 접선 불연속성 또는 약한 불연속성인 충격파의 형성에 의해 제거되며 비잠재 흐름을 초래하여 초기 가정을 위반할 수 있다.

특성곡선은 편미분방정식(PDE)의 영역의 일부를 덮지 못할 수 있다. 이를 희소영역이라고 하며, 이는 일반적으로 해가 약한 의미, 즉 적분 방정식의 의미에서만 존재함을 나타낸다.

5.2. 수치적 해법에의 응용

특성곡선의 방향은 해를 따라 값이 흐르는 것을 나타낸다. 이러한 지식은 어떤 유한 차분 방식이 문제에 가장 적합한지 보여주기 때문에, 편미분방정식(PDE)을 수치적으로 푸는 데 유용하다.

6. 예시

characteristic curve method^영어에서는, 1계 편미분 방정식이 상미분 방정식(ODE)이 되도록 하는 어떤 곡선(특성 곡선 또는 단순히 특성선)을 찾는다. 이러한 ODE를 찾으면, 특성 곡선을 따라 푼 후에 원래의 PDE에 대한 해로 변환할 수 있다.

두 개의 독립 변수 x 와 y 를 갖는 함수에 대한 예시를 고려한다. 다음 형태의 준선형 편미분 방정식을 생각해보자.

:$a(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}+b(x,y,z)\; \backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}=c(x,y,z).$

여기서 해 z 가 주어졌다고 가정하고, R³ 내의 곡면 그래프 z = z(x,y) 를 생각한다. 이 곡면에 대한 법선 벡터는 다음과 같다.

:$\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; x\}(x,y),\backslash frac\{\backslash partial\; z\}\{\backslash partial\; y\}(x,y),-1\backslash right).\backslash ,$

이것은 x, y 방향의 접벡터를 각각 $n\_1$, $n\_2$라고 할 때, $n\_1=(1,0,\backslash partial\; z\; /\backslash partial\; x\; )\; dx$, $n\_2\; =\; (0,1,\backslash partial\; z\; /\; \backslash partial\; y\; )\; dy$로 주어지는 것을 이용하여 외적을 계산하면 위와 평행한 벡터를 얻을 수 있다는 것을 통해 알 수 있다.

따라서 위의 식 (1)은, 벡터장

:$(a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\backslash ,$

가 모든 점에서 곡면 z = z(x, y) 에 접한다는 기하학적인 의미를 가진다. 다시 말해, 해는 이 벡터장의 적분 곡선의 합병이 된다. 이 적분 곡선들을 원래의 편미분 방정식의 특성 곡선이라고 부른다.

특성 곡선의 방정식은 라그랑주-샤르피 방정식에 의해 다음과 같이 불변의 형태로 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{dx\}\{a(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dy\}\{b(x,y,z)\}\; =\; \backslash frac\{dz\}\{c(x,y,z)\}.$

이 곡선의 매개변수화 t 가 고정된 경우, 이 방정식들은 x(t), y(t), z(t) 에 대한 연립 상미분 방정식으로 표현할 수 있다.

:$$
\begin{align}
\frac{dx}{dt}&=a(x,y,z),\\
\frac{dy}{dt}&=b(x,y,z),\\
\frac{dz}{dt}&=c(x,y,z).
\end{align}


이것들을 원래의 편미분 방정식의 특성 방정식 (characteristic equation)이라고 한다.

대류 방정식을 통해 특성곡선법을 적용하는 구체적인 예시는 대류 방정식 문단을 참고하라.

6.1. 대류 방정식

대류 방정식을 예시로 들어 특성곡선법을 적용하는 과정을 단계별로 설명하면 다음과 같다.

:$a\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; 0$

여기서 $a$는 상수이고, $u$는 $x$와 $t$의 함수이다. 이 선형 1차 편미분 방정식을 적절한 곡선을 따라 상미분 방정식으로 변환하고자 한다. 즉, 다음과 같은 형태이다.

:$\backslash frac\{d\}\{ds\}u(x(s),\; t(s))\; =\; F(u,\; x(s),\; t(s))\; ,$

여기서 $(x(s),t(s))$는 특성선이다.

연쇄 법칙에 의해 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{d\}\{ds\}u(x(s),\; t(s))\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; \backslash frac\{dx\}\{ds\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash frac\{dt\}\{ds\}$

만약 $\backslash frac\{dx\}\{ds\}\; =\; a$와 $\backslash frac\{dt\}\{ds\}\; =\; 1$로 설정하면, 다음을 얻는다.

:$a\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}$

이는 원래 편미분 방정식의 좌변과 같다. 따라서

:$\backslash frac\{d\}\{ds\}u\; =\; a\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; 0.$

즉, 특성선 $(x(s),\; t(s))$을 따라, 원래의 편미분 방정식은 상미분 방정식 $u\_s\; =\; F(u,\; x(s),\; t(s))\; =\; 0$이 된다. 이는 특성을 따라 해가 상수임을 의미한다. 따라서 $u(x\_s,\; t\_s)\; =\; u(x\_0,\; 0)$ 이다. 여기서 $(x\_s,\; t\_s)\backslash ,$와 $(x\_0,\; 0)$은 같은 특성에 놓여 있다.

그러므로 일반 해를 결정하기 위해, 특성 시스템의 상미분 방정식을 풀어서 특성을 찾는다.

* $\backslash frac\{dt\}\{ds\}\; =\; 1$, $t(0)=0$으로 놓으면 $t=s$이다.
* $\backslash frac\{dx\}\{ds\}\; =\; a$, $x(0)=x\_0$으로 놓으면 $x=as+x\_0=at+x\_0$이다.
* $\backslash frac\{du\}\{ds\}\; =\; 0$, $u(0)=f(x\_0)$으로 놓으면 $u(x(t),\; t)=f(x\_0)=f(x-at)$이다.

이 경우, 특성선은 기울기 $a$를 가진 직선이며, $u$의 값은 어떤 특성선을 따라 일정하게 유지된다.