특이 기수 가설

1. 개요

특이 기수 가설(SCH)은 모든 무한 기수 κ에 대해 기멜 함수 g(κ)가 max{κ+, 2cfκ}와 같다는 가설이다. 무한 정칙 기수의 경우 자명하게 성립하며, 강콤팩트 기수보다 큰 특이 기수에 대해서도 성립한다. 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 특이 기수 가설은 무모순적이다. 일반화 연속체 가설(GCH)과 고유 강제법 공리(PFA)는 특이 기수 가설을 함의한다.

2. 정의

특이 기수 가설 ($\backslash mathsf\{SCH\}$)에 따르면, 모든 무한 기수 $\backslash kappa$에 대하여 다음이 성립한다.

:$\backslash gimel(\backslash kappa)=\backslash max\backslash \{\backslash kappa^+,2^\{\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa\}\backslash \}$

여기서 $\backslash gimel$은 기멜 함수이며, $\backslash operatorname\{cf\}$는 공종도이다.

3. 성질

(특이 기수 가설의 성질에 대한 내용이 하위 섹션 "무모순성"에 이미 자세히 기술되어 있으므로, 중복을 피하기 위해 생략한다.)

3.1. 무모순성

무한 정칙 기수의 경우 특이 기수 가설은 자명하게 성립한다. 또한, 적어도 하나 이상의 강콤팩트 기수보다 더 큰 특이 기수에 대하여, 특이 기수 가설이 성립한다. 이는 로버트 솔로베이(Robert Solovay)가 증명하였다. 즉, 특이 기수 가설은 "대부분의" 기수에 대하여 참이다.

만약 체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면, 특이 기수 가설은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다.

만약 미첼 순서(Mitchell order^영어)가 $\backslash kappa^\{++\}$인 가측 기수 $\backslash kappa$가 존재한다면, 특이 기수 가설의 부정 역시 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 무모순적이다. (이는 초콤팩트 기수의 존재보다 약한 가정이다.)

3.2. 특이 기수 가설을 함의하는 명제

일반화 연속체 가설 $\backslash mathsf\{GCH\}$은 특이 기수 가설을 함의한다. 일반화 연속체 가설을 가정하면 모든 무한 기수에 대하여
:$\backslash gimel(\backslash kappa)=\backslash kappa^+\backslash ge2^\{\backslash operatorname\{cf\}\backslash kappa\}$
가 성립한다.

고유 강제법 공리(proper forcing axiom^영어) $\backslash mathsf\{PFA\}$ 또한 특이 기수 가설을 함의한다. 고유 강제법 공리는 $2^\{\backslash aleph\_0\}=\backslash aleph\_2$를 함의하므로, 연속체 가설과 모순된다.