강콤팩트 기수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

강콤팩트 기수는 무한 기수이며, 다음 세 조건이 서로 동치일 때 해당 기수를 지칭한다. 첫째, 임의의 개수의 κ-콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 κ-콤팩트 하우스도르프 공간이다. 둘째, 임의의 집합 위의 κ-완비 필터는 κ-완비 극대 필터의 부분 필터이다. 셋째, 무한 논리 Lκ,κ는 콤팩트성 정리를 만족시킨다. 모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이며, 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 가정하면 ℵ₀은 강콤팩트 기수이며, 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 외의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다. 하워드 제롬 카이슬러와 알프레트 타르스키가 도입했다.

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큰 기수 - 가측 기수
가측 기수는 크기가 κ인 집합 위에 주 필터가 아닌 κ-완비 극대 필터가 존재하거나, 멱집합 Pow(κ) 위에 특정 조건을 만족시키는 함수 μ가 존재하거나, κ가 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이 되는 조건들을 동치로 만족하는 기수이다.
큰 기수 - 약콤팩트 기수
약콤팩트 기수는 비가산 정규 기수 κ가 특정 조건을 만족하는 콤팩트 기수로서, κ보다 작은 높이를 갖는 나무 또는 모순되지 않는 명제 집합의 합집합 등의 성질을 가지며, 집합론에서 중요한 역할을 한다.

강콤팩트 기수
개요
유형	큰 기수 속성
속성	콤팩트 기수의 한 종류
기수	셀 수 없이 큰 기수
기호	κ
정의
조건	기수 κ가 강콤팩트 기수라는 것은 κ가 셀 수 없이 큰 기수이고 κ-완전 필터의 모든 집합이 κ-완전 초필터로 확장될 수 있다는 것을 의미한다. 즉, κ-완전 필터 F와 \|A\| ≤ κ인 모든 집합족 A에 대해, F의 모든 원소와 A의 원소를 포함하는 κ-완전 초필터 U가 존재한다.
속성
함의 관계	강콤팩트 기수는 측정 가능 기수보다 엄격하게 크다.
다른 기수와의 관계	κ가 강콤팩트 기수이면 κ는 κ-콤팩트 기수이다.
참고 문헌
참고 문헌	Hachtman, Sherwood; Sinapova, Dima (2020). "The super tree property at the successor of a singular". Israel Journal of Mathematics. 236 (1): 473–500. doi:10.1007/s11856-020-2000-5. arXiv:1806.00820.
관련 항목	큰 기수

2. 정의

기수 $\kappa$ 에 대하여, 위상 공간 $X$ 가 다음 성질을 만족시키면, $X$ 가 ''' $\kappa$ -콤팩트'''하다고 한다.

$X$ 의 모든 열린 덮개는 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 덮개를 갖는다.

일반적인 콤팩트 공간의 개념은

\aleph_0

-콤팩트 공간이다.

두 무한 기수

\kappa,\lambda

가 주어졌을 때, '''무한 논리'''

L_{\kappa,\lambda}

는

\kappa

개 미만의 항들의 논리합·논리곱과

\lambda

개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및 ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

무한 기수

\kappa

에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수를 '''강콤팩트 기수'''라고 한다.

임의의 개수의 $\kappa$ -콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 $\kappa$ -콤팩트 하우스도르프 공간이다.^[2]
임의의 집합 위의 $\kappa$ -완비 필터는 $\kappa$ -완비 극대 필터의 부분 필터이다.^[3]
무한 논리 $L_{\kappa,\kappa}$ 는 콤팩트성 정리를 만족시킨다.^[3] 즉, 임의의 명제들의 집합 $\mathcal T\subset L_{\kappa,\kappa}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $M\models\mathcal T$ 인 구조 $M$ 이 존재한다.
* 크기가 $\kappa$ 미만인 임의의 부분집합 $\mathcal S\subset\mathcal T$ 에 대하여, $M\models\mathcal S$ 인 구조 $M_{\mathcal S}$ 가 존재한다.

3. 성질

모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^[3] (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, ℵ₀는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

4. 예

선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서, ℵ₀은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

5. 역사

알프레트 타르스키와 하워드 제롬 카이슬러(Howard Jerome Keisler^de)가 도입하였다.^[4]

참조

_[1] 논문 The super tree property at the successor of a singular https://sites.math.r[...] 2020
_[2] 논문 Two remarks on Tychonoff’s product theorem 1964
_[3] 서적 The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings Springer 2003
_[4] 논문 From accessible to inaccessible cardinals (Results holding for all accessible cardinal numbers and the problem of their extension to inaccessible ones) http://pldml.icm.edu[...] 1964

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