초콤팩트 기수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 순서수를 이용한 정의
- 2.2. 정규 측도를 이용한 정의
3. 성질
참조

1. 개요

초콤팩트 기수는 집합론에서 연구되는 큰 기수의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 추이적 모형의 존재를 통해 정의된다. 초콤팩트 기수는 모든 순서수 α에 대해 α-콤팩트한 기수이며, 기본 매장, 임계점, 그리고 함수 f: α → M에 대한 조건을 만족한다. 초콤팩트 기수는 큰 기수이며, 강콤팩트 기수이고 반사 성질을 가지며, 결정 공리와 관련이 있다. 또한 초콤팩트 기수는 조합론적 특징을 가지며, 접근 불가능한 기수와 트리 속성 간의 관계를 보여준다.

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큰 기수 - 가측 기수
가측 기수는 크기가 κ인 집합 위에 주 필터가 아닌 κ-완비 극대 필터가 존재하거나, 멱집합 Pow(κ) 위에 특정 조건을 만족시키는 함수 μ가 존재하거나, κ가 폰 노이만 전체 V로부터 ZFC의 표준 추이적 모형 M으로 가는 기본 매장의 임계점이 되는 조건들을 동치로 만족하는 기수이다.
큰 기수 - 강콤팩트 기수
강콤팩트 기수는 위상 공간의 콤팩트성과 무한 논리 공식의 모형 존재성 조건을 만족하며 가산 기수가 될 수 없고 비가산일 경우 가측 기수인 특정 기수 $\kappa$ 를 뜻하며, 1960년대 카이슬러와 타르스키에 의해 모델 이론 연구에서 도입되었다.

초콤팩트 기수

2. 정의

초콤팩트 기수는 집합론에서 다루는 큰 기수의 한 종류로, 주로 두 가지 방식으로 정의된다.

하나는 순서수와 기본 매장 개념을 이용하는 방식이다. 특정 조건을 만족하는 추이적 모형과 기본 매장의 존재 여부를 통해 $\alpha$ -초콤팩트 기수를 정의하고, 이를 모든 순서수 $\alpha$ 에 대해 확장하여 초콤팩트 기수를 정의한다.

다른 하나는 비가산 기수 $\kappa$ 에 대해, 특정 조건을 만족하는 집합 $A$ 위의 멱집합의 부분집합 $[A]^{<\kappa}$ 에 정규 측도가 존재하는지 여부로 정의하는 방식이다.

2. 1. 순서수를 이용한 정의

순서수

\alpha

와 기수

\kappa

가 주어졌을 때, 만약 다음 조건들을 모두 만족하는 추이적 모형

M

이 존재한다면,

\kappa

를

\alpha

-'''초콤팩트 기수'''라고 부른다.

기본 매장 $j\colon M\to V$ 가 존재한다. 여기서 $V$ 는 폰 노이만 전체이다.
$j$ 의 임계점은 $\kappa$ 이다.
$j(\kappa) > \alpha$ 이다.
임의의 함수 $f\colon\alpha\to M$ 에 대하여, $f\in M$ 이다. 즉, ${}^\alpha M \subseteq M$ 이다.

'''초콤팩트 기수'''는 모든 순서수

\alpha

에 대하여

\alpha

-초콤팩트한 기수이다.

또한, 임의의 순서수

\lambda

에 대해, 기수

\kappa

가 '''

\lambda

-초콤팩트'''라는 것은, 기저 모형

V

에서 추이적인 내부 모형

M

으로 가는 기본 매장

j

가 존재하며 다음 조건들을 만족하는 경우를 말한다.

$j$ 의 임계점은 $\kappa$ 이다.
$j(\kappa) > \lambda$ 이다.
${ }^\lambda M\subseteq M \,.$ 즉, $M$ 은 자기 자신의 모든 $\lambda$ -수열을 포함한다.

이 정의에 따르면, 기수

\kappa

가 '''초콤팩트'''라는 것은 모든 서수

\lambda

에 대해

\lambda

-초콤팩트하다는 것을 의미한다.

2. 2. 정규 측도를 이용한 정의

비가산 기수

\kappa

가 '''초콤팩트'''하다는 것은, 크기가

\kappa

이상인 모든 집합

A

(

\vert A\vert\geq\kappa

)에 대해, 아래에서 정의될

[A]^{<\kappa}

위에 정규 측도가 존재한다는 것과 동치이다.

여기서

[A]^{<\kappa}

는 집합

A

의 부분집합들 중에서 그 크기가

\kappa

보다 작은 것들을 모아 놓은 집합을 의미하며, 다음과 같이 정의된다.

:

[A]^{<\kappa} := \{x \subseteq A\mid \vert x\vert < \kappa\}

.

[A]^{<\kappa}

위의 초여과기

U

가 fine하다는 것은 다음 두 가지 조건을 모두 만족하는 것을 뜻한다.

$U$ 는 $\kappa$ -완전하다. 즉, $\kappa$ 개보다 적은 수의 $U$ 원소들의 교집합은 항상 다시 $U$ 의 원소가 된다.
집합 $A$ 의 모든 원소 $a \in A$ 에 대해, $a$ 를 원소로 포함하는 $[A]^{<\kappa}$ 의 부분집합들의 모임, 즉 $\{x \in [A]^{<\kappa}\mid a \in x\}$ 는 $U$ 에 속한다.

[A]^{<\kappa}

위의 정규 측도는 위에서 설명한 fine 초여과기

U

중에서, 추가적으로 다음 성질을 만족하는 것을 말한다.

$[A]^{<\kappa}$ 에서 $A$ 로 가는 임의의 함수 $f:[A]^{<\kappa} \to A$ 에 대해, $f$ 는 $U$ 에 속하는 어떤 집합 위에서 상수 함수가 된다. 다시 말해, 어떤 $a \in A$ 가 존재하여, 함수값이 $a$ 가 되는 입력값들의 집합 $\{x \in [A]^{< \kappa}| f(x)= a\}$ 가 $U$ 에 속한다는 의미이다.

3. 성질

초콤팩트 기수는 여러 중요한 성질을 가지고 있다. 우선, 큰 기수의 한 종류로서, 그 존재는 선택 공리를 포함한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 공리만으로는 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수의 성질도 만족시킨다.

또한, 초콤팩트 기수는 반사 성질(reflection property^영어)이라는 독특한 특징을 보인다. 이는 어떤 수학적 성질이 초콤팩트 기수 $\kappa$ 이상에서 성립한다면, 그보다 작은 기수 중에서도 해당 성질이 성립하는 경우가 존재함을 의미한다. 예를 들어, 일반화 연속체 가설이 $\kappa$ 미만에서 성립한다면, 모든 기수에 대해 성립한다는 결론을 내릴 수 있다.

초콤팩트 기수의 존재는 $L(\mathbb R)$ 에서의 결정 공리 $\mathsf{AD}^{L(\mathbb R)}$ 성립과 같은 다른 강력한 수학적 결과들과 연관되어 있으며,^[5] 내부 모형 이론이나 조합론적 집합론의 관점에서도 중요한 연구 대상이다.^[3]^[4]

3. 1. 큰 기수 공리

초콤팩트 기수는 큰 기수이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 공리만으로는 증명할 수 없다. 이는 초콤팩트 기수의 존재를 가정하는 것이 ZFC보다 더 강한 공리, 즉 큰 기수 공리를 추가하는 것과 같음을 의미한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다고 가정하면, 이는 L(ℝ)이라는 특정 집합 모델에 국한된 결정 공리 AD^L(ℝ)가 성립한다는 강력한 결과를 이끌어낸다.^[5] 이는 초콤팩트 기수 가정이 집합론 체계에 미치는 영향이 크다는 것을 보여준다. 하나의 초콤팩트 기수 존재 가정 대신, 무한히 많은 우딘 기수의 존재를 가정해도 동일한 결과(AD^L(ℝ))가 성립한다.^[6]^[7]

3. 2. 강콤팩트 기수와의 관계

모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

3. 3. 반사 성질

초콤팩트 기수의 주요 특징 중 하나는 반사 성질(reflection property^영어)이다. 이는 어떤 성질 P(예: 3-거대 기수)를 만족하는 기수가 초콤팩트 기수

\kappa

이상에 존재하고, 그 성질이 특정 수학적 구조(제한된 랭크의 구조) 내에서 증명될 수 있다면, 성질 P를 만족하는 기수가

\kappa

미만에도 반드시 존재한다는 것을 의미한다.

예를 들어,

\kappa

가 초콤팩트 기수라고 가정하자. 만약 일반화 연속체 가설(GCH)이

\kappa

보다 작은 모든 기수에서 성립한다면, 반사 성질에 의해 GCH는 모든 기수에서 성립하게 된다. 만약 GCH가 성립하지 않는 기수

\nu \ge \kappa

가 존재한다고 가정하면,

\nu

의 멱집합과

\nu^{++}

이상인 기수 사이의 특정 함수(전단사 함수)의 존재가 GCH가

\nu

에서 성립하지 않음을 보이는 증거가 된다. 반사 성질에 따르면, 이러한 증거(즉, GCH가 성립하지 않는 기수)는

\kappa

미만에도 존재해야 한다. 그러나 처음 가정에서

\kappa

미만에서는 GCH가 성립한다고 했으므로, 이는 모순이다. 따라서 GCH가 성립하지 않는 기수는

\kappa

이상에도 존재할 수 없으며, 결국 모든 기수에서 GCH가 성립해야 한다.

3. 4. 결정 공리와의 관계

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다고 가정하면,

L(\mathbb R)

에 국한된 결정 공리

\mathsf{AD}^{L(\mathbb R)}

가 성립한다.^[5] 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다는 가정 대신, 무한히 많은 우딘 기수가 존재한다고 가정해도 같은 결과가 성립한다.^[6]^[7]

3. 5. 내부 모형 이론과의 관계

초콤팩트 기수에 대한 정형적인 내부 모형을 찾는 것은 내부 모형 이론의 주요 문제 중 하나이다.

3. 6. 조합론적 특징

초콤팩트성은 불가효 속성과 유사한 조합론적 특징을 가진다.

P_\kappa(A)

를 크기가

<\kappa

인

A

의 모든 비어 있지 않은 부분 집합의 집합이라고 하자. 기수

\kappa

가 초콤팩트 기수일 필요충분 조건은, 모든 집합

A

(또는 모든 기수

\alpha

)에 대해 다음이 성립하는 것이다: 모든 함수

f:P_\kappa(A)\to P_\kappa(A)

가 모든

X\in P_\kappa(A)

에 대해

f(X)\subseteq X

를 만족하면,

\{X\mid f(X)=B\cap X\}

가 정적이 되는 어떤 부분 집합

B\subseteq A

가 존재한다.^[3]

또한, 마기도르는 도달 불가능한 기수가 초콤팩트 기수일 필요충분 조건이 되는 트리 속성의 변형을 제시하였다.^[4]

참조

_[1] 논문 Kunen and set theory https://math.bu.edu/[...] 2011
_[2] 간행물 On the Role of Supercompact and Extendible Cardinals in Logic 1971
_[3] 간행물 Combinatorial Characterization of Supercompact Cardinals https://www.ams.org/[...] 1974
_[4] 간행물 The super tree property at the successor of a singular https://sites.math.r[...] 2020
_[5] 저널 Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees 1988-09
_[6] 저널 Projective determinacy 1988-09
_[7] 저널 A Proof of Projective Determinacy 1989-01

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