파수 벡터

1. 본문

파수 벡터(wave vector)는 파동을 설명하는 데 사용되는 벡터입니다.
정의 및 특징:

• 크기: 파수(wavenumber)와 같습니다. 파수는 파장의 역수에 $2\pi$를 곱한 값 ($k = 2\pi/\lambda$)으로, 단위 길이 안에 파동이 몇 라디안을 진행하는지 나타냅니다.
• 방향: 파동의 진행 방향을 가리킵니다. 좀 더 정확하게는 파면(wavefront)에 수직인 방향입니다. 등방성 매질(isotropic medium)에서는 파동의 전파 방향과 같습니다.
• 단위: 일반적으로 미터당 라디안(rad/m)을 사용합니다.
• 표현: 파수 벡터는 주로 $\mathbf{k}$로 표시합니다. 예를 들어, 평면파 $\exp(i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})$의 파수 벡터는 $\mathbf{k}$이고, 구면파 $\exp(ikr)/r$의 파수 벡터는 $k\hat{\mathbf{r}}$입니다 (여기서 $\hat{\mathbf{r}}$은 위치 벡터 $\mathbf{r}$ 방향의 단위 벡터).

• 파수 벡터와 유사하지만, 단위가 미터당 라디안(rad/m)입니다.
• 파수 벡터와 각파수 벡터는 $2\pi$ (사이클당 라디안 수)만큼의 차이가 있습니다.

• 물리학: 결정학 등 여러 분야에서 각파수 벡터를 단순히 파수 벡터라고 부르기도 합니다.
• 상대성이론: (각) 파수 벡터와 (각) 주파수를 결합하여 파동 사차원 벡터(wave four-vector)를 정의할 수 있습니다.
• 파동 방정식: 파동 방정식은 파동의 시간 및 공간 변화를 설명하는 편미분 방정식입니다. 파동 방정식의 형태는 파동을 전달하는 매개체의 특징에 따라 달라집니다. 고차원 공간에서 정의되는 파동은 파수 벡터를 가지게 됩니다.
• 군 속도와 위상 속도: 파동의 속도를 나타내는 개념에는 위상 속도와 군 속도가 있습니다. 위상 속도는 단일 파장과 주파수를 가진 파동의 속도이며, 군 속도는 여러 파장과 주파수를 가진 파동의 묶음(wave packet)이 전달되는 속도입니다.
• 주파수와 파수: 주파수(f)와 파수(k)는 주어진 매질에서 에너지 이동 속도에 따라 서로 비례 관계를 가집니다: $f = c \cdot k / 2\pi$ 또는 $k = 2\pi \cdot f / c$ (여기서 c는 매질에서의 에너지 이동 속도).