포논

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 격자 역학 (Lattice Dynamics)
5. 포논의 종류
- 5.1. 음향 포논 (Acoustic Phonon)
- 5.2. 광학 포논 (Optical Phonon)
6. 결정 운동량 (Crystal Momentum)
7. 열역학적 성질 (Thermodynamics)
8. 포논 터널링 (Phonon Tunneling)
9. 연산자 형식 (Operator Formalism)
10. 비선형성 (Nonlinearity)
11. 초전도체와 포논
12. 추가 연구
13. 포노닉스 (Phononics)
참조

1. 개요

포논은 결정 격자의 진동을 양자화한 것으로, 소리를 뜻하는 그리스어에서 유래된 용어이다. 고전역학에서는 정규 모드로 설명되며, 양자역학에서는 파동-입자 이중성을 가진다. 포논은 음향 포논과 광학 포논으로 분류되며, 고체의 열적, 전기적, 기계적 성질을 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 포논은 열전도, 초전도 현상과 관련 있으며, 생성 및 소멸 연산자를 사용하여 기술할 수 있다. 최근에는 개별 포논을 분리하는 기술이 개발되었으며, 포노닉스 기술을 통해 다양한 분야에 응용하려는 연구가 진행되고 있다.

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포논
개요
선형 사슬에서의 포논 분산 관계
종류	준입자
구성	격자 진동의 양자화된 모드
기호	q
관련된 입자	광자 전자
전하	0
질량	0
기본 특성
정의	결정 격자 내에서 원자의 진동을 나타내는 양자화된 모드
역할	열 및 음파 전달
생성 메커니즘	결정 격자 내에서 원자의 진동 에너지 양자화
포논의 유형
음향 포논	음파와 관련된 저에너지 포논
광학 포논	상대적으로 높은 에너지의 포논
횡방향 포논	원자 변위가 전파 방향에 수직인 포논
종방향 포논	원자 변위가 전파 방향과 평행한 포논
양자 역학적 설명
에너지	양자화된 에너지 준위를 가짐 (E = ħω)
운동량	ħq (q는 파수 벡터)
스핀	0 (보손)
통계	보스-아인슈타인 통계
상호 작용
포논-포논 상호 작용	비조화 효과 및 열 저항
포논-전자 상호 작용	초전도 현상의 원인
포논-광자 상호 작용	라만 산란 및 브릴루앙 산란
응용
고체 물리학	열적, 전기적, 광학적 특성 이해
재료 과학	나노 물질의 특성 제어
양자 컴퓨팅	포논 기반 양자 소자
열전 장치	열 에너지 변환
역사
개념 도입	1932년 이고르 탐에 의해 도입
발전	고체 물리학 및 재료 과학 발전에 중요한 역할

2. 역사

포논의 개념은 소련의 물리학자인 이고리 예브게니예비치 탐이 1930년에 도입하였다.^[37] "포논"이라는 단어는 소리를 뜻하는 φωνή|포네^grc에서 유래하였고, 소련의 물리학자인 야코프 프렌켈이 1932년에 고안하였다.^[38]^[39]

3. 정의

포논은 원자 또는 분자의 격자가 특정 진동수로 균일하게 진동하는 기본적인 진동 운동을 양자역학적으로 설명하는 개념이다.^[4] 고전역학에서는 이를 정규 모드 진동이라고 부른다. 정규 모드는 격자의 복잡한 진동을 여러 개의 기본적인 정규 모드 진동의 중첩으로 분해하여 이해할 수 있게 해주기 때문에 중요하다. 고전적으로 정규 모드는 파동의 성질을 가지지만, 양자역학적으로 포논은 파동-입자 이중성에 따라 입자와 같은 성질도 나타낸다.

격자를 통해 전파되는 포논. 원자들의 변위는 이해를 돕기 위해 과장되어 표현되었다.

격자 내 원자들은 서로 연결되어 있어서, 하나 이상의 원자가 평형 위치에서 벗어나면 그 변위가 파동의 형태로 격자 전체로 퍼져나간다. 이러한 파동의 진폭은 원자가 평형 위치에서 벗어난 정도를 나타내며, 파장 ''λ''을 가진다. 격자 구조 때문에 가능한 가장 짧은 파장은 원자 간 거리 ''a''의 두 배인 2''a''이며, 이보다 짧은 파장은 격자의 주기성 때문에 더 긴 파장으로 취급될 수 있다.

포논의 개념을 이해하기 위해

N

개의 동일한 입자가 일정한 간격 ''a''를 두고 1차원으로 배열된 가장 간단한 모델을 생각해 볼 수 있다. 계산의 편의를 위해 주기적 경계 조건(사슬의 양 끝이 연결된 상태)을 가정하면, 이 계의 해밀토니언

H

(계의 총 에너지를 나타내는 연산자)는 다음과 같이 주어진다.

:

H=\sum_{i=1}^Np_i^2/2m+\frac12m\omega_0^2\sum_{i=1}^N(x_{i+1}-x_i)^2

여기서

m

은 입자의 질량,

x_i

와

p_i

는 각각

i

번째 입자의 평형 위치로부터의 변위와 운동량,

\omega_0

는 입자 간 상호작용과 관련된 고유 진동수이다.

이 해밀토니언을 더 다루기 쉬운 형태로 바꾸기 위해, 위치와 운동량을 푸리에 변환하여 새로운 좌표

Q_k

와 운동량

\Pi_k

를 도입한다.

:

Q_k = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l} e^{ikal} x_l

:

\Pi_{k} = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l} e^{-ikal} p_l

여기서

k

는 파동의 파수(

2\pi/\lambda

)이며, 주기적 경계 조건 때문에 다음과 같이 특정 값만 가질 수 있다 (양자화).

:

k_n =\frac{2n\pi}{Na}

(

n = 0, \pm1, \pm2, ... , \pm N/2

)

새로운 좌표와 운동량은 다음과 같은 교환 관계를 만족한다.

:

[Q_k , \Pi_{k'}]= i\hbar\delta_{k,k'}

:

[Q_k , Q_{k'}]=0

:

[ \Pi_k , \Pi_{k'}] = 0

(

\hbar

는 디랙 상수,

\delta_{k,k'}

는 크로네커 델타)

1차원 단원자 사슬 격자의 분산 관계 $\omega(k)$ . 파수 $k$ 에 따른 포논의 각진동수 $\omega$ 변화를 보여준다.

이 새로운 변수들을 이용하면 해밀토니언은 각

k

값에 해당하는 독립적인 조화 진동자들의 합으로 표현된다.

:

H= \frac1{2m}\sum_k \left(\Pi_k\Pi_{-k}+ m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k}\right)

여기서

\omega_k

는 각 모드의 각진동수이며, 파수

k

에 따라 달라진다. 이 관계를 포논의 '''분산 관계'''라고 한다.

:

\omega_k=\omega_0\sqrt{2(1-\cos(ka))}=2\omega_0|\sin(ka/2)|

양자화된 조화 진동자의 에너지는 불연속적인 값만 가질 수 있다. 따라서 이 계의 총 에너지 준위는 다음과 같이 주어진다.

:

E=\sum_k(n_k+1/2)\hbar\omega_k

(

n_k=0,1,2,\dots

)

이는 각 파수

k

와 그에 해당하는 각진동수

\omega_k

를 가진 진동 모드의 에너지가

\hbar\omega_k

라는 기본 단위의 정수배(

n_k

배)로만 존재할 수 있음을 의미한다 (

1/2\hbar\omega_k

는 영점 에너지). 이 에너지 양자

\hbar\omega_k

를 포논이라고 부른다. 즉, 포논은 격자 진동 에너지가 양자화된 알갱이(입자)로 생각할 수 있다. 격자의 진동 진폭이 커진다는 것은 해당 모드의 포논 수(

n_k

)가 증가하는 것을 의미한다.

포논은 양자장론의 관점에서 보면, 광자와 유사하게 생성되고 소멸될 수 있는 보스 입자이며 질량은 없다.^[29] 포논의 에너지는 격자의 열진동 에너지에 해당한다. 조화 진동으로 간주할 수 있는 경우, 에너지는 다음과 같이 표현된다.

:

E=\sum_k\hbar\omega_k \left( n_k+\frac{1}{2} \right)

여기서

\hbar

는 플랑크 상수,

\omega_k

는 각진동수,

n_k

는 포논의 수이며, 합은 모든 파수

k

에 대해 이루어진다. 실제 결정에서는 원자 간 상호작용이 완벽한 조화 진동이 아니기 때문에(비조화성), 포논들 사이에 상호작용이 존재하며 에너지 준위 간격이 일정하지 않게 되어 위와 같은 간단한 형태가 되지 않는다.

여기서는 가장 간단한 1차원 모델을 설명했지만, 2차원이나 3차원 결정 격자에서도 유사한 방식으로 포논의 개념을 정의하고 그 성질을 분석할 수 있다.

포논과 광자는 모두 질량이 없는 보스 입자이지만 다음과 같은 차이점이 있다.^[35]

	포논	광자
기준 진동 모드 수	각 파수 벡터 $\mathbf{k}$ 에 대해 3p개의 모드 존재 (p는 단위 격자 내 원자 수). 분산 관계 $\omega=\omega_s(\mathbf{k})$ 는 일반적으로 복잡하며 모드(s)에 따라 다름.	각 파수 벡터 $\mathbf{k}$ 에 대해 2개의 편광 모드 존재. 분산 관계는 $\omega=ck$ 로 선형적 (c는 광속).
파수 벡터 제한	$\mathbf{k}$ 는 결정 구조에 의해 결정되는 제1 브릴루앙 영역 내부로 제한됨.	$\mathbf{k}$ 값에 제한 없음.
열에너지 밀도 ( $\beta = 1/k_B T$ )	$\sum_s \int_{BZ}\frac{d\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\frac{\hbar\omega_s(\mathbf{k})}{e^{\beta\hbar\omega_s(\mathbf{k})}-1}$ (적분은 제1 브릴루앙 영역(BZ)에 대해 수행)	$2 \int\frac{d\mathbf{k}}{(2\pi)^3}\frac{\hbar ck}{e^{\beta\hbar ck}-1}$ (적분은 모든 $\mathbf{k}$ 공간에 대해 수행)

광자의 열에너지 식은 포논의 데바이 근사 식과 형태가 유사하지만, 포논의 음속 대신 광속이 사용되고, 전자기파는 횡파만 가능하므로 모드 수가 다르며(광자는 2개), 허용되는 파수 벡터에 상한이 없다는 점에서 차이가 있다.

4. 격자 역학 (Lattice Dynamics)

고체 내의 원자 또는 분자들은 고정된 위치에 있지 않고, 각자의 평형 위치 주변에서 끊임없이 진동한다. 이러한 원자들의 집단적인 진동 현상을 다루는 분야가 '''격자 역학'''이다. 포논은 이 격자 진동을 양자역학적으로 설명하는 개념이다.^[4]

고체 내 원자들은 반데르발스 힘, 공유 결합, 정전기적 인력 등 다양한 힘에 의해 서로 상호작용하며 결정격자를 이룬다. 이 힘들은 원자 간 거리에 따라 달라지는 퍼텐셜 에너지 ''V''로 기술될 수 있다. 이론적으로 전체 격자의 퍼텐셜 에너지는 모든 원자 쌍 사이의 퍼텐셜 에너지 합으로 표현된다.^[5]

: $\frac12\sum_{i \neq j} V\left(r_i - r_j\right)$

여기서 ''r_i''는 ''i''번째 원자의 위치이다. 그러나 모든 원자 간의 상호작용을 고려하는 것은 매우 복잡한 다체 문제이다. 따라서 실제 계산에서는 주로 두 가지 근사를 사용한다.

1. 최근접 이웃 상호작용 근사: 원자 간 힘은 거리가 멀어지면 급격히 약해지거나 다른 전자들에 의해 차폐되므로, 주로 가장 가까운 이웃 원자들 간의 상호작용만 고려한다.

2. 조화 근사: 원자들이 평형 위치에서 크게 벗어나지 않는다고 가정하고, 퍼텐셜 에너지를 평형 위치 근처에서 테일러 전개하여 2차 항까지만 고려한다. 이는 원자 간의 힘이 변위에 선형적으로 비례하는(훅 법칙) 용수철과 같다고 보는 것과 같다.

이러한 근사를 통해 복잡한 결정 격자를 마치 질점들이 용수철로 연결된 시스템처럼 단순화하여 분석할 수 있다.

격자 내 한 원자가 평형 위치에서 벗어나면, 이 변위는 용수철과 같은 상호작용을 통해 인접한 원자들에게 전달되어 격자 전체로 퍼져나가는 파동, 즉 '''격자 파동'''을 형성한다. 이 파동은 파장과 진폭(원자의 변위 크기)을 가지며, 격자 구조의 주기성 때문에 가능한 파장에는 제한이 있다. 가장 짧은 파장은 격자 간격 ''a''의 두 배인 2''a''이다. 이보다 짧은 파장은 격자 주기성에 의해 더 긴 파장으로 되돌려 표현될 수 있다.

모든 격자 진동이 명확한 파장과 주파수를 갖는 것은 아니지만, 특정한 진동 패턴들은 잘 정의된 파장과 주파수를 가지는데, 이를 고전역학에서는 '''정규 모드'''(normal mode)라고 부른다. 임의의 복잡한 격자 진동은 이러한 기본적인 정규 모드들의 중첩으로 표현될 수 있다.

양자역학에서는 이 정규 모드에 해당하는 에너지가 불연속적인 값, 즉 양자화되어 있다고 본다. 이렇게 양자화된 격자 진동 에너지의 단위를 '''포논'''이라고 한다. 즉, 포논은 격자 진동이라는 파동 현상을 입자처럼 다루는 개념이며(파동-입자 이중성), 각 포논은 특정 파수(''k'')와 진동수(''ω_k'')에 해당하는 에너지 $\hbar\omega_k$ 를 가진다 ( $\hbar$ 는 환산 플랑크 상수).

격자 진동을 분석하기 위해, 원자들의 위치 좌표 대신 푸리에 변환을 이용하여 각 정규 모드에 해당하는 좌표(정규 좌표)를 도입하는 것이 편리하다. 이렇게 하면 서로 복잡하게 얽혀있던 원자들의 운동 방정식이 파수 공간(k-space)에서 서로 독립적인 조화 진동자들의 방정식으로 분리된다. 각 파수 ''k''에 해당하는 진동수 ''ω_k''와의 관계, 즉 '''분산 관계''' ''ω''(''k'')는 포논의 중요한 특성이며, 이는 고체의 열용량, 열전도율, 전기전도율 등 다양한 물리적 성질에 영향을 미친다.

더 자세한 내용은 1차원 격자, 3차원 격자, 분산 관계 섹션에서 다룬다.

4. 1. 1차원 격자

3차원 원자 격자의 분석을 단순화하기 위해, 1차원 격자 또는 선형 사슬 모델을 사용하는 것이 유용하다. 이 모델은 포논의 주요 특징을 보여주기에 충분히 복잡하며, 고전적인 접근과 양자역학적인 접근 모두 가능하다.^[7]

원자 사이의 힘은 선형적이고 가장 가까운 이웃 원자끼리만 상호작용한다고 가정하며, 이는 마치 탄성적인 용수철로 연결된 것과 같다. 각 원자는 점 입자로 간주하며, 핵과 전자는 함께 움직인다고 가정한다(단열 근사).

''n'' − 1 ''n''    ''n'' + 1       ← ''a'' →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

        →→  →  →→→

        ''u''_{''n'' − 1}  ''u_n''  ''u''_{''n'' + 1}

위 그림에서 ''n''은 총 ''N''개의 원자 중 ''n''번째 원자를 나타내고, ''a''는 사슬이 평형 상태일 때 원자 사이의 거리, ''u_n''은 ''n''번째 원자의 평형 위치로부터의 변위이다.

=== 고전적 접근 ===

고전 역학적으로 이 시스템을 분석할 수 있다. ''C''가 용수철의 탄성 상수이고 ''m''이 원자의 질량이라면, ''n''번째 원자의 운동 방정식은 다음과 같다.

:

-2Cu_n + C\left(u_{n+1} + u_{n-1}\right) = m\frac{d^2u_n}{dt^2} .

이것은 각 원자의 변위가 서로 연결된 연립 미분 방정식이다.

해가 진동하는 형태일 것으로 예상되므로, 이 방정식들을 분리하기 위해 이산 푸리에 변환을 이용하여 새로운 좌표, 즉 '''정규 좌표'''(''Q_k'')를 정의한다.^[7]

:

u_n = \sum_{Nak/2\pi=1}^N Q_k e^{ikna}.

여기서 ''k''는 파수이며, ''Q_k''는 각 파수 ''k''에 해당하는 격자의 독립적인 진동 모드(정규 모드)를 나타낸다.

이 정규 좌표를 운동 방정식에 대입하고 정리하면(이산 푸리에 변환의 직교성 및 완전성 관계 이용^[8]), 다음과 같이 서로 독립적인 방정식들을 얻는다.

:

2C(\cos {ka-1})Q_k = m\frac{d^2Q_k}{dt^2}.

이 방정식은 각 ''Q_k''가 독립적인 조화 진동자처럼 행동함을 보여준다. 그 해는 다음과 같다.

:

Q_k=A_ke^{i\omega_kt};\qquad \omega_k=\sqrt{ \frac{2C}{m}(1-\cos{ka})} = 2\sqrt{\frac{C}{m}}\left|\sin\frac{ka}2\right|.

여기서 ''ω_k''는 각진동수이다. 각진동수 ''ω_k''와 파수 ''k'' 사이의 관계식인 ''ω_k'' = 2√(C/m)|sin(ka/2)|를 '''분산 관계'''라고 한다.

=== 양자역학적 접근 ===

양자역학적으로 1차원 격자 진동을 다룰 수도 있다. ''N''개의 동일한 입자가 일정한 간격 ''a''로 배열되어 있고, 주기적 경계 조건을 가정하자. 이 계의 해밀토니언은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H=\sum_{i=1}^N\frac{p_i^2}{2m}+\frac12m\omega_0^2\sum_{i=1}^N(x_{i+1}-x_i)^2

또는 최근접 이웃 상호작용만 고려하여 다음과 같이 표현하기도 한다.

:

\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega^2 \sum_{\{ij\} (\mathrm{nn})} \left(x_i - x_j\right)^2

여기서 ''m''은 각 원자의 질량, ''x_i''와 ''p_i''는 각각 ''i''번째 원자의 위치 연산자와 운동량 연산자이다.

계산을 편리하게 하기 위해, 위치와 운동량 연산자를 푸리에 변환하여 새로운 연산자 ''Q_k''와 ''Π_k''를 정의한다. 이들은 각각 정규 좌표와 켤레 운동량에 해당한다.

:

Q_k = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l} e^{ikal} x_l

:

\Pi_{k} = {1\over\sqrt{N}} \sum_{l}  e^{-ikal} p_l

여기서 ''k''는 포논의 파수이다. 주기적 경계 조건 하에서 파수는 다음과 같이 양자화된다.

:

k_n =\frac{2n\pi}{Na}

(

n = 0, \pm1, \pm2, ... , \pm N/2

)

새로운 연산자 ''Q_k''와 ''Π_k'''는 다음과 같은 정준 교환자 관계를 만족한다.

:

[Q_k , \Pi_{k'}]= i\hbar\delta_{k,k'}

:

[Q_k , Q_{k'}]=0

:

[ \Pi_k , \Pi_{k'}] = 0

여기서 ħ는 플랑크 상수를 2π로 나눈 값이고, δ_k,k'는 크로네커 델타이다.

이 연산자들을 이용하여 해밀토니언을 파수 공간에서 표현하면 다음과 같다.

:

H= \frac1{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k}+ m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)

여기서 ''ω_k''는 앞서 고전적 접근에서 구한 분산 관계와 동일하다.

:

\omega_k=\omega_0\sqrt{2(1-\cos(ka))}=2\omega_0|\sin(ka/2)|

이 해밀토니언은 ''N''개의 독립적인 양자 조화 진동자의 합으로 표현된다.

따라서 이 해밀토니언의 에너지 준위는 각 조화 진동자의 에너지 준위의 합으로 주어진다.

:

E=\sum_k(n_k+1/2)\hbar\omega_k

(

n_k=0,1,2,\dots

)

이는 각 파수 ''k''에 대해 에너지가 ħω_k의 정수배(+ 영점 에너지)로 양자화됨을 의미한다. 이 에너지 양자 하나하나를 '''포논'''이라고 부른다. ''n_k''는 파수 ''k''를 가진 포논의 개수를 나타낸다.

포논은 격자의 열진동 에너지를 양자화한 것이다. 포논 사이에 상호작용이 없는 조화 진동 근사에서는 에너지가 ħω_k 단위로 등간격이지만, 상호작용이 있는 비조화적인 경우에는 에너지 준위가 등간격이 아니게 된다.

1차원 격자의 6가지 정규 모드 애니메이션: 입자들의 선형 사슬. 위쪽 모드일수록 파장이 짧고, 아래로 갈수록 파장이 길어진다. 가장 아래는 오른쪽으로 진행하는 파동을 보여준다.

여기서는 주기적 경계 조건을 가진 1차원 격자를 다루었지만, 이 분석은 더 높은 차원으로도 확장될 수 있으며 유사하게 포논의 존재를 유도할 수 있다.

=== 포논의 운동량 ===

포논은 진동 그 자체를 양자화한 것이므로 질량을 갖지 않는다. 하지만 운동량은 가지고 있으며, 이는

\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}

로 표현된다. 단, 포논의 운동량은 일반적인 입자의 운동량과는 성질이 다르다. 이는 공간의 대칭성 차이에서 비롯된다. 균일한 공간은 연속적인 병진 대칭성을 가지지만, 결정은 이산적인 병진 대칭성만을 가진다. 이 이산적인 병진 대칭성으로부터 유도되는 운동량을 특별히 '''결정운동량'''이라고 부른다. 이 차이 때문에 포논이 관여하는 상호작용에서 운동량 보존 법칙은 결정의 역격자 벡터를 포함하는 형태로 나타난다.

포논의 분산 관계(에너지와 결정운동량의 관계)는 중성자 산란 실험을 통해 측정할 수 있다. 탄성적인 중성자 산란에서는 에너지와 결정운동량이 모두 보존되지만, 비탄성 중성자 산란에서는 중성자가 포논을 생성하거나 흡수하면서 에너지를 주고받는다. 이때 중성자의 입사각, 산란각 및 에너지 변화를 측정하면 포논의 파수(''k'')와 각진동수(''ω_k'')를 결정할 수 있다.^[28]

4. 2. 3차원 격자

1차원 격자 모델은 3차원 격자로 일반화될 수 있다.^[9] 3차원에서는 1차원의 파수 ''k''가 3차원 파동 벡터 '''k'''로 대체된다. 또한 각 파동 벡터 '''k'''에는 이제 세 개의 정규 좌표가 연관된다.

새로운 지표 ''s'' = 1, 2, 3은 포논의 편광을 나타낸다. 1차원 모델에서는 원자들이 선을 따라 움직이도록 제한되었기 때문에 포논은 종파에 해당했다. 그러나 3차원에서는 진동이 전파 방향으로 제한되지 않고, 횡파처럼 수직 평면에서도 발생할 수 있다. 이는 추가적인 정규 좌표를 발생시키며, 해밀토니안의 형태가 나타내는 것처럼, 이를 독립적인 종류의 포논으로 볼 수 있다.

포논이 가진 에너지는 격자의 열진동 에너지이다. 조화 진동으로 볼 수 있는 경우에는 다음과 같이 조화 진동자의 에너지 식과 같은 형태가 된다.

:

E=\sum_k\hbar\omega_k \left( n+\frac{1}{2} \right)

여기서

\hbar

는 플랑크 상수,

\omega_k

는 진동수,

n

은 포논의 수이다. 합은 파수

k

에 대해 취한다.

포논 사이에 상호 작용이 있는 경우에는 에너지 준위가 등간격인 조화 진동자로는 볼 수 없으므로, 이러한 간단한 형태가 되지 않는다.

포논은 하나의 상태

k

에 여러 개 존재할 수 있다. 따라서 포논은 보손이며, 보스-아인슈타인 통계를 따른다.

4. 3. 분산 관계 (Dispersion Relation)

포논의 '''분산 관계'''(Dispersion Relation)는 포논의 주파수 ''ω''와 파수 벡터 '''k''' 사이의 관계 ''ω''('''k''')를 나타낸다. 이는 고체 내에서 포논이 어떻게 전파되는지를 결정하는 중요한 특성이다.

=== 1차원 단원자 사슬 ===

가장 간단한 모델로, 질량 ''m''인 동일한 원자들이 거리 ''a''만큼 떨어져 일렬로 배열된 경우를 생각할 수 있다. 이 원자들이 조화 퍼텐셜로 상호작용한다고 가정하면, 계의 해밀토니언은 다음과 같이 표현된다.

:

\mathcal{H} = \sum_{i=1}^N \frac{p_i^2}{2m} + \frac{1}{2} m\omega_0^2 \sum_{i=1}^N \left(x_{i+1} - x_i\right)^2

여기서 ''x_i''와 ''p_i''는 각각 ''i''번째 원자의 평형 위치로부터의 변위와 운동량이다. ''N''은 원자의 총 개수이다.

푸리에 변환을 통해 위치와 운동량을 파수 공간의 좌표 ''Q_k''와 운동량 ''Π_k''로 변환하면, 해밀토니언은 다음과 같이 독립적인 조화 진동자들의 합 형태로 표현된다.

:

\mathcal{H} = \frac{1}{2m}\sum_k \left( \Pi_k\Pi_{-k} + m^2 \omega_k^2 Q_k Q_{-k} \right)

여기서 ''ω_k''는 파수 ''k''에 따른 포논의 각주파수이며, 다음과 같이 주어진다.

:

\omega_k = \sqrt{2 \omega_0^2 \left( 1 - \cos{ka} \right)} = 2\omega_0\left|\sin\frac{ka}2\right|

이 관계식이 1차원 단원자 사슬의 '''분산 관계'''이다. 이 식은 파수 ''k''에 따라 포논의 주파수 ''ω_k''가 어떻게 변하는지를 보여준다. 파수 ''k''는 주기적 경계 조건을 적용하면 다음과 같이 양자화된 값만 가질 수 있다.

:

k=k_n = \frac{2\pi n}{Na} \quad \mbox{for } n = 0, \pm1, \pm2, \ldots \pm \frac{N}2 .\

분산 곡선은 오른쪽 그림과 같이 나타나며, 첫 번째 브릴루앙 영역(

-\pi/a \le k \le \pi/a

) 내에서 주기적인 형태를 보인다. 파수 ''k''가 0에 가까워지면(

k \to 0

), 주파수는

\omega_k \approx \omega_0 a |k|

로 파수에 비례하며, 이는 긴 파장의 음파에 해당한다. 브릴루앙 영역의 경계(

k = \pm \pi/a

)에서는 주파수가 최대값

2\omega_0

를 갖는다.

=== 1차원 이원자 사슬 ===

선형 이원자 사슬의 분산 곡선. 음향 모드(빨간색)와 광학 모드(파란색)가 나타난다.

선형 이원자 사슬에서의 광학 진동(위)과 음향 진동(아래). 광학 모드에서는 서로 다른 원자가 반대 방향으로, 음향 모드에서는 같은 방향으로 움직인다.

다양한 주파수에서의 이원자 사슬의 진동. 주파수에 따라 진동 패턴이 달라진다.

격자의 단위세포 안에 질량 ''m''₁과 ''m''₂인 두 종류의 원자가 포함된 경우, 분산 관계는 더 복잡해진다. 이 경우 각 파수 ''k''에 대해 두 개의 다른 주파수 값(

\omega_{\pm}

)이 존재하며, 이는 두 개의 다른 진동 모드(분산 가지)에 해당한다.^[10]

1차원 이원자 사슬의 분산 관계는 다음과 같다.

:

\omega_\pm^2 = K\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right) \pm K \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} +\frac{1}{m_2}\right)^2-\frac{4\sin^2\frac{ka}{2}}{m_1 m_2}}

여기서 ''K''는 원자 간의 용수철 상수이고, ''a''는 단위세포의 크기이다.

음향 모드 (Acoustic mode, $\omega_-$ ): 빼기 부호(-)에 해당하는 낮은 주파수 영역의 가지이다. 파수 ''k''가 0에 가까워지면 주파수도 0에 가까워진다 ( $\omega \propto k$ ). 이 모드에서는 인접한 원자들이 거의 같은 방향으로 움직이며, 이는 거시적인 음파의 전달과 관련된다. 격자 내 음속은 음향 모드 분산 관계의 기울기 $\frac{\partial\omega_-}{\partial k}$ (군 속도)로 주어진다. ''k''가 작을 때(파장이 길 때) 분산 관계는 거의 선형이며, 음속은 주파수와 거의 무관하다. 이 때문에 소리가 고체를 통해 큰 왜곡 없이 전달될 수 있다.
광학 모드 (Optical mode, $\omega_+$ ): 더하기 부호(+)에 해당하는 높은 주파수 영역의 가지이다. 파수 ''k''가 0일 때도 0이 아닌 주파수 값을 갖는다. 이 모드에서는 단위세포 내의 서로 다른 원자들이 서로 반대 방향으로 움직인다. 만약 원자들이 전하를 띠고 있다면(이온 결정), 이러한 진동은 전자기파(빛)와 강하게 상호작용할 수 있기 때문에 '광학' 모드라는 이름이 붙었다. ''k''=0에서 두 모드 사이에는 주파수 갭(gap)이 존재한다.

=== 3차원 격자 ===

3차원 결정에서는 파수 ''k''가 3차원 파동 벡터 '''k'''로 일반화된다. 각 파동 벡터 '''k'''에 대해 일반적으로 여러 개의 진동 모드(분산 가지)가 존재한다. 단위세포에 ''p''개의 원자가 있는 경우, 총 3''p''개의 분산 가지가 있다.

음향 모드: 3개의 음향 모드가 항상 존재한다. 이들은 각각 파동의 전파 방향과 같은 방향으로 원자가 진동하는 종파(longitudinal acoustic, LA) 1개와, 전파 방향에 수직으로 진동하는 횡파(transverse acoustic, TA) 2개에 해당한다. '''k'''가 0으로 갈 때 이 모드들의 주파수도 0으로 간다.
광학 모드: 나머지 3''p'' - 3개의 모드는 광학 모드이다. 이들도 마찬가지로 종파(longitudinal optical, LO)와 횡파(transverse optical, TO)로 나눌 수 있다. 이 모드들은 '''k'''가 0일 때도 유한한 주파수를 갖는다.

결정의 대칭성에 따라 특정 방향에서는 일부 모드들이 같은 주파수를 가질 수 있으며(축퇴, degeneracy), 일반적으로 파동의 편광(원자의 진동 방향)은 전파 방향에 대해 정확히 평행하거나(종파) 수직(횡파)이지 않고, 준종파(quasi-longitudinal) 또는 준횡파(quasi-transverse)의 형태를 띤다.

포논 분산 관계는 비탄성 중성자 산란(inelastic neutron scattering)과 같은 실험을 통해 측정할 수 있다. 중성자가 결정 내에서 포논을 생성하거나 흡수하면서 에너지와 운동량을 교환하는 것을 분석하여 ''ω''와 '''k''' 사이의 관계를 알아낸다.

포논의 에너지는 양자화되어 있으며, 각 모드 ('''k''', ''s'' - ''s''는 모드(편광) 지수)의 에너지는 다음과 같다.

:

E_n = \left(n+\frac12\right)\hbar\omega_s(\mathbf{k}) \qquad n=0,1,2,3 \ldots

여기서 ''n''은 해당 모드의 포논 개수(점유수)를 나타내는 양자수이고,

\hbar

는 환산 플랑크 상수이다.

\tfrac12\hbar\omega_s(\mathbf{k})

는 영점 에너지이다. 전체 격자의 총 진동 에너지는 모든 가능한 모드에 대한 에너지의 합으로 주어진다.^[29]

:

E=\sum_{\mathbf{k}}\sum_s \hbar\omega_s(\mathbf{k}) \left( n_{\mathbf{k},s}+\frac{1}{2} \right)

5. 포논의 종류

결정 격자의 진동을 양자화한 준입자인 포논은 원자들의 집단적인 움직임 방식을 기준으로 크게 두 가지 종류로 나눌 수 있다: '''음향 포논(acoustic phonon)'''과 '''광학 포논(optical phonon)'''이다.^[10] 이 분류는 포논의 분산 관계, 즉 포논의 에너지(또는 각진동수 ''ω'')와 파수 벡터 '''k''' 사이의 관계에서 뚜렷하게 나타난다.

음향 포논: 이웃한 원자들이 거의 같은 위상으로 함께 움직이는 진동 모드이다. 이는 거시적인 소리(음파)가 매질을 통해 전파되는 방식과 유사하다. 음향 포논의 중요한 특징은 파수 벡터 '''k'''가 0에 가까워질 때(즉, 파장이 매우 길어질 때) 각진동수 ''ω''도 0에 가까워진다는 점이다 (''ω''('''k'''=0) = 0). 긴 파장의 음향 포논은 결정 내 음속에 해당하는 군 속도로 전파된다.
광학 포논: 원시 단위세포 내에서 이웃한 원자들이 서로 반대 방향으로 움직이는 진동 모드이다.^[10] 이 모드는 원시 단위세포에 두 개 이상의 원자가 있을 때 나타난다. 음향 포논과 달리, 광학 포논은 파수 벡터 '''k'''가 0일 때에도 0이 아닌 고유한 진동수를 갖는다 (''ω''('''k'''=0) ≠ 0). 특히 이온 결정과 같이 원자들이 전하를 띤 경우, 광학 포논의 진동은 전기 쌍극자 모멘트를 변화시켜 빛(특히 적외선)과 직접 상호작용할 수 있다.^[31] 이 때문에 '광학' 포논이라는 이름이 붙었다.

원시 단위세포에 ''N''개의 원자가 있는 3차원 결정의 경우, 총 3''N''개의 포논 모드(분산 관계의 '가지')가 존재한다. 이 중 3개는 음향 모드이고, 나머지 3''N''-3개는 광학 모드이다.^[11]

또한, 각 포논 모드(음향 및 광학 모두)는 원자의 진동 방향과 포논의 전파 방향 사이의 관계에 따라 다시 종파(longitudinal wave)와 횡파(transverse wave)로 나눌 수 있다.

종파 포논: 원자의 진동 방향이 포논의 전파 방향과 나란하다.
횡파 포논: 원자의 진동 방향이 포논의 전파 방향과 수직이다.

3차원 결정에서는 일반적으로 하나의 종파 모드와 두 개의 횡파 모드가 존재한다. 예를 들어 음향 포논은 종파 음향(LA) 모드 1개와 횡파 음향(TA) 모드 2개로 구성된다. 마찬가지로 광학 포논도 종파 광학(LO) 모드와 횡파 광학(TO) 모드로 나뉜다.

이러한 포논의 종류와 특성은 고체의 열용량, 열전도율, 전기 전도도, 초전도 현상 등 다양한 물리적 성질을 이해하는 데 매우 중요하다. 각 포논 종류에 대한 더 자세한 내용은 해당 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 음향 포논 (Acoustic Phonon)

음향 포논(Acoustic Phonon)은 결정 격자 내의 이웃하는 원자들이 같은 위상으로 함께 진동하는 격자 진동 모드를 말한다.^[10] 이는 마치 소리가 매질을 통해 전파될 때 나타나는 탄성파와 유사하여 '음향'이라는 이름이 붙었다.

음향 포논의 중요한 특징은 분산 관계, 즉 각진동수 ''ω''와 파동 벡터 '''k''' 사이의 관계에서 나타난다. 파동 벡터의 크기 ''k''가 매우 작을 때, 즉 파장이 매우 길 때, 음향 포논의 각진동수는 파수 벡터의 크기에 거의 정비례한다 (''ω'' ≈ ''v''_s''k''). 여기서 비례 상수 ''v''_s는 결정 내 음속에 해당하며, 이는 음향 포논 분산 관계 곡선의 기울기(∂''ω''/∂''k'', 군 속도)로 주어진다. 이러한 선형적인 분산 관계 때문에 파장이 긴 음향 포논들은 결정 내에서 비교적 모양이 흐트러지지 않고 멀리까지 전파될 수 있으며, 이것이 소리가 고체 내에서 큰 왜곡 없이 전달되는 이유이다. 그러나 파장이 짧아지면(''k'' 값이 커지면) 격자의 미시적인 구조의 영향으로 이러한 선형 관계는 더 이상 성립하지 않는다.

3차원 결정에서 원시 단위세포에 ''N''개의 원자가 있다면, 총 3''N''개의 포논 모드(가지)가 존재한다. 이 중 3개는 음향 모드에 해당하며, 나머지 3''N''-3개는 광학 포논 모드이다. 세 개의 음향 모드는 각각 하나의 종파 음향 모드(LA, Longitudinal Acoustic)와 두 개의 횡파 음향 모드(TA, Transverse Acoustic)로 나뉜다.^[11]

종파 음향 포논 (LA): 원자들의 진동 방향이 포논의 전파 방향과 나란하다. 이는 물질의 압축과 팽창에 해당한다.
횡파 음향 포논 (TA): 원자들의 진동 방향이 포논의 전파 방향과 수직이다. 이는 물질의 전단 변형에 해당한다.

일반적으로 물질은 압축에 대한 복원력이 전단 변형에 대한 복원력보다 크기 때문에, 종파 음향 포논(LA)의 전파 속도가 횡파 음향 포논(TA)의 전파 속도보다 빠르다.^[30]

음향 포논은 광학 포논과 몇 가지 중요한 차이점을 가진다. 가장 큰 차이는 원자들의 진동 방식인데, 음향 포논에서는 이웃한 원자들이 같은 방향으로 움직이지만, 광학 포논에서는 서로 반대 방향으로 움직인다. 또한, 음향 포논은 진동 시 분극을 거의 유발하지 않기 때문에 전자기파(빛)와 직접적으로 상호작용하기 어렵다.^[30] 하지만 빛이 고체 내의 음향 포논과 상호작용하여 산란되는 현상이 있으며, 이를 브릴루앵 산란이라고 부른다.

5. 2. 광학 포논 (Optical Phonon)

광학 포논(Optical Phonon)은 원시 단위세포 내에서 이웃하는 원자나 이온들이 서로 반대 위상으로 진동하는 격자 진동 모드를 말한다.^[10]^[30] 이는 같은 위상으로 진동하는 음향 포논과 대비되는 특징이다. 이러한 진동 모드는 원시 단위세포에 최소 두 개 이상의 원자가 포함된 결정 구조에서 나타난다.^[10] 3차원 결정에서 원시 단위세포에 ''N''개의 서로 다른 원자가 있다면, 3개의 음향 모드를 제외한 나머지 3''N''-3개의 분산 가지가 광학 모드에 해당한다.

이온 결정과 같이 서로 다른 전하를 띤 입자로 구성된 경우, 광학 포논의 진동은 전기 쌍극자 모멘트의 변화를 유발한다. 이 때문에 광학 포논은 전자기파, 특히 적외선 영역의 빛과 직접 상호작용할 수 있으며, 이를 '광학적으로 활성(optically active)'이라고 부른다.^[31] 빛이 물질과 상호작용할 때 광학 포논에 의해 비탄성 산란되는 현상은 라만 산란으로 알려져 있다.

분산 관계 그래프에서 광학 포논은 파수 벡터 ''k''가 0일 때에도 0이 아닌 유한한 주파수(ω(0) ≠ 0) 값을 갖는 특징을 보인다. 이는 음향 포논이 ''k''=0에서 0의 주파수를 갖는 것과 대조된다.

광학 포논은 원자의 진동 방향과 파동의 진행 방향 관계에 따라 종파 광학 포논(Longitudinal Optical, LO)과 횡파 광학 포논(Transverse Optical, TO)으로 나눌 수 있다. 비화 갈륨(GaAs)과 같은 결정의 포논 분산 관계를 보면, 특정 브릴루앙 영역 방향에서 이러한 LO 포논과 TO 포논 모드를 명확하게 구분하여 관찰할 수 있다.^[11]

6. 결정 운동량 (Crystal Momentum)

제1 브릴루앵 영역(빨간색)을 초과하는 파수 벡터는 제1 브릴루앵 영역(검은색)에 있는 것과 동일한 정보만을 제공한다.

광자나 물질파와의 유사성을 통해, 포논은 마치 파수 벡터

\mathbf{k}

가

\hbar \mathbf{k}

라는 운동량을 갖는 것처럼 다루어진다.^[14] 그러나 이는 엄밀히 말해 정확하지 않은데,

\hbar \mathbf{k}

는 실제 물리적 운동량이 아니기 때문이다. 이를 결정 운동량(crystal momentum) 또는 준운동량(pseudomomentum)이라고 부른다. 결정 운동량은

\mathbf{k}

벡터에 역격자 벡터

\mathbf{G}

를 더해도 물리적으로 동일한 상태를 나타내기 때문에, 실제 운동량과 달리 유일하게 결정되지 않는다. 즉,

\mathbf{k}

는 임의의 역격자 벡터

\mathbf{G}

에 대해

\mathbf{k} + \mathbf{G}

와 동등하게 취급된다.

예를 들어, 1차원 결정 격자 모델에서 일반 좌표

Q_k

와 그에 해당하는 운동량

\Pi_k

는 다음과 같은 주기성을 만족한다.

Q_k = Q_{k+K}, \quad \Pi_k = \Pi_{k+K}

여기서

K = \frac{2n\pi}{a}

(

a

는 격자 상수,

n

은 임의의 정수)는 1차원 역격자 벡터이다. 이는 파수

k

를 가진 포논이

k \pm \frac{2\pi}{a}

,

k \pm \frac{4\pi}{a}

등 무한히 많은 다른 파수를 가진 포논들과 물리적으로 동등하다는 것을 의미한다. 물리적으로 역격자 벡터는 결정 격자가 포논에게 전달할 수 있는 운동량의 단위처럼 작용한다고 해석할 수 있다. 이러한 성질은 블로흐 전자에서도 유사하게 나타난다.

결정 운동량을 다룰 때는 일반적으로 가능한 모든 동등한

\mathbf{k}

벡터들 중에서 크기

|\mathbf{k}|

가 가장 작은 벡터를 대표로 선택하는 것이 편리하다. 이렇게 선택된

\mathbf{k}

벡터들의 집합을 제1 브릴루앵 영역(First Brillouin zone)이라고 정의한다. 제1 브릴루앵 영역 밖의

\mathbf{k}

벡터는 적절한 역격자 벡터를 더하거나 빼서 항상 제1 브릴루앵 영역 안의 벡터로 변환할 수 있으며, 물리적으로는 동일한 상태를 나타낸다.

7. 열역학적 성질 (Thermodynamics)

열역학적 성질은 고체의 포논 구조와 직접적으로 관련되어 있다. 포논 분산 관계로 설명되는 모든 가능한 포논의 전체 집합은 상태 밀도로 알려진 것으로 결합되며, 이는 결정의 열용량을 결정한다. 이 분포의 본질에 의해, 열용량은 분포의 고주파 부분에 의해 지배되는 반면, 열전도도는 주로 저주파 영역의 결과이다.

절대 영도 온도에서 결정 격자는 바닥 상태에 있으며 포논을 포함하지 않는다. 0이 아닌 온도의 격자는 일정하지 않은 에너지를 가지지만, 어떤 평균값을 중심으로 무작위로 변동한다. 이러한 에너지 변동은 무작위 격자 진동에 의해 발생하며, 이는 포논의 기체로 볼 수 있다. 이러한 포논은 격자의 온도에 의해 생성되기 때문에 때때로 열 포논(thermal phonon)으로 지정된다.^[15]

열 포논은 무작위 에너지 변동에 의해 생성되고 소멸될 수 있다. 통계 역학의 언어로 이것은 포논을 추가하기 위한 화학적 퍼텐셜이 0이라는 것을 의미한다.^[15] 이러한 거동은 조화 포텐셜을 비조화 영역으로 확장한 것이다. 열 포논의 거동은 전자기 공동에 의해 생성된 광자 기체와 유사하며, 여기서 광자는 공동 벽에 의해 방출되거나 흡수될 수 있다. 이러한 유사성은 우연이 아니며, 전자기장이 조화 진동자 집합처럼 거동하여 흑체 복사를 일으킨다는 것이 밝혀졌다. 두 기체 모두 보스-아인슈타인 통계를 따른다. 열평형 상태와 조화 영역 내에서 주어진 각 주파수를 가진 주어진 상태에서 포논이나 광자를 발견할 확률은 다음과 같다.^[16]

: $n\left(\omega_{k,s}\right) = \frac{1}{\exp\left(\dfrac{\hbar\omega_{k,s}}{k_\mathrm{B}T}\right) - 1}$

여기서 ''ω''_''k'',''s''는 상태의 포논(또는 광자)의 주파수이고, ''k''_B는 볼츠만 상수이며, ''T''는 온도이다.

포논의 상태밀도는 포논 수를 제1브릴루앙존에서 적분한 것이다. 실험적으로는 비탄성 중성자 산란으로 구할 수 있다. 비열 등은 포논의 상태밀도에 따라 결정된다(데바이 모델).

결정 격자와 같은 주기적구조에서는 포논의 진동수가 제한되어 이산적이 된다. 또한, 양자 역학의 효과로 전자의 경우와 마찬가지로 포논도 띠 구조(포논 띠)를 만든다.

8. 포논 터널링 (Phonon Tunneling)

포논은 최대 나노미터 크기의 틈을 사이에 두고도 "터널링"을 통해 두 물질 사이로 열을 전달할 수 있다. 이는 양자 터널링 현상의 일종으로, 포논 터널링이라고도 불린다.^[17] 이러한 유형의 열 전달은 열전도가 일어나기에는 너무 멀고 열복사가 일어나기에는 너무 가까운 거리에서 작용하기 때문에, 고전적인 열전달 모델로는 설명할 수 없다.^[17]

9. 연산자 형식 (Operator Formalism)

이차 양자화 기법은 양자 조화 진동자에 사용되는 사다리 작용소 방법과 유사하게 미분 방정식을 직접 풀지 않고 에너지 고유값을 추출하는 방법이다. 앞서 정의된 해밀토니안 $\mathcal{H}$ 와 켤레 위치 $Q_k$ , 켤레 운동량 $\Pi_{k}$ 가 주어졌을 때, 생성 및 소멸 연산자를 다음과 같이 정의할 수 있다.^[12]

: $b_k=\sqrt\frac{m\omega_k}{2\hbar}\left(Q_k+\frac{i}{m\omega_k}\Pi_{-k}\right)$ 그리고 ${b_k}^\dagger=\sqrt\frac{m\omega_k}{2\hbar}\left(Q_{-k}-\frac{i}{m\omega_k}\Pi_{k}\right)$

이 연산자들은 정준 교환 관계를 만족하며, 다음과 같은 교환자 관계를 얻을 수 있다.

: $\left[b_k , {b_{k'}}^\dagger \right] = \delta_{k,k'} ,\quad \Big[b_k , b_{k'} \Big] = \left[{b_k}^\dagger , {b_{k'}}^\dagger \right] = 0$

여기서 $\delta_{k,k'}$ 는 크로네커 델타이다. 이 관계를 이용하여, 연산자 $b_k$ 와 $b_k^\dagger$ 는 켤레 위치와 운동량을 다음과 같이 다시 표현하는 데 사용될 수 있다.

: $Q_k=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega_k}}\left({b_k}^\dagger+b_{-k}\right)$ 그리고 $\Pi_k=i\sqrt{\frac{\hbar m\omega_k}{2}}\left({b_k}^\dagger-b_{-k}\right)$

이 정의들을 파수 벡터 공간 해밀토니안에 대입하고 정리하면, 해밀토니안은 다음과 같은 형태를 가진다.^[2]

: $\mathcal{H} =\sum_k \hbar\omega_k \left({b_k}^\dagger b_k+\tfrac12\right)$

이것은 이차 양자화 기법 또는 점유수 공식으로 알려져 있으며, 여기서 $n_k = b_k^\dagger b_k$ 는 점유수이다. 이 해밀토니안은 각각 고유한 파수 벡터를 가지는 N개의 독립적인 진동자 해밀토니안의 합으로 볼 수 있으며, 양자 조화 진동자 문제와 유사하다 ( $n_k$ 는 에르미트 연산자이다).^[12] 해밀토니안이 서로 교환 가능한 부분 해밀토니안의 합으로 표현될 때, 에너지 고유 상태는 각 부분 해밀토니안의 고유 상태의 곱으로 주어지고, 해당 에너지 스펙트럼은 각 부분 해밀토니안의 고유값의 합으로 주어진다.^[12]

양자 조화 진동자와 마찬가지로, $b_k^\dagger$ 와 $b_k$ 는 각각 에너지 $\hbar\omega_k$ 를 갖는 단일 양자, 즉 포논을 생성하고 소멸시키는 역할을 한다.^[12]^[2]

해밀토니안을 연산자 형식으로 표현할 때, $\tfrac12 \hbar\omega_k$ 항은 종종 생략된다. 이는 연속체나 무한 격자를 다룰 때 이 항들을 모두 더하면 무한대가 되기 때문이다. 실제 측정되는 것은 에너지의 절대값이 아니라 에너지 차이이므로, 상수 항인 $\tfrac12 \hbar\omega_k$ 는 운동 방정식을 바꾸지 않고 무시할 수 있다. 따라서 해밀토니안의 연산자 형식 표현에서는 이 인자가 종종 제외된다. 이 경우 해밀토니안은 다음과 같다.

: $\mathcal{H} = \sum_\alpha\hbar\omega_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha$

(여기서 $a_\alpha$ , $a_\alpha^\dagger$ 는 $b_k$ , $b_k^\dagger$ 와 같은 생성 및 소멸 연산자를 나타낸다.)

진공 상태라고도 불리는 바닥 상태는 포논이 하나도 없는 상태이며, 이 상태의 에너지는 0이다 (상수 항을 무시했을 때). 계가 $|n_1 n_2 n_3 \ldots\rangle$ 상태에 있다면, 이는 $\alpha$ 종류의 포논이 $n_\alpha$ 개 존재함을 의미하며, $n_\alpha$ 를 포논의 점유수라고 한다. $\alpha$ 종류의 단일 포논 에너지는 $\hbar\omega_\alpha$ 이고, 포논 시스템의 총 에너지는 $n_1\hbar\omega_1 + n_2\hbar\omega_2 + \ldots$ 로 주어진다. 해밀토니안에 서로 다른 종류의 포논( $\alpha \neq \beta$ ) 간의 상호작용을 나타내는 항(예: $a_\alpha^\dagger a_\beta$ )이 없으므로 포논들은 서로 상호작용하지 않는다고 말한다.

생성 및 소멸 연산자는 상태 벡터에 다음과 같이 작용한다.

: ${a_\alpha}^\dagger\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha +1}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1}, (n_\alpha+1), n_{\alpha+1}\ldots\Big\rangle$

: $a_\alpha\Big|n_1\ldots n_{\alpha -1}n_\alpha n_{\alpha +1}\ldots\Big\rangle = \sqrt{n_\alpha}\Big|n_1\ldots,n_{\alpha -1},(n_\alpha-1),n_{\alpha+1},\ldots\Big\rangle$

즉, 생성 연산자 $a_\alpha^\dagger$ 는 $\alpha$ 종류의 포논을 하나 생성하고, 소멸 연산자 $a_\alpha$ 는 하나 소멸시킨다.

양자 조화 진동자 경우와 유사하게, 입자 수 연산자는 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $N = \sum_\alpha {a_\alpha}^\dagger a_\alpha.$

입자 수 연산자는 생성 연산자의 수와 소멸 연산자의 수가 같은 경우에만 생성 및 소멸 연산자의 곱과 교환 가능하다.

이 기법을 통해 포논의 중요한 특성들을 알 수 있다.

보손: 생성 연산자 $a_\alpha^\dagger$ 를 반복적으로 적용하여 같은 상태에 여러 개의 포논을 생성할 수 있다. 또한, 두 포논 상태를 교환해도 상태가 변하지 않으므로( $|\alpha, \beta\rangle = |\beta, \alpha\rangle$ ), 포논은 교환에 대해 대칭적인 보손이다.^[18]
집단 모드: 각 포논은 격자 내 모든 원자의 집단적인 운동에 해당한다. 이는 운동량 공간에서 정의된 생성 및 소멸 연산자가 위치 공간에서는 모든 원자의 위치 및 운동량 연산자의 합으로 표현되기 때문이다. (위치 및 운동량 공간 참조).^[12]
파동: 위치-위치 상관 함수를 사용하면 포논이 격자 변위의 파동으로 작용한다는 것을 보일 수 있다.

이 기법은 3차원으로 쉽게 일반화될 수 있으며, 해밀토니안은 다음과 같은 형태를 가진다.^[12]^[2]

:

\mathcal{H} = \sum_k \sum_{s = 1}^3 \hbar \, \omega_{k,s} \left( {b_{k,s}}^\dagger b_{k,s} + \tfrac12 \right).

이는 각 파수 벡터

k

와 편광

s

에 대해 하나씩, 총 3N개의 독립적인 진동자 해밀토니안의 합으로 해석할 수 있다.^[12]

10. 비선형성 (Nonlinearity)

광자와 마찬가지로, 포논 또한 파라메트릭 다운 변환^[19]을 통해 서로 상호 작용하며 압축 코히어런트 상태를 형성할 수 있다.^[20] 이러한 상호작용은 격자의 위치 에너지를 각 원자의 평형 위치로부터의 변위에 대해 멱급수로 전개하여 이해할 수 있다.

만약 이 멱급수 전개에서 2차 항까지만 고려한다면, 격자 진동은 단순한 조화 진동으로 근사할 수 있다. 이 경우 포논들은 서로 영향을 주지 않고 독립적으로 행동한다.

하지만 3차 항이나 4차 항과 같은 고차 항들이 존재하면 상황이 달라진다. 이 항들이 비교적 작아서 섭동으로 다룰 수 있는 경우에는, 이 항들을 조화 포논의 생성 소멸 연산자를 사용하여 표현할 수 있다. 비조화 진동의 영향, 즉 고차 항들의 효과가 커지면, 이 항들에 의해 포논들 사이에 상호작용이 일어나 포논이 새로 생겨나거나 사라지게 된다.

구체적으로, 3차 항은 하나의 포논이 두 개의 다른 포논으로 붕괴하는 과정을 나타낸다. 4차 항은 두 개의 포논이 서로 충돌하거나, 하나의 포논이 두 개의 포논으로 붕괴하는 등의 더 복잡한 상호작용 과정을 기술한다.^[33]

온도가 데바이 온도보다 훨씬 높아지면, 이러한 비조화성의 효과가 매우 커져서 더 이상 섭동 이론을 적용하기 어려워진다. 이런 조건에서는 조화 진동을 가정한 포논 모델은 실제 격자 진동의 기본적인 여기 상태로서의 의미를 잃게 된다.^[34]

11. 초전도체와 포논

초전도 현상은 전기 저항이 사라지고 자기장이 물질에서 밀려나는 전자 물질의 상태이다. 초전도체에서는 전자가 약한 인력에 의해 쿠퍼쌍으로 묶인다. 일반적인 초전도체에서 이러한 인력은 전자 사이의 포논 교환에 의해 발생한다.^[24] 이온 격자의 진동인 포논이 초전도성과 관련이 있다는 증거는 초전도 임계 온도가 이온의 질량에 의존하는 동위원소 효과에 의해 제시된다.

12. 추가 연구

최근 연구에 따르면 포논과 로톤은 무시할 수 없는 질량을 가지고 있으며, 일반적인 입자처럼 중력의 영향을 받을 수 있다고 한다.^[21] 특히 포논은 일종의 음의 질량과 음의 중력을 가질 수 있다는 예측이 있다.^[22] 이는 포논이 밀도가 높은 물질에서 더 빠르게 이동하는 특성 때문이다. 중력원에 가까운 물질 부분은 밀도가 더 높아지는데, 포논은 이 밀도 차이를 감지하고 밀도가 낮은 쪽으로 이동하려는 경향을 보일 것으로 예상된다. 이는 마치 음의 중력장에서 벗어나는 듯한 모습으로 해석될 수 있다.^[23] 이러한 효과는 현재 기술로는 측정하기 매우 어렵지만, 미래의 발전된 장비로는 관측이 가능할 수도 있다.

2019년에는 연구자들이 처음으로 개별 포논을 파괴하지 않고 분리하는 데 성공했다는 연구 결과가 발표되었다.^[25]

또한, 액체와 고체가 맞닿는 경계면에서 "포논 풍(phonon wind)" 현상이 관찰되었다. 이는 그래핀과 같은 고체 표면의 전류가 점성을 가진 액체의 흐름에 의해 영향을 받아 포논의 흐름, 즉 포논 풍을 만들어내는 현상이다.^[26]^[27]

13. 포노닉스 (Phononics)

포논은 광자나 전자처럼 여러 목적에서 입자로 다룰 수 있어, 실용적인 응용을 위해 조작하는 것이 가능하다. 이렇게 포논을 제어하고 응용하는 기술 분야를 포노닉스(Phononics^eng)라고 한다. 포논 스펙트럼은 저주파 음향에서 초음파 및 열에 이르기까지 광범위하게 영향을 미치므로, 포노닉 기술은 내진, 음향학, 열 관리 등 폭넓은 분야에 응용될 잠재력을 가지고 있다. 포노닉 결정, 메타물질, 열전소자, MOEMS 등 다양한 규모에서 포논을 제어하는 방법들이 연구 및 개발되고 있다.^[36]

참조

_[1] 서적 Advanced Quantum Mechanics Springer 2008
_[2] 서적 Modern Condensed Matter Physics Cambridge University Press 2019
_[3] 서적 Stalin's great science : the times and adventures of Soviet physicists https://archive.org/[...] Imperial College Press 2004
_[4] 서적 The Oxford solid state basics Oxford University Press 2013
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_[6] 서적 Theory of lattice dynamics in the harmonic approximation Academic Press 1971
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_[11] 서적 Fundamentals of Semiconductors Springer
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_[20] 학술지 Generation of squeezed phonon states by optical excitation of a quantum dot Institute of Physics 2009
_[21] 논문 Mutual Interactions of Phonons, Rotons, and Gravity https://arxiv.org/ab[...] Arxiv.org 2018-11-27
_[22] 논문 The mass of sound https://arxiv.org/ab[...] 2018-11-11
_[23] 웹사이트 Researchers suggest phonons may have mass and perhaps negative gravity https://phys.org/new[...] 2019-08-13
_[24] 서적 Introduction to Superconductivity https://archive.org/[...] Dover Publications, Inc. 1996
_[25] 간행물 Detecting the softest sounds in the Universe 2019-07-01
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_[28] 서적 フォノンとは何か-音波と量子の世界- 丸善
_[29] 서적 Many-Particle Physics Springer
_[30] 서적 物性物理100問集大阪大学出版会 2016
_[31] 서적 物質の対称性と群論共立出版
_[32] 서적 Fundamentals of Semiconductors https://books.google[...] Springer
_[33] 서적 多体系の量子力学吉岡書店
_[34] 서적 物性 II　素励起の物理 (新装版現代物理学の基礎第7巻) 岩波書店
_[35] 서적 固体物理の基礎 (下・1) 固体フォノンの諸問題吉岡書店 1982
_[36] 간행물 フォノニクス時代に備えよう http://www.natureasi[...] 2013-11-14
_[37] 논문 Über die Quantentheorie der molekularen Lichtzerstreuung in festen Körpern
_[38] 서적 Wave mechanics: elementary theory Clarendon Press
_[39] 논문 Who named the '-on's?

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