페도의 부등식

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1. 개요

페도의 부등식은 두 삼각형의 변의 길이와 넓이 사이의 관계를 나타내는 부등식이다. 헤론 공식과 코시-슈바르츠 부등식을 사용하여 증명할 수 있으며, 두 삼각형이 닮음일 때 등호가 성립한다.

페도의 부등식

이미지 준비중입니다.

페도의 부등식을 설명하는 다이어그램.

유형	기하학
분야	삼각형
관련된 항목	삼각형의 부등식

명칭

명명	다니엘 페도

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1. 개요
2. 증명

2. 증명

두 삼각형의 넓이는 헤론 공식을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
:16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)
코시-슈바르츠 부등식을 사용하면
:16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2
:≤ √(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)√(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)
:=(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)
으로 나타낼 수 있으며, 그러므로
:16Ff≤ A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2
:=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)
으로 증명할 수 있다.

식의 필요충분조건은 a/A=b/B=c/C=√(f/F)으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

2.1. 헤론 공식

두 삼각형의 넓이는 헤론 공식을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)
:16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)
코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 다음과 같이 표현 할 수 있다.
:16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2
:≤ √(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)√(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)
:=(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)
그러므로 다음과 같다.
:16Ff≤ A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2
:=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)
식의 필요충분조건은 a/A=b/B=c/C=√(f/F)으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

2.2. 코시-슈바르츠 부등식 적용

헤론 공식을 사용하여 두 삼각형의 넓이를 표현하고, 코시-슈바르츠 부등식을 적용하면 두 삼각형의 변의 길이와 넓이 사이의 관계를 나타내는 부등식을 유도할 수 있다.

두 삼각형의 넓이는 헤론의 공식을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:16f²=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a²+b²+c²)²-2(a⁴+b⁴+c⁴)
:16F²=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A²+B²+C²)²-2(A⁴+B⁴+C⁴)

코시-슈바르츠 부등식을 사용하면
:16Ff+2a²A²+2b²B²+2c²C²
:≤ √(16f²+2a⁴+2b⁴+2c⁴)√(16F²+2A⁴+2B⁴+2C⁴)
:=(a²+b²+c²)(A²+B²+C²)
으로 나타낼 수 있으며, 그러므로
:16Ff≤ A²(a²+b²+c²)-2a²A²+B²(a²+b²+c²)-2b²B²+C²(a²+b²+c²)-2c²C²
:=A²(b²+c²-a²)+B²(a²+c²-b²)+C²(a²+b²-c²)
으로 증명할 수 있다.

식의 필요충분조건은 a/A=b/B=c/C=√(f/F)으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

2.3. 부등식 증명

두 삼각형의 넓이는 헤론 공식을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다:

:16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)

:16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)

코시-슈바르츠 부등식을 사용하면

:16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2

:\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}

:=(a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2)

으로 나타낼 수 있으며, 그러므로

:16Ff\leq A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2

:=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)

으로 증명할 수 있다.

식의 필요충분조건은 \tfrac{a}{A}=\tfrac{b}{B}=\tfrac{c}{C}=\sqrt{\tfrac{f}{F}}으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

2.4. 등호 성립 조건

페도의 부등식에서 등호가 성립하는 조건은 $\tfrac{a}{A}=\tfrac{b}{B}=\tfrac{c}{C}=\sqrt{\tfrac{f}{F}}$ 일 때이다. 즉, 두 삼각형이 닮음일 때 등호가 성립한다.