사인파

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1. 개요
2. 사인파의 형태
3. 수학적 분석
4. 자연 현상과 사인파
5. 응용
- 5.1. 음향학 및 음악
- 5.2. 공학
참조

1. 개요

사인파는 임의의 위상과 진폭을 갖는 정현파의 한 종류로, 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용되는 중요한 개념이다. 사인파는 진폭, 각진동수, 위상 등의 매개변수로 표현되며, 자연 현상에서 나타나는 파동을 분석하는 데 사용된다. 또한, 푸리에 분석을 통해 복잡한 파형을 사인파의 조합으로 분해할 수 있으며, 전자공학, 음향학, 음악 등 다양한 분야에서 응용된다.

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사인파
지도 정보
기본 정보
명칭	사인파
다른 이름	정현파
영어 이름	Sine wave
일본어 이름	正弦波 (Seigenha)
정의
설명	수학에서 삼각 함수 중 하나인 사인 함수를 이용하여 나타낼 수 있는 파동
함수	y(t) = A * sin(2 * pi * f * t + phi)
변수	A: 진폭 f: 주파수 t: 시간 phi: 위상
특징
모양	사인 함수의 그래프와 같은 모양
주기성	일정한 주기를 가지고 반복되는 파형
사용 예시	교류 전기, 소리, 음파, 전파, 진동, 파동 등 다양한 현상에서 나타남
푸리에 변환	푸리에 변환을 통해 복잡한 파형을 사인파의 조합으로 분해 가능
기본 파형	다른 파형을 표현하는 기본 요소로 사용됨
활용 분야
과학 및 공학	전기, 전자, 음향, 통신, 기계, 광학 등 다양한 분야에서 활용
통신	전파나 광섬유를 이용한 통신 시스템에서 신호의 변조 및 복조에 사용
오디오	음악 및 음향 분야에서 음색을 합성하고 분석하는 데 사용
의료	의료 영상 및 신호 처리 분야에서 신호를 분석하고 이미지를 재구성하는 데 사용

2. 사인파의 형태

임의의 위상과 진폭을 갖는 사인파는 정현파라고 불리며, 일반적인 형태는 다음과 같다.^[1]

: $y(t) = A\sin(\omega t + \varphi) = A\sin(2 \pi f t + \varphi)$

여기서:

'' $A$ ''는 진폭으로, 함수가 0으로부터 얼마나 멀리까지 올라가는지를 나타낸다.
$t$ 는 실수 독립 변수로, 보통 시간(단위: 초)을 의미한다.
$\omega$ 는 각진동수로, 라디안 매 초 단위로 함수가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.
'' $f$ ''는 주파수로, 1초 동안 몇 번의 진동(주기)이 발생하는지를 나타내는 실수이다.
$\varphi$ 는 위상으로, 시간 t = 0일 때 진동이 주기의 어느 지점에 있는지를 라디안 단위로 나타낸다.

\varphi

가 0이 아니면, 전체 파형은

\tfrac{\varphi}{\omega}

초만큼 시간적으로 뒤로 이동한 것처럼 보인다. 음수 값은 지연, 양수 값은 진행을 나타낸다. 위상에

2\pi

(한 주기)를 더하거나 빼도 파형은 변하지 않는다.

2. 1. 기본 형태

고정된 위치에서의 사인파는 시간의 함수로 표현되며, 다음의 세 가지 매개변수로 기술된다.^[1]

표. 기본형의 매개변수
	명칭		의미
$A$	진폭	amplitude\|앰플리튜드^영어	파의 중심으로부터의 최대 편차
$\omega$	각주파수	angular frequency\|앵귤러 프리퀀시^영어	단위 시간당 위상 변화량
$- \varphi$	초기 위상	initial phase\|이니셜 페이즈^영어	$t=0$ 에서의 위상

$-\varphi$ 는 위상 이동과도 관련이 있다. 예를 들어 $-\varphi$ 가 음의 값이라면 파형 전체가 미래의 시간으로 이동되며, 즉 파의 도달이 늦어진다. 이동되는 시간은 $\varphi / \omega$ 이다.

2. 2. 일반 형태

임의의 위상과 진폭을 갖는 사인파는 '정현파'라고 하며, 일반적인 형태는 다음과 같다.^[1]

:

y(t) = A\sin(\omega t + \varphi) = A\sin(2 \pi f t + \varphi)

여기서,

'' $A$ ''는 진폭으로, 함수가 0으로부터 얼마나 멀리까지 올라가는지를 나타낸다.
$t$ 는 실수 독립 변수로, 보통 시간(단위: 초)을 의미한다.
$\omega$ 는 각진동수로, 라디안 매 초 단위로 함수가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.
'' $f$ ''는 주파수로, 1초 동안 몇 번의 진동(주기)이 발생하는지를 나타내는 실수이다.
$\varphi$ 는 위상으로, 시간 t = 0일 때 진동이 주기의 어느 지점에 있는지를 라디안 단위로 나타낸다.

\varphi

가 0이 아니면, 전체 파형은

\tfrac{\varphi}{\omega}

초만큼 시간적으로 뒤로 이동한 것처럼 보인다. 음수 값은 지연, 양수 값은 진행을 나타낸다. 위상에

2\pi

(한 주기)를 더하거나 빼도 파형은 변하지 않는다.

위치와 시간 모두에 따라 변하는 정현파는 다음과 같은 특징을 추가로 갖는다.

파동이 진행하는 방향에서의 ''위치''를 나타내는 공간 변수 $x$
파수(또는 각파수) $k$ 는 각진동수 $\omega$ 와 파동의 전파 속도 $v$ 사이의 관계를 나타낸다. 파수 $k$ 는 $k {=} \frac{\omega}{v} {=} \frac{2 \pi f}{v} {=} \frac{2 \pi}{\lambda}$ 로 표현되며, 여기서 $\lambda$ (람다)는 파장을 의미한다.

진행 방향에 따라 파동은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$y(x, t) = A\sin(kx - \omega t + \varphi)$ (파동이 오른쪽으로 이동하는 경우)
$y(x, t) = A\sin(kx + \omega t + \varphi)$ (파동이 왼쪽으로 이동하는 경우)

사인파는 ''분포형 선형 시스템''에서 형태를 유지하며 전파되므로, 파동 전파 분석에 자주 사용된다.

기본 형태에 파동의 발생원으로부터의 거리 ''x'', 파수 ''k'', 직류 성분(진폭의 중심이 되는 값) ''D'' 등을 포함하면 다음과 같은 일반적인 형태로 파형을 나타낼 수 있다.

:

y = A\cdot \sin(kx - \omega t - \varphi) + D

파수는 각주파수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

k = { \omega \over c } = { 2 \pi f \over c } = { 2 \pi \over \lambda }

여기서 λ는 파장, ''f''는 주파수, ''c''는 위상 속도이다.

이 방정식은 1차원 정현파를 나타내며, 시간 ''t''에서 위치 ''x''에서의 파동의 진폭을 나타낸다. 예를 들어, 줄을 따라 전파되는 파동의 값을 생각할 수 있다.^[2]

코사인 파형(여현파)도 정현파에 포함된다. 이는 정현파를 위상에서

\frac{\pi}{2}

만큼 이동시킨 것과 같기 때문이다.

:

\cos(x) = \sin\left({x} + \frac{\pi}{2}\right)

2. 3. 다차원 공간에서의 사인파

2차원 또는 3차원 공간에서 위치

x

와 파수

k

를 벡터로 해석하고, 그 곱을 내적으로 해석하면 같은 식이 평면파의 진행을 기술한다. 돌을 연못에 던진 후 물결의 높이와 같이 더 복잡한 파의 경우에는 더 복잡한 방정식이 필요하다.^[1]

3. 수학적 분석

사인파는 미분과 적분을 통해 다른 형태의 함수로 변환될 수 있다.

시간에 대해 사인파를 미분하면 진폭에 각진동수를 곱하고 1/4 주기를 앞당기는 것과 같다.

: $\begin{align}\frac{d}{dt} [A\sin(\omega t + \varphi)] &= A \omega \cos(\omega t + \varphi) \\&= A \omega \sin(\omega t + \varphi + \tfrac{\pi}{2}) \, .\end{align}$ ^[1]

미분기는 복소 주파수 평면의 원점에 영점을 가지며, 주파수 응답의 이득은 주파수가 10배 증가할 때마다 +20 dB씩 증가한다. 이는 1차 고역 통과 필터의 차단 영역과 같은 양의 기울기를 갖지만, 차단 주파수나 평평한 통과 영역은 갖지 않는다. n차 고역 통과 필터는 필터의 차단 주파수보다 훨씬 낮은 주파수 대역을 갖는 신호에 대해 n번째 시간 미분을 근사적으로 적용한다.^[1]

반대로, 시간에 대한 사인파의 적분은 진폭을 각진동수로 나누고 1/4 주기를 지연시키는 것과 같다.

: $\begin{align}\int A \sin(\omega t + \varphi) dt &= -\frac{A}{\omega} \cos(\omega t + \varphi) + C\\&= -\frac{A}{\omega} \sin(\omega t + \varphi + \tfrac{\pi}{2}) + C\\&= \frac{A}{\omega} \sin(\omega t + \varphi - \tfrac{\pi}{2}) + C \, .\end{align}$ ^[1]

적분 상수 $C$ 는 적분 구간이 사인파 주기의 정수배일 경우 0이 된다.^[1]

적분기는 복소 주파수 평면의 원점에 극점을 가지며, 주파수 응답의 이득은 주파수가 10배 증가할 때마다 -20 dB씩 감소한다. 이는 1차 저역 통과 필터의 차단 대역과 같은 음의 기울기를 갖지만, 적분기는 차단 주파수나 평탄한 통과 대역을 갖지 않는다. n차 저역 통과 필터는 필터의 차단 주파수보다 훨씬 높은 주파수 대역을 갖는 신호의 n차 시간 적분을 근사적으로 수행한다.^[1]

3. 1. 푸리에 분석

프랑스 수학자 조제프 푸리에는 사인파가 간단한 구성 요소로 합쳐져 구형파를 포함한 모든 주기적 파형을 근사할 수 있음을 발견했다. 이러한 푸리에 급수는 신호 처리와 시계열의 통계적 분석에 자주 사용된다. 그 후 푸리에 변환은 일반 함수를 처리하기 위해 푸리에 급수를 확장했고, 푸리에 분석이라는 분야를 탄생시켰다.

1822년, 조제프 푸리에는 주기적인 파동을 다양한 (기본 주파수의 정수배인) 주파수의 정현파의 중첩으로 나타내는 방법을 발견했다. 이 방법은 푸리에 급수 또는 푸리에 급수 전개라고 불리며, 신호 처리에서 가장 기본적인 기법 중 하나이다.

또한, 단일 펄스파나 사람의 목소리로 인한 불규칙적인 음파와 같은 비주기적인 파형도 연속적으로 변화하는 서로 다른 주파수의 파를 겹쳐서 나타낼 수 있다. 이러한 일반적이고 복잡한 파를 다양한 주파수의 정현파로 분해하여 분석하는 기법은 푸리에 변환이라고 불린다.

3. 2. 미분

시간에 대해 사인파를 미분하는 것은 진폭에 각진동수를 곱하고 1/4 주기를 앞당기는 것으로 볼 수 있다.

:

\begin{align}\frac{d}{dt} [A\sin(\omega t + \varphi)] &= A \omega \cos(\omega t + \varphi) \\&= A \omega \sin(\omega t + \varphi + \tfrac{\pi}{2}) \, .\end{align}

미분기는 복소 주파수 평면의 원점에 영점을 갖는다. 주파수 응답의 이득은 주파수의 10배 증가(1decade)당 +20 dB의 비율로 증가하며(루트-파워 양에 대해), 이는 1차 고역 통과 필터의 차단 영역과 같은 양의 기울기를 갖는다. 하지만 미분기는 차단 주파수나 평평한 통과 영역을 갖지 않는다. n차 고역 통과 필터는 필터의 차단 주파수보다 훨씬 낮은 주파수 대역을 갖는 신호에 대해 n번째 시간 미분을 근사적으로 적용한다.

3. 3. 적분

시간에 대한 사인파의 적분은 진폭을 각진동수로 나누고 1/4 주기를 지연시키는 것으로 볼 수 있다.

:

\begin{align}\int A \sin(\omega t + \varphi) dt &= -\frac{A}{\omega} \cos(\omega t + \varphi) + C\\&= -\frac{A}{\omega} \sin(\omega t + \varphi + \tfrac{\pi}{2}) + C\\&= \frac{A}{\omega} \sin(\omega t + \varphi - \tfrac{\pi}{2}) + C \, .\end{align}

적분 상수

C

는 적분 구간이 사인파 주기의 정수배일 경우 0이 된다.

적분기는 복소 주파수 평면의 원점에 극점을 갖는다. 주파수 응답의 이득은 주파수의 10배 증가당 -20 dB의 비율로 감소하며(근-전력 값에 대해), 이는 1차 저역 통과 필터의 차단 대역과 같은 음의 기울기를 갖지만, 적분기는 차단 주파수나 평탄한 통과 대역을 갖지 않는다. n차 저역 통과 필터는 필터의 차단 주파수보다 훨씬 높은 주파수 대역을 갖는 신호의 n차 시간 적분을 근사적으로 수행한다.

4. 자연 현상과 사인파

엄밀한 의미에서 자연계에 순수한 사인파는 존재하지 않는다. 그러나 일반적인 물리학, 전자기학, 음향학 등에서는 관측되는 파동의 진폭이 수반되는 잡음에 비해 충분히 큰 경우, 이를 사인파로 간주하는 경우가 많다.^[1]

이러한 광의의 사인파는 자연계에서도 바닷물의 파도, 음파, 빛 등에서 발생한다. 또한, 연중 일일 평균 기온을 그래프로 나타내면 거친 사인 곡선 패턴이 나타나는 경우도 있다.^[1]

5. 응용

사인파는 음향학, 음악, 공학 등 다양한 분야에서 응용된다. 음향학과 음악 분야에서는 인간의 귀가 단일 사인파를 순수한 음높이로 인식한다는 점을 활용한다. 1950년대에는 전자음악 초기 단계에서 사인파가 오르간 소리와 유사하다는 점이 유리하게 작용하여 널리 사용되었으며, 1980년대에는 FM음원 방식 악기에도 활용되었다. 공학 분야에서는 전자회로의 특성 측정, 무선 통신의 반송파, 수퍼헤테로다인 방식 라디오의 국부 발진기 등에 사인파가 사용된다.

5. 1. 음향학 및 음악

인간의 귀는 단일 사인파를 인식할 수 있는데, 이는 그러한 파형을 가진 소리가 사람에게 순수한 음높이의 소리로 명확하게 들리기 때문이다. 순수한 사인파에 가까운 소리로는 휘파람 소리, 젖은 손가락으로 크리스탈 잔의 가장자리를 문질러 진동시킬 때 나는 소리, 그리고 소리굽쇠 소리가 있다. 이처럼 사인파로 들리는 소리는 순음이라고 불린다.

음파가 2개 이상의 사인파로 구성되는 경우, 그중 가장 주파수가 낮은 사인파를 기준으로, 다른 사인파의 주파수가 기준이 되는 사인파의 주파수의 정수배로 구성될 때, 그 음파의 파형은 주기적인 교류 파형이 된다. 이 소리는 사람의 귀에는 악음 또는 단음으로 인식된다.

그 외 2개 이상의 사인파로 구성되는 소리는 노이즈 또는 화음, 혹은 맥놀이로 들린다.

1950년대에는 사인파 소리가 오르간 소리와 비슷하다는 점이 유리하게 작용하여 전자음악의 초기 단계에서 널리 사용되었다. 이러한 흐름에 따라 프랑스의 작곡가 앙리 푸생(Henri Pousseur)은 "사인파 곡선이 음악의 이상적인 형식"이라고 정의하여 화제가 되었다. 이 이론을 엄격하게 적용한 작품으로 시노하라 신(篠原眞)의 「탄댄스」(タンダンス)가 있다.

또한 1980년대에는 사인파에 주파수 변조를 걸어 파형을 생성하는 FM음원 방식의 악기가 출시되어, 적은 파라미터로 계산되는 다채로운 파형으로 한 시대를 풍미했다. 일부 제품에서는 사인파를 단독으로 처리하는 기능이나, 미리 변환된 파형을 재생하는 기능도 탑재되었다.

5. 2. 공학

전자공학에서는 증폭 회로나 기타 전자회로의 전기적 특성을 측정하는 데 표준 신호 발생기 등의 발진 회로에서 생성한 사인파를 사용하는 경우가 있다. 무선공학에서는 반송파로 사인파를 사용하고, 거기에 진폭이나 위상의 각도로 변조를 걸어 무선 통신을 수행한다. 수퍼헤테로다인 방식의 라디오 수신기(가전제품이나 오디오용으로 일반적으로 판매되는 라디오)에서는 국부 발진기에서 생성한 사인파와 수신한 신호를 믹서에 입력하여 중간 주파수를 얻는다.

참조

_[1] 웹사이트 Sinusoids https://ccrma.stanfo[...] 2024-01-05
_[2] 문서 厳密には信号源または震動源からの距離が大きくなるにしたがって振幅Aが小さくなる

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