편평률

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 다른 변수와의 관계
5. 지구의 편평률
- 5.1. 지구 적도면의 편평률
6. 다른 천체의 편평률
참조

1. 개요

편평률은 긴 반지름(적도 반지름) a와 짧은 반지름(극 반지름) b를 사용하여 정의되며, $f = \frac {a - b} {a}$ 로 계산된다. 구의 편평률은 0, 평면의 편평률은 1이며, 편평률은 이심률 등 타원의 다른 변수와 관계를 갖는다. 지구는 완전한 구형이 아니며, GRS80 지구 타원체와 WGS84 지구 타원체를 기준으로 편평률을 정의한다. 다른 천체들의 경우, 자전 주기가 짧고 밀도가 낮은 행성일수록 편평률이 큰 경향을 보인다.

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편평률
정의
정의	扁平率 (편평률) 또는 찌그러짐은 원에서 타원으로 또는 구에서 회전 타원체로의 압축 정도를 나타내는 척도이다.
기호	f
수식	f = (a - b) / a = 1 - ε (여기서 a는 타원 또는 타원체의 장반축 (반장축)이고, b는 단반축 (반단축)이다.)
세부 정보
설명	천문학에서 편평률은 일반적으로 타원체의 장반축(a)과 단반축(b)의 비율로 정의된다. 타원체의 편평률 (f)은 다음과 같이 정의된다. f = (a - b) / a. 편평률은 0에서 1 사이의 값을 가지며, 완전한 구는 0이고, 선은 1이다.
타원체의 이심률과의 관계	편평률은 이심률과 직접적인 관련이 있다. 편평률이 증가하면 이심률도 증가한다.
사용 분야	지구과학 행성 과학 천문학
다른 표현
첫 번째 이심률 (e)	e² = 1 - (b/a)²
두 번째 이심률 (e')	e'² = (a/b)² - 1
각 이심률 (α)	sin(α) = e
편평률 (f)	f = (a - b) / a
역 편평률 (1/f)	1/f = a / (a - b)
편평률과의 관계	b = a(1 - f)
참고
참고	편평률은 구 또는 타원체의 찌그러짐 정도를 나타내는 척도이다.

2. 정의

긴 반지름(적도 반지름)을 a, 짧은 반지름(극 반지름)을 b라고 했을 때, 편평률 $f$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $f = \frac {a - b} {a}$

$f$ 는 "첫 번째 편평률"이라고도 불린다. 이 외에도 두 번째 편평률 $f'$ 와 세 번째 편평률 $f^{\prime\prime}$ (또는 $n$ )이 존재한다.^[1]^[3]^[4]^[5]

(첫 번째) 편평률	식	설명
$f$	$\frac{a-b}{a}$	기본적이다. 지오이드 참조 타원체는 $\frac{1}{f}\,\!$ 를 제공하여 지정된다.
두 번째 편평률	식	설명
$f'$	$\frac{a-b}{b}$	거의 사용되지 않는다.
세 번째 편평률	식	설명
$n$	$\frac{a-b}{a+b}$	지오데틱 계산에서 작은 급수 전개 매개변수로 사용된다.^[6]

두 번째 편평률 $f'$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $f'=\frac{a-b}{b}=\frac{f}{1-f}$

세 번째 편평률 $f^{\prime\prime}$ 는 $n$ 으로 표기되기도 하며, 프리드리히 빌헬름 베셀이 자오선 호장의 계산에 사용한 기록이 있다.

: $f''=\frac{a-b}{a+b}=\frac{f}{2-f}$

: $\begin{align}n&=\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{1+\sqrt{1-e^2}} = \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{8} e^4 + \cdots\\e^2 &= \frac{4 n}{\left(1+n\right)^2}\end{align}$

3. 성질

구의 편평률은 0이다. (a=b) 평면의 편평률은 1이다. (b=0)

즉, 편평률이 0에 가까울수록 회전 타원체가 구에 가깝다.

4. 다른 변수와의 관계

편평률은 이심률 등 타원의 다른 변수와 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $e \triangleq \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{f(2-f)}$

예를 들어, 편평률이 0.1인 타원의 이심률은 약 0.43이다. 이심률도 편평률과 마찬가지로, 원일 때 0이 되고, 납작해짐에 따라 1에 가까워지지만, 이것은 일반적인 원추곡선에 대한 개념이다.

: $\begin{align}\frac ba &= 1-f = \frac{1-n}{1+n}, \\[5mu]e^2 &= 2f-f^2 = \frac{4n}{(1+n)^2}, \\[5mu]f &= 1-\sqrt{1-e^2},\end{align}$

여기서 $e$ 는 이심률이다.

5. 지구의 편평률

지구의 편평률은 육지의 측지계에서 전 세계적으로 GRS80의 매개변수 값을 사용한다. 한국은 측량법 시행령 제3조에 따라 육지 측량 기준으로 GRS80과 같은 값을 사용한다.^[9]^[10] GRS80에서 정의하는 지구의 적도 반지름(a) 및 편평률(f)은 다음과 같다.

적도 반지름(a): 6,378,137 m (정확히)
편평률(f): 1/298.257222101 (정확히)

이 정의로부터 극반지름 b = 6,356,752.314140356 m (근사값)을 얻을 수 있다.^[7]^[8]

해도 등 해역에서는 WGS84 지구 타원체를 기준으로 하며, 한국은 수로업무법 시행령 제2조 제2호에 따라 해역 측량 기준으로 WGS84의 편평률 값을 사용한다.^[12] WGS84에서 정의하는 편평률은 다음과 같다.

편평률(f): 1/298.257223563

WGS84에서의 극반지름은 b = 6,356,752.314245179 m(근사값)이며, GRS80에 비해 약 0.105 mm 더 길지만, 실용상 차이는 없다.^[11]

5. 1. 지구 적도면의 편평률

실제 지구의 적도면은 완전한 원형이 아니며, 약간 찌그러진 타원 형태이다. 적도면 타원의 편평률(f1)은 약 1/91026이며, 장축 방향(λ1)은 서경 14.9291±0.0010°이다.^[13]

6. 다른 천체의 편평률

태양은 매우 구형에 가까우며, 편평률은 약 9 x 10^-6으로 여겨진다. 태양계의 행성 편평률은 다음과 같다.

행성	편평률
수성	0.0006 미만
금성	0.0002 미만
지구	약 0.0033528
화성	0.00589 ± 0.00015
목성	0.06487 ± 0.00015
토성	0.09796 ± 0.00018
천왕성	0.0229 ± 0.0008
해왕성	0.0171 ± 0.0013

일반적으로 자전 주기가 길고 밀도가 큰 암석질의 고체로 구성된 지구형 행성은 편평률이 비교적 작고, 자전 주기가 짧고 밀도가 매우 작은 기체로 구성된 목성형 행성은 편평률이 비교적 큰 경향이 있다. 편평률이 큰 토성은 배율이 그다지 크지 않은 천체망원경으로도 편평한 것이 시각적으로 확인 가능하다. 실제로 토성의 극반지름은 약 54364km인 반면, 적도 반지름은 약 60268km이다.

참조

_[1] 서적 Map Projections: A Working Manual https://pubs.er.usgs[...] U.S. Government Printing Office
_[2] 학술지 Transformation of the Geodetic Horizontal Control to Another Reference Ellipsoid https://www.proquest[...]
_[3] 기술보고서 An Astronomical Glossary https://apps.dtic.mi[...] MIT Lincoln Lab
_[3] 서적 Practical Geodesy: Using Computers Springer
_[4] 서적 Coordinate Systems and Map Projections Pergamon Press
_[4] 기술보고서 Geometric Geodesy, Part I http://hdl.handle.ne[...] Ohio State Univ. Dept. of Geodetic Science and Surveying
_[4] 웹사이트 The Mercator Projections http://mercator.myze[...]
_[5] 서적 Choosing a Map Projection
_[5] 학술지 On auxiliary latitudes
_[6] 학술지 Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen
_[7] 문서 지구의 扁平率
_[8] 문서 扁平率, 이심률, 종횡비
_[9] 법률 測量法施行令第3条 https://laws.e-gov.g[...]
_[10] 웹사이트 日本の測地系測地系と準拠楕円体 https://www.gsi.go.j[...] 国土地理院 2022-08-28
_[11] 문서 WGS84와 GRS80의 扁平率 차이
_[12] 법률 水路業務法施行令第2条
_[13] 서적 理科年表国立天文台 2013-11-30
_[14] 문서 편편, 편평, 평편, 평평의 의미 비교

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