페르미 황금률

1. 개요

페르미 황금률은 엔리코 페르미의 이름을 따서 명명되었지만, 폴 디랙이 이 공식을 유도하는 데 크게 기여했다. 이 공식은 섭동을 받는 해밀토니안의 고유 상태를 갖는 계를 기술하며, 단위 시간당 전이 확률을 계산하는 데 사용된다. 페르미 황금률은 섭동 이론을 사용하여 유도되며, 불연속 또는 연속 스펙트럼의 최종 상태를 고려한다. 이 원리는 주사 터널링 현미경, 양자 광학, 드렉스하거 실험 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사적 배경

페르미 황금률은 엔리코 페르미의 이름이 붙었지만, 이 공식을 유도하는 데 대부분의 연구는 폴 디랙이 수행했다. 폴 디랙은 20년 전에 상수, 섭동의 행렬 요소, 에너지 차이의 세 가지 요소로 구성된 거의 동일한 방정식을 발표했다. 페르미는 이 공식의 중요성을 인정하여 "황금률 2번"이라고 불렀다. 이는 어떤 과학적 발견이 실제 발견자가 아닌 다른 사람의 이름으로 불리는 스티글러의 법칙의 한 예시이다.

3. 전이율과 그 유도

페르미 황금률은 초기 상태가 섭동을 받지 않은 해밀토니안의 고유 상태인 계에서, 섭동 해밀토니안의 효과를 고려하여 전이율을 계산하는 방법이다. 섭동이 시간에 무관하면 계는 초기 상태와 같은 에너지를 가진 상태로만 전이한다. 반면 섭동이 시간에 따라 각진동수(ω)로 조화 진동하면, 초기 상태와 특정 에너지 차이(ħω)를 가진 상태로 전이한다.

단위 시간당 전이 확률(Γ)은 1차 근사에서 다음과 같이 주어진다.

:$$\backslash Gamma\_\{i\; \backslash to\; f\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{\backslash hbar\}\; \backslash left|\; \backslash langle\; f|H\text{'}|i\; \backslash rangle\; \backslash right|^2\; \backslash rho(E\_f),$$

여기서 $\backslash langle\; f|H\text{'}|i\; \backslash rangle$는 섭동의 행렬 요소(브라-켓 표기법)이고, $\backslash rho(E\_f)$는 최종 상태의 상태 밀도이다.

이 공식은 시간에 따른 섭동 이론을 사용하여 유도되며, 측정 시간이 전이에 필요한 시간보다 훨씬 크다는 가정을 포함한다. 이 전이 확률은 "붕괴 확률"이라고도 하며, 평균 수명의 역수와 관련이 있다. 따라서 계가 초기 상태에 있을 확률은 시간에 따라 지수적으로 감소한다.

페르미 황금률은 디랙에 의해 정립되었으며, 상수, 섭동의 행렬 요소, 에너지 차이 세 가지로 이루어진 동등한 공식화를 제시했다. 페르미가 이 관계식을 "두 번째 황금률"이라고 부르면서 현재의 이름이 붙여졌다.

페르미 황금률은 행렬 요소의 크기만을 고려하지만, 행렬 요소의 위상에도 전이 과정에 대한 추가 정보가 포함되어 있다. 이는 전자 수송에서 반고전적인 볼츠만 방정식에서 황금률을 보완한다.

섭동 해밀토니안이 시간에 주기적으로 의존하는 경우($\backslash hat\{H\}\; =\; \backslash hat\{H\}\_0\; +\; \backslash hat\{H\}\text{'}(t),\; \backslash hat\{H\}\text{'}(t)\; =\; \backslash hat\{H\}\text{'}\; e^\{-i\; \backslash omega\; t\}$), 슈뢰딩거 방정식을 상호작용 표상으로 변환하여 1차항까지 섭동 전개하면 전이 확률을 유도할 수 있다.

시간 $t$에서 초기 상태 $\backslash psi(0)\; =\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{i\}$에서 최종 상태 $\backslash psi\_\backslash mathrm\{f\}$로의 전이 진폭은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\langle \psi_\mathrm{f} | \psi(t) \rangle
= -2 i e^{ i (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t / 2 \hbar}
\frac{\langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle}{E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega}
\sin \frac{(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t}{2 \hbar}
\end{align}


충분한 시간이 경과한 후의 전이 확률은 다음과 같으며,

:$p\_\{\backslash mathrm\{f\}\; \backslash gets\; \backslash mathrm\{i\}\}(t)$
\to \frac{2 \pi t}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2 \delta (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)
\quad (t \to \infty)

단위 시간당 전이 확률은 페르미 황금률로 주어진다.

:$T\_\{\backslash mathrm\{f\}\; \backslash gets\; \backslash mathrm\{i\}\}$
= \frac{2 \pi}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2
\delta(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)

3.1. 불연속 스펙트럼의 최종 상태

최종 상태가 불연속적인 경우, 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 전이 확률 진폭을 계산할 수 있다. 우선, 섭동을 받는 계의 상태를 다음과 같이 전개한다.

:$|\backslash psi(t)\backslash rang\; =\; \backslash sum\_n\; a\_n(t)\; e^\{-\; i\; E\_n\; t\; /\; \backslash hbar\}\; |n\backslash rang$

여기서 $a\_n(t)$는 시간에 따라 변하는 계수이며, 디랙 그림에서 확률 진폭을 나타낸다. 이 상태는 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식을 따르며, 해밀토니안과 상태를 전개하여 1차 근사에서 다음의 미분 방정식계를 얻는다.

:$$$$
\mathrm{i}\hbar \frac{da_k(t)}{dt} = \sum_n \langle k| H'|n\rangle a_n(t) e^{\mathrm{i}t(E_k - E_n)/\hbar}.

이 방정식은 정확하지만, 일반적으로 풀기 어렵다. 따라서 약한 일정한 섭동 $H\text{'}$에 대해 섭동 이론을 적용한다. $t=0$에서 섭동이 시작되면, $H\text{'}\; =\; 0$일 때 $a\_n(t)\; =\; \backslash delta\_\{n,i\}$이므로, 계는 초기 상태 $i$에 머무른다.

$k\; \backslash ne\; i$인 상태에 대해 $a\_k(t)$는 $H\text{'}\; \backslash ne\; 0$ 때문에 0이 아닌 값을 가지며, 이 값들은 약한 섭동으로 인해 작다고 가정한다. 1차 보정을 위해 위 방정식에 0차 형태 $a\_n(t)\; =\; \backslash delta\_\{n,i\}$를 대입하면,

:$$$$
\mathrm{i}\hbar \frac{da_k(t)}{dt} = \langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm{i}t(E_k - E_i)/\hbar},

이 식을 적분하여 다음을 얻는다.

:$$$$
\mathrm{i}\hbar a_k(t) = \int_0^t\langle k|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm{i}\omega_{ki} t'} dt'


여기서 $\backslash omega\_\{ki\}\; \backslash equiv\; (E\_k\; -\; E\_i)/\backslash hbar$이다. 초기 상태(i번째)에서 최종 상태(f번째)로의 전이 확률은 다음과 같이 주어진다.

:$$w\_\{fi\}\; =\; |a\_f(t)|^2=\backslash frac\{1\}\{\backslash hbar^2\}\; \backslash left|\backslash int\_0^t\; \backslash langle\; f|H\text{'}(t\text{'})|i\backslash rangle\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\_\{fi\}\; t\text{'}\}\; dt\text{'}\backslash right|^2$$

주기적인 섭동 $H\text{'}(t)\; =\; Fe^\{-\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\; t\}\; +\; F^\backslash dagger\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\; t\}$ (여기서 $F$는 시간에 무관한 연산자)에 대한 해는 다음과 같다.

:$$a\_f(t)\; =\; -\; \backslash langle\; f|F|i\backslash rangle\; \backslash frac\{e^\{\backslash mathrm\{i\}(\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)\; t\}\}\{\backslash hbar\; (\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)\}\; -\; \backslash langle\; f|F^\backslash dagger|i\backslash rangle\; \backslash frac\{e^\{\backslash mathrm\{i\}(\backslash omega\_\{fi\}+\backslash omega)\; t\}\}\{\backslash hbar\; (\backslash omega\_\{fi\}+\backslash omega)\}.$$

이 식은 에너지 $E\_i$를 갖는 초기 상태에 대해 최종 상태 에너지가 $E\_f-E\_i\; \backslash neq\; \backslash pm\; \backslash hbar\; \backslash omega$여야 유효하다. 즉, 공명 조건 근처에서 전이 확률이 크게 증가한다.

섭동 주파수가 $E\_k-E\_n=\backslash hbar(\backslash omega+\backslash varepsilon)$ ($\backslash varepsilon$는 작은 양)인 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$i\backslash hbar\backslash frac\{da\_k\}\{dt\}=\; \backslash langle\; k|F|n\backslash rangle\; e^\{i\backslash varepsilon\; t\}a\_n,\; \backslash quad\; i\backslash hbar\backslash frac\{da\_n\}\{dt\}=\; \backslash langle\; n|F^\backslash dagger|k\backslash rangle\; e^\{-i\backslash varepsilon\; t\}a\_k.$$

이 경우, 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

:$$a\_n\; =\; Ae^\{\; i\backslash alpha\_1\; t\},\backslash ,\; a\_k=-A\backslash hbar\; \backslash alpha\_1\; e^\{\; i\backslash alpha\_1\; t\}/\backslash langle\; n|F^\backslash dagger|k\backslash rangle$$
:$$a\_n\; =\; Be^\{-i\backslash alpha\_2\; t\},\backslash ,\; a\_k=\; B\backslash hbar\; \backslash alpha\_2\; e^\{-i\backslash alpha\_2\; t\}/\backslash langle\; n|F^\backslash dagger|k\backslash rangle$$
여기서
:$$\backslash alpha\_1=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon+\backslash Omega,\; \backslash quad\; \backslash alpha\_2\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash varepsilon\; +\; \backslash Omega,\; \backslash quad\; \backslash Omega\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash varepsilon^2\; +\; |\backslash eta|^2\},\; \backslash quad\; \backslash eta\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash hbar\}\backslash langle\; k|F|n\backslash rangle$$

이고 상수 $A$와 $B$는 정규화 조건에 의해 결정된다.

$t=0$에서 계가 $|\backslash psi\_k\backslash rang$ 상태에 있다면, $|\backslash psi\_n\backslash rang$ 상태에서 계를 발견할 확률은 다음과 같이 주어진다.

:$$w\_\{kn\}=\backslash frac\{|\backslash eta|^2\}\{2\backslash Omega^2\}(1-\backslash cos\; 2\backslash Omega\; t)$$

이는 주파수 $2\backslash Omega$를 갖는 주기 함수이며, $0$과 $|\backslash eta|^2/\backslash Omega^2$ 사이에서 변한다. 정확한 공명, 즉 $\backslash varepsilon=0$에서 위 식은 다음으로 축소된다.

:$$w\_\{kn\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(1-\backslash cos\; 2|\backslash eta|\; t)$$

이는 $0$과 $1$ 사이에서 주기적으로 변하며, 즉 계는 주기적으로 한 상태에서 다른 상태로 전환된다.

슈뢰딩거 표상에서 시간에 따른 슈뢰딩거 방정식을 상호작용 표상으로 바꾸어 1차항까지 섭동 전개하면,

:$|\; \backslash psi(t)\; \backslash rangle\; =\; e^\{-i\; \backslash hat\{H\}\_0\; t\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash left(\; 1\; -\; \backslash frac\{i\}\{\backslash hbar\}\; \backslash int\_\{0\}^\{t\}\; dt\text{'}\; e^\{i\; \backslash hat\{H\}\_0\; t\text{'}\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash hat\{H\text{'}\}(t\text{'})\; e^\{-i\; \backslash hat\{H\_0\}\; t\text{'}\; /\; \backslash hbar\}\; \backslash right)\; |\; \backslash psi(0)\; \backslash rangle$

시간 $t$에서 초기 상태 $\backslash psi(0)\; =\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{i\}$에서 최종 상태 $\backslash psi\_\backslash mathrm\{f\}$로의 전이 진폭은 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\langle \psi_\mathrm{f} | \psi(t) \rangle
&= -2 i e^{ i (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t / 2 \hbar}
\frac{\langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle}{E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega}
\sin \frac{(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega) t}{2 \hbar}
\end{align}


섭동이 가해져 충분한 시간이 경과한 후의 전이 확률 $p\_\{\backslash mathrm\{f\}\; \backslash gets\; \backslash mathrm\{i\}\}(t)\; =\; \backslash left|\; \backslash langle\; \backslash psi\_\backslash mathrm\{f\}\; |\; \backslash psi(t)\; \backslash rangle\; \backslash right|^2$는,

:$p\_\{\backslash mathrm\{f\}\; \backslash gets\; \backslash mathrm\{i\}\}(t)$
\to \frac{2 \pi t}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2 \delta (E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)
\quad (t \to \infty)

따라서, 단위 시간당 전이 확률은 다음과 같다.

:$T\_\{\backslash mathrm\{f\}\; \backslash gets\; \backslash mathrm\{i\}\}$
= \frac{2 \pi}{\hbar} \left| \langle \psi_\mathrm{f} | \hat{H'} | \psi_\mathrm{i} \rangle \right|^2
\delta(E_\mathrm{f} - E_\mathrm{i} - \hbar \omega)

3.2. 연속 스펙트럼의 최종 상태

연속 스펙트럼이 불연속 스펙트럼 위에 있으므로, $E\_f-E\_i>0$이며, 공명 에너지 $E\_i+\backslash hbar\backslash omega$ 근처에 있는 에너지 $E\_f$가 중요한 역할을 한다. 즉, $\backslash omega\_\{fi\}\; \backslash approx\; \backslash omega$인 경우이다. 이 경우, $a\_f(t)$에 대한 첫 번째 항만 고려하면 충분하다. 시간 $t=0$부터 섭동이 시작되었다고 가정하면, 전이 진폭은 다음과 같다.

:$$a\_f(t)\; =\; -\backslash frac\{\backslash mathrm\{i\}\}\{\backslash hbar\}\backslash int\_0^t\backslash langle\; f|H\text{'}(t\text{'})|i\backslash rangle\; e^\{\backslash mathrm\{i\}\backslash omega\_\{fi\}\; t\text{'}\}\; dt\text{'}\; =\; -\; \backslash langle\; f|F|i\backslash rangle\; \backslash frac\{e^\{\backslash mathrm\{i\}(\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)\; t\}-1\}\{\backslash hbar\; (\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)\}$$

$a\_f$의 제곱 절댓값은 다음과 같다.

:$$|a\_f|^2=\; 4\; |\; \backslash langle\; f|F|i\backslash rangle|^2\; \backslash frac\{\backslash sin^2((\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)t/2)\}\{\backslash hbar^2(\backslash omega\_\{fi\}-\backslash omega)^2\}$$

따라서, 큰 $t$에 대한 단위 시간당 전이 확률은 다음과 같다.

:$$\backslash frac\{dw\_\{fi\}\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}|a\_f|^2\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash hbar\}|\; \backslash langle\; f|F|i\backslash rangle|^2\; \backslash delta(E\_f\; -\; E\_i\; -\; \backslash hbar\backslash omega)$$

위 식의 델타 함수는 $\backslash Delta\; =\; \backslash omega\_\{fi\}\; -\; \backslash omega$라고 정의하면, $\backslash sin^2(\backslash Delta\; t/2)\; /\; \backslash Delta^2$의 시간 미분은 $\backslash sin(\backslash Delta\; t)\; /\; (2\backslash Delta)$이며, 큰 $t$에서 델타 함수처럼 동작한다는 사실로부터 유도된다. (싱크 함수#디랙 델타 함수와의 관계 참조)

페르미 황금률의 '일정한 붕괴율'은 방사능의 지수적 입자 붕괴 법칙의 기초가 된다. 그러나 지나치게 긴 시간 동안에는 $a\_k(t)$ 항의 장기적인 증가로 인해 최저차 섭동 이론이 무효화된다.

페르미 황금률에는 행렬 요소 $\backslash langle\; f|H\text{'}|i\; \backslash rangle$의 크기만 포함되지만, 이 행렬 요소의 위상은 전이 과정에 대한 추가적인 정보를 포함한다. 이는 전자 수송에 대한 반고전적 볼츠만 방정식 접근법에서 황금률을 보완하는 식에 나타난다.

일반적으로 황금률은 위와 같이 진술되고 유도되지만, 최종 상태(연속체) 파동 함수는 종종 모호하게 설명되고 올바르게 정규화되지 않는다. 연속체를 생성하기 위해서는 공간적 구속이 없어야 하며, 이는 스펙트럼을 이산화한다. 따라서 연속체 파동 함수는 무한한 범위를 가지며, 정규화 $\backslash langle\; f|f\; \backslash rangle\; =\; \backslash int\; d^3\backslash mathbf\{r\}\; \backslash left|f(\backslash mathbf\{r\})\backslash right|^2$는 1이 아니라 무한하다. 상호 작용이 연속 상태의 에너지에 의존하지만 다른 양자수에는 의존하지 않는 경우, 에너지 $\backslash varepsilon$를 갖는 연속체 파동 함수 $|\; \backslash varepsilon\backslash rangle$를 $\backslash langle\; \backslash varepsilon|\backslash varepsilon\; \text{'}\; \backslash rangle=\backslash delta(\backslash varepsilon-\backslash varepsilon\; \text{'})$로 써서 정규화하는 것이 일반적이다. 여기서 $\backslash delta$는 디랙 델타 함수이며, 상태 밀도의 제곱근에 해당하는 인자가 $|\backslash varepsilon\_i\backslash rangle$에 포함된다. 이 경우, 연속체 파동 함수의 차원은 $1/\backslash sqrt\{\backslash text\{[energy]\}\}$이며, 황금률은 다음과 같다.

:$$\backslash Gamma\_\{i\; \backslash to\; \backslash varepsilon\_i\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash hbar\}\; |\backslash langle\; \backslash varepsilon\_i|H\text{'}|i\backslash rangle|^2\; .$$

여기서 $\backslash varepsilon\_i$는 불연속 상태 $i$와 같은 에너지를 갖는 연속 상태를 나타낸다.

4. 응용

페르미 황금률은 다양한 물리 현상에 응용된다.

주사 터널링 현미경(STM)에서 페르미 황금률은 터널링 전류를 유도하는 데 사용된다. 양자 광학에서는 두 개의 불연속적인 상태 사이의 에너지 준위 전이를 설명하는 데 사용된다. 또한, 들뜬 상태의 붕괴 확률이 상태 밀도에 의존한다고 예측하는데, 이는 거울 근처의 쌍극자 붕괴율을 측정하는 드렉스하거 실험으로 확인할 수 있다.

4.1. 주사 터널링 현미경 (STM)

주사 터널링 현미경(Scanning tunneling microscope)에서 페르미 황금률은 터널링 전류를 유도하는 데 사용된다. 그 형태는 다음과 같다.

:$$w\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{\backslash hbar\}\; |M|^2\; \backslash delta\; (E\_\{\backslash psi\}\; -\; E\_\{\backslash chi\}\; ),$$

여기서 $M$은 터널링 행렬 요소(tunneling matrix element)이다.

4.2. 양자 광학

양자 광학에서 페르미 황금률은 두 개의 불연속적인 상태 사이의 에너지 준위 전이를 설명할 때 사용된다. 이때 페르미 황금률은 다음과 같이 표현된다.

:$$\backslash Gamma\_\{i\; \backslash to\; f\}\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\}\{\backslash hbar\}\; \backslash left|\backslash langle\; f|\; H\text{'}\; |i\; \backslash rangle\backslash right|^2\; g(\backslash hbar\backslash omega),$$

여기서 $g(\backslash hbar\backslash omega)$는 주어진 에너지에서 광자 상태의 밀도이고, $\backslash hbar\backslash omega$는 광자 에너지이며, $\backslash omega$는 각진동수이다. 이러한 표현은 최종 (광자) 상태의 연속체가 존재한다는 것, 즉 허용된 광자 에너지의 범위가 연속적이라는 사실에 기반한다.

4.3. 드렉스하거 실험 (Drexhage Experiment)

페르미 황금률은 들뜬 상태가 붕괴될 확률이 상태 밀도에 의존한다고 예측한다. 이는 거울 근처의 쌍극자의 붕괴율을 측정하여 실험적으로 확인할 수 있다. 거울이 있으면 상태 밀도가 더 높거나 낮은 영역이 만들어지기 때문에 측정된 붕괴율은 거울과 쌍극자 사이의 거리에 따라 달라진다.