상태 밀도

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 예제
3. k-공간 위상
- 3.1. 파수 벡터 상태 밀도 (구)
- 3.2. 에너지 상태 밀도
4. 분산 관계
5. 분포 함수
6. 응용
- 6.1. 양자화
- 6.2. 광결정
7. 대칭성과 상태 밀도
- 7.1. 브릴루앙 영역
8. 계산 방법
9. 국소 상태 밀도 (LDOS)
참조

1. 개요

상태 밀도는 주어진 계의 입자가 따르는 분산 관계를 기반으로 에너지와 파수 공간에서 정의되는 물리량이다. 상태 밀도는 겹침을 고려하여 계산되며, 에너지 이하의 파수 영역 부피를 에너지로 미분하여 얻는다. 이 개념은 디바이 모형, 자유 전자 등 다양한 예시에서 나타나며, k-공간 위상과 분산 관계에 따라 달라진다. 상태 밀도는 고체의 운동론에서 중요한 역할을 하며, 분포 함수와의 곱을 통해 열적 평형 상태에서의 점유된 상태 수를 나타낸다. 또한, 양자화, 광결정 등 다양한 분야에 응용되며, 대칭성을 이용하여 계산을 단순화할 수 있다. 복잡한 시스템의 상태 밀도는 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 계산하며, 국소 상태 밀도(LDOS)는 불균질한 시스템의 상태 밀도를 설명하는 데 유용하다.

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상태 밀도
개요
정의	에너지 단위당 가용한 물리적 상태의 수
기호	D(E)
관련 개념	상태 밀도 (응집물질물리학)
상태 밀도
정의	단위 에너지 범위 내에서 주어진 물리적 시스템의 가능한 상태의 수
다른 이름	DOS (Density of States)
관련 개념	국소 상태 밀도
수식 표현	$D(E) = N(E) / V$
설명	고립계에서, 주어진 에너지 준위에서 시스템이 가질 수 있는 상태의 수를 나타내는 양

2. 정의

주어진 계의 입자가 분산 관계 $E(\mathbf k)$ 를 따를 때, 파수 벡터 공간에서 에너지가 $E$ 이하인 파수 영역의 부피 $\Omega(E)$ 를 정의할 수 있다. '''상태 밀도''' $N(E)$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $N(E)=\frac g{(2\pi)^3}\frac{d\Omega(E)}{dE}$ .

여기서 $g$ 는 겹침으로, 같은 에너지 및 파수에서 몇 개의 상태가 존재하는지를 나타낸다. 예를 들어, 전자는 스핀 자유도로 인해 $g=2$ 를 갖는다. 포논의 경우에는 편향 상태에 따라서 3개가 존재하여 $g=3$ 이 된다.^[1]

양자역학적 계에서 파동 또는 파동과 같은 입자는 계에 의해 결정되는 파장과 전파 방향을 가진 모드 또는 상태를 점유할 수 있다. 일부 계에서는 물질의 원자 간 간격과 원자 전하 때문에 특정 파장의 전자만 존재할 수 있고, 다른 계에서는 물질의 결정 구조 때문에 파동이 한 방향으로만 전파될 수 있다. 종종 특정 상태만 허용된다.^[1] 따라서 특정 에너지 준위에서는 많은 상태가 점유 가능하지만 다른 에너지 준위에서는 상태가 없을 수 있다.

반도체에서 가전자대와 전도대 사이의 띠 가장자리에서 전자의 상태 밀도를 살펴보면, 전도대의 전자의 경우 전자 에너지가 증가하면 점유 가능한 상태가 더 많아진다. 상태 밀도는 에너지 구간에 대해 불연속적이며, 이는 물질의 띠 간격 내에서는 전자가 점유할 수 있는 상태가 없다는 것을 의미한다. 전도대 가장자리의 전자가 가전자대의 다른 상태로 전이하려면 물질의 띠 간격 에너지 이상을 잃어야 한다.^[1]

이는 전파 차원에서 물질이 절연체인지 금속인지를 결정한다. 띠의 상태 수의 결과는 전도 특성을 예측하는 데에도 유용하다. 예를 들어, 1차원 결정 구조에서 원자당 홀수의 전자는 반 채워진 최상위 띠를 초래하여 페르미 준위에 자유 전자가 있어 금속이 된다. 반면에 짝수의 전자는 정수 개의 띠를 완전히 채우고 나머지는 비워둔다. 페르미 준위가 가장 높은 점유 상태와 가장 낮은 비어 있는 상태 사이의 점유된 띠 간격에 있으면 물질은 절연체 또는 반도체가 된다.^[1]

양자역학적 계에 따라 상태 밀도는 전자, 광자, 또는 포논에 대해 계산될 수 있으며, 에너지 또는 파수 벡터 의 함수로 주어질 수 있다. 에너지 함수로서의 DOS와 파수 벡터 함수로서의 DOS를 변환하려면 계 특유의 에너지 분산 관계를 알아야 한다.^[1]

일반적으로 띠 구조와 같은 계의 위상적 특성은 상태 밀도의 특성에 큰 영향을 미친다. 중성자별의 중성자 물질과 금속의 자유 전자 기체( 축퇴 물질과 페르미 기체의 예)와 같은 가장 잘 알려진 계는 3차원 유클리드 위상을 갖는다. 흑연 층의 이차원 전자 기체(2DEG)와 MOSFET 유형 장치의 양자 홀 효과 계와 같이 덜 친숙한 계는 2차원 유클리드 위상을 갖는다. 더욱 덜 친숙한 것은 1차원 위상을 갖는 탄소 나노튜브, 양자선 및 루틴저 액체이다. 나노기술과 재료 과학의 발전으로 1차원 및 2차원 위상을 갖는 계가 더 일반화될 가능성이 높다.^[1]

2. 1. 예제

디바이 모형에서, 포논은 단순한 선형 분산 관계

E(\mathbf k)=\hbar vk

를 가진다. 따라서

\Omega(E)

는 반지름이

E/v

인 구의 부피이다. 즉, 다음과 같다.

:

\Omega(E)=\frac43\pi(E/\hbar v)^3

포논은 편향 상태(polarization state^영어)가 3개 있으므로,

g=3

이다. 따라서 상태 밀도는 다음과 같다.

:

N(E)=\frac3{(2\pi)^3}\frac{d\Omega}{dE}=\frac{3E^2}{2\pi^2\hbar^3v^3}

.

빛의 속도보다 매우 낮은 속도로 움직이는 자유 전자의 경우에는 분산 관계는

E(\mathbf k)=\hbar^2k^2/2m

이다. 따라서

\Omega(E)

의 반지름은

\sqrt{2mE}/\hbar

이고, 다음과 같다.

:

\Omega(E)=\frac{4\pi}{3\hbar^3}(2mE)^{3/2}

전자의 경우에는 스핀 자유도로 인해

g=2

이므로, 다음과 같다.

:

N(E)=\frac1{2\pi^2\hbar^3}\sqrt{(2m)^3E}

3. k-공간 위상

상태 밀도는 물체 자체의 차원에 따라 달라진다. 3차원 시스템에서는 에너지^-1부피^-1, 2차원 시스템에서는 에너지^-1면적^-1, 1차원 시스템에서는 에너지^-1길이^-1 단위를 갖는다. 여기서 말하는 부피는 파수 벡터 k로 표현되는 공간, 즉 k-공간의 부피를 의미하며, 분산 관계를 통해 유도된 시스템의 등에너지면으로 둘러싸여 있다.^[2] 3차원 k-공간의 예시는 그림 1과 같다. 이처럼 시스템의 차원은 시스템 내부 입자의 운동량을 제한하는 방식으로 상태 밀도에 영향을 준다.

3. 1. 파수 벡터 상태 밀도 (구)

n차원 k-공간 부피는 다음과 같이 표현된다.

:

\Omega_n(k) = c_n k^n

여기서 c_n은 차원에 따른 상수이다. 1, 2, 3차원 유클리드 k-공간에서 이 값은 다음과 같다.

:

c_1 = 2,\  c_2 = \pi,\  c_3 = \frac{4 \pi}{3}

파수 벡터 상태 밀도 N_n(k)는

\Omega_{n,k}

를 k에 대해 미분하여 구한다.

:

N_n(k) = \frac{\mathrm d\Omega_n(k)}{\mathrm dk} = n\; c_n\; k^{n - 1}

1, 2, 3차원에 대한 파수 벡터 상태 밀도는 다음과 같다.

:

\begin{align}N_1(k) &= 2 \\N_2(k) &= 2 \pi k \\N_3(k) &= 4 \pi k^2\end{align}

하나의 상태는 파장 λ를 갖는 입자를 포함할 수 있을 만큼 충분히 크며, 파장과 파수 k는 다음 관계를 갖는다.

:

k = \frac{2\pi}{\lambda}

양자 시스템에서 λ는 입자를 가두는 시스템의 특성 간격 L에 따라 달라진다. 마지막으로 상태 밀도 N_n(k)에

s/V_k

계수를 곱한다. 여기서 s는 스핀 또는 편광과 같은 물리적 현상으로 인한 내부 자유도를 고려하는 상수 축퇴 계수이다. 이러한 현상이 없으면

s = 1

이다. V_k는 시스템의 특성 간격에 의해 결정되는 가능한 가장 작은 파수 벡터보다 작은 파수 벡터를 갖는 k-공간의 부피이다.

3. 2. 에너지 상태 밀도

Density of states^영어, DOS) 계산의 마지막 단계는, 특정 에너지

E

에서

E + dE

구간에 포함되는 단위 부피당 상태 수를 구하는 것이다. 일반적인 계의 에너지 상태 밀도는 다음과 같다.^[2]^[3]

:

D_n\left(E\right) = \frac{\mathrm d\Omega_n(E)}{\mathrm dE}

여기서

\Omega_n(E)

는 에너지

E

이하인 파수 영역의 부피이다.

위 식은 분산 관계가 단조 증가하는 구대칭 계에 대해서만 성립한다. 일반적으로 분산 관계는 구대칭이 아니고 단조 증가하지 않는 경우가 많다.

D_n(E)

를

E

의 함수로 표현하려면, 분산 관계의 역함수를 이용해 기존 식의

k

함수

\Omega_n(k)

를 에너지 함수

\Omega_n(E)

로 치환해야 한다. 분산 관계가 구대칭이 아니거나 단조 증가하지 않는 경우에는 이 과정이 쉽지 않으며, 대부분 에너지 상태 밀도는 수치적으로 계산된다.^[18]^[19]

4. 분산 관계

입자의 운동 에너지는 파수 벡터 ''k''의 크기와 방향, 입자의 성질, 그리고 입자가 움직이는 환경에 따라 달라진다. 예를 들어, 페르미 기체 내 전자의 운동 에너지는 다음과 같이 주어진다.

: $E = E_0 + \frac{\left(\hbar k\right)^2}{2m} \ ,$

여기서 ''m''은 전자 질량이다. 이 분산 관계는 구면 대칭 포물선이며 연속적으로 증가하므로 상태 밀도를 쉽게 계산할 수 있다.

그림 2와 같이, 원자 사슬에서 종파 포논의 1차원 ''k''-공간에서의 운동 에너지 분산 관계는 다음과 같다.

:

E =  2 \hbar \omega_0 \left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|

여기서

\omega_0 = \sqrt{k_\text{F} / m}

는 진동수,

m

은 원자 질량,

k_\text{F}

는 원자간 힘 상수,

a

는 원자간 간격이다. 작은

k \ll \pi / a

값에 대해 분산 관계는 선형이다.

:

E = \hbar \omega_0 ka

k \approx \pi / a

일 때 에너지는 다음과 같다.

:

E = 2 \hbar \omega_0 \left|\cos\left(\frac{\pi - ka}{2}\right)\right|

q = k - \pi/a

로 변환하고 작은

q

에 대해 이 관계는 다음과 같이 변환될 수 있다.

:

E = 2 \hbar \omega_0 \left[1 - \left(\frac{qa}{2}\right)^2\right]

4. 1. 등방성 분산 관계

분산 관계가 파수 벡터의 방향에 의존하지 않고 크기에만 의존하는 경우를 등방성 분산 관계라고 한다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 표현된다.

:

E = E_0 + c_k k^p

이 식에서 파수 벡터의 크기

k

는 에너지

E

와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

k = \left(\frac{E - E_0}{c_k}\right)^

k

보다 작은 파수 벡터를 포함하는 n차원

k

-공간의 부피는 다음과 같다.

:

\Omega_n(k) = c_n k^n

등방성 에너지 관계를 대입하면 점유 상태의 부피는 다음과 같다.

:

\Omega_n(E) = \frac{c_n} \left(E - E_0\right)^

이 부피를 에너지에 대해 미분하면 등방성 분산 관계의 상태 밀도(DOS)에 대한 식을 얻는다.

:

D_n\left(E\right) = \frac {\mathrm d}{\mathrm dE}\Omega_n(E) = \frac{n c_n}{p {c_k}^\frac{n}{p}} \left(E - E_0\right)^{\frac{n}{p} - 1}

4. 2. 포물선 분산

페르미 기체 내의 자유 전자와 같이 분산 관계가 포물선 형태(

p=2

)를 띠는 경우, n차원 시스템에서 전자의 상태 밀도

D_n\left(E\right)

는 다음과 같다.

차원(n)	상태 밀도 ( $D_n\left(E\right)$ )
1	$\frac {1}{ \sqrt{c_k(E-E_0)}}$
2	$\frac {\pi}{c_k}$
3	$2 \pi \sqrt{\frac{E-E_0}{c_k^3}}$

여기서 $E > E_0$ 이며, $E < E_0$ 인 경우에는 $D(E) = 0$ 이다.^[4]

1차원 시스템에서 상태 밀도는 $E$ 가 $E_0$ 로 감소함에 따라 띠의 바닥에서 발산한다. 2차원 시스템에서 상태 밀도는 $E$ 와 무관하다. 3차원 시스템에서 상태 밀도는 에너지의 제곱근에 비례하여 증가한다.^[4]

3차원 상태 밀도에 대한 식은 다음과 같다.^[4]

: $N(E) = \frac {V}{2\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\sqrt{E - E_0} ,$

여기서 $V$ 는 전체 부피이고, $N(E-E_0)$ 는 2배의 스핀 축퇴를 포함한다.^[4]

4. 3. 선형 분산

선형 분산 관계(

p=1

)의 경우, 광자, 음향 포논 또는 고체 내 특정 종류의 전자 띠에 적용된다. 1, 2, 3차원 시스템에서의 상태 밀도(DOS)는 다음과 같이 에너지와 관련된 관계를 갖는다.^[20]

차원	상태 밀도
1차원	$D_1\left(E\right) = \frac{1}{c_k}$
2차원	$D_2\left(E\right) = 2\pi\frac{E - E_0}{c_k^2}$
3차원	$D_3\left(E\right) = 4 \pi \frac{\left(E - E_0\right)^2}{c_k^3}$

5. 분포 함수

그림 4: 페르미-디랙 확률 분포, 상태 밀도, 그리고 반도체에 대한 이들의 곱. 아래쪽 녹색 부분은 ''정공'' 에너지를 나타내므로 $f(-x)$ 를 분포 함수로 사용한다.

상태 밀도와 확률 분포 함수의 곱은 열적 평형 상태에서 주어진 에너지 당 단위 부피당 점유된 상태의 수를 나타낸다. 이 값은 물질의 다양한 물리적 특성을 조사하는 데 사용된다.

페르미-디랙 통계: 페르미온(전자, 양성자, 중성자 등)이 특정 양자 상태를 점유할 확률을 나타낸다. 파울리 배타 원리를 따르는 입자들의 분포를 나타내며, 다음과 같이 표현된다.

:

f_{\mathrm{FD}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_\mathrm{B} T}\right) + 1}.

여기서

\mu

는 화학퍼텐셜(

T=0

일 때 페르미 준위

E_F

로 표기),

k_\mathrm{B}

는 볼츠만 상수,

T

는 온도이다.

보즈-아인슈타인 통계: 보손(포논, 광자 등)이 특정 양자 상태를 점유할 확률을 나타낸다. 파울리 배타 원리를 따르지 않는 입자들의 분포를 나타내며, 다음과 같이 표현된다.

:

f_{\mathrm{BE}}(E) = \frac{1}{\exp\left(\frac{E - \mu}{k_\mathrm{B} T}\right) - 1}.

이 두 분포 함수를 통해 내부 에너지

u

, 입자 수

N

, 비열 용량

c

, 열전도도

k

와 같은 물리량을 계산할 수 있다. 이러한 물리량들은 상태 밀도

g(E)

와 확률 분포 함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\begin{align}u &= \int E\, f(E)\, g(E)\,\mathrm dE \\[1ex]N &= V \int f(E)\, g(E)\,\mathrm dE \\[1ex]c &= \frac{\partial}{\partial T} \int E\, f(E)\, g(E) \,\mathrm dE \\[1ex]k &= \frac{1}{d}\frac{\partial}{\partial T} \int E f(E)\, g(E)\, \nu(E)\, \Lambda(E)\,\mathrm dE\end{align}

여기서

d

는 차원,

\nu

는 음속,

\Lambda

는 평균 자유 행로이다.

6. 응용

양자역학적 계에서 파동 또는 파동과 같은 입자는 계에 의해 결정되는 파장과 전파 방향을 가진 모드 또는 상태를 점유할 수 있다. 종종 특정 상태만 허용된다. 따라서 특정 에너지 준위에서는 많은 상태가 점유 가능하지만 다른 에너지 준위에서는 상태가 없을 수 있다.

반도체에서 가전자대와 전도대 사이의 띠 가장자리에서 전자의 상태 밀도를 살펴보면, 전도대의 전자의 경우 전자 에너지가 증가하면 점유 가능한 상태가 더 많아진다. 또는 상태 밀도는 에너지 구간에 대해 불연속적이며, 이는 물질의 띠 간격 내에서는 전자가 점유할 수 있는 상태가 없다는 것을 의미한다.

이는 전파 차원에서 물질이 절연체인지 금속인지를 결정한다. 띠의 상태 수의 결과는 전도 특성을 예측하는 데에도 유용하다. 예를 들어, 1차원 결정 구조에서 원자당 홀수의 전자는 반 채워진 최상위 띠를 초래한다. 페르미 준위에 자유 전자가 있어 금속이 된다. 반면에 짝수의 전자는 정수 개의 띠를 완전히 채우고 나머지는 비워둔다. 그런 다음 페르미 준위가 가장 높은 점유 상태와 가장 낮은 비어 있는 상태 사이의 점유된 띠 간격에 있으면 물질은 절연체 또는 반도체가 된다.

양자역학적 계에 따라 상태 밀도는 전자, 광자, 또는 포논에 대해 계산될 수 있으며, 에너지 또는 파수 벡터의 함수로 주어질 수 있다.

일반적으로 띠 구조와 같은 계의 위상적 특성은 상태 밀도의 특성에 큰 영향을 미친다. 중성자별의 중성자 물질과 금속의 자유 전자 기체와 같이 가장 잘 알려진 계는 3차원 유클리드 위상을 갖는다. 덜 친숙한 계는 2차원 유클리드 위상을 가지며, 더욱 덜 친숙한 것은 1차원 위상을 갖는 계이다.

6. 1. 양자화

소형 구조의 상태 밀도를 계산하면 차원이 감소함에 따라 전자 분포가 변화한다는 것을 보여준다. 양자선의 경우 특정 에너지에 대한 상태 밀도가 벌크 반도체의 상태 밀도보다 실제로 더 높아지고, 양자점의 경우 전자는 특정 에너지로 양자화된다. 미시적 구조에 대한 상태 밀도를 계산하면, 차원이 감소함에 따라 전자의 분포가 변화하는 것을 알 수 있다. 특정 에너지 영역에서 양자선의 DOS는 벌크 반도체의 DOS에 비해 실제로 높아지고, 양자점의 DOS는 특정 에너지로 양자화된다.

6. 2. 광결정

광자 상태 밀도는 빛의 파장 정도의 길이 스케일을 가진 주기적인 구조를 사용하여 조절할 수 있다. 특정 색상(에너지)의 빛의 전파를 완전히 억제하여 광자 밴드갭을 생성하는 구조도 있는데, 이 경우 해당 광자 에너지에 대한 상태 밀도는 0이 된다. 다른 구조는 특정 방향으로만 빛의 전파를 억제하여 거울, 도파관 및 공진기를 만들 수 있다. 이러한 주기적인 구조는 광결정으로 알려져 있다.^[5]^[6]^[7]^[8] 나노 구조 매체에서는 상태 밀도가 지점마다 크게 달라지기 때문에 국소 상태 밀도(LDOS) 개념이 상태 밀도 개념보다 더 관련이 있는 경우가 많다.

7. 대칭성과 상태 밀도

일부 응축 물질 시스템은 미시적 규모에서 구조적 대칭성을 가지고 있으며, 이를 이용하여 상태 밀도(DOS) 계산을 단순화할 수 있다. 예를 들어, 유체, 유리, 비정질 고체와 같이 회전 대칭성을 갖는 시스템에서는 분산 관계가 반지름 매개변수에만 의존하므로 적분이 1차원적으로 수행될 수 있다.^[1]

면심입방격자에서의 첫 번째 브릴루앙존. 깎은팔면체이다. 고대칭성 선과 점에 대칭성 레이블을 붙였다.

반면, 단결정과 같이 비등방성 응축 물질 시스템에서는 상태 밀도가 결정 방향에 따라 달라질 수 있다. 이 경우, 이방성 상태 밀도를 시각화하고 계산하기가 더 복잡해진다. 따라서 특정 지점이나 방향에 대한 DOS를 계산하거나, 특정 결정 방향에 대한 투영 상태 밀도(PDOS)를 계산하는 방법이 사용될 수 있다.

일반적으로 시스템의 대칭성이 높고 분산 관계의 위상 차원 수가 낮을수록 DOS 계산이 더 쉽다. 회전 대칭성을 갖는 분산 관계의 DOS는 종종 해석적으로 계산할 수 있다. 강철과 실리콘과 같은 많은 실용적인 재료가 높은 대칭성을 갖는다는 점은 DOS 계산에 있어서 다행스러운 점이다.

7. 1. 브릴루앙 영역

분말 또는 다결정 시료에 대한 측정에는 관심 시스템의 분산 관계의 전체 정의역(대부분 브릴루앙 영역)에 걸친 평가 및 계산 함수와 적분이 필요하다.^[1] 시스템의 대칭성이 높은 경우, 분산 관계를 설명하는 함수의 모양이 정의역 전체에 걸쳐 여러 번 나타나므로, 계산을 기본 영역으로 제한하면 계산 노력을 크게 줄일 수 있다.

면심입방격자(FCC)의 브릴루앙 영역은 완전한 팔면체 대칭을 갖는 점군 ''O_h''의 48배 대칭성을 갖는다. 따라서 브릴루앙 영역 전체에 대한 적분을 전체 브릴루앙 영역의 48분의 1로 줄일 수 있다. 결정 구조 주기율표에서 볼 수 있듯이, 다이아몬드, 실리콘, 백금과 같이 FCC 결정 구조를 가진 원소가 많으며, 이들의 브릴루앙 영역과 분산 관계는 이러한 48배 대칭성을 갖는다.

체심입방격자(BCC)와 육방조밀충진구조(HCP)는 각각 입방 격자와 육방 격자를 갖는 두 가지 친숙한 결정 구조이다. BCC 구조는 점군 ''T_h''의 24배 황철석 대칭을 갖는다. HCP 구조는 점군 ''D_3h''의 12배 각기둥 이면체 대칭을 갖는다. 점군의 대칭 특성에 대한 목록은 점군 표현표에서 찾을 수 있다.

8. 계산 방법

화합물이나 생체 분자, 고분자와 같이 복잡한 시스템의 상태 밀도는 대부분 해석적으로 계산이 불가능하다. 따라서 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 상태 밀도를 계산하며, 왕-란다우 알고리즘은 이러한 계산에 사용되는 알고리즘 중 하나이다.^[9]

왕-란다우 알고리즘에서는 상태 밀도에 대한 사전 지식이 필요하지 않다. 시스템의 비용 함수(예: 에너지)를 이산화하고, 각 단계 ''i''에 도달할 때마다 상태 밀도 히스토그램 $g(i)$ 를 다음과 같이 갱신한다.

: $g(i) \rightarrow g(i) + f$

여기서 $f$ 는 수정 인자이다. 히스토그램의 각 구간을 일정 횟수(10-15) 방문하면 수정 인자를 감소시킨다. 예를 들어,

: $f_{n+1} \rightarrow \frac{1}{2} f_{n}$

와 같이 감소시킨다. 여기서 $n$ 은 $n$ 번째 업데이트 단계를 나타낸다. 수정 인자가 특정 임계값(예: $f_n < 10^{-8}$ )보다 작아지면 시뮬레이션을 종료한다.

왕-란다우 알고리즘은 다중 정준 시뮬레이션, 병렬 템퍼링과 같은 다른 알고리즘에 비해 다음과 같은 장점이 있다.^[10]

상태 밀도가 시뮬레이션의 주요 결과물로 도출된다.
왕-란다우 시뮬레이션은 온도와 완전히 독립적이다.

이러한 장점 덕분에 왕-란다우 알고리즘은 단백질과 같이 에너지 지형이 매우 거친 시스템의 상태 밀도도 계산할 수 있다.^[10]

9. 국소 상태 밀도 (LDOS)

국소 상태 밀도(LDOS)는 공간 분해능을 가진 상태 밀도로, 시스템 전체에 걸쳐 균질하지 않은 상태 밀도를 설명한다. 일반적인 상태 밀도(DOS)는 시스템이 각 지점에서 동일한 상태 밀도를 가지는 병진 불변성을 가진다는 특수한 경우를 다루지만, LDOS는 불균질한 상태 밀도를 통해 더 넓은 설명을 제공한다.^[5]^[6]^[7]^[8]

LDOS에서는 각 상태의 기여도가 그 점에서의 파동 함수 밀도에 가중치가 적용된다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

$n(E,x)=\sum_j |\phi_j (x)|^2\delta(E-\varepsilon_j)$

여기서 $|\phi_j (x)|^2$ 인자는 밀도가 높은 영역에서 각 상태가 더 많이 기여함을 의미한다. 이 식에 대한 x에 대한 평균을 구하면 일반적인 상태 밀도(DOS) 공식을 얻을 수 있다.

벽이 있는 1차원 시스템의 경우, 사인파는 다음과 같이 주어지며,

$n_{1D}(E,x)=\frac{2}{\pi\hbar}\sqrt{\frac{2m}{E}}\sin^2{kx}$

여기서 $\inline k = \sqrt{2mE} / \hbar$ 이다.

$x > 0$ 인 3차원 시스템에서 식은 다음과 같다.

$n_{3D}(E,x) = \left(1-\frac{\sin{2kx}}{2kx}\right)n_{3D}(E)$

LDOS는 다음과 같이 더 일반화할 수 있다.

$n(E,x,x') = \sum_j \phi_j (x)\phi^*_j (x')\delta(E-\varepsilon_j)$

이것은 "스펙트럼 함수"라고 불리며, 각 파동 함수가 자체 변수에 별도로 있는 함수이다.

공간 분해 국소 상태 밀도. 드레인 바이어스에서 나노와이어 MOSFET의 게이트 바이어스가 다양하게 변하는 일련의 이미지. 증가하는 게이트 바이어스에 따라 움직이는 제한된 에너지 준위에 유의.

LDOS는 고체 소자에서 이익을 얻는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 오른쪽 그림은 탄도적 시뮬레이션에서 트랜지스터가 켜지고 꺼질 때의 LDOS를 보여준다. LDOS는 소스와 드레인에 명확한 경계를 가지고 있으며, 이는 띠 가장자리의 위치에 해당한다. 채널에서 DOS는 게이트 전압이 증가하고 포텐셜 장벽이 감소함에 따라 증가한다.

광학 및 광자공학에서 LDOS는 광자가 차지할 수 있는 상태를 의미한다. 빛의 경우 일반적으로 형광법, 근접장 주사법 또는 음극선 발광 기술로 측정한다. 서로 다른 광자 구조는 서로 다른 LDOS 거동을 보이며, 이는 자발 방출에 여러 영향을 미친다. 광결정에서는 LDOS가 거의 0에 가까울 것으로 예상되며, 이는 자발 방출을 억제한다.^[12] 플라즈모닉 공진기에서도 유사한 LDOS 증강이 예상된다.^[13]

그러나 무질서한 광자 나노 구조에서는 LDOS가 다르게 작용한다. LDOS는 공간적으로 통계적으로 변동하며, 구조의 산란 강도에 비례한다.^[14] 또한, 산란의 평균 자유 경로와의 관계는 사소한 것이 아니다. 강한 퍼셀 증강(Purcell enhancement) 형태의 강한 무질서의 세부적인 내용에 의해 LDOS가 여전히 강하게 영향을 받을 수 있기 때문이다.^[15] 그리고 마지막으로, 플라즈모닉 무질서의 경우, 이 효과는 강한 근접장 국재화(near-field localization)로 관찰될 수 있듯이 LDOS 변동에 훨씬 더 강하게 나타난다.^[16]

참조

_[1] 서적 Electronic Structure and the Properties of Solids https://books.google[...] Dover Publications
_[2] 웹사이트 Sample density of states calculation http://britneyspears[...]
_[3] 웹사이트 Another density of states calculation http://ece-www.color[...] 2008-05-22
_[4] 서적 Introduction to Solid State Physics Wiley
_[5] 학술지 Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics
_[6] 학술지 Quantum electrodynamics near a photonic band gap: Photon bound states and dressed atom
_[7] 학술지 Controlling the dynamics of spontaneous emission from quantum dots by photonic crystals
_[8] 학술지 Simultaneous Inhibition and Redistribution of Spontaneous Light Emission in Photonic Crystals
_[9] 학술지 Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States
_[10] 학술지 Electric Field-Driven Disruption of a Native beta-Sheet Protein Conformation and Generation of a Helix-Structure
_[11] 논문 Density of states in spectral geometry of states in spectral geometry 1993
_[12] 논문 Density of states in spectral geometry of states in spectral geometry http://dare.uva.nl/p[...] 1996
_[13] 논문 Single Quantum Dot Coupled to a Scanning Optical Antenna: A Tunable Superemitter 2005
_[14] 논문 Observation of Spatial Fluctuations of the Local Density of States in Random Photonic Media 2010
_[15] 논문 Long-Tail Statistics of the Purcell Factor in Disordered Media Driven by Near-Field Interactions 2011
_[16] 논문 Long-Tail Statistics of the Purcell Factor in Disordered Media Driven by Near-Field Interactions 2010
_[17] 서적 Electronic Structure and the Properties of Solids https://books.google[...] Dover Publications
_[18] 웹사이트 Sample density of states calculation http://britneyspears[...]
_[19] 웹사이트 Another density of states calculation http://ece-www.color[...]
_[20] 서적 Introduction to Solid State Physics Wiley
_[21] 논문 Efficient, Multiple-Range Random Walk Algorithm to Calculate the Density of States American Physical Society 2001-03-00
_[22] 논문 Electric Field-Driven Disruption of a Native beta-Sheet Protein Conformation and Generation of a Helix-Structure 2010-00-00
_[23] 논문 Density of states in spectral geometry of states in spectral geometry 1993-00-00

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