평균곡률

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1. 개요
2. 정의
3. 유체 역학에서의 평균 곡률
4. 평균 곡률의 응용
- 4.1. 극소 곡면
- 4.2. 상수 평균 곡률 곡면 (CMC 곡면)
5. 평균 곡률 흐름
6. 같이 보기
참조

1. 개요

평균 곡률은 곡면의 각 점에서 부호가 있는 곡률의 평균을 의미하며, 3차원 유클리드 공간에서 곡면의 단위 법선과 관련이 있다. 평균 곡률이 0인 곡면은 극소 곡면이며, 상수 평균 곡률을 갖는 곡면은 상수 평균 곡률 곡면이라고 한다. 유체 역학에서는 표면 장력과 관련된 압력을 계산하는 데 사용된다.

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평균곡률

2. 정의

표준 3차원 유클리드 공간 '''R'''³ 내의 곡면 $S$ 위의 점 $p$ 에서, $S$ 의 법선을 포함하고 $p$ 를 지나는 각 평면은 $S$ 를 평면 곡선으로 자른다. 단위 법선을 선택하면 이 곡선에는 부호가 있는 곡률이 부여된다. 평면이 법선을 포함하여 각도 $\theta$ 만큼 회전하면 곡률은 달라질 수 있다. 이때 최대 곡률 $\kappa_1$ 과 최소 곡률 $\kappa_2$ 를 $S$ 의 ''주곡률''이라고 한다.

$p\in S$ 에서의 '''평균 곡률'''은 모든 각도 $\theta$ 에 대한 부호 있는 곡률의 평균이다.

: $H = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \kappa(\theta) \;d\theta$ .

오일러의 정리에 따르면, 평균 곡률은 주곡률의 평균과 같다.^[3]

: $H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2).$

평균 곡률이 0인 곡면은 극소 곡면이며, 필요충분 조건을 만족한다. 곡면 $S$ 는 자신의 평균 곡률에 따라 변화하는 열 형식 방정식인 평균 곡률 흐름 방정식을 따른다.

구는 경계나 특이점이 없는, 상수 양의 평균 곡률을 갖는 유일하게 임베딩된 곡면이다. 그러나 "임베딩된 곡면" 조건을 "매입된 곡면"으로 약화시키면 이 결과는 참이 아니다.^[3]

2. 1. 3차원 유클리드 공간에서의 정의

3차원 유클리드 공간 내의 곡면 위의 점 에서, 평균 곡률은 주곡률들의 평균으로 주어진다.^[3]

:

여기서 , 는 주곡률이다. 즉, 형상 연산자의 대각합을 2로 나눈 값과 같다.

또한, 평균 곡률 는 공변 미분 을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

여기서 는 매끄럽게 임베딩된 초곡면이고, 는 단위 법선 벡터이며, 는 계량 텐서이다.^[3]

3차원 공간에서 정의된 곡면에 대해, 평균 곡률은 곡면의 단위 법선과 관련이 있다.

:

여기서 선택된 법선은 곡률의 부호에 영향을 미친다. 곡률의 부호는 법선의 선택에 따라 달라지는데, 곡면이 법선 "쪽으로" 휘어지면 곡률은 양수가 된다. 위 공식은 단위 법선의 발산을 계산할 수 있는 한, 임의의 방식으로 정의된 3차원 공간의 곡면에 대해 성립한다.^[3]

만약 가 곡면의 매개변수화이고 가 매개변수 공간에서 두 개의 선형 독립적인 벡터라면, 평균 곡률은 제1 기본 형식과 제2 기본 형식으로 표현할 수 있다.

:

여기서 , , , , , 이다.^[4]

두 좌표의 함수로 정의된 곡면의 특수한 경우, 예를 들어 이고 위쪽을 향하는 법선을 사용하면 (두 배의) 평균 곡률 식은 다음과 같다.

:

:\right)

=

특히 인 점에서 평균 곡률은 의 헤세 행렬의 대각합의 절반이다.

곡면이 추가적으로 회전 대칭을 가지는 것으로 알려져 있고 인 경우,

:

여기서 는 의 미분에서 나온다.

2. 2. 초곡면으로의 일반화

오일러의 정리에 따르면, 평균 곡률은 주곡률의 평균과 같다.

:

H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2).

일반적으로, 초곡면

T

의 평균 곡률은 다음과 같이 주어진다.

:

H=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \kappa_{i}.

즉, 평균 곡률은 두 번째 기본 형식의 대각합을 ''n''으로 나눈 값(또는 형상 연산자)이다.

또한, 평균 곡률

H

는 공변 미분

\nabla

을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X,

여기서 ''가우스-바인가르텐 관계''를 사용하며,

X(x)

는 매끄럽게 임베딩된 초곡면이고,

\vec{n}

는 단위 법선 벡터이며,

g_{ij}

는 계량 텐서이다.

2. 3. 음함수 형태

곡면이 음함수 형태

F(x,y,z)=0

으로 주어지면, 평균 곡률은 그라디언트

\nabla F=\left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)

와 헤세 행렬을 사용하여 계산할 수 있다.

:

\textstyle \mbox{Hess}(F)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial z} \\\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} & \frac{\partial^2 F}{\partial y\partial z}  \\\frac{\partial^2 F}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^2 F}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^2 F}{\partial z^2}\end{pmatrix}.

평균 곡률은 다음과 같이 주어진다.

:

H = \frac{ \nabla F\  \mbox{Hess}(F) \ \nabla F^{\mathsf {T}} - |\nabla F|^2\, \text{Trace}(\mbox{Hess}(F)) } { 2|\nabla F|^3 }

단위 법선은

\frac{\nabla F}

로 주어지며, 평균 곡률은 단위 법선의 발산을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

:

H = -{\frac{1}{2}}\nabla\cdot \left(\frac{\nabla F}

\right).

3. 유체 역학에서의 평균 곡률

유체 역학에서는 2의 인수를 피하기 위해 다음과 같은 대체 정의가 사용되기도 한다.

: $H_f = (\kappa_1 + \kappa_2) \,$ .

이 경우, 영-라플라스 방정식에 따른 평형 구형 액적 내부의 압력은 표면 장력에 $H_f$ 를 곱한 값과 같으며, 두 곡률은 액적 반경의 역수와 같다.

: $\kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1} \,$ .

4. 평균 곡률의 응용

극소 곡면은 모든 점에서 평균 곡률이 0인 표면이다. 최소 곡면의 아이디어를 확장한 것이 일정 평균 곡률 곡면이다.

4. 1. 극소 곡면

평균곡률이 모든 점에서 0인 곡면을 극소곡면이라고 한다. 카테노이드, 헬리코이드, 엔네퍼 곡면 등은 고전적인 극소 곡면의 예시이다. 최근에는 코스타 극소 곡면과 자이로이드가 발견되었다.

4. 2. 상수 평균 곡률 곡면 (CMC 곡면)

상수평균곡률곡면(Constant-mean-curvature surface)은 평균곡률이 상수인 곡면이다. 구면은 가우스 곡률과 평균곡률이 모두 상수이다.

쌍곡 공간에서 단위 평균 곡률 곡면은 브라이언트 곡면이라고 한다.^[7]

5. 평균 곡률 흐름

3차원 유클리드 공간 '''R'''³^영어 내의 곡면 $S$ 위의 점 $p$ 가 주어졌을 때, $S$ 의 법선을 포함하는 $p$ 를 지나는 각 평면은 $S$ 를 (평면) 곡선으로 자른다. 단위 법선을 선택하면 해당 곡선에 부호가 있는 곡률이 부여된다. 평면이 각도 $\theta$ 만큼 회전하면(항상 법선을 포함) 해당 곡률이 달라질 수 있다. 이때 곡면 $S$ 의 평균 곡률에 따라 변화하는 곡면은 열 형식 방정식인 평균 곡률 흐름 방정식을 따른다고 한다.^[3]

6. 같이 보기

가우스 곡률
주곡률
형상 연산자

참조

_[1] 웹사이트 Sophie Germain http://www-groups.dc[...] 2008-02-23
_[2] 논문 Curvature in the Calculus Curriculum
_[3] 간행물 Counterexample to a conjecture of H. Hopf https://projecteucli[...]
_[4] 서적 Differential Geometry of Curves and Surfaces Dover
_[5] 논문 Curvature formulas for implicit curves and surfaces
_[6] 서적 A Comprehensive Introduction to Differential Geometry Publish or Perish, Boston
_[7] 간행물 The global theory of minimal surfaces in flat spaces (Martina Franca, 1999) https://archive.org/[...] Springer

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