초곡면

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1. 개요
2. 매끄러운 초곡면
- 2.1. 성질
3. 아핀 대수적 초곡면
4. 사영 대수적 초곡면
참조

1. 개요

초곡면은 매끄러운 다양체, 아핀 대수적 초곡면, 사영 대수적 초곡면 등 다양한 유형으로 정의되는 수학적 개념이다. 매끄러운 초곡면은 매끄러운 다양체이며, Rⁿ에서 가향성을 갖는다. 아핀 대수적 초곡면은 다변수 다항식으로 정의되는 대수적 다양체이며, 힐베르트 영점 정리와 같은 주요 성질을 갖는다. 사영 대수적 초곡면은 동차 다항식으로 정의되며, 아핀 초곡면과 밀접한 관련을 맺는다.

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초곡면
정의
정의	'n차원 유클리드 공간 ℝ에서 n차원 다양체 또는 대수다양체'
예시
n=1	'평면 위의 곡선'
n=2	'공간의 곡면'

2. 매끄러운 초곡면

매끄러운 다양체인 초곡면을 '''매끄러운 초곡면'''이라고 한다.

2. 1. 성질

매끄러운 다양체인 초곡면을 '매끄러운 초곡면'이라고 한다.

'''R'''^''n''^영어에서 매끄러운 초곡면은 가향성을 가진다.^[2] 모든 연결된 콤팩트 매끄러운 초곡면은 레벨 집합이며, '''R'''^''n''^영어을 두 개의 연결 성분으로 분리한다. 이는 요르단-브라우어 분리 정리와 관련이 있다.^[3]

3. 아핀 대수적 초곡면

'''아핀 대수적 초곡면'''은 p(x_1, ..., x_n) = 0 형태의 단일 다항식 방정식으로 정의되는 대수적 다양체이다.

정의, 특이점, 성질, 실수 및 유리점에 대한 내용은 하위 섹션에서 자세히 다룬다.

3. 1. 정의

일반적으로 다항식은 기약 다항식으로 가정된다. 기약 초곡면이라는 용어가 사용되기도 한다. 정의 다항식의 계수는 임의의 체 ''k''에 속할 수 있다. 초곡면의 점은 ''k''의 대수적으로 닫힌 확대체 ''K''에 대한 아핀 공간 Kⁿ에서 ''p''의 영점이다.

3. 2. 특이점

초곡면은 정의 다항식과 그 편도함수의 공통 영점(있는 경우)인 특이점을 가질 수 있다.^[1] 특히, 실수 대수적 초곡면은 다양체가 아닐 수도 있다.^[1]

3. 3. 성질

대수적 다양체의 한 종류인 대수적 초곡면은 다음과 같은 형태의 방정식으로 정의된다.^[1]

:

p(x_1, \ldots, x_n)=0,

여기서 는 다변수 다항식을 의미한다. 이 다항식은 일반적으로 기약 다항식으로 가정되는데, 그렇지 않은 경우 초곡면은 대수적 다양체가 아닌 대수적 집합이 된다. '기약 초곡면'이라는 용어를 사용하면 모호성을 피할 수 있다.^[1]

초곡면은 정의 다항식과 그 편도함수들의 공통 영점인 특이점을 가질 수 있다.^[1]

초곡면은 다른 대수적 다양체와 구별되는 특별한 성질을 갖는다. 그 중 하나는 힐베르트 영점 정리인데, 초곡면이 주어진 대수적 집합을 포함하는 것은 초곡면을 정의하는 다항식의 거듭제곱이 대수적 집합을 정의하는 다항식들에 의해 생성된 아이디얼에 속하는 경우에만 가능하다는 정리이다.^[1]

이 정리로부터 두 개의 기약 다항식 (또는 제곱 인수가 없는 다항식)이 같은 초곡면을 정의한다면, 하나는 다른 하나에 0이 아닌 상수를 곱한 것이라는 결론을 얻을 수 있다.^[1]

초곡면은 차원 아핀 공간에서 차원이 인 부분 다양체이다. 이는 체 위의 다항식 링에서 아이디얼의 높이가 1인 것은 해당 아이디얼이 주 아이디얼인 경우에만 해당한다는 사실을 기하학적으로 해석한 것이다. 가약 초곡면의 경우, 모든 기약 성분의 차원이 인 대수적 집합과 정확히 일치한다.^[1]

3. 4. 실수 및 유리점

실수 초곡면은 실수 계수를 가진 다항식으로 정의되는 초곡면이다. 이 경우, 점들이 정의되는 대수적으로 닫힌 체는 일반적으로 복소수의 체인

\mathbb C

이다. 실수 초곡면의 ''실수 점''은

\mathbb R^n \subset \mathbb C^n

에 속하는 점이다. 실수 초곡면의 실수 점 집합은 초곡면의 ''실수 부분''이다.

정의 다항식의 계수가 대수적으로 닫힌 체가 아닌 체(일반적으로 유리수의 체, 유한 체 또는 수체)에 속하는 경우, 초곡면이 ''위에 정의되었다''고 하며,

k^n

에 속하는 점은 위에서 ''유리점''이라고 한다(유리수 체의 경우, " 위에"는 일반적으로 생략된다).

예를 들어, 방정식

:

x_0^2 +\cdots+x_n^2 +1=0

으로 정의되는 허수 -구는 실수 점이 없는 실수 초곡면이며, 유리수 위에서 정의된다. 이 구는 유리점은 없지만, 가우스 유리수 위에서는 많은 유리점을 갖는다.

4. 사영 대수적 초곡면

사영 대수적 초곡면은 체 ''k'' 위의 ''n''차원 사영 공간에서 ''n'' - 1차원으로 정의되며, ''n'' + 1개의 변수를 갖는 동차 다항식 $P(x_0, x_1, \ldots, x_n)$ 에 의해 정의된다.

4. 1. 동차 다항식

동차 다항식의 모든 단항식이 같은 차수를 갖는다는 것을 의미하며, 이는 모든 상수 c에 대해

P(cx_0, cx_1, \ldots, cx_n)=c^dP(x_0, x_1, \ldots, x_n)

와 같다는 것을 의미하며, 여기서 d는 다항식의 차수이다.

4. 2. 점

의 영점인 사영 공간의 사영 좌표 점이다.

4. 3. 아핀 초곡면과의 관계

방정식 $x_0 = 0$의 초평면을 무한대 초평면으로 선택하면, 이 초평면의 여집합은 아핀 공간이 된다. 이 아핀 공간에 속하는 사영 초곡면의 점들은 방정식 $P(1, x_1, \ldots, x_n) = 0$의 아핀 초곡면을 형성한다.

반대로, 방정식 $p(x_1, \ldots, x_n) = 0$의 아핀 초곡면이 주어지면, $p$를 동차화하여 얻은 방정식인 사영 완비^영어라고 불리는 사영 초곡면을 정의한다. 사영 완비의 방정식은 $P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = 0$이며, 다음과 같다.

:$P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^d p(x_1/x_0, \ldots, x_n/x_0)$

여기서 $d$는 $P$의 차수이다.

사영 완비와 아핀 부분 공간으로의 제한, 이 두 과정은 서로 역관계이다. 따라서 아핀 초곡면과 그 사영 완비는 본질적으로 동일한 속성을 가지며, 동일한 초곡면에 대한 두 가지 관점으로 간주된다.

4. 4. 무한대에서의 특이성

아핀 초곡면은 비특이점이지만 그 사영 완비가 특이점을 갖는 경우가 있을 수 있다. 이 경우 아핀 표면은 무한대에서 특이하다고 한다. 예를 들어, 방정식

:

x^2+y^2-1=0

의 3차원 아핀 공간의 원기둥은 유일한 특이점을 가지며, 이는 무한대에 있다.

참조

_[1] 서적 Manifolds and Differential Geometry American Mathematical Society
_[2] 간행물 "Orientability of hypersurfaces in '''R'''^''n''" https://www.ams.org/[...] 1969
_[3] 논문 The Jordan-Brouwer separation theorem for smooth hypersurfaces

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