주곡률

1. 개요

주곡률은 리만 다양체에 매장된 부분다양체의 각 점에서 정의되는 곡률의 일종이다. 3차원 유클리드 공간에서 곡면의 법단면 곡률의 최대 및 최소값으로 정의되며, 일반적인 경우 두 개의 값을 갖는다. 주곡률은 모양 연산자의 고윳값이며, 주방향은 고유벡터이다. 주곡률과 관련된 개념으로는 가우스 곡률, 평균 곡률, 주방향 등이 있으며, 곡면 위의 점은 주곡률의 부호에 따라 타원점, 쌍곡점, 포물점, 배꼽점 등으로 분류된다. 주곡률은 곡률선, 릿지 등의 기하학적 특성을 결정하며, 컴퓨터 비전 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 정의

주곡률은 3차원 유클리드 공간 또는 고차원 리만 다양체 내의 부분 다양체에서 정의할 수 있다. 주곡률은 모양 연산자(Shape Operator)의 고윳값으로 정의된다. 모양 연산자는 제2 기본 형식을 이용하여 표현된다.

d+1차원 리만 다양체 $(M,g)$ 속에 여차원이 1인 부분다양체 $i\backslash colon\backslash Sigma\backslash hookrightarrow\; M$가 매장되어 있다고 가정하자. 그러면 $\backslash Sigma$의 제2 기본 형식 $\backslash operatorname\{II\}$과 제1 기본 형식 $\backslash operatorname\{I\}$를 사용하여 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.

:$S\_\backslash alpha^\backslash gamma=\backslash operatorname\{II\}\_\{\backslash alpha\backslash beta\}(\backslash operatorname\{I\}^\{-1\})^\{\backslash beta\backslash gamma\}$

이 텐서를 모양 연산자(shape operator^영어)라고 한다. $\backslash Sigma$의 주곡률은 이 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 $\backslash kappa\_i$는 다음을 만족시킨다.

:$\backslash det(S^\backslash alpha\_\backslash beta-\backslash kappa\_i\backslash delta^\backslash alpha\_\backslash beta)=0$

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 [[가우스 곡률]] $K$라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(mean curvature^영어) $H$라고 한다.

:$K=\backslash det\; S\_\backslash Sigma=\backslash kappa\_1\backslash kappa\_2\backslash cdots\backslash kappa\_d$
:$H=\backslash frac1d\backslash operatorname\{tr\}S\_\backslash Sigma=\backslash frac\{\backslash kappa\_1+\backslash kappa\_2+\backslash cdots+\backslash kappa\_d\}d$

유클리드 공간 내의 곡면 M이 제2 기본 형식 $I\backslash !I(X,Y)$을 갖는다고 하자. 점 p ∈ M과 점 p에서의 접 벡터에 대한 정규 직교 기저 X₁, X₂를 고정한다. 그러면 주곡률은 다음 대칭 행렬의 고유값이다.

:$\backslash left[I\backslash !I\_\{ij\}\backslash right]\; =$
\begin{bmatrix}
I\!I(X_1,X_1)&I\!I(X_1,X_2)\\
I\!I(X_2,X_1)&I\!I(X_2,X_2)
\end{bmatrix}.

만약 행렬 $\backslash left[I\backslash !I\_\{ij\}\backslash right]$가 대각 행렬이 되도록 X₁과 X₂를 선택하면, 이들은 주 방향이라고 불린다.

2.1. 3차원 유클리드 공간에서의 주곡률

3차원 유클리드 공간에서 미분 가능한 곡면의 각 점 p에서 법선 벡터를 선택할 수 있다. 점 p에서의 법평면은 법선 벡터를 포함하는 평면이며, 따라서 곡면에 접하는 고유한 방향을 포함하고 곡면을 평면 곡선으로 잘라내는데, 이를 법단면이라고 한다. 이 곡선은 일반적으로 점 p에서의 서로 다른 법평면에 대해 서로 다른 곡률을 갖는다. 주곡률은 k₁과 k₂로 표시하며, 이 곡률의 최대 및 최소값이다.

여기서 곡선의 곡률은 정의상 역수 접원의 반지름이다. 곡률은 곡선이 곡면의 선택된 법선과 같은 방향으로 돌면 양수로, 그렇지 않으면 음수로 간주된다. 곡률이 최대 및 최소값을 갖는 법평면의 방향은 항상 수직이며, k₁이 k₂와 같지 않다면, 이는 오일러 (1760)의 결과이며, 이를 주방향이라고 한다. 현대적인 관점에서 볼 때, 이 정리는 이러한 방향이 대칭 텐서—제2 기본 형식—의 주축이므로 스펙트럼 정리에서 따른다. 주곡률과 주방향에 대한 체계적인 분석은 가스통 다르부가 다르부 프레임을 사용하여 수행했다.

두 주곡률의 곱 k₁k₂는 가우스 곡률 K이고, 평균 (k₁ + k₂)/2는 평균 곡률 H이다.

모든 점에서 주곡률 중 적어도 하나가 0이면 가우스 곡률은 0이 되고 곡면은 전개 가능한 곡면이 된다. 극소 곡면의 경우, 평균 곡률은 모든 점에서 0이다.

2.2. 고차원 리만 다양체에서의 주곡률

d+1차원 리만 다양체 $(M,g)$ 속에 여차원이 1인 부분다양체 $i\backslash colon\backslash Sigma\backslash hookrightarrow\; M$가 매장돼 있다고 하자. 그렇다면, $\backslash Sigma$의 제2 기본 형식 $\backslash operatorname\{II\}$과 제1 기본 형식 $\backslash operatorname\{I\}$를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.
:$S\_\backslash alpha^\backslash gamma=\backslash operatorname\{II\}\_\{\backslash alpha\backslash beta\}(\backslash operatorname\{I\}^\{-1\})^\{\backslash beta\backslash gamma\}$
이 텐서를 모양 연산자(shape operator^영어)라고 한다. $\backslash Sigma$의 주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 $\backslash kappa\_i$는 다음을 만족시킨다.
:$\backslash det(S^\backslash alpha\_\backslash beta-\backslash kappa\_i\backslash delta^\backslash alpha\_\backslash beta)=0$

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 $K$라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(mean curvature^영어) $H$라고 한다.
:$K=\backslash det\; S\_\backslash Sigma=\backslash kappa\_1\backslash kappa\_2\backslash cdots\backslash kappa\_d$
:$H=\backslash frac1d\backslash operatorname\{tr\}S\_\backslash Sigma=\backslash frac\{\backslash kappa\_1+\backslash kappa\_2+\backslash cdots+\backslash kappa\_d\}d$

M이 리만 다양체 N의 초곡면이라면, 주곡률은 제2 기본 형식의 고유값이다. 만약 k₁, ..., k_n이 점 p ∈ M에서 n개의 주곡률이고, X₁, ..., X_n이 해당 정규 직교 고유 벡터(주 방향)라면, p에서의 M의 단면 곡률은 다음과 같다.
:$K(X\_i,X\_j)\; =\; k\_ik\_j$
(단, 모든 $i,j$에 대해 $i\backslash neq\; j$이다.)

3. 주곡률과 관련된 개념

d+1차원 리만 다양체 $(M,g)$ 속에 여차원이 1인 부분다양체 $i\backslash colon\backslash Sigma\backslash hookrightarrow\; M$가 매장돼 있다고 하자. 그렇다면, $\backslash Sigma$의 제2 기본 형식 $\backslash operatorname\{II\}$과 제1 기본 형식 $\backslash operatorname\{I\}$를 사용해 다음과 같은 (1,1)-텐서를 정의할 수 있다.
:$S\_\backslash alpha^\backslash gamma=\backslash operatorname\{II\}\_\{\backslash alpha\backslash beta\}(\backslash operatorname\{I\}^\{-1\})^\{\backslash beta\backslash gamma\}$
이 텐서를 모양 연산자(shape operator^영어)라고 한다. $\backslash Sigma$의 주곡률은 그 모양 연산자의 고윳값들이다. 즉, 주곡률 $\backslash kappa\_i$는 다음을 만족시킨다.
:$\backslash det(S^\backslash alpha\_\backslash beta-\backslash kappa\_i\backslash delta^\backslash alpha\_\backslash beta)=0$

모양 연산자의 행렬식, 즉 주곡률들의 곱을 가우스 곡률 $K$라고 하고, 대각합의 1/d, 즉 주곡률들의 평균을 평균 곡률(mean curvature^영어) $H$라고 한다.
:$K=\backslash det\; S\_\backslash Sigma=\backslash kappa\_1\backslash kappa\_2\backslash cdots\backslash kappa\_d$
:$H=\backslash frac1d\backslash operatorname\{tr\}S\_\backslash Sigma=\backslash frac\{\backslash kappa\_1+\backslash kappa\_2+\backslash cdots+\backslash kappa\_d\}d$

3차원 유클리드 공간 내 미분 가능한 곡면의 각 점 p에서는 법선 벡터(normal vector)를 선택할 수 있다. p에서의 법평면(normal plane)은 법선 벡터를 포함하는 평면이며, 따라서 곡면의 유일한 접선을 포함하고, 법단면(normal section)이라고 불리는 평면 곡선으로 곡면의 단면을 만든다. 이 곡선은 일반적으로 점 p에서 다른 법평면에 대해 서로 다른 곡률을 갖는다. p에서의 주곡률은 이 곡률의 최댓값과 최솟값으로, k₁과 k₂로 표기한다.

여기서 곡선의 곡률은 정의에 따라 접촉원(osculating circle)의 반지름에 반비례한다. 곡률은 곡면의 선택된 법선과 곡선이 같은 방향일 때 양수가 되고, 그렇지 않은 경우 음수가 된다.

레온하르트 오일러는 1760년에 k₁과 k₂가 같지 않을 때, 곡률이 극대값 또는 극소값을 갖는 법평면의 방향은 항상 수직임을 보였고, 이 방향들을 주방향(principal directions)이라고 부른다. 현대적인 관점에서 보면, 이 정리는 대칭 텐서의 주축 - 제2 기본 형식이므로, 스펙트럼 정리에서 유도할 수 있다. 장 가스통 다르부는 다르부 좌표계(Darboux frame)를 사용하여 주곡률과 주방향을 체계적으로 분석했다.

최소한 주곡률 중 하나가 0이면 가우스 곡률은 0이 되고, 곡면은 전개 가능한 곡면이다. 극소 곡면에 대해, 평균 곡률은 모든 점에서 0이다.

3.1. 가우스 곡률

가우스 곡률 K는 두 주곡률 k₁과 k₂의 곱으로 정의된다. 즉, K = k₁k₂이다.

3차원 유클리드 공간에서 미분 가능한 곡면의 각 점에서 법선 벡터를 선택할 수 있다. 이때, 법선 벡터를 포함하는 평면을 법평면이라고 하며, 법평면은 곡면에 접하는 고유한 방향을 포함하고 곡면을 평면 곡선으로 잘라내는데, 이를 법단면이라고 한다.

일반적으로 법단면의 곡률은 한 점에서 서로 다른 법평면에 대해 서로 다른 값을 가진다. 이 곡률의 최댓값과 최솟값을 주곡률 k₁과 k₂로 표시한다. 곡선의 곡률은 접원의 반지름에 반비례하며, 곡선이 곡면의 선택된 법선과 같은 방향으로 돌면 양수, 그렇지 않으면 음수로 간주된다.

오일러(1760)의 결과에 따르면, k₁이 k₂와 같지 않다면, 곡률이 최대 및 최소값을 갖는 법평면의 방향은 항상 수직이며, 이를 주방향이라고 한다. 가스통 다르부는 다르부 프레임을 사용하여 주곡률과 주방향에 대한 체계적인 분석을 수행했다.

만약 모든 점에서 주곡률 중 적어도 하나가 0이면 가우스 곡률은 0이 되고, 이 경우 곡면은 전개 가능한 곡면이 된다.

3.2. 평균 곡률

평균 곡률은 두 주곡률의 산술 평균으로 정의된다. 즉, d차원 리만 다양체의 부분다양체에서 평균 곡률 $H$는 다음과 같이 정의된다.

:$H=\backslash frac1d\backslash operatorname\{tr\}S\_\backslash Sigma=\backslash frac\{\backslash kappa\_1+\backslash kappa\_2+\backslash cdots+\backslash kappa\_d\}d$

여기서 $\backslash kappa\_i$는 주곡률을 의미한다.

3차원 유클리드 공간에서 미분 가능한 곡면의 경우, 평균 곡률 $H$는 두 주곡률 $k\_1$과 $k\_2$의 평균값 $(k\_1\; +\; k\_2)/2$로 나타낸다.

모든 점에서 평균 곡률이 0인 곡면은 극소 곡면이다.

3.3. 주방향

k₁이 k₂와 같지 않을 때, 곡률이 최대 및 최소값을 갖는 법평면의 방향은 항상 수직이며, 이를 주방향이라고 한다. 이는 레온하르트 오일러(1760)의 결과이다. 현대적인 관점에서, 이 정리는 이러한 방향이 대칭 텐서—제2 기본 형식—의 주축이므로 스펙트럼 정리에서 따른다.

유클리드 공간 내의 곡면 M이 제2 기본 형식 $I\backslash !I(X,Y)$을 갖는다고 하자. 점 p ∈ M과 점 p에서의 접 벡터에 대한 정규 직교 기저 X₁, X₂를 고정한다. 그러면 주 방향은 다음 행렬이 대각 행렬이 되도록 X₁과 X₂를 선택하는 방법이다.

:$\backslash left[I\backslash !I\_\{ij\}\backslash right]\; =$
\begin{bmatrix}
I\!I(X_1,X_1)&I\!I(X_1,X_2)\\
I\!I(X_2,X_1)&I\!I(X_2,X_2)
\end{bmatrix}.

만약 곡면이 방향을 갖는다면, 종종 쌍 (X₁, X₂)가 주어진 방향에 대해 양의 방향을 갖도록 요구한다.

특정 정규 직교 기저를 참조하지 않고, 주 방향은 모양 연산자의 고유벡터이다.

4. 곡면 위의 점 분류

여차원이 1인 부분다양체의 한 점은 모양 연산자의 계량 부호수에 따라 타원점, 포물점, 쌍곡점, 배꼽점으로 분류된다.

4.1. 타원점

타원점에서는 두 주곡률이 같은 부호를 가지며, 곡면은 국소적으로 볼록하다. 배꼽점에서는 두 주곡률이 같고, 모든 접벡터가 주방향으로 간주된다. 이것들은 전형적인 고립점이다. 타원점에서는 모양 연산자가 양의 정부호이다. 즉, 모든 주곡률들이 양수이다.

4.2. 쌍곡점

쌍곡점에서는 두 주곡률이 다른 부호를 가지며, 곡면은 국소적으로 안장 모양이 된다. 이 점에서 적어도 한 주곡률은 음수이다.

4.3. 포물점

포물점에서는 주곡률 중 적어도 하나가 0이다. 포물점은 일반적으로 타원 영역과 쌍곡 영역을 구분하는 곡선에 위치한다.

4.4. 배꼽점

여차원이 1인 부분다양체 $\backslash Sigma\backslash subset\; M$의 점 $p\backslash in\backslash Sigma$에서 모든 주곡률들이 같은 경우를 배꼽점(umbilic point^영어)이라고 한다. 이 점에서 곡면은 국소적으로 구면처럼 보인다.

배꼽점에서는 모든 접벡터를 주방향으로 간주할 수 있으며, 이러한 점들은 일반적으로 고립되어 나타난다.

4.4.1. 평탄 배꼽점

두 주곡률이 모두 0인 배꼽점이다. 일반적인 곡면은 평탄 배꼽점을 포함하지 않는다. 원숭이 안장은 고립된 평탄 배꼽점을 갖는 곡면이다.

5. 곡률선

곡률선은 항상 주 방향에 접하는 곡선이다. 각 비제점(非臍点)을 지나는 곡률선은 두 개이며, 서로 직교한다. 제점(臍点) 근처에서 곡률선은 일반적으로 성상(星狀), 레몬상(レモン狀), 몬스터상(モンスター狀)의 세 가지 형태를 띤다. 이러한 점들은 가스통 다르부가 처음으로 체계적으로 연구하여 다르부 제점이라고도 불린다.

위 그림에서 빨간색 곡선과 파란색 곡선은 각각 서로 다른 주 방향의 곡률선을 나타낸다. 곡률선이 동일한 주곡률의 국소 극값을 가지면 능점(ridge point)이라고 부르며, 능점은 곡면에서 능선(ridge)을 형성한다. 성상과 몬스터상의 경우 3개 또는 1개의 능선이 제점을 통과하며, 레몬상의 경우에는 1개의 능선만이 제점을 통과한다.

5.1. 곡률선의 정의

곡률선은 항상 주 방향에 접하는 곡선이다(주 방향장에 대한 적분 곡선이다). 비배꼽점마다 두 개의 곡률선이 지나가며, 이 곡선들은 직각으로 교차한다.

배꼽점 부근에서 곡률선은 일반적으로 별(star), 레몬(lemon), 몬스타(monstar)의 세 가지 형태로 나타난다(레몬-별(lemon-star)에서 유래). 이 점들은 가스통 다르부를 기려 다르부 배꼽점(D₁, D₂, D₃)이라고도 불리며, 그는 그의 저서 Leçons(1896) 4권 455쪽에 체계적인 연구를 처음으로 수행했다.

이 그림에서 빨간색 곡선은 한 가족의 주 방향에 대한 곡률선이며, 파란색 곡선은 다른 가족에 대한 곡률선이다.

곡률선이 동일한 주 곡률의 국소 극값을 가질 때, 이 곡선은 릿지점을 갖는다. 이 릿지점들은 릿지라고 불리는 표면상의 곡선을 형성한다. 릿지 곡선은 배꼽점을 통과한다. 별 패턴의 경우 3개 또는 1개의 릿지선이 배꼽점을 통과하고, 몬스타와 레몬의 경우 1개의 릿지만 통과한다.

5.2. 배꼽점 근처의 곡률선

배꼽점 부근에서 곡률선은 일반적으로 별(star), 레몬(lemon), 몬스타(monstar)의 세 가지 형태로 나타난다(레몬-별(lemon-star)에서 유래). 이 점들은 가스통 다르부를 기려 다르부 배꼽점(D₁, D₂, D₃)이라고도 부른다.

위 그림에서 빨간색 곡선은 한 주 방향에 대한 곡률선이며, 파란색 곡선은 다른 주 방향에 대한 곡률선이다.

곡률선이 동일한 주 곡률의 국소 극값을 가질 때, 이 곡선은 릿지점을 갖는다. 릿지점들은 릿지라고 불리는 표면상의 곡선을 형성한다. 릿지 곡선은 배꼽점을 통과한다. 별 패턴의 경우 3개 또는 1개의 릿지선이 배꼽점을 통과하고, 몬스타와 레몬의 경우 1개의 릿지만 통과한다.

5.3. 릿지(Ridge)

곡률선이 동일한 주곡률의 국소 극값을 가질 때, 이 곡선은 릿지점을 갖는다. 릿지점들은 곡면 위에서 릿지라고 불리는 곡선을 형성한다. 릿지 곡선은 배꼽점을 통과한다. 별 패턴의 경우 3개 또는 1개의 릿지선이 배꼽점을 통과하고, 몬스타와 레몬의 경우 1개의 릿지만 통과한다.

6. 응용

주곡률 방향은 표면 법선과 함께 표면에서 3차원 방향 프레임을 정의한다. 예를 들어, 원통형 표면의 경우, 물리적으로 접촉하거나 시각적으로 관찰함으로써, 특정 방향을 따라 표면이 평평하다는 것(원통의 축과 평행)을 알고 있으며, 따라서 표면의 방향을 알아차린다. 각 표면 점에서의 이러한 방향 프레임의 의미는 시간에 따른 표면의 모든 회전이 해당 방향 프레임의 변화를 고려함으로써 간단히 결정될 수 있다는 것이다. 이는 컴퓨터 비전 분야에서 단일 표면 점 동작 추정 및 영상 분할 알고리즘의 개발로 이어졌다.