풋-콜 패리티

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1. 개요

풋-콜 패리티는 콜 옵션, 풋 옵션, 기초 자산의 선도 가격, 행사가격 간의 관계를 나타내는 공식으로, 차익 거래 기회가 없다는 가정 하에 도출된다. 풋-콜 패리티는 최소한의 가정 하에 선도 계약의 정적 복제를 통해 성립하며, 콜과 풋의 등가, 내재 변동성의 패리티를 의미한다. 풋-콜 패리티는 중세 시대 초기에 그 형태가 나타났으며, 20세기 초 여러 저술가들에 의해 공식적으로 설명되었다.

풋-콜 패리티

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1. 개요
2. 가정
3. 공식 및 설명
4. 도출
5. 역사
6. 시사점 및 활용

2. 가정

풋-콜 패리티는 선도 계약의 정적 복제이므로 최소한의 가정만이 필요하다. 거래되는 선도 계약이 없는 경우, 선도 계약은 기초 자산을 구매하고 이를 고정 기간 동안 차입(예: 채권 차입)하거나, 반대로 차입하고 기초 자산을 매도(공매도)하고 받은 자금을 기간 동안 대여함으로써 대체(실제로 자체 복제)될 수 있으며, 두 경우 모두 자기 자금 조달 포트폴리오가 생성된다.

이러한 가정은 초기 날짜와 만기일 사이에 어떠한 거래도 필요하지 않으므로, 블랙-숄즈 모형의 가정보다 훨씬 약하다. 블랙-숄즈 모형은 동적 복제와 기초 자산에 대한 지속적인 거래를 필요로 한다.

복제는 파생 상품 거래를 할 수 있다고 가정하며, 이는 레버리지(및 이를 뒷받침하는 자본 비용)를 필요로 하며, 매수 및 매도는 거래 비용, 특히 매수-매도 호가 스프레드를 수반한다. 따라서 이 관계는 무제한 유동성을 가진 이상적인 마찰 없는 시장에서만 정확하게 성립한다. 그러나 실제 시장은 시장의 혼란이 없는 경우 주요 통화 또는 주요 주가 지수의 외환 시장과 같이 관계가 거의 정확할 정도로 충분히 유동적일 수 있다.

3. 공식 및 설명

풋-콜 패리티는 여러 가지 방식으로 표현될 수 있는데, 가장 간단한 형태는 다음과 같다.

: $C - P = D\cdot(F - K)$

여기서,
* $C$ 는 콜옵션의 현재 가치
* $P$ 는 풋옵션의 현재 가치
* $D$ 는 할인 계수
* $F$ 는 기초 자산의 선도 가격
* $K$ 는 행사가격

위 식에서 좌변은 콜 옵션 매수(롱 콜)와 풋 옵션 매도(숏 풋) 포지션을 나타내고, 우변은 선도 계약 매수 포지션과 동일하다. 좌변의 $C$ 와 $P$ 는 현재 가치로 표시되지만, 우변의 $F$ 와 $K$ 는 미래 가치(만기 시 자산의 선도 가격과 행사가격)로 표시되므로, 할인 계수 $D$ 를 통해 현재 가치로 변환한다.

현물 가격 $S$ 는 선도 가격 $F$ 를 할인 계수 $D$ 로 할인하여 얻을 수 있다( $S = D\cdot F$ ). 따라서 선도 가격 $F$ 대신 현물 가격 $S$ 를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $C - P = S - D\cdot K$

위 식을 다르게 정리하면 다음과 같은 해석도 가능하다.

: $C + D \cdot K = P + S$

여기서 좌변은 콜 옵션 매수와 콜 옵션 행사에 필요한 현금(또는 채권)을 보유한 재정적 콜옵션을 의미한다. 우변은 풋 옵션 매수와 기초 자산을 함께 보유한 결합 풋 옵션을 의미하며, 자산은 행사 시 행사가격에 매각될 수 있다. 만기 시 옵션의 내재 가치는 0이 되므로, 양변 모두 최소 행사가격( $K$ ) 또는 자산 가치( $S$ ) 중 더 큰 값( $\max(K, S)$ )만큼의 수익을 얻게 된다.

이것은 현금을 가진 롱 콜 옵션이 자산을 가진 롱 풋 옵션과 동일하다는 것을 의미한다.

다른 방식으로 정리하면 다음과 같다.

: $D \cdot K - P = S - C$

좌변은 현금 담보 풋 옵션 매도, 즉 숏 풋 옵션과 풋 옵션 보유자가 행사할 경우를 대비한 현금을 보유한 상태를 의미한다. 우변은 커버드 옵션 매도, 즉 기초 자산과 콜 옵션 매도를 결합한 상태를 의미하며, 콜 옵션 보유자가 행사하면 자산을 인도할 준비가 된 것이다. 만기 시에는 이전 시나리오와 반대로, 양변 모두 행사가격( $K$ ) 또는 자산 가치( $S$ ) 중 더 *낮은* 값( $\min(K, S)$ )만큼의 수익을 얻는다.

따라서 풋-콜 패리티는 현금 담보 (숏) 풋 옵션과 커버드 (숏) 콜 옵션의 동등성으로도 이해할 수 있다. 현금 담보 풋 옵션을 매도하는 것이 커버드 콜 옵션을 매도하는 것보다 일반적으로 더 위험하다고 여겨지기 때문에 이는 놀라운 일일 수 있다.

시간에 따른 금융 변수의 변화를 명확하게 나타내기 위해, 풋-콜 패리티 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $C(t) - P(t) = S(t)- K \cdot B(t,T)$

여기서,
* $C(t)$ 는 시간 $t$ 에서의 콜옵션 가치
* $P(t)$ 는 만기가 같은 풋옵션의 가치
* $S(t)$ 는 기초 자산의 현물 가격
* $K$ 는 행사가격
* $B(t,T)$ 는 시간 $T$ 에 1달러로 만기가 되는 무쿠폰 채권의 현재 가치 (즉, $K$ 에 대한 할인 계수)

위 식의 우변은 인도 가격이 $K$ 인 주식에 대한 선도 계약 매수 가격과 같다. 따라서 롱 콜 옵션과 숏 풋 옵션의 포트폴리오는 롱 선도와 동일하다고 해석할 수 있다. 만약 기초 자산은 거래할 수 없지만, 해당 자산에 대한 선도가 존재한다면, 우변의 식을 선도 가격으로 대체할 수 있다.

채권 이자율 $r$ 이 일정하다고 가정하면,

: $B(t,T) = e^{-r(T-t)}$

( $r$ 은 이자율을 나타내며, 작은 이자율에 대해서는 연간 유효 이자율과 거의 같다. 하지만, 특히 이자율이 크거나 기간이 긴 경우에는 근삿값에 주의해야 한다. $r$ 을 정확하게 구하려면 $r = \ln (1+i)$ 를 사용한다. 여기서 $i$ 는 연간 유효 이자율이다.)

옵션 만기 전에 배당금이 지급되는 주식에 대한 유럽형 옵션의 경우, 공식은 다음과 같이 수정된다.

: $C(t) - P(t) + D(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)$

여기서 $D(t)$ 는 옵션의 남은 기간 동안 지급될 주당 총 배당금의 가치(현재 가치로 할인)를 나타낸다.

위 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

: $C(t) - P(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)\ - D(t)$

이 식의 우변은 인도 가격이 $K$ 인 주식에 대한 선도 계약 가격과 같다.

풋-콜 패리티는 선도 계약의 정적 복제를 통해 최소한의 가정만으로 성립한다. 거래되는 선도 계약이 없는 경우에도, 기초 자산을 매수하고 일정 기간 동안 자금을 차입(예: 채권 차입)하거나, 반대로 자산을 차입하여 매도(공매도)하고 받은 자금을 대여하는 방식으로 선도 계약을 대체(복제)할 수 있다. 두 경우 모두 자기 자금 조달 포트폴리오가 생성된다.

이러한 가정은 초기 시점과 만기 시점 사이에 어떠한 거래도 필요하지 않다는 점에서, 블랙-숄즈 모형의 가정보다 훨씬 약하다. 블랙-숄즈 모형은 동적 복제와 기초 자산에 대한 지속적인 거래를 필요로 한다.

복제는 파생 상품 거래가 가능하고, 레버리지(및 자본 비용)가 필요하며, 매수 및 매도에 거래 비용(특히 매수-매도 호가 스프레드)이 수반된다고 가정한다. 따라서 이 관계는 무제한 유동성을 가진 이상적인 마찰 없는 시장에서만 정확하게 성립한다. 그러나 실제 시장, 예를 들어 주요 통화나 주가지수의 외환 시장은 시장 혼란이 없는 경우, 이 관계가 거의 정확하게 유지될 만큼 충분히 유동적일 수 있다.

4. 도출

차익 거래 기회가 없다는 가정 하에 (가격이 차익 거래가 없는 경우), T 시점에 항상 동일한 지급액을 가지는 두 포트폴리오는 이전 시점에도 동일한 가치를 가져야 한다. 이를 증명하기 위해, T 이전의 어떤 시점 t에서, 한 포트폴리오가 다른 포트폴리오보다 저렴하다고 가정해 보자. 그러면 더 저렴한 포트폴리오를 매수(롱)하고 더 비싼 포트폴리오를 매도(숏)할 수 있다. T 시점에 이 현금 제외 롱/숏 포트폴리오는 주가와 관계없이 0의 가치를 갖는다(모든 자산과 부채가 상쇄되었기 때문). 따라서 t 시점에 얻은 현금 이익은 무위험 이익이지만, 이는 무위험 차익 거래가 없다는 가정을 위반한다.

동일한 지급액을 가진 두 포트폴리오를 만들고(정적 복제) 위의 원리(합리적 가격 결정)를 적용하여 풋-콜 패리티 관계를 도출한다.

어떤 배당금을 지급하지 않는 주식 S에 대해, 동일한 만기일 T과 동일한 행사가 K를 가진 콜 옵션과 풋 옵션을 고려한다. 우리는 만기 시간 T에 1달러를 지급하는 채권의 존재를 가정한다. 채권 가격은 주식처럼 무작위일 수 있지만 만기에는 1과 같아야 한다.

t 시점의 S의 가격을 S(t)라고 하자. 이제 동일한 만기 T와 행사가 K를 가진 콜 옵션 C를 매수하고 풋 옵션 P를 매도하여 포트폴리오를 구성한다. 이 포트폴리오의 지급액은 S(T) - K이다. 이제 주식 1주를 매수하고 K개의 채권을 빌려 두 번째 포트폴리오를 구성한다. 후자의 포트폴리오의 지급액도 T 시점에서 S(T) - K인데, S(t)에 매수한 주식은 S(T)의 가치를 가지며, 빌린 채권은 K의 가치를 가지기 때문.

동일한 지급액은 두 포트폴리오가 일반적인 시간 $t$ 에서 동일한 가격을 가져야 함을 의미한다는 관찰에 의해, 다양한 금융 상품의 가치 간에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

$C(t) - P(t) = S(t)- K \cdot B(t,T) \,$ ^영어

따라서 차익 거래 기회가 없다는 점을 감안할 때, 위 관계식은 풋-콜 패리티로 알려져 있으며, 콜, 풋, 채권 및 주식의 임의의 세 가지 가격이 주어지면 네 번째 가격을 암시적으로 계산할 수 있다.

배당금의 경우, 수정된 공식은 위와 유사한 방식으로 도출될 수 있지만, 한 포트폴리오가 콜을 롱하고 풋을 숏하며, 각각 만기 T에 1달러를 지급하는 D(T)개의 채권을 롱하는 것으로 구성된다는 수정이 있다(채권은 t 시점에 D(t)의 가치를 갖는다). 다른 포트폴리오는 이전과 동일하다. 즉, 주식 1주를 롱하고, 각각 T에 1달러를 지급하는 K개의 채권을 숏한다. 차이점은 T 시점에 주식은 S(T)의 가치를 가질 뿐만 아니라 D(T)의 배당금을 지급한다는 것이다.

5. 역사

풋-콜 패리티의 형태는 중세 시대 초기에 나타났으며, 20세기 초 여러 저술가들에 의해 공식적으로 설명되었다.

마이클 놀은 "현대 금융 혁신의 고대 뿌리: 규제 차익 거래의 초기 역사"에서 풋-콜 패리티가 중세 잉글랜드에서 현대 대출 담보의 특징을 정의하는 상환권을 개발하는 데 중요한 역할을 했다고 설명한다.

19세기, 금융가 러셀 세이지는 풋-콜 패리티를 사용하여 당시의 고리대금법이 허용하지 않았을 더 높은 이자율을 가진 합성 대출을 만들었다.

뉴욕의 옵션 차익 거래자 넬슨은 1904년에 풋-콜 패리티를 자세히 설명하는 책 "옵션과 차익 거래의 A.B.C."를 출판했다. 그의 책은 2000년대 초 에스펜 가르더 하우그에 의해 재발견되었으며, 넬슨의 책에서 많은 참고 자료가 하우그의 저서 "파생 상품 모델에 대한 모델"에 인용되어 있다.

헨리 도이치는 1910년 저서 "금, 동전, 어음, 주식, 주식 및 옵션 차익 거래, 2판"에서 풋-콜 패리티를 설명했지만, 넬슨(1904)보다 덜 자세하게 다루었다.

수학 교수 빈첸츠 브론진은 1908년에 풋-콜 패리티를 도출하고 이를 일련의 서로 다른 분포 하에서 일련의 수학적 옵션 모델을 개발하기 위한 차익 거래 논증의 일부로 사용했다. 브론진 교수의 연구는 최근 볼프강 하프너 교수와 하인츠 짐머만 교수에 의해 재발견되었다. 브론진의 원본 저서는 독일어로 쓰여진 책이며, 현재 하프너와 짐머만에 의해 편집된 저서 ("빈첸츠 브론진의 옵션 가격 모델", Springer Verlag)에서 영어로 번역되어 출판되었다.

현대 학술 문헌에서 풋-콜 패리티에 대한 최초의 설명은 한스 스톨이 "Journal of Finance"에 기고한 것으로 보인다.

6. 시사점 및 활용

풋-콜 패리티(Put-call parity)는 다음을 의미한다.

* 콜과 풋의 등가: 패리티는 콜과 풋을 델타 중립적인 포트폴리오에서 상호 교환하여 사용할 수 있음을 의미한다. 만약 $d$ 가 콜의 델타라면, 콜을 매수하고 $d$ 주를 공매도하는 것은 동일한 행사가격의 풋을 매도하고 $1 - d$ 주를 공매도하는 것과 같다. 콜과 풋의 등가는 옵션 거래에서 매우 중요하다.
* 내재 변동성의 패리티: 배당금이나 기타 보유 비용(주식을 빌리거나 공매도하기 어려운 경우 등)이 없는 경우, 콜과 풋의 내재 변동성은 동일해야 한다.