프로카 작용

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1. 개요
2. 역사
3. 라그랑지안 밀도
- 3.1. 프로카 형식 (일반적인 형식)
- 3.2. 일반화된 형식 (복소 4-전위)
4. 프로카 방정식
5. 게이지 고정
6. 추가 설명
참조

1. 개요

프로카 작용은 1936년 알렉산드루 프로카에 의해 도입되었으며, 질량을 가진 벡터장을 설명하는 데 사용되는 라그랑지안 밀도와 프로카 방정식을 포함한다. 이 작용은 슈튀켈베르크 작용을 힉스 메커니즘을 통해 게이지 고정하여 얻을 수 있으며, 게이지 불변성을 깨뜨린다. 프로카 방정식은 로렌츠 게이지 조건을 만족하며, 질량을 가진 스핀 1 입자를 기술한다.

2. 역사

프로카 작용은 루마니아의 알렉산드루 프로카Alexandru Proca^ro가 1936년에 벡터 중간자를 기술하기 위하여 도입하였다.^[5]

3. 라그랑지안 밀도

프로카 작용을 기술하는 라그랑지안 밀도는 질량을 가진 벡터 보손을 설명하는 이론의 기초를 이룬다. 이 라그랑지안 밀도에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면 해당 입자의 운동 방정식인 '''프로카 방정식'''을 얻을 수 있다.

프로카 라그랑지안 밀도의 중요한 특징은 명시적인 질량 항을 포함한다는 점이다. 이 질량 항 때문에 이론은 게이지 불변성을 만족하지 않게 되는데, 이는 질량이 없는 광자를 기술하는 맥스웰 방정식의 라그랑지안과는 구별되는 점이다.

프로카 작용의 라그랑지안 밀도는 주로 '프로카 형식'으로 표현되지만, 복소수 4-전위를 사용하는 '일반화된 형식'도 존재한다. 각 형식의 구체적인 형태와 그로부터 유도되는 물리적 내용은 하위 섹션에서 더 자세히 다루어진다.

이론적으로 프로카 작용은 슈튀켈베르크 작용이라는 더 일반적인 이론에서 특정 조건을 부여하여 유도될 수도 있다. 이는 힉스 메커니즘과 같은 과정을 통해 게이지 고정을 함으로써 얻어질 수 있다.

3. 1. 프로카 형식 (일반적인 형식)

프로카 형식은 질량을 가진 벡터장을 기술하는 가장 단순한 라그랑지안 밀도이다.^[2] 이는 슈튀켈베르크 형식에서 보조 스칼라장을 0으로 놓은 것과 같다. 프로카 형식의 라그랑지안 밀도는 다음과 같이 주어진다.

:

\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_\nu A^\nu

여기서

A_\nu

는 실수 벡터장이며,

F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

는 전자기장의 경우 전자기장 텐서에 해당한다. 이 라그랑지안 밀도는 벡터장의 질량 항(

\frac{1}{2}m^2A_\nu A^\nu

) 때문에 게이지 불변성을 만족하지 않는다.

이 라그랑지안 밀도를 오일러-라그랑주 방정식

:

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu A_\nu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0

에 적용하면 다음과 같은 운동 방정식을 얻는다. 이를 '''프로카 방정식'''이라고 한다.

:

\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+ m^2 A^\nu=0

또는

F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

를 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0

이 방정식의 양변에

\partial_\nu

를 취하면,

F^{\mu\nu}

가 반대칭 텐서(

\partial_\mu \partial_\nu F^{\mu\nu}=0

)이므로 다음을 얻는다.

:

m^2 \partial_\nu A^\nu = 0

따라서 질량

m

이 0이 아니라면 (

m \neq 0

), 자동적으로 로렌츠 게이지 조건

:

\partial_\mu A^\mu=0

이 성립한다. 이 조건을 원래 프로카 방정식에 대입하면 (

\partial_\mu \partial^\nu A^\mu = 0

), 프로카 방정식은 다음과 같은 형태가 된다.

:

\left(\partial_\mu \partial^\mu+ m^2\right)A^\nu=0

이는 각 성분

A^\nu

가 질량

m

을 가지는 클라인-고든 방정식을 만족함을 의미한다.

4-벡터 포텐셜

A^\mu

는 원래 4개의 성분을 가지지만, 로렌츠 게이지 조건(

\partial_\mu A^\mu=0

)이 부과됨으로써 독립적인 성분의 수는 3개로 줄어든다. 이는 프로카 방정식이 기술하는 입자가 스핀 1을 가지는 벡터 보손임을 나타낸다.

3. 2. 일반화된 형식 (복소 4-전위)

해당 필드는 복소수 4-전위

B^\mu = \left (\frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right)

를 포함하며, 여기서

\phi

는 일종의 일반화된 전기 전위이고

\mathbf{A}

는 일반화된 자기 벡터 전위이다. 필드

B^\mu

는 복소수 4-벡터처럼 변환된다.

라그랑지안 밀도는 다음과 같다.^[2]

:

\mathcal{L}=-\frac{1}{2}(\partial_\mu B_\nu^*-\partial_\nu B_\mu^*)(\partial^\mu B^\nu-\partial^\nu B^\mu)+\frac{m^2 c^2}{\hbar^2}B_\nu^* B^\nu.

여기서

c

는 진공 중의 빛의 속도,

\hbar

는 환산 플랑크 상수, 그리고

\partial_{\mu}

는 4-경사이다.

4. 프로카 방정식

프로카 작용의 라그랑지안 밀도로부터 오일러-라그랑주 방정식을 통해 유도되는 운동 방정식을 '''프로카 방정식'''이라고 한다. 자연 단위계에서 계량 텐서 부호수를 (+, −, −, −)로 사용할 때, 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

: $\mathcal{L}=-\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac12 m^2 A_\mu A^\mu.$

여기서 $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ 는 전자기장 텐서, $A^\mu$ 는 사원 벡터 퍼텐셜, $m$ 은 벡터 보손의 질량이다.

이 라그랑지안으로부터 유도되는 프로카 방정식은 다음과 같다.

: $\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0$

이 방정식은 질량이 있는 스핀-1 입자를 기술하며, 클라인-고든 방정식 및 로렌츠 게이지 조건과 밀접한 관련이 있다.^[3] 프로카 작용은 슈튀켈베르크 작용을 특정 조건에서 게이지 고정한 형태로 볼 수도 있다.

4. 1. 일반적인 형태

계량 텐서 부호 규약을 (+−−−)로 사용하고 자연 단위계 (

\hbar=c=1

)를 적용하면, 프로카 작용의 라그랑지안 밀도는 다음과 같다.

:

\mathcal{L}=-\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac12 m^2 A_\mu A^\mu.

여기서

F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

는 전자기장 텐서이고,

A^\mu

는 4-벡터 퍼텐셜,

m

은 벡터 보손의 질량이다.

이 라그랑지안에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 프로카 방정식이라고 불리며, 다음과 같다.

:

\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0

이 방정식은 질량이 있는 벡터 보손(

A^\nu

)에 대한 클라인-고든 방정식

:

(\partial_\mu \partial^\mu + m^2)A_\nu=0

과 로렌츠 게이지 조건

:

\partial_\mu A^\mu=0

을 결합하여 유도할 수 있다. 즉, 프로카 방정식은 벡터장

A^\mu

가 로렌츠 게이지 조건을 만족해야 함을 내포한다.

프로카 작용은 슈튀켈베르크 작용에서 힉스 메커니즘을 통해 게이지를 고정시킨 형태로 얻을 수도 있다.

SI 단위계에 가깝게

\hbar

와

c

를 복원하여 프로카 방정식을 쓰면 다음과 같다.

:

\partial_\mu(\partial^\mu B^\nu - \partial^\nu B^\mu)+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 B^\nu=0

여기서

B^\mu

는 4-벡터 퍼텐셜을 나타낸다. 이 방정식은 다음 두 조건과 동등하다.^[3]

:

\left[\partial_\mu \partial^\mu+ \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right]B^\nu=0

그리고 (질량이 0이 아닌 경우)

:

\partial_\mu B^\mu=0 \!

이는 일반화된 로렌츠 게이지 조건에 해당한다.

외부 4-전류

j^\nu

가 존재하는 경우, 프로카 방정식은 다음과 같이 수정된다.

:

c=\left( \left( +/ \right)- \right)

여기서

\mu_0

는 진공 투자율이다.

만약 질량

m=0

이라면, 소스가 없는 방정식은 전하와 전류가 없는 자유 공간에서의 맥스웰 방정식으로 환원된다. 소스가 있는 경우, 질량이 0인 프로카 방정식은 전하와 전류가 있는 맥스웰 방정식으로 환원된다. 이처럼 프로카 방정식은 공간과 시간에 대해 2차 미분 연산자를 포함하고 있어 클라인-고든 방정식과 밀접한 관련이 있다.

벡터 미적분 표기법을 사용하여 소스가 없는 프로카 방정식을 스칼라 퍼텐셜

\phi

와 벡터 퍼텐셜

\mathbf{A}

로 나누어 표현하면 다음과 같다.

:

\Box \phi - \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi \!

:

\Box \mathbf{A} + \nabla \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\mathbf{A}\!

여기서

\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

는 달랑베르 연산자이다. 로렌츠 게이지 조건

\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}=0

을 적용하면 위 식들은 각각

\phi

와

\mathbf{A}

에 대한 클라인-고든 방정식 형태가 된다.

4. 2. 유도 및 로렌츠 게이지 조건

계량 텐서의 부호수를 (+, −, −, −)로 사용하고 자연 단위계를 적용하면, 프로카 작용의 라그랑지안 밀도

\mathcal{L}

는 다음과 같이 주어진다.

:

\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{1}{2}m^2A_\nu A^\nu

여기서

A_\nu

는 사원 벡터 퍼텐셜이며,

F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu

는 전자기장 텐서이다. 이 라그랑지안 밀도는 벡터장의 질량 항(

\frac{1}{2}m^2A_\nu A^\nu

) 때문에 게이지 불변성을 만족하지 않는다.

이 라그랑지안 밀도에 오일러-라그랑주 방정식

:

\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu A_\nu )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\nu} = 0

을 적용하면 다음과 같은 운동 방정식을 얻는다. 이 방정식을 '''프로카 방정식'''이라고 한다.

:

\partial_\mu F^{\mu\nu}+m^2A^\nu=0

또는

F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

를 대입하면,

:

\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+ m^2 A^\nu=0

이 프로카 방정식의 양변에

\partial_\nu

를 적용하면,

:

\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 \partial_\nu A^\nu = 0

이 된다. 여기서

F^{\mu\nu}

는 반대칭 텐서(

F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}

)이고

\partial_\nu \partial_\mu

는 대칭이므로

\partial_\nu \partial_\mu F^{\mu\nu} = 0

이다. 따라서 질량

m

이 0이 아닌 경우(

m \neq 0

), 다음 조건이 자동으로 유도된다.

:

\partial_\mu A^\mu=0 \!

이 조건은 로렌츠 게이지 조건과 동일하다.

로렌츠 게이지 조건

\partial_\mu A^\mu=0

을 프로카 방정식

\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+ m^2 A^\nu=0

에 대입하면 두 번째 항

\partial_\mu \partial^\nu A^\mu = \partial^\nu (\partial_\mu A^\mu)

이 0이 되므로, 프로카 방정식은 다음과 같이 간단해진다.

:

(\partial_\mu \partial^\mu+ m^2)A^\nu=0

이는 각 성분

A^\nu

가 질량

m

을 가지는 클라인-고든 방정식을 만족함을 의미한다.

결과적으로, 프로카 방정식은 질량항이 있는 클라인-고든 방정식과 로렌츠 게이지 조건을 동시에 만족시키는 것과 동등하다.^[3]

원래 사원 벡터 포텐셜

A^\mu

는 4개의 성분을 가지지만, 로렌츠 게이지 조건(

\partial_\mu A^\mu=0

)이라는 제약 조건이 추가됨으로써 독립적인 성분의 수는 3개로 줄어든다. 이는 프로카 방정식이 질량을 가진 스핀 1 입자를 기술한다는 사실과 일치한다.

4. 3. 복소 4-전위 형태

이 경우에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 '''프로카 방정식'''이라고도 하며 다음과 같다.

:

\partial_\mu(\partial^\mu B^\nu - \partial^\nu B^\mu)+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 B^\nu=0

여기서

B^\mu

는 복소 4-전위를 나타낸다. 이 방정식은 아래 두 방정식의 결합과 같다.^[3]

:

\left[\partial_\mu \partial^\mu+ \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\right]B^\nu=0

그리고 (질량이 있는 경우)

:

\partial_\mu B^\mu=0 \!

이 조건은 일반화된 로렌츠 게이지 조건이다. 0이 아닌 소스(

j^\nu

)가 있는 경우, 장 방정식은 다음과 같다.

:

c=\left( \left( +/ \right)- \right)

m = 0

(질량이 없는 경우)이면, 소스가 없는 프로카 방정식은 전하 또는 전류가 없는 맥스웰 방정식으로 축소된다. 이 프로카 장 방정식은 공간과 시간에 대해 2차 미분 연산자를 포함하므로 클라인-고든 방정식과 밀접하게 관련되어 있다.

벡터 미적분 표기법으로 소스가 없는 방정식을 표현하면 다음과 같다.

:

\Box \phi - \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi \!

:

\Box \mathbf{A} + \nabla \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\mathbf{A}\!

여기서

\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

는 달랑베르 연산자이다.

4. 4. 벡터 미적분 표기법 (소스 없는 경우)

벡터 미적분 표기법에서, 소스 없는 방정식은 다음과 같다.

:

\Box \phi - \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\phi \!

:

\Box \mathbf{A} + \nabla \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{A}\right) =-\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2\mathbf{A}\!

여기서

\Box

는 달랑베르 연산자이다.

5. 게이지 고정

프로카 작용은 슈튀켈베르크 작용을 힉스 메커니즘을 통해 특정 게이지로 고정시켜 얻을 수 있다.^[1]^[2] 즉, 프로카 작용은 힉스 메커니즘을 통해 슈튀켈베르크 작용의 게이지가 고정된 형태라고 볼 수 있다.^[3]

질량이 0이 아닌 경우( $m \neq 0$ ), 프로카 작용의 라그랑지안 밀도는 다음과 같다. ( $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 는 전자기 텐서, $A_\mu$ 는 4-벡터 퍼텐셜)

: $\mathcal{L}=-\frac14 F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \frac12 m^2 A_\mu A^\mu$

이 라그랑지안은 일반적인 전자기학의 게이지 변환

: $A^\mu \rightarrow A^\mu - \partial^\mu f$

( $f$ 는 임의의 스칼라 함수)에 대해 불변하지 않다.^[4] 이는 프로카 이론에서는 게이지 자유도가 없으며, 특정 게이지 조건이 이미 이론 자체에 포함되어 있음을 의미한다.

프로카 작용의 운동 방정식인 '''프로카 방정식'''은 다음과 같다.

: $\partial_\mu F^{\mu\nu} + m^2 A^\nu = 0$

이 방정식은 벡터 퍼텐셜 $A^\nu$ 가 클라인-고든 방정식

: $(\partial_\mu \partial^\mu + m^2) A^\nu = 0$

과 로렌츠 게이지 조건

: $\partial_\mu A^\mu = 0$

을 동시에 만족함을 내포한다.^[5] 여기서 로렌츠 게이지 조건은 특정 게이지를 선택한 것으로 해석될 수 있다.

프로카 작용을 양자화할 때는 제2종 제약 조건(second class constraint)을 사용하여 처리해야 한다.

6. 추가 설명

프로카 작용은 힉스 메커니즘을 통해 슈투켈베르크 작용의 게이지 고정된 버전이다. 프로카 작용을 양자화하려면 제2종 제약 조건을 사용해야 한다.

$m \neq 0$ 인 경우, 이는 전자기학의 게이지 변환

: $B^\mu \rightarrow B^\mu - \partial^\mu f$

( $f$ 는 임의의 함수) 하에서 불변하지 않다.

참조

_[1] 서적 Particle Physics (2nd Edition) John Wiley & Sons
_[2] 서적 Relativistic quantum mechanics Springer
_[3] 서적 McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition)
_[4] 논문 Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et négatifs
_[5] 논문 Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et négatifs

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