하르나크의 부등식

1. 개요

하르나크의 부등식은 조화 함수와 편미분 방정식의 해에 대한 부등식이다. 복소 변수 함수 u(z)가 조화 함수이고 u(z)가 0보다 크거나 같을 경우, 특정 부등식이 성립하며, 이는 Rⁿ 공간에서도 확장된다. 이 부등식은 타원형 및 포물형 편미분 방정식의 해의 상한과 하한 사이의 관계를 나타내며, 해의 성질을 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

2. 공식화 (해석학)

복소변수 z에 대한 실수값 함수 u(z)가 |z - z₀| < R에서 조화함수이고 u(z)≥0이면, z - z = re^iθ일 때 다음 부등식이 성립한다.

:

2.1. 일반적인 경우 (Rⁿ)

하르나크 부등식은 Rⁿ에서 x₀를 중심으로 하고 반지름이 R인 닫힌 공에 정의된 음수가 아닌 함수 f에 적용된다. f가 닫힌 공에서 연속이고 내부에서 조화 함수이면, |x - x₀| = r < R을 만족하는 모든 점 x에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:$\backslash displaystyle\{1-(r/R)\backslash over\; [1+(r/R)]^\{n-1\}\}f(x\_0)\backslash le\; f(x)\; \backslash le\; \{1+(r/R)\backslash over\; [1-(r/R)]^\{n-1\}\}\; f(x\_0).$

n = 2 인 경우, 즉 평면 R²에서는 위 부등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\{R-r\backslash over\; R+r\}\; f(x\_0)\backslash le\; f(x)\backslash le\; \{R+r\backslash over\; R-r\}f(x\_0).$

Rⁿ의 일반적인 영역 $\backslash Omega$에 대한 하르나크 부등식은 다음과 같다. $\backslash omega$가 $\backslash bar\{\backslash omega\}\; \backslash subset\; \backslash Omega$를 만족하는 유계 영역이면, 다음을 만족하는 상수 $C$가 존재한다.

:$\backslash sup\_\{x\; \backslash in\; \backslash omega\}\; u(x)\; \backslash le\; C\; \backslash inf\_\{x\; \backslash in\; \backslash omega\}\; u(x)$

여기서 $u(x)$는 임의의 두 번 미분 가능하고 조화 함수이며 음수가 아닌 함수이다. 상수 $C$는 $u$에 의존하지 않고, 영역 $\backslash Omega$와 $\backslash omega$에만 의존한다.

3. 증명 (구에서의 경우)

푸아송 공식에 의해,

:$f(x)\; =\; \backslash frac\; 1\; \{\backslash omega\_\{n-1\}\}\; \backslash int\_\{|y-x\_0|=R\}\; \backslash frac\{R^2\; -r^2\}\{R|x\; -\; y|^n\}\; \backslash cdot\; f(y)\; \backslash ,\; dy,$

여기서 ω_{n − 1}는 Rⁿ에서의 단위 구의 면적이고, r = |x − x₀|이다.

다음이 성립하므로

:$R-r\; \backslash le\; |x-y|\; \backslash le\; R+r,$

적분핵은 다음을 만족한다.

:$\backslash frac\{R\; -r\}\{R\; (R+r)^\{n-1\}\}\; \backslash le\; \backslash frac\{R^2\; -r^2\}\{R|x-y|^n\}\backslash le\; \backslash frac\{R+r\}\{R(R-r)^\{n-1\}\}.$

조화 함수의 구면 평균이 구의 중심에서의 값과 같다는 사실, 즉

:$f(x\_0)=\; \backslash frac\; 1\; \{R^\{n-1\}\backslash omega\_\{n-1\}\}\; \backslash int\_\{|y-x\_0|=R\}\; f(y)\backslash ,\; dy$

을 이용하면, 위의 적분에 이 부등식을 대입하여 하르나크 부등식이 유도된다.

4. 편미분 방정식으로의 확장

하르나크 부등식은 타원형 편미분 방정식과 포물형 편미분 방정식으로 확장될 수 있다.

타원형 편미분 방정식의 경우, 연결된 열린 영역에서 양의 해의 상한은 하한과 데이터의 노름을 포함하는 항의 합에 상수를 곱한 값으로 제한된다.

포물형 편미분 방정식(예: 열 방정식)의 경우, 하르나크 부등식은 특정 시점과 공간에서의 해의 상한이 이전 시점에서의 해의 하한에 상수를 곱한 값으로 제한됨을 나타낸다.

4.1. 타원형 편미분 방정식

타원형 편미분 방정식에서 하르나크 부등식은, 어떤 연결된 열린 영역에서 양의 해의 상한이 어떤 상수와 하한의 곱으로 제한되며, 데이터의 노름을 포함하는 항이 추가될 수 있다는 것을 의미한다.

:$\backslash sup\; u\; \backslash le\; C\; (\; \backslash inf\; u\; +\; \backslash |f\backslash |)$

이때 상수는 방정식의 타원성과 연결된 열린 영역에 따라 달라진다.

다시 말해, 타원형 편미분 방정식에 대한 하르나크 부등식은 어떤 연결 열린 영역 내에서 양의 해의 상한이 그 하한과 어떤 데이터 범함수의 노름을 포함하는 항의 합에 어떤 상수를 곱한 값보다 작거나 같다는 것이다. 즉,

:$\backslash sup\; u\; \backslash le\; C\; (\; \backslash inf\; u\; +\; ||f||)$

이 성립한다. 여기서 상수는 방정식의 타원도(ellipticity)와 연결 열린 영역에 의존한다.

4.2. 포물형 편미분 방정식

열 방정식과 같은 선형 포물형 편미분 방정식에 대해서도 하르나크 부등식이 존재한다.

$\backslash mathcal\{M\}$을 $\backslash mathbb\{R\}^n$ 내의 어떤 매끄러운 영역이라 하고, 다음의 선형 포물형 연산자를 고려한다.

:$\backslash mathcal\{L\}u=\backslash sum\_\{i,j=1\}^n\; a\_\{ij\}(t,x)\backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash ,\backslash partial\; x\_j\}+\backslash sum\_\{i=1\}^n\; b\_i(t,x)\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\_i\}\; +\; c(t,x)u.$

여기서 각 계수는 매끄럽고 유계이며, 행렬 $(a\_\{ij\})$는 양의 정부호라고 가정한다. $u(t,x)\backslash in\; C^2((0,T)\backslash times\backslash mathcal\{M\})$는 다음 부등식을 만족하는 $(0,T)\backslash times\backslash mathcal\{M\}$ 내의 해라고 하자.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}-\backslash mathcal\{L\}u\backslash ge0$

:$\backslash quad\; u(t,x)\backslash ge0$

$K$를 $\backslash mathcal\{M\}$의 컴팩트 부분 공간으로 하고, $\backslash tau\backslash in(0,T)$를 선택한다. 이 때, $K$, $\backslash tau$ 및 $\backslash mathcal\{L\}$의 계수에만 의존하는 어떤 상수 $\backslash quad\; C>0$가 존재하여, 각 $\backslash quad\; t\backslash in(\backslash tau,T)$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash sup\_K\; u(t-\backslash tau,\backslash cdot)\backslash le\; C\backslash inf\_K\; u(t,\backslash cdot).\backslash ,$