코시-리만 방정식

5.3. 복소 켤레와의 독립성

비르팅거 미분을 다음과 같이 정의하면,

:$$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; z\}$$
= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right), \;\;\; \frac{\partial}{\partial\bar{z}}
= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right),


코시-리만 방정식은 단일 방정식으로 쓸 수 있다.

:$$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\backslash bar\{z\}\}\; =\; 0,$$

이 경우 $f$의 복소 미분은 $\backslash frac\{df\}\{dz\}=\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; z\}$이다. 이러한 형태로, 코시-리만 방정식은 복소 변수 $z$의 복소 함수 $f$가 켤레 복소수 $\backslash bar\{z\}$에 독립적이라는 명제로 해석될 수 있다. 따라서, 해석 함수를 두 실수 변수 ($x$와 $y$)의 복소 함수 대신 하나의 복소 변수 ($z$)의 진정한 함수로 볼 수 있다.

5.4. 물리적 해석

코시-리만 방정식의 표준적인 물리적 해석은 u가 평면에서 비압축성 정상 유체 흐름의 속도 포텐셜을 나타내고, v는 그 유선 함수를 나타낸다는 것이다. 두 번 연속적으로 미분가능한 함수 u와 v의 쌍이 코시-리만 방정식을 만족한다고 가정할 때, u를 속도 포텐셜로 간주하면 평면의 각 지점에서 유체의 속도 벡터가 다음과 같이 정의된 u의 기울기와 같도록 평면에 유체 흐름을 상상한다는 의미이다.
:∇u = ∂u/∂xi + ∂u/∂yj.
함수 u와 v에 대한 코시-리만 방정식을 2차 도함수의 대칭성으로 미분하면, u가 라플라스 방정식을 푼다는 것을 알 수 있다.
:∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0.
즉, u는 조화 함수이다. 이는 기울기의 발산이 0이라는 것을 의미하며, 따라서 유체는 비압축성이다.

비슷한 분석을 통해 함수 v도 라플라스 방정식을 만족한다. 또한, 코시-리만 방정식은 내적 ∇u·∇v = 0을 의미하며, 즉, u의 최대 기울기 방향과 v의 최대 기울기 방향은 서로 직교한다. 이는 u의 기울기가 v = const 곡선을 따라야 함을 의미하며, 따라서 이는 흐름의 유선이다. u = const 곡선은 흐름의 등전위 곡선이다.

따라서 정칙 함수는 두 개의 레벨 곡선 군 u=const와 v=const를 플로팅하여 시각화할 수 있다. u (또는 그와 동등하게 v)의 기울기가 0이 아닌 점 근처에서, 이들 군은 직교 곡선군을 형성한다. ∇u=0인, 흐름의 정지점에서 u=const의 등전위 곡선이 교차한다. 유선 또한 동일한 점에서 교차하여 등전위 곡선이 형성하는 각을 이등분한다.

5.5. 조화 벡터장

u와 v가 R²의 열린 부분 집합에서 코시-리만 방정식을 만족한다고 가정하고, 다음과 같은 벡터장을 고려해 보자.

:$\backslash bar\{f\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}\; u\backslash \backslash \; -v\; \backslash end\{bmatrix\}$

이는 (실수) 2성분 벡터로 간주된다. 그러면 두 번째 코시-리만 방정식은 $\backslash bar\{f\}$가 비회전임을 나타낸다(즉, 회전이 0이다).

:$\backslash frac\{\backslash partial\; (-v)\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; 0.$

첫 번째 코시-리만 방정식은 벡터장이 솔레노이드 (또는 발산이 0)임을 나타낸다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; (-v)\}\{\backslash partial\; y\}=0.$

각각 그린 정리와 발산 정리에 의해, 이러한 장은 필연적으로 보존적이며, 구멍이 없는 임의의 열린 영역을 통해 순 플럭스가 0이므로, 근원이나 싱크가 없다. 유체 역학에서, 이러한 벡터장은 포텐셜 흐름이다. 정자계에서, 이러한 벡터장은 전류가 없는 평면의 영역에 대한 정적 자기장을 모델링한다. 정전기학에서, 이러한 벡터장은 전하가 없는 평면의 영역에 대한 정적 전기장을 모델링한다.

5.6. 복소 구조 보존

코시-리만 방정식은 평면의 복소 구조와 관련하여 해석할 수 있다. 복소 구조는 다음과 같이 주어진다.

:

이는 J의 제곱이 2×2 단위 행렬의 음수와 같다는 의미이다. 즉, $J^2\; =\; -I$이다. u(x,y)와 v(x,y)가 평면의 두 함수이면, 다음과 같다.

:$f(x,y)\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}u(x,y)\backslash \backslash v(x,y)\backslash end\{bmatrix\}.$

f의 야코비 행렬은 편도함수의 행렬이다.

:$Df(x,y)\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\[5pt]
\dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y}
\end{bmatrix}

함수 쌍 u, v가 코시-리만 방정식을 만족한다는 것은 2×2 행렬 Df가 J와 교환 가능하다는 것과 같다.

이러한 해석은 심플렉틱 기하학에서 유용하며, 유사정칙 곡선 연구의 출발점이 된다.

5.7. 다른 표현

코시-리만 방정식은 극좌표 등 다른 좌표계에서도 표현될 수 있다. 미분 가능한 함수 쌍 u와 v에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; s\},\backslash quad$
\frac{\partial v}{\partial n} = -\frac{\partial u}{\partial s}

이는 쌍 $(\backslash nabla\; n,\backslash nabla\; s)$가 직교하고 양의 방향을 갖는 임의의 좌표계에 대해서도 성립한다. 특히, 극좌표 표현 $z\; =\; r\; e^\{i\backslash theta\}$으로 주어진 좌표계에서 이 방정식들은 다음 형태를 띤다.

:$$$$
{\partial u \over \partial r} = {1 \over r}{\partial v \over \partial\theta},\quad
{\partial v \over \partial r} = -{1 \over r}{\partial u \over \partial\theta}.


이것들을 f에 대한 하나의 방정식으로 결합하면 다음과 같다.

:$$\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; r\}\; =\; \{1\; \backslash over\; ir\}\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\backslash theta\}.$$

비동차 코시-리만 방정식도 존재한다. 이는 두 개의 실수 변수 x, y와 v(x, y)의 함수 쌍에 대한 두 개의 방정식으로 구성된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} &= \alpha(x, y) \\[4pt]
\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} &= \beta(x, y)
\end{align}

여기서 $\backslash alpha(x,\; y)$와 $\backslash beta(x,\; y)$는 R²의 열린 부분 집합에서 정의된 주어진 함수들이다. 이 방정식들은 보통 하나의 방정식으로 결합된다.

:$$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\backslash bar\{z\}\}\; =\; \backslash varphi(z,\backslash bar\{z\})$$

여기서 f = u + iv이고 $\backslash varphi\; =\; (\backslash alpha\; +\; i\backslash beta)/2$이다.

만약 $\backslash varphi$가 C^k이면, 비동차 방정식은 $\backslash varphi$가 D의 폐포에서 연속이라는 조건하에 임의의 유계 영역 D에서 명시적으로 풀 수 있다. 코시 적분 공식에 의해,

:$$f\backslash left(\backslash zeta,\; \backslash bar\{\backslash zeta\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\; \backslash iint\_D\; \backslash varphi\backslash left(z,\; \backslash bar\{z\}\backslash right)\; \backslash ,\; \backslash frac\{dz\backslash wedge\; d\backslash bar\{z\}\}\{z\; -\; \backslash zeta\}$$

모든 $\backslash zeta\; \backslash in\; D$에 대해 성립한다.

6. 일반화

코시-리만 방정식은 여러 형태로 일반화될 수 있다.

* 구르사 정리와 루만-멘초프 정리: 구르사의 정리에 따르면, 함수 f가 미분 가능할 때, f가 열린 복소수 영역에서 해석적일 필요충분조건은 해당 영역에서 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다. 특히, f의 연속적인 미분 가능성은 가정할 필요가 없다. 루만-멘초프 정리는 이 조건을 더 완화하여, f가 열린 집합에서 연속이고 x와 y에 대한 f의 편도함수가 존재하며 코시-리만 방정식을 만족하면 f는 정칙적(해석적)이라고 명시한다. 그러나 코시-리만 방정식을 만족한다고 해서 항상 해석적인 것은 아니다.

* 여러 복소 변수: 여러 복소 변수 이론에는 과결정 시스템의 편미분 방정식들을 형성하는 일반화된 코시-리만 방정식이 존재한다. 이는 비르팅거 미분을 통해 수행된다.

* d-바 연산자: d-바 연산자는 정칙 함수를 소멸시키는 형식으로 일반화될 수 있다.

:$$\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash bar\; z\}\; =\; 0,$$

여기서

:$$\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash bar\; z\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash left(\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; i\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\backslash right).$$

* 백클룬드 변환: 켤레 조화 함수로 간주되는 코시-리만 방정식은 백클룬드 변환의 간단한 예시이다.

* 클리퍼드 대수: 클리퍼드 대수에서 복소수 $z\; =\; x+iy$는 $z\; \backslash equiv\; x\; +\; J\; y$로 표현되며, 디랙 연산자는 $\backslash nabla\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_1\; \backslash partial\_x\; +\; \backslash sigma\_2\backslash partial\_y$로 정의된다. 함수 $f=u\; +\; J\; v$는 $\backslash nabla\; f\; =\; 0$일 때에만 해석적이다.

* 고차원 등각 사상: n차원 유클리드 공간에서 방향을 보존하는 사상 $f:\backslash Omega\backslash to\backslash mathbb\{R\}^n$이 등각 사상이 되기 위한 방정식은 다음과 같다.

:$$Df^\backslash mathsf\{T\}\; Df\; =\; (\backslash det(Df))^\{2/n\}I$$

여기서 Df는 야코비 행렬이고, $Df^\backslash mathsf\{T\}$는 전치 행렬이며, I는 항등 행렬을 나타낸다.

* 리 군 유사군: 리 군 유사군 이론을 통해 코시-리만 방정식의 일반화를 탐구할 수도 있다.

6.1. 구르사의 정리와 그 일반화

구르사의 정리는 함수 f가 함수로서 미분 가능할 때, f가 열린 복소수 영역 Ω에서 해석적일 필요충분조건은 해당 영역에서 코시-리만 방정식을 만족하는 것이라고 주장한다. 특히, f의 연속적인 미분 가능성은 가정할 필요가 없다.

구르사 정리의 가설은 상당히 약화될 수 있는데, f가 열린 집합 Ω에서 연속이고, x와 y에 대한 f의 편도함수가 Ω에서 존재하며, Ω 전체에서 코시-리만 방정식을 만족한다면, f는 정칙적(따라서 해석적)이다. 이 결과는 루만-멘초프 정리이다.

하지만, f가 영역 Ω 전체에서 코시-리만 방정식을 만족한다고 해서 항상 해석적인 것은 아니다. 예를 들어,

:

와 같이 코시-리만 방정식을 한 점에서 만족하지만, 해당 점에서 해석적이지 않은 연속 함수를 구성할 수 있다. 이 함수는 모든 곳에서 코시-리만 방정식을 만족하지만, z = 0에서 연속성을 만족하지 못한다.

만약 함수가 약한 의미에서 열린 집합에서 코시-리만 방정식을 만족한다면, 그 함수는 해석적이다. 더 정확하게는, 만약 f(z)가 열린 영역 Ω ⊂ ℂ에서 국소적으로 적분 가능하고, 약하게 코시-리만 방정식을 만족한다면, f는 Ω에서 해석적 함수와 거의 모든 곳에서 일치한다.

6.2. 여러 변수

여러 복소 변수 이론에는 적절하게 일반화된 코시-리만 방정식이 존재한다. 이 방정식들은 중요한 과결정 시스템의 편미분 방정식들을 형성한다. 이는 비르팅거 미분을 간단하게 일반화하여 수행되는데, 여기서 문제의 함수는 각 복소 변수에 대한 (부분) 비르팅거 미분값이 0이 되어야 한다.

6.3. 복소 미분 형식

자주 사용되는 형식에서, d-바 연산자는 정칙 함수를 소멸시킨다. 이는 다음과 같은 형태로 가장 직접적으로 일반화된다.

:$$\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash bar\; z\}\; =\; 0,$$

여기서

:$$\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; \backslash bar\; z\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash left(\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\; i\{\backslash partial\; f\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\backslash right).$$

6.4. 백클룬드 변환

켤레 조화 함수로 간주되는 코시-리만 방정식은 백클룬드 변환의 간단한 예시이다. 사인-고든 방정식과 같은 더 복잡하고 일반적으로 비선형적인 백클룬드 변환은 솔리톤 및 적분 가능한 시스템 이론에서 매우 중요한 역할을 한다.

6.5. 클리퍼드 대수에서의 정의

클리퍼드 대수 $C\backslash ell(2)$에서 복소수 $z\; =\; x+iy$는 $z\; \backslash equiv\; x\; +\; J\; y$로 표현되며, 여기서 $J\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_1\; \backslash sigma\_2$이고, ($\backslash sigma\_1^2=\backslash sigma\_2^2=1,\; \backslash sigma\_1\; \backslash sigma\_2\; +\; \backslash sigma\_2\; \backslash sigma\_1\; =\; 0$, 따라서 $J^2=-1$)이다. 이 클리퍼드 대수에서 디랙 연산자는 $\backslash nabla\; \backslash equiv\; \backslash sigma\_1\; \backslash partial\_x\; +\; \backslash sigma\_2\backslash partial\_y$로 정의된다. 함수 $f=u\; +\; J\; v$는 $\backslash nabla\; f\; =\; 0$일 때에만 해석적이다.

$$$$
\begin{align}
0 & =\nabla f= ( \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y )(u + \sigma_1 \sigma_2 v) \\[4pt]
& =\sigma_1 \partial_x u + \underbrace{\sigma_1 \sigma_1 \sigma_2}_{=\sigma_2} \partial_x v + \sigma_2 \partial_y u + \underbrace{\sigma_2 \sigma_1 \sigma_2}_{=-\sigma_1} \partial_y v =0
\end{align}


$\backslash sigma\_1$과 $\backslash sigma\_2$로 묶으면:

$$\backslash nabla\; f\; =\; \backslash sigma\_1\; (\; \backslash partial\_x\; u\; -\; \backslash partial\_y\; v)\; +\; \backslash sigma\_2\; (\; \backslash partial\_x\; v\; +\; \backslash partial\_y\; u)\; =\; 0\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash begin\{cases\}$$
\partial_x u - \partial_y v = 0\\[4pt]
\partial_x v + \partial_y u = 0
\end{cases}

따라서 전통적인 표기법으로 나타내면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{cases\}$$
\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y }\\[12pt]
\dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x }
\end{cases}

6.6. 고차원에서의 등각 사상

n차원 유클리드 공간 ℝⁿ에서 Ω를 열린 집합이라고 하자. 방향을 보존하는 사상 $f:\backslash Omega\backslash to\backslash mathbb\{R\}^n$이 등각 사상(각도를 보존하는)이 되기 위한 방정식은 다음과 같다.

$$Df^\backslash mathsf\{T\}\; Df\; =\; (\backslash det(Df))^\{2/n\}I$$

여기서 Df는 야코비 행렬이고, $Df^\backslash mathsf\{T\}$는 전치 행렬이며, I는 항등 행렬을 나타낸다. n = 2인 경우, 이 시스템은 복소 변수의 표준 코시-리만 방정식과 동등하며, 해는 정칙 함수이다. n > 2 차원에서는 이것을 여전히 코시-리만 시스템이라고 부르기도 하며, 리우빌의 정리에 따르면 적절한 매끄러움 가정을 만족하는 경우, 그러한 사상은 뫼비우스 변환이다.

6.7. 리 유사군

리 군 유사군 이론을 통해 코시-리만 방정식의 일반화를 탐구할 수 있다. 해석학적 편미분 방정식계의 해가 합성 하에서 닫혀 있는지 묻는 방식으로 코시-리만 방정식을 일반화할 수 있다.