항 (논리학)

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1. 개요

항(Term)은 논리학에서 사용되는 개념으로, 변수, 상수, 함수 기호를 결합하여 구성된 표현식을 의미한다. 이는 담론 영역의 수학적 객체를 나타내며, 재귀적인 규칙에 따라 정의된다. 항은 문자열 또는 트리 구조로 표현될 수 있으며, 구조적 동일성, 변형, 재명명 등의 속성을 갖는다. 기저 항, 선형 항, 항 대수와 같은 다양한 종류가 있으며, 위치, 부분 항, 깊이, 크기 등의 연산을 통해 분석된다. 또한, 정렬된 항과 람다 항과 같은 관련 개념도 존재한다.

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항 (논리학)
논리학에서의 항
종류	표현식
학문 분야	수학, 논리학, 컴퓨터 과학
정의	수학적 표현
예시	x 1 (x + 1) (x + 1) * (x + 1) (x + 1) * (x + 1) >= 0
영어
영어 명칭	Term

2. 형식 정의

''왼쪽에서 오른쪽으로:'' 항 (''n''⋅(''n''+1))/2 와 ''n''⋅((''n''+1)/2)의 트리 구조

항은 변수, 상수, 함수 기호들의 집합을 이용하여 재귀적으로 정의된다.^[1] 항 언어의 서명은 어떤 함수 기호 집합이 사용되는지를 설명한다. 예를 들어 단항 함수 기호 ''sin'', ''cos''와 이항 함수 기호 +, −, ⋅, / 등이 있다. 삼항 연산도 가능하지만 드물게 쓰인다.

2. 1. 구성 요소

변수 기호 집합 ''V'', 상수 기호 집합 ''C'', 그리고 각 자연수 ''n'' ≥ 1에 대해 ''n''-항 함수 기호 집합 ''F''_''n''(연산자 기호라고도 함)이 주어지면, (정렬되지 않은 일차) 항의 집합 ''T''는 다음 속성을 가진 가장 작은 집합으로 재귀적으로 정의된다.^[1]

모든 변수 기호는 항이다: ''V'' ⊆ ''T''.
모든 상수 기호는 항이다: ''C'' ⊆ ''T''.
모든 ''n''개의 항 ''t''₁,...,''t''_''n''과 모든 ''n''-항 함수 기호 ''f'' ∈ ''F''_''n''로부터 더 큰 항 ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'')을 구성할 수 있다.

직관적인 의사-문법 표기법을 사용하여, 이것은 때때로 다음과 같이 쓰여진다.

:''t'' ::= ''x'' | ''c'' | ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'').

항은 담론 영역에서 수학적 객체를 나타낸다. 상수 ''c''는 해당 영역에서 명명된 객체를 나타내고, 변수 ''x''는 해당 영역의 객체를 넘나들며, ''n''-항 함수 ''f''는 객체의 ''n''-튜플을 객체에 매핑한다. 예를 들어, ''n'' ∈ ''V''가 변수 기호이고, 1 ∈ ''C''가 상수 기호이며, add ∈ ''F''₂가 이항 함수 기호이면, ''n'' ∈ ''T'', 1 ∈ ''T'', 그리고 (따라서) add(''n'', 1) ∈ ''T''는 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 항 구성 규칙에 의해 성립한다. 후자의 항은 일반적으로 중위 표기법을 사용하여 ''n''+1로 쓰이며, 편의상 더 일반적인 연산자 기호 +를 사용한다.

2. 2. 구성 규칙

변수 기호 집합 ''V'', 상수 기호 집합 ''C'', 그리고 각 자연수 ''n'' ≥ 1에 대해 ''n''-항 함수 기호 집합 ''F''_''n''(연산자 기호라고도 함)이 주어지면, (정렬되지 않은 일차) 항의 집합 ''T''는 다음 속성을 가진 가장 작은 집합으로 재귀적으로 정의된다:^[1]

모든 변수 기호는 항이다: ''V'' ⊆ ''T''.
모든 상수 기호는 항이다: ''C'' ⊆ ''T''.
모든 ''n''개의 항 ''t''₁,...,''t''_''n''과 모든 ''n''-항 함수 기호 ''f'' ∈ ''F''_''n''로부터 더 큰 항 ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'')을 구성할 수 있다.

직관적인 의사-문법 표기법을 사용하여, 이것은 때때로 다음과 같이 쓰여진다:

:''t'' ::= ''x'' | ''c'' | ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'').

항 언어의 서명은 어떤 함수 기호 집합 ''F''_''n''이 사용되는지를 설명한다. 잘 알려진 예로는 단항 함수 기호 ''sin'', ''cos'' ∈ ''F''₁, 그리고 이항 함수 기호 +, −, ⋅, / ∈ ''F''₂가 있다. 삼항 연산 및 더 높은 아리티 함수도 가능하지만 실제로는 드물다. 많은 저자들은 상수 기호를 0-항 함수 기호 ''F''₀로 간주하여, 특별한 구문 클래스가 필요하지 않다고 본다.

항은 담론 영역에서 수학적 객체를 나타낸다. 상수 ''c''는 해당 영역에서 명명된 객체를 나타내고, 변수 ''x''는 해당 영역의 객체를 넘나들며, ''n''-항 함수 ''f''는 객체의 ''n''-튜플을 객체에 매핑한다. 예를 들어, ''n'' ∈ ''V''가 변수 기호이고, 1 ∈ ''C''가 상수 기호이며, ''add'' ∈ ''F''₂가 이항 함수 기호이면, ''n'' ∈ ''T'', 1 ∈ ''T'', 그리고 (따라서) ''add''(''n'', 1) ∈ ''T''는 각각 첫 번째, 두 번째, 세 번째 항 구성 규칙에 의해 성립한다. 후자의 항은 일반적으로 중위 표기법을 사용하여 ''n''+1로 쓰이며, 편의상 더 일반적인 연산자 기호 +를 사용한다.

3. 항의 구조

원래, 논리학자들은 항을 특정 구성 규칙을 준수하는 ''문자열''로 정의했다.^[2] 그러나, 트리의 개념이 컴퓨터 과학에서 인기를 얻으면서, 항을 트리로 생각하는 것이 더 편리해졌다. 예를 들어, "(''n''⋅(''n''+1))/2", "((''n''⋅(''n''+1)))/2" 와 같은 몇 개의 서로 다른 문자열은 동일한 항을 나타낸다.

항의 트리 구조를 종이에 나타내는 그래픽 표현과 분리하면, 괄호(구조가 아닌 표현일 뿐)와 보이지 않는 곱셈 연산자(표현이 아닌 구조에만 존재)를 쉽게 설명할 수 있다.

3. 1. 구조적 동일성

두 개의 항은 동일한 트리 구조를 가질 경우, '''구조적''', '''문자 그대로''' 또는 '''구문적으로''' 동일하다고 한다. 예를 들어, 유리수 산술에서 항상 동일한 값으로 평가되는 항은 "'''의미적으로 동일'''"하다고 간주될 수 있다. 구조적 동일성은 기호의 의미에 대한 지식 없이 확인할 수 있지만, 의미적 동일성은 그렇지 않다. 예를 들어, 함수 /가 유리수가 아닌 절단 정수 나눗셈으로 해석되는 경우, 특정 값에서 구조적으로 같지 않은 두 항은 서로 다른 값으로 평가될 수 있다.^[2] 구조적으로 동일한 항은 변수 이름도 일치해야 한다.

3. 2. 변형 및 재명명

어떤 항 ''t''가 있을 때, ''t''에 속한 모든 변수들을 일관되게 재명명하여 얻어진 항 ''u''는 ''t''의 ''변형'' 또는 ''재명명''이라고 한다. 즉, 어떤 재명명 대입 σ에 대해 ''u'' = ''tσ'' 가 성립하는 경우이다. 이 때, 재명명 대입 σ는 역 σ⁻¹을 가지므로, ''u''는 ''t''의 재명명이면서 동시에 ''t'' = uσ⁻¹도 성립한다. 이러한 두 항 ''t''와 ''u''는 ''재명명 모듈로 동일''하다고 한다. 많은 경우, 항에서 특정 변수의 이름은 중요하지 않다. 예를 들어 덧셈의 교환 법칙은 ''x''+''y''=''y''+''x'' 또는 ''a''+''b''=''b''+''a'' 와 같이 표현할 수 있다. 이처럼 전체 공식은 재명명될 수 있지만, 임의의 부분 항은 일반적으로 재명명될 수 없다. 예를 들어 ''x''+''y''=''b''+''a''는 교환 법칙의 올바른 표현이 아니다.^[3]

4. 항의 종류

변수를 포함하지 않는 기저 항과 변수가 여러 번 나타나지 않는 선형 항 등이 있다.^[1] 예를 들어 2+2는 기저 항이자 선형 항이고, x⋅(n+1)은 선형 항이며, n⋅(n+1)은 비선형 항이다.^[1] 이러한 속성은 항 재작성에서 중요하게 활용된다.^[1]

서명이 함수 기호에 대해 주어지면, 모든 항의 집합은 자유 항 대수를 형성한다.^[1]

4. 1. 기저 항

변수를 포함하지 않는 항을 '''기저 항'''이라고 부른다.^[1] 예를 들어, 2+2는 기저 항이자 선형 항이다.^[1] 함수 기호에 대한 서명이 주어지면, 모든 기저 항의 집합은 '''초기 항 대수'''를 형성한다.^[1]

상수의 수를 f₀, i-ary 함수 기호의 수를 fᵢ라 할 때, 높이가 h까지인 서로 다른 기저 항의 수 θₕ는 다음 재귀 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[1]

θ₀ = f₀ (높이가 0인 기저 항은 상수이기 때문이다.)^[1]
$\theta_{h+1} = \sum_{i=0}^\infty f_i \cdot \theta_h^i$ (높이가 최대 h+1인 기저 항은 i-ary 루트 함수 기호를 사용하여 높이가 최대 h인 임의의 i개의 기저 항을 합성하여 얻을 수 있기 때문이다.)^[1] 상수와 함수 기호의 수가 유한할 경우, 이 합은 유한한 값을 가지며, 이는 일반적인 경우이다.^[1]

4. 2. 선형 항

변수가 여러 번 나타나지 않는 항을 '''선형 항'''이라고 한다. 예를 들어, x⋅(n+1)은 선형 항이며, n⋅(n+1)은 비선형 항이다. 이러한 속성은 항 재작성에서 중요하다.^[1]

4. 3. 항 대수

변수 기호 집합 ''V'', 상수 기호 집합 ''C'', 그리고 각 자연수 ''n'' ≥ 1에 대해 ''n''-항 함수 기호 집합 ''F''_''n''(연산자 기호라고도 함)이 주어지면, (정렬되지 않은 일차) 항의 집합 ''T''는 다음 속성을 가진 가장 작은 집합으로 재귀적으로 정의된다.^[1]

모든 변수 기호는 항이다: ''V'' ⊆ ''T''.
모든 상수 기호는 항이다: ''C'' ⊆ ''T''.
모든 ''n''개의 항 ''t''₁,...,''t''_''n''과 모든 ''n''-항 함수 기호 ''f'' ∈ ''F''_''n''로부터 더 큰 항 ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'')을 구성할 수 있다.

직관적인 의사-문법 표기법을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:''t'' ::= ''x'' | ''c'' | ''f''(''t''₁, ..., ''t''_''n'').

서명이 함수 기호에 대해 주어지면, 모든 항의 집합은 자유 항 대수를 형성한다. 모든 기저 항의 집합은 초기 항 대수를 형성한다.

5. 항 연산

항은 트리 계층 구조를 가지므로 각 노드에 계층 내 위치를 나타내는 자연수 문자열인 ''위치'' 또는 ''경로''를 할당할 수 있다. 빈 문자열(일반적으로 ε로 표시됨)은 루트 노드에 할당된다.

검은색 예시 항 $\frac{a*((a+1)*(a+2))}{1*(2*3)}$ 의 트리 구조, 파란색 리덱스 포함

그림에서 검은색 항 내의 위치 문자열은 빨간색으로 표시된다.^[2]

항은 다음과 같은 연산을 할 수 있다.^[2]

위치
부분 항
대체
깊이
크기
매칭

이 외에도 항 통합, 항 재작성 과 같은 연산도 가능하다.

5. 1. 위치 및 부분 항

항의 각 위치에는 해당 위치에서 시작하는 부분 항이 존재한다. 항 ''t''의 각 위치 ''p''에서 고유한 ''부분 항''이 시작되며, 이는 일반적으로

t_p

로 표시된다. 예를 들어, 주어진 그림에서 검은색 항의 위치 122에서 부분 항 ''a''+2가 루트를 갖는다. ''"~의 부분 항이다"'' 관계는 항 집합에 대한 부분 순서이다. 각 항은 사소하게 자체의 부분 항이기 때문에 반사적이다.^[2]

5. 2. 대체 및 임베딩

트리 구조를 가진 항에서 부분 항을 새로운 항으로 '''대체'''하여 얻은 항은 일반적으로

t[u]_p

로 표시된다.

t[u]_p

는 항 ''u''를 ''t''와 유사한 객체

t[\cdot]_p

의 일반화된 연결로 간주할 수 있다. 여기서

t[\cdot]_p

는 '''컨텍스트''' 또는 ''구멍이 있는 항''('.'로 표시, 위치는 ''p'')이라고 하며, ''u''는 여기에 ''임베딩''되었다고 한다.^[2] 예를 들어, ''t''가 이면

t[b+1]_{12}

는 항

\frac{a*(b+1)}{1*(2*3)}

을 생성한다. 이 항은 항

b+1

을 컨텍스트

\frac{a*(\; . \;)}{1*(2*3)}

에 임베딩하여 생성할 수도 있다. 비공식적인 의미에서, 인스턴스화 및 임베딩 연산은 서로 역이다. 전자는 항의 하단에 함수 기호를 추가하는 반면, 후자는 항의 상단에 함수 기호를 추가한다.^[2]

5. 3. 깊이 및 크기

항의 깊이는 루트에서 노드까지의 거리(가장자리 수)로 정의될 수 있으며, 일부 저자는 이를 높이라고 부르기도 한다. 이 정의에 따르면 노드의 깊이는 해당 위치 문자열의 길이와 항상 같다. 그림에서 검은색 항의 깊이 레벨은 녹색으로 표시된다.

항의 크기는 일반적으로 노드의 수, 또는 괄호를 제외한 기호를 세어 항이 작성된 표현의 길이를 의미한다. 위 그림에서 검은색 항과 파란색 항의 크기는 각각 15와 5이다.

5. 4. 매칭 및 통합

항 *u*가 *u*의 대체 인스턴스가 *t*의 부분 항과 구조적으로 같거나, 공식적으로 인 경우, 즉, *t*의 어떤 위치 *p*와 어떤 대체 σ에 대해 *u*와 *일치*한다. 이 경우, *u*, *t* 및 σ는 각각 *패턴 항*, *주제 항* 및 *일치 대체*라고 한다.^[2] 그림에서 파란색 패턴 항 는 위치 1에서 검은색 주제 항과 일치하며, 일치 대체 는 검은색 대체물 바로 왼쪽에 파란색 변수로 표시된다. 직관적으로 변수를 제외한 패턴은 주제에 포함되어야 한다. 변수가 패턴에 여러 번 나타나는 경우, 주제의 해당 위치에서 동일한 부분 항이 필요하다.^[2]

6. 관련 개념

논리학에서 항(term)과 관련된 개념은 다음과 같다.

정렬된 항: 담론 영역에 여러 종류의 요소가 있을 때, 각 변수, 상수, 함수 기호에 '정렬(sort)' 또는 '유형(type)'을 할당하여 항을 구분한다. 함수 기호에는 도메인 정렬과 범위 정렬을 선언한다.^[5] 정렬된 하위 항들에서 i번째 하위 항의 정렬이 함수의 i번째 도메인 정렬과 일치하면 '잘 정렬된(well-sorted)' 항이라고 하고, 그렇지 않으면 '잘못 정렬된(ill-sorted)' 항이라고 한다. 예를 들어, 벡터 공간에서 벡터와 스칼라를 구분하여 정렬을 할당할 수 있다.

람다 항: 람다 표현식은 'lim', Σ, ∫ 등에 인수로 사용될 익명 함수를 나타낸다. 예를 들어 λn. x/n은 n에 대해 x/n을 계산하는 함수를 나타낸다. 람다 항은 변수 기호, 추상화(λx.t), 적용(( t1 t2 ))의 형태로 구성된다.^[1] 수학적 표기법에서 묶인 변수를 포함하는 경우(예: ∫, Σ)는 1차 항의 구성 방식에 맞지 않을 수 있지만, 함수를 인수로 취하는 것으로 해석할 수 있다.

묶인 변수를 포함하는 용어의 예시
표기법 예시	묶인 변수	자유 변수	람다 항
$\lim_{n \to \infty} \frac{x}{n}$	n	x	limit(λn. div(x,n))
$\sum_{i=1}^n i^2$	i	n	sum(1,n,λi. power(i,2))
$\int_a^b \sin(k \cdot t) dt$	t	a, b, k	integral(a,b,λt. sin(k⋅t))

6. 1. 정렬된 항

담론 영역에 기본적으로 다른 종류의 요소가 포함된 경우, 모든 항의 집합을 그에 따라 분할하는 것이 유용하다. 이를 위해 각 변수와 각 상수 기호에 ''정렬''(때로는 ''유형''이라고도 함)이 할당되고, 각 함수 기호에 도메인 정렬과 범위 정렬에 대한 선언^[5]이 할당된다. ''정렬된 항'' ''f''(''t''₁,...,''t''_''n'')은 정렬된 하위 항 ''t''₁,...,''t''_''n''에서 i번째 하위 항의 정렬이 ''f''의 선언된 i번째 도메인 정렬과 일치하는 경우에만 구성될 수 있다. 이러한 항을 ''잘 정렬된''이라고도 하며, 다른 모든 항(즉, 정렬되지 않은 규칙만 준수하는)을 ''잘못 정렬된''이라고 한다.

예를 들어, 벡터 공간에는 연관된 체의 스칼라 수가 있다. ''W''와 ''N''이 각각 벡터와 숫자의 정렬을 나타내고, ''V''_''W''와 ''V''_''N''이 각각 벡터 변수와 숫자 변수의 집합을 나타내며, ''C''_''W''와 ''C''_''N''이 각각 벡터 상수와 숫자 상수의 집합을 나타낸다고 하자. 예를 들어 0|0 벡터 기호^영어 ∈ C_W이고, 0 ∈ ''C''_''N''이며, 벡터 덧셈, 스칼라 곱셈, 내적은 각각 +, *:W × W → W, *:W × N → W 및 <>|내적 기호^영어: W × W → N로 선언된다. 변수 기호 v|v 벡터 기호^영어, w|w 벡터 기호^영어 ∈ V_W 및 을 가정하면, 항 <>|내적 기호^영어(v|v 벡터 기호^영어 + 0|0 벡터 기호^영어) * a, w|w 벡터 기호^영어 * b)는 잘 정렬되어 있지만, v|v 벡터 기호^영어 + a는 그렇지 않다(+가 정렬 ''N''의 항을 두 번째 인수로 허용하지 않기 때문). a * v|v 벡터 기호^영어를 잘 정렬된 항으로 만들기 위해서는 추가 선언 *:N × W → W이 필요하다. 여러 선언을 가진 함수 기호를 ''오버로드''라고 한다.

여기에 설명된 ''다종 프레임워크''의 확장을 포함한 자세한 내용은 다종 논리를 참조하라.

6. 2. 람다 항

람다 표현식은 ''lim'', Σ, ∫ 등에 인수로 제공될 익명 함수를 나타내는 데 사용된다.

예를 들어, 람다 표현식 λ''n''. ''x''/''n''은 1, 2, 3, ...을 각각 ''x''/1, ''x''/2, ''x''/3, ...에 매핑하는 함수를 나타낸다. 즉, 수열 (''x''/1, ''x''/2, ''x''/3, ...)을 나타낸다. ''lim'' 연산자는 이러한 수열을 받아 그 극한값을 반환한다(정의된 경우).

수학적 표기법은 묶인 변수를 포함하는 경우가 있어, 1차 용어의 구성 방식에 맞지 않을 수 있다. 예를 들어,

t \cdot \int_a^b \sin(k \cdot t) \; dt

에서 변수 ''t''는 적분 기호 안에서만 의미를 가지며, 수식 밖에서는 의미가 없다. 반면, '자유' 변수는 일반적인 1차 용어 변수처럼 작동하여,

k \cdot \int_a^b \sin(k \cdot t) \; dt

는 의미가 있다.

이러한 연산자들은 함수를 인수로 취하는 것으로 볼 수 있다. 예를 들어, ''lim'' 연산자는 양의 정수에서 실수로의 매핑인 수열에 적용된다.

묶인 변수를 포함하는 용어
표기법 예시	묶인 변수	자유 변수	람다 항
$\lim_{n \to \infty} \frac{x}{n}$	n	x	limit(λn. div(x,n))
$\sum_{i=1}^n i^2$	i	n	sum(1,n,λi. power(i,2))
$\int_a^b \sin(k \cdot t) dt$	t	a, b, k	integral(a,b,λt. sin(k⋅t))

6. 2. 1. 람다 항의 정의

변수 기호의 집합 ''V''가 주어지면, 람다 항의 집합은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

모든 변수 기호 ''x''∈''V''는 람다 항이다.
''x''∈''V''가 변수 기호이고 ''t''가 람다 항이면, λ''x''.''t''도 람다 항이다(추상화).^[1]
만약 ''t''₁과 ''t''₂가 람다 항이라면, ( ''t''₁ ''t''₂ )도 람다 항이다(적용).^[1]

위의 예시들은 순수 람다 계산법에서는 허용되지 않지만, ''div'', ''power'' 등과 같은 몇 가지 상수도 사용했다.^[1]

직관적으로, 추상화 λ''x''.''t''는 ''x''가 주어지면 ''t''를 반환하는 단항 함수를 나타내고, 적용 ( ''t''₁ ''t''₂ )는 입력 ''t''₂를 사용하여 함수 ''t''₁을 호출한 결과를 나타낸다.^[1] 예를 들어, 추상화 λ''x''.''x''는 항등 함수를 나타내고, λ''x''.''y''는 항상 ''y''를 반환하는 상수 함수를 나타낸다.^[1] 람다 항 λ''x''.(''x'' ''x'')는 함수 ''x''를 취하여 자체에 적용한 결과를 반환한다.^[1]

6. 2. 2. 람다 항의 예시

수학적 표기법은 고유한 '지역' 또는 '결속된' 변수를 도입하기 때문에 1차 용어의 구성 방식에 맞지 않는다. 예를 들어, 변수 t가 수식 밖에 나오면

t \cdot \int_a^b \sin(k \cdot t) \; dt

는 의미가 없다.

반대로, '자유' 변수들은 일반적인 1차 용어 변수처럼 작동한다. 예를 들어,

k \cdot \int_a^b \sin(k \cdot t) \; dt

는 의미가 있다.

이러한 연산자들은 값 용어 대신 함수를 인수로 취하는 것으로 볼 수 있다. 예를 들어, ''lim'' 연산자는 수열, 즉 양의 정수에서 실수로의 매핑에 적용된다.

''람다 표현식''은 ''lim'', Σ, ∫ 등에 인수로 제공될 ''익명 함수''를 나타내는 데 사용될 수 있다.

예를 들어, 람다 표현식 λ''n''. ''x''/''n''은 1, 2, 3, ...을 각각 ''x''/1, ''x''/2, ''x''/3, ...에 매핑하는 함수를 나타낸다. 즉, 수열 (''x''/1, ''x''/2, ''x''/3, ...)을 나타낸다. ''lim'' 연산자는 이러한 수열을 받아 그 극한값을 반환한다 (정의된 경우).

묶인 변수를 포함하는 용어
표기법 예시	묶인 변수	자유 변수	람다 항
$\lim_{n \to \infty} \frac{x}{n}$	n	x	limit(λn. div(x,n))
$\sum_{i=1}^n i^2$	i	n	sum(1,n,λi. power(i,2))
$\int_a^b \sin(k \cdot t) dt$	t	a, b, k	integral(a,b,λt. sin(k⋅t))

참조

_[1] 서적 Model Theory North Holland
_[2] 서적 Introduction to Mathematical Logic Springer London
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서

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