제곱근

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1. 개요

제곱근은 어떤 수 a에 대해 x² = a를 만족하는 x를 의미하며, 역사적으로는 기원전 1800년~1600년 사이의 YBC 7289 점토판에서 2의 제곱근의 근삿값 계산에 사용된 기록이 있다. 제곱근은 실수, 복소수, 행렬 등 다양한 수학적 대상에 대해 정의되며, 실수의 제곱근은 음이 아닌 실수에 대해서만 존재하고, 복소수의 경우 두 개의 제곱근을 갖는다. 제곱근 함수는 기하학적으로 정사각형의 넓이를 변의 길이로 나타내며, 유리수를 대수적 수로 사상한다. 제곱근의 근삿값은 바빌로니아 법, 뉴턴 방법, 개평법 등을 통해 구할 수 있으며, 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 이용하는 것이 일반적이다. 정수의 제곱근은 대수적 정수이며, 제곱수의 제곱근은 정수, 그 외의 양의 정수의 제곱근은 무리수이다. 제곱근은 n제곱근으로 일반화될 수 있으며, 행렬 및 연산자의 제곱근도 정의된다. 환(ring)에서는 각 원소가 두 개 이하의 제곱근을 가지며, 0의 제곱근은 0이거나 영인자이다. 제곱근은 컴퍼스와 직선자를 사용하여 기하학적으로 작도할 수 있으며, 유클리드의 원론에서 기하 평균을 작도하는 방법이 제시되었다.

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제곱근
제곱근 정보
√2의 기하학적 표현
정의
수학적 정의	어떤 수 x의 제곱근은 제곱하여 x가 되는 수 y이다.
예시	25의 제곱근은 5인데, 이는 5 × 5 = 25이기 때문이다.
용어
다른 이름	평방근
영어	square root
성질
양의 실수	양의 실수 a는 항상 서로 다른 두 개의 제곱근을 가진다. 하나는 양수이고 (주요 제곱근), 다른 하나는 음수이다.
음수의 제곱근	음수의 제곱근은 복소수이다. 예를 들어, -4의 제곱근은 2i와 -2i이다.
0의 제곱근	0의 제곱근은 0이다.
표기법
제곱근 기호	√ (라디칼 기호)
사용 예	√x (x의 제곱근)
계산 방법
방법	제곱근은 다양한 방법으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 바빌로니아 방법이나 뉴턴 방법을 사용할 수 있다.
활용
활용 분야	제곱근은 수학, 과학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 활용된다.

2. 역사

제곱근의 개념은 고대 문명에서부터 발전해 왔다.

기원전 1800년에서 기원전 1600년 사이에 작성된 YBC 7289 점토판에는 √2의 근삿값을 계산한 결과가 60진법(1;24,51,10)으로 기록되어 있는데, 이는 십진법으로 1.41421296..으로 실제 √2의 값 1.41421356..과 소수점 아래 다섯 자리까지 일치한다.^[45]

√2가 무리수라는 것을 처음으로 증명한 사람은 피타고라스의 제자 히파소스로 알려져 있다.

콰리즈미(783~850)는 《جذر|자드르|약분·소거 계산론^ar》에서 제곱근을 ‘자드르(جذر^ar)’라고 불렀는데, 이는 ‘근본’, ‘기반’, ‘뿌리’ 등을 뜻하며 유럽에 전해지면서 라틴어 ‘라딕스(radix^la)’로 번역되었다.^[46] 아랍 수학자들은 ‘자드르(جذر^ar)’의 첫 글자인 짐(ﺟ^ar)을 제곱근 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 ابن الياسمين|이븐 알야사민|^ar(?~1204)의 저작이 있다.^[47]

레기오몬타누스(1436~1476)는 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다. 현대적인 근호 √의 기원은 아랍 문자 ﺟ^ar이 변형된 것이라는 설과 소문자 r이 변형된 것이라는 설 등이 있다. 현대적인 근호가 제일 먼저 쓰인 책은 크리스토프 루돌프|^de의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)이다.^[20]

기원전 202년과 기원전 186년 사이 초기 한나라 시대에 쓰여진 중국 수학 저서 ''산술서''에서 제곱근은 "초과와 부족" 방법을 사용하여 근사값을 구했다.^[17]

D.E. 스미스에 따르면, 제곱근을 찾는 아리아바타의 방법은 1546년 카타네오에 의해 처음으로 유럽에 소개되었다.

복소수의 제곱근은 대수의 기본 정리에 의해 0을 제외하고는 두 개만 존재한다. 특히 실수의 범위에서는 양의 실수의 제곱근은 서로 반수인 두 개의 실수가 된다. 기하학적으로 양의 실수에 대한 양의 제곱근은 주어진 정사각형의 면적에 대한 한 변의 길이이다. 0의 제곱근은 0뿐이며, 제곱근이 유일하게 정해지는 것은 이 경우에 한정된다. 임의의 a에 대해 a의 양의 제곱근의 길이는 단위 길이가 주어지면, 자와 컴파스만으로 작도할 수 있다.

2. 1. 고대 메소포타미아와 이집트

기원전 1800년에서 1600년 사이에 제작된 YBC 7289 점토판에는 √2의 근삿값이 60진법으로 기록되어 있는데, 이는 소수점 아래 다섯 자리까지 정확하다.^[45]

린드 수학 파피루스는 기원전 1650년에 더 이전의 문서를 복사한 것으로, 이집트인들이 역비례 방법을 사용하여 제곱근을 구했음을 보여준다.^[6]

2. 2. 고대 인도

고대 인도에서는 제곱과 제곱근에 대한 이론 및 응용 지식이 기원전 800년~500년경 ''술바 수트라''에 나타나 있다.^[7] ''바우다야나 술바 수트라''에는 2와 3의 제곱근에 대한 매우 좋은 근삿값을 찾는 방법이 제시되어 있다.^[8] 아파스탐바는 기원전 600년경 2의 제곱근(√2)에 대해 소수점 다섯째 자리까지 정확한 1 + 1/3 + 1/(3 × 4) - 1/(3 × 4 × 34) 값을 제시했다.^[9]^[10]^[11] 아리아바타는 ''아리아바티야''(2.4절)에서 자릿수가 많은 수의 제곱근을 찾는 방법을 제시했다.

2. 3. 고대 그리스

고대 그리스인들은 제곱수가 아닌 양의 정수의 제곱근이 항상 무리수임을 알고 있었다. 2의 제곱근을 포함한 무리수의 발견은 피타고라스 학파와 밀접하게 관련되어 있으며, 일부 기록에서는 히파소스에게 발견의 공을 돌린다.^[13]^[14]^[15]^[16] 히파소스는 2의 제곱근가 무리수라는 것을 처음으로 증명한 사람으로 알려져 있다. 이것은 변의 길이가 1인 단위 정사각형의 대각선 길이에 해당한다. 유클리드 원론 X, 9에는 제곱근이 양의 정수이지만 완전제곱수가 아닌 경우 항상 무리수임을 증명하는 내용이 나오며, 이는 기원전 380년경 테아이테토스의 업적으로 추정된다.^[12]

2. 4. 중세 이슬람 세계

콰리즈미는 《جذر|자드르|약분·소거 계산론^ar》에서 제곱근을 '자드르(جذر)'라고 불렀다. '자드르(جذر)'는 '근본', '기반', '뿌리' 등을 뜻하는데, 이것이 유럽에 전해지면서 라틴어 '라딕스(radix)'로 번역되었다.^[46]

아랍 수학자들은 '자드르(جذر)'의 첫 글자인 짐(ﺟ)을 제곱근 기호로 사용했다. 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는 ابن الياسمين|이븐 알야사민|^ar(?~1204)의 저작이 있다.^[47]

2. 5. 근대 유럽

레기오몬타누스(1436~1476)는 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다.^[47] 현대적인 근호 √의 기원은 아랍 문자 ﺟ|짐^ar이 변형된 것이라는 설과 소문자 r이 변형된 것이라는 설 등이 있다. 현대적인 근호가 제일 먼저 쓰인 책은 크리스토프 루돌프의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)이다.^[20]

3. 정의

어떤 수 x를 제곱하여 a가 될 때, x를 a의 제곱근이라고 한다. 제곱근은 제곱하여 a가 되는 모든 수를 의미하며, 근호(√)를 사용하여 나타낸다.^[33]

'''0의 제곱근:''' 0의 제곱근은 0뿐이다.
'''양수의 제곱근:''' 양수 a의 제곱근은 양수와 음수 두 개가 존재하며, 절댓값은 같다. 이 중 양의 제곱근을 $\sqrt{a}$ 로 나타내고, '양의 제곱근' 또는 '주제곱근'이라고 부른다. 음의 제곱근은 $-\sqrt{a}$ 이다. 두 제곱근을 함께 $\pm\sqrt{a}$ 로 표기하기도 한다.
'''음수의 제곱근:''' 음수 a의 제곱근은 실수 범위에는 존재하지 않지만, 복소수 범위에서는 존재한다.

주제곱근 함수

f(x) = \sqrt{x}

는 음이 아닌 실수를 그 자체로 사상하는 함수이다. 기하학적으로 제곱근 함수는 정사각형의 넓이를 그 변의 길이로 사상한다.

x

의 제곱근은

x

가 두 완전제곱수의 비로 나타낼 수 있는 유리수일 때만 유리수이다.^[33] 제곱근 함수는 유리수를 대수적 수로 사상하며, 후자는 유리수의 상위집합이다.

모든 음이 아닌 실수

x

와

y

에 대해,

:

\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y

:

\sqrt x = x^{1/2}

가 성립한다.

제곱근 함수는 모든 음이 아닌

x

에 대해 연속이며, 모든 양의

x

에 대해 미분 가능하다.

f

가 도함수가 다음과 같이 주어지는 제곱근 함수를 나타낸다면:

:

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}

이다.

x = 0

에 대한

\sqrt{1 + x}

의 테일러 급수는

≤ 1

에 대해 수렴하며, 다음과 같이 주어진다.

:

\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots,

음이 아닌 수의 제곱근은 유클리드 노름 (및 거리)의 정의뿐만 아니라 힐베르트 공간과 같은 일반화에서도 사용된다. 이는 확률론과 통계학에서 사용되는 중요한 개념인 표준 편차를 정의한다. 이차 방정식의 해를 구하는 공식에서 주요하게 사용된다. 제곱근을 기반으로 하는 이차체와 이차 정수의 환은 대수에서 중요하며 기하학에서도 사용된다. 제곱근은 다른 수학 공식과 많은 물리적 법칙에도 자주 나타난다.

3. 1. 실수의 제곱근

음수가 아닌 실수

x

의 주요 제곱근

\sqrt x

은 실수의 완비성에 따라 유일하게 존재하며, 다음과 같이 정의된다.^[28]^[29]

:

\sqrt x=\sup\{y\in\mathbb R\colon y^2

여기서

\sup

는 집합의 상한이다. 나머지 한 제곱근은

-\sqrt x

이다. 음의 실수의 제곱근은 실수 범위에서 존재하지 않는다.

양수 또는 음수의 제곱은 항상 양수이며, 0의 제곱은 0이다. 따라서 음수는 실수 제곱근을 가질 수 없다.

임의의 실수

x

에 대해

:

\sqrt{x^2} =|x|\left( =\begin{cases}x &(x \ge 0) \\

x &(x < 0)

\end{cases}\right)

이 성립한다.

a

＞0,

b

＞0일 때,

:

\begin{align}\sqrt{ab} &=\sqrt{a} \sqrt{b},\\\sqrt{\frac{a}{b}} &=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\end{align}

가 성립한다.^[33]

입력

x

에 대해 그 음이 아닌 제곱근

\sqrt{x}

을 반환하는 함수

f(x)=\sqrt{x}

는 음이 아닌 실수 전체의 집합

\mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}

위에서 정의된 '''양의 제곱근 함수'''이다.

:

\sqrt{\bullet}\colon \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\} \ni x\ \xrightarrow{\text{1-1,onto}}\ \sqrt{x} \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}

이는 자기 자신에 대한 전단사 함수가 된다. 양의 제곱근 함수의 그래프와 음의 제곱근 함수

:

{-\sqrt{\bullet}}\colon \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\} \ni x\ \xrightarrow{\text{1-1,onto}}\ {-\sqrt{x}} \in \mathbb{R}^- \cup \{ 0\}

의 그래프의 합집합은 이차 함수

y = x^2

의 그래프와 직선

y = x

에 대해 선대칭인 포물선과 같다.

양의 제곱근 함수

\sqrt{\;}

는 연속이고

x > 0

에서 미분 가능하며, 도함수는

:

\frac{d}{dx} \sqrt{x} =\frac{1}{2\sqrt{x}}

부정적분은

:

\int \sqrt{x} \, dx=\frac{2}{3} ( \sqrt{x} )^3+C =\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}+C

　(

C

는 적분 상수)

로 주어진다. 또한, 수렴 멱급수로서의 이항 전개

:

\sqrt{1+x} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/2}{n} x^n =1+\frac{x}{2} -\frac{x^2}{8} +\cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n

가

|x| < 1

에서 성립한다.

x > 0

, 자연수

n

에 대해 귀납적으로

:

f_n (x)=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x + ...}}}}

(

x

및 근호의 개수는

n

)와 같이 정의하면, 함수열

(f_n)

는 점화식

:

f_{n+1}(x)^2 =x+f_n (x)

에 따르고,

(f_n)

가

\alpha(x) > 0

에 수렴한다면

\alpha(x)^2 - \alpha(x) - x = 0

이어야 하므로,

:

\lim_{n \to \infin} f_n (x)=\sqrt{x+\frac{1}{4}} +\frac{1}{2}

가 성립한다.

3. 2. 복소수의 제곱근

극 형식으로 나타낸 임의의 복소수

z=re^{i\theta}

의 주요 제곱근

\sqrt z

은 다음과 같다.

:

\sqrt z=\sqrt re^{i\theta/2}

남은 한 제곱근은

:

-\sqrt z=\sqrt re^{i(\theta/2+\pi)}

이다. 이 경우 음의 실수 역시 제곱근을 가지며, 예를 들어 -3의 주요 제곱근은

\sqrt 3i

이다.

0이 아닌 모든 복소수에 대해

w^2 = z

인 수

w

가 정확히 두 개 존재한다. 하나는

z

의 주 제곱근이고 다른 하나는 그 음수이다.

일관되게 단일 값(주값)을 선택할 수 있도록 제곱근을 정의하기 위해, 임의의 복소수

x + i y

는 평면의 한 점

(x, y)

로 볼 수 있으며, 직교 좌표를 사용하여 표현된다는 점을 관찰하여 시작한다. 같은 점은 극좌표를 사용하여 쌍

(r, \varphi)

로 해석될 수 있으며, 여기서

r \geq 0

은 원점으로부터 점까지의 거리이고,

\varphi

는 원점에서 점까지의 선이 양의 실수(

x

) 축과 이루는 각도이다. 복소수 해석에서 이 점의 위치는 관례적으로

r e^{i\varphi}

로 작성된다. 만약

:

z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi < \varphi \leq \pi,

이면,

z

의 주 제곱근은 다음과 같이 정의된다.

:

\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.

-\pi < \varphi \leq \pi

인 것이 중요한데, 예를 들어

z = - 2 i

(따라서

\varphi = -\pi/2

)이면 주 제곱근은

:

\sqrt{-2 i} = \sqrt{2 e^{i\varphi}} = \sqrt{2} e^{i\varphi/2} = \sqrt{2} e^{i(-\pi/4)} = 1 - i

이지만,

\tilde{\varphi} := \varphi + 2 \pi = 3\pi/2

를 사용하면 다른 제곱근

\sqrt{2} e^{i\tilde{\varphi}/2} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)} = -1 + i = - \sqrt{-2 i}

를 생성한다.

주 제곱근 함수는 음이 아닌 실수 집합을 제외하고 모든 곳에서 해석적이다.

위의 내용은 삼각 함수를 사용하여 표현할 수도 있다.

:

\sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right).

수가 실수부와 허수부를 사용하여 표현될 때, 다음 공식을 주제곱근에 사용할 수 있다.^[28]^[29]

:

\sqrt{x+iy} = \sqrt{\tfrac12\bigl(\sqrt{\textstyle x^2+y^2} + x\bigr)} +i\sgn(y) \sqrt{\tfrac12\bigl(\sqrt{\textstyle x^2+y^2} - x\bigr)},

여기서

\sgn(y) = 1

은

y \ge 0

일 때이고,

\sgn(y) = -1

은 그렇지 않을 때이다.^[30] 특히, 원래 수의 허수부와 그 제곱근의 주값의 허수부는 같은 부호를 갖는다. 제곱근의 주값의 실수부는 항상 음이 아니다.

예를 들어,

\pm i

의 주제곱근은 다음과 같다.

:

\sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt2}, \qquad\sqrt{-i} = \frac{1 - i}{\sqrt2}.

4. 성질

제곱근 함수 $\sqrt{x}$ 는 음이 아닌 실수의 집합에서 자기 자신으로 가는 함수이다. $x$ 가 유리수일 때, $\sqrt{x}$ 는 대수적 수가 된다.^[33]
음이 아닌 두 실수 $x$ 와 $y$ 에 대하여 $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ 가 성립한다.^[33]
모든 실수 $x$ 에 대하여 $\sqrt{x^2} = |x|$ 이다.
자연수 $x$ 에 대해 $\sqrt{x}$ 는 자연수이거나 무리수이다.

5. 계산

제곱근의 근삿값은 바빌로니아 법, 뉴턴 방법, 개평법 등을 통해 구할 수 있다. 바빌로니아 법은 뉴턴랩슨 법을 이용하여 이차방정식의 근사해를 구하는 것과 동일하다. 현대에는 계산기나 컴퓨터 소프트웨어를 사용하여 제곱근을 계산하는 것이 일반적이다.

헤론은 바빌로니아 법과 거의 비슷한 풀이를 제시했으며, 16세기에 발견된 개평법은 (a₁＋a₂＋…＋a_k)² ＝a₁²＋(2a₁＋a₂)a₂＋(2a₁＋2a₂＋a₃)a₃ ＋…＋(2a₁＋2a₂＋…＋a_k)a_k라는 항등식으로부터 유도되었다. 그러나 이 방법은 과정이 복잡하고 계산 효율이 낮아 현대에는 거의 사용되지 않는다.

양의 실수 a에 대하여 바빌로니아 법으로 √a의 근삿값을 구하는 과정은 다음과 같다.

# 임의의 양의 실수 x₀를 택한다. (√a에 가까울수록 더 빨리 근삿값을 구할 수 있다.)

# x_n+1 = (x_n + (a/x_n))/2 라 한다.

# 원하는 정밀도까지 위의 과정을 반복한다.

위에서 구한 수열 {x_n}은 lim x_n = √a를 만족한다.

다음은 바빌로니아 법으로 2의 제곱근의 근삿값을 구한 예시이다.

x₀ = 1
x₁ = 3 / 2
x₂ = 17 / 12
x₃ = 577 / 408
x₄ = 665857 / 470832
x₅ = 886731088897 / 627013566048 ≈ 1.4142135623730950488016896235

이는 2의 제곱근의 참값과 소수점 아래 23자리까지 일치한다.

제곱근표의 일부는 다음과 같다.

제곱근표
수	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.0	1.0000	1.0049	1.0099	1.0148	1.0198	1.0246	1.0295	1.0344	1.0392	1.0440
1.1	1.0488	1.0535	1.0583	1.0630	1.0677	1.0723	1.0770	1.0816	1.0862	1.0908
1.2	1.0954	1.1000	1.1045	1.1090	1.1135	1.1180	1.1224	1.1269	1.1313	1.1357
1.3	1.140	1.145	1.149	1.153	1.158	1.162	1.166	1.170	1.175	1.179
1.4	1.183	1.187	1.192	1.196	1.200	1.204	1.208	1.212	1.217	1.221
1.5	1.225	1.229	1.233	1.237	1.241	1.432	1.435	1.439	1.442	1.446

이분법 또는 뉴턴 방법을 사용할 수도 있다.

휴대용 계산기에는 제곱근 키가 있으며, 컴퓨터 스프레드시트 및 기타 소프트웨어도 제곱근 계산에 사용된다. 로그 표나 계산자를 사용할 때는 √a = e^{(ln a)/2} = 10^{(log₁₀ a)/2} 항등식을 이용할 수 있다.^[21]^[22]

a > 0, b > 0일 때, √(a²b) = a√b 가 성립한다.^[23]

√8 = √(2² × 2) = 2√2
√12 = √(2² × 3) = 2√3
√54 = √(3² × 6) = 3√6

특히, 양의 정수 x가 제곱인수를 가지지 않으면, √x는 무리수이다.

비교적 작은 수의 제곱근의 근삿값은 다음과 같은 어구 맞추기로 기억할 수 있다.

√2 = 1.41421356... (일야일야에 사람미경)^[24]
√3 = 1.7320508075... (사람 나란히 사치하라 여자)^[25]
√5 = 2.2360679... (후지산 기슭 앵무새 운다)^[26]
√6 = 2.4494897... (츠요시 꼬치구이 하지 마라, 삶아 잘 약해져라)^[27]
√7 = 2.64575... (나물에 벌레 없다)
√8 = 2√2 = 2.8284271... (킥킥 부르지 마라, 냐옹냐옹 잉어 한 마리)
√10 = 3.16227766... (아버지 일로 형님, 세 가지 색으로 나란히)

6. 정수 및 복소수의 제곱근

수 a에 대해서, x² = a를 만족하는 x를 a의 '''제곱근'''이라고 한다.

0의 제곱근은 0뿐이다. 양수의 제곱근은 양수와 음수 두 개가 존재하며, 그 절댓값은 같다. 그중 양수인 것을 '''근호'''(radical symbol) $\sqrt{\;}$ 를 사용하여

: $\sqrt{a}$

와 같이 나타낸다. 이것은 a의 '양의(또는 비음의) 제곱근'(principal square root; 주제곱근)이다. 다른 하나의 '음의 제곱근'은 $-\sqrt{a}$ 이다. 두 개의 제곱근을 함께 $\pm\sqrt{a}$ 로 표기하는 경우도 있다. 예를 들어, 9의 제곱근은 ±3이고, $\sqrt{9}$ 는 양수인 3을 나타낸다. $\sqrt{0}$ 는 0의 유일한 제곱근 0을 의미한다.

a < 0인 경우에는, a의 제곱근은 실수가 아니며, 두 개의 제곱근을 수의 크기로 구별하는 것은 불가능하다.

정부호 행렬 등 몇 가지 수학적 대상에 대해서도 제곱근이 정의된다.

0이 아닌 모든 복소수는 정확히 두 개의 제곱근을 가지며, 이들은 서로 반수 관계이다.^[34] 복소수 z의 주 제곱근은 z이고, 다른 하나는 그 음수이다.

복소수 a가 0이 아닐 때, z² = a를 만족하는 복소수 z는 두 개 존재한다. a의 극좌표를

: $a=re^{i\theta} \ (r>0,\, -\pi <\theta \le \pi)$

라고 하면, z의 절댓값의 제곱이 r이고, z의 편각의 두 배가 θ이므로,

: $\sqrt{a} =\sqrt{r} \, e^{i\theta/2}$

로 정의할 수 있다. 이는 a에 대해 유일하게 정해지며, (√a)² = a를 만족한다. 이를 a의 제곱근의 '''주값'''(principal value)이라고 한다. 이 주값으로 정의되는 제곱근 함수

: $\mathbb{C} \ni z\mapsto \sqrt{z} \in \mathbb{C}$

는 실수축의 음의 부분을 제외한 가우스 평면 전체 영역에서 정칙이다. 그러나 실수축의 음의 부분에서는 연속적이지 않다. 이를 두 장의 가우스 평면을 실수축의 음의 부분에서 붙인 제곱근 함수의 리만 곡면에서 생각하면, 모든 곳에서 해석적이다.

6. 1. 정수의 제곱근

양수는 두 개의 제곱근을 가지는데, 하나는 양수이고 다른 하나는 음수이며, 서로 반대이다. 양의 정수의 ''제곱근''에 대해 이야기할 때는 일반적으로 양의 제곱근을 의미한다.

정수의 제곱근은 대수적 정수이며, 더 구체적으로는 이차 정수이다.

양의 정수의 제곱근은 그 수의 소인수들의 제곱근의 곱과 같다. 왜냐하면 곱의 제곱근은 각 인수의 제곱근의 곱이기 때문이다.

\sqrt{p^{2k}} = p^k

이므로, 소인수분해에서 홀수 제곱으로 나타나는 소수의 제곱근만 구하면 된다. 더 정확히 말하면, 소인수분해의 제곱근은 다음과 같다.

\sqrt{p_1^{2e_1+1} \cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}} \dots p_n^{2e_n}} = p_1^{e_1} \dots p_n^{e_n} \sqrt{p_1\dots p_k}.

제곱수(예: 0, 1, 4, 9, 16)의 제곱근은 정수이다. 다른 모든 경우에 양의 정수의 제곱근은 무리수이므로, 모든 표준 위치 표기법에서 반복되지 않는 숫자를 갖는다.

작은 정수의 제곱근은 SHA-1과 SHA-2 해시 함수 설계에서 눈속임수를 제공하는 데 사용된다.

어떤 양의 정수 a의 제곱근이 정수인 것은 아니다.

원래 수가 제곱수가 아닌 양의 정수라면, 그 제곱근이 무리수임이 증명되어 있다.

: (예):

\sqrt{10} = 3.162277660168 \cdots

증명은 2의 제곱근#무리수임을 증명을 참고.

6. 2. 복소수의 제곱근

0이 아닌 모든 복소수는 정확히 두 개의 제곱근을 가지며, 이들은 서로 반수 관계이다.^[34] 복소수 ''z''의 주 제곱근은 다른 하나는 그 음수이다.

복소수 ''a''가 0이 아닐 때, ''z''² = ''a''를 만족하는 복소수 ''z''는 두 개 존재한다. ''a''의 극좌표를

:

a=re^{i\theta} \ (r>0,\, -\pi <\theta \le \pi)

라고 하면, ''z''의 절댓값의 제곱이 ''r''이고, ''z''의 편각의 두 배가 θ이므로,

:

\sqrt{a} =\sqrt{r} \, e^{i\theta/2}

로 정의할 수 있다. 이는 ''a''에 대해 유일하게 정해지며, ('√a')² = ''a''를 만족한다. 이를 ''a''의 제곱근의 '''주값'''(principal value)이라고 한다. 이 주값으로 정의되는 제곱근 함수

:

\mathbb{C} \ni z\mapsto \sqrt{z} \in \mathbb{C}

는 실수축의 음의 부분을 제외한 가우스 평면 전체 영역에서 정칙이다. 그러나 실수축의 음의 부분에서는 연속적이지 않다. 이를 두 장의 가우스 평면을 실수축의 음의 부분에서 붙인 제곱근 함수의 리만 곡면에서 생각하면, 모든 곳에서 해석적이다.

7. n제곱근과 다항식의 근

제곱근의 개념은 n제곱근으로 일반화될 수 있다. x의 n제곱근은 yⁿ = x를 만족하는 수 y이다. 다항식 p의 근은 p(y) = 0을 만족하는 수 y이며, x의 n제곱근은 다항식 yⁿ - x의 근이다. 아벨-루피니 정리에 따르면, 5차 이상의 다항식의 근은 일반적으로 n제곱근으로 표현될 수 없다.

8. 행렬과 연산자의 제곱근

정부호 행렬 ''A''에 대해 $B^2 = A$를 만족하는 정부호 행렬 ''B''는 유일하게 존재하며, $A^{1/2} = B$로 정의된다. 일반적으로 행렬은 여러 개의 제곱근을 가질 수 있다. 예를 들어, 2 × 2 단위 행렬은 무한히 많은 제곱근을 가지지만,^[32] 그중 하나만이 정부호이다.

일반적으로, 정방행렬 ''A''에 대해, $X^2 = A$를 만족하는 정방행렬 ''X''를 ''A''의 '''제곱근 행렬'''이라고 부르며^[35], 기호로 $\sqrt{A}$ 또는 $A^{1/2}$로 나타낸다. 제곱근 행렬은 항상 존재하는 것은 아니며, 존재하더라도 유일한 경우, 여러 개 존재하는 경우, 무한히 많은 경우가 있다. 예를 들어, 2차 단위행렬 $I_2$는 무수히 많은 제곱근을 갖는다.^[36] 하지만 그중에서 양정부호가 되는 것은 오직 $I_2$ 자신뿐이다.

반양정부호 복소(resp. 실수) 정방행렬 ''A''에 대해, $A = BB^*$ (또는 $A = B^*B$, 여기서 $*$는 에르미트 켤레)를 만족하는 (정방이 아닐 수도 있는) 임의의 행렬 ''B''를 종종 ''A''의 '''비에르미트'''(resp. '''비대칭''') '''제곱근''' (''non-Hermitian (resp. symmetric) square root'')^[37]이라고 부른다(특히 적절한 삼각행렬이 될 때 콜레스키 인수(Cholesky factor)^[38]라고도 부른다). ''B''가 스스로 에르미트(실수 계수의 경우 대칭)라면, 이것은 위에서 언급한 제곱근의 개념과 일치한다.

임의의 양정부호 에르미트 행렬 ''P''에 대해, 그것 자체가 양정부호 에르미트가 되는 제곱근은 유일하며, 이것을 '''주제곱근'''(unique square root, principal square root)^[39]이라고 부르지만, 종종 기호 $\sqrt{P}$ 또는 $P^{1/2}$는 주로 주제곱근을 나타내기 위해 사용된다는 점^[40]에 주의해야 한다. 또한, 양정부호 에르미트 행렬의 임의의 비에르미트 제곱근은, 유니터리 행렬을 곱하는 정도의 불확정성을 갖지만,^[41] 이것은 양의 실수의 경우에, (양의 주제곱근이 유일하게 결정되는 것과) 주제곱근에 ±1을 곱한 것이 그 제곱근의 전부라는 것과 대응한다.

이러한 반양정부호 행렬의 제곱근의 계산과 유일성의 증명에는, 에르미트 연산자에 관한 스펙트럼 이론(고유값 분해)이나 특이값 분해 또는 콜레스키 분해 등을 이용할 수 있다.^[42]^[43]^[44]

일반적인 환에서, 원소 ''a''의 제곱근 ''b''를 $b^2 = a$로 정의하면, 일반적으로 제곱근은 부호를 제외하고 유일하지 않다.

예를 들어 합동류환 '''Z'''/8'''Z'''을 생각해 보면, 이 환에서 단위원 1은 서로 다른 네 개의 제곱근(구체적으로는 ±1, ±3)을 갖는다. 반면, 원소 2는 제곱근을 갖지 않는다.

사원수 체 '''H'''에서, -1은 ±''i'', ±''j'', ±''k''를 포함한 무수히 많은 제곱근을 갖는다. 사실 -1의 제곱근 전체는 정확히 집합

: $\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\}$

이며, 따라서 각 제곱근의 절댓값은 같고, 이 집합은 3차원 공간 내의 2차원 단위구면을 그린다.

영원소 0의 제곱근은 정의에 따라 0 자신 또는 영인자이다. 체에는 영인자가 존재하지 않으므로, 일반적으로 0의 제곱근은 0뿐이다. 그러나 영인자가 존재할 수 있는 일반적인 환에서는 반드시 그렇지 않다는 것을, 반례로 임의의 자연수 ''n''에 대한 '''Z'''/''n''²'''Z'''을 생각하면 알 수 있다(이 경우, ''n''은 영인자이며, 실제로 $n^2 = 0$을 만족한다).

9. 환에서의 제곱근

정역에서, 각 원소는 두 개 이하의 제곱근을 갖는다. 곱셈의 교환 법칙을 이용하여 두 제곱의 차 항등식 $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$ 를 증명할 수 있다. 만약 $u$ 와 $v$ 가 같은 원소의 제곱근이라면, $u^2 - v^2 = 0$ 이다. 영인자가 없으므로, 이는 $u = v$ 또는 $u + v = 0$ 을 의미하며, 후자는 두 근이 서로 덧셈의 역원임을 의미한다. 다시 말해, 어떤 원소 $a$ 의 제곱근 $u$ 가 존재한다면, $a$ 의 제곱근은 $u$ 와 $-u$ 뿐이다. 정역에서 0의 유일한 제곱근은 0 자신이다.

표수가 2인 체에서는 각 원소가 자신의 덧셈에 대한 역원이므로 $-u = u$ 이며, 따라서 각 원소는 제곱근을 하나 가지거나 전혀 가지지 않는다. 표수가 2인 유한체라면 모든 원소는 유일한 제곱근을 갖는다. 다른 표수의 체에서는, 0이 아닌 임의의 원소는 위에서 설명한 대로 두 개의 제곱근을 갖거나 전혀 갖지 않는다.

홀수 소수 $p$ 가 주어졌다고 하자. 어떤 양의 정수 $e$ 에 대해 $q = p^e$ 이라고 하자. $q$ 개의 원소를 가진 체 $\mathbb{F}_q$ 의 0이 아닌 원소는 $\mathbb{F}_q$ 내에 제곱근을 가지면 이차 잉여이다. 그렇지 않으면 이차 비잉여이다. 이차 잉여는 $(q - 1)/2$ 개, 이차 비잉여는 $(q - 1)/2$ 개 있으며, 0은 어느 범주에도 포함되지 않는다. 이차 잉여는 곱셈에 대해 군을 이룬다. 이차 잉여의 성질은 정수론에서 널리 사용된다.

일반적인 정역과 달리, 임의의 (단위원을 갖는) 환에서 제곱근은 부호를 제외하고 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 8을 법으로 하는 정수 환(가환적이지만 영인자를 갖는다)인 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 에서 원소 1은 ±1과 ±3과 같이 네 개의 서로 다른 제곱근을 갖는다.

다른 예로, 영인자는 없지만 비가환적인 사원수 환 $\mathbb{H}$ 가 있다. 여기서 원소 −1은 무한히 많은 제곱근을 갖는데, $±i$ , $±j$ , $±k$ 등이 포함된다. 사실, $-1$ 의 제곱근의 집합은 정확히 다음과 같다.

$\{ai + bj + ck \mid a^2 + b^2 + c^2 = 1\} .$

0의 제곱근은 0이거나 영인자이다. 따라서 영인자가 존재하지 않는 환에서는 0이 유일한 0의 제곱근이다. 그러나 영인자를 갖는 환은 0의 여러 개의 제곱근을 가질 수 있다. 예를 들어, $\mathbb{Z}/n^2\mathbb{Z}$ 에서 $n$ 의 배수는 모두 0의 제곱근이다.

10. 제곱근의 기하학적 작도

주어진 선분의 길이를 이용하여 제곱근의 길이를 작도할 수 있다. 유클리드는 두 양의 기하 평균을 작도하는 방법을 제시했으며, 이는 제곱근 작도의 기초가 된다. 직각삼각형과 귀납법을 사용하여 연속적인 제곱근을 작도할 수 있으며, 이는 테오도루스의 나선으로 이어진다.

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