항등 함수

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1. 개요

항등 함수는 집합 X의 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이며, 정의역과 공역이 같다. 임의의 함수 f에 대해 항등 함수는 함수의 합성에 대한 항등원 역할을 하며, 전단사 함수는 역함수를 갖는다. 항등 함수는 선형 연산자, 등거리 변환, 연속 함수이며 멱등 함수이다. 범주론에서 항등 함수는 항등 사상으로 일반화되며, 항등 함자와 항등 자연 변환과 같은 관련 개념이 존재한다.

항등 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
5. 관련 개념

2. 정의

집합 $X$ 의 항등 함수 $\operatorname{id}_X$ 는 다음과 같은 함수이다.

* $\operatorname{id}_X\colon X\to X$
* 임의의 $x\in X$ 에 대하여, $\operatorname{id}_X(x)=x$

형식적으로, 집합 $X$ 에 대한 항등 함수 $f$ 는 정의역과 공역이 모두 $X$ 이고, 다음을 만족하는 함수로 정의된다.

: $f(x) = x$ 집합 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대하여.

다시 말해, 공역 $X$ 에서의 함수 값 $f(x)$ 는 정의역 $X$ 에서의 입력 원소 $x$ 와 항상 같다. 집합 $X$ 에 대한 항등 함수는 단사 함수이자 전사 함수 (공역이 치역이기도 하다)이므로, 전단사 함수이다.

집합 $X$ 에 대한 항등 함수 $f$ 는 종종 $\operatorname{id}_X$ 로 표기된다.

집합론에서 함수가 특정한 종류의 이항 관계로 정의될 때, 항등 함수는 $X$ 의 항등 관계 또는 "대각선"으로 주어진다.

엄밀히 말하면, 집합 $M$ 위의 항등 함수 $f$ 는 정의역과 공역이 모두 $M$ 인 함수로서, $M$ 의 임의의 원소 $x$ 에 대해

: $f(x) = x$

를 만족하는 것을 말한다. $M$ 위의 항등 함수는 $M$ 의 각 원소 $x$ 에 $x$ 자신을 대응시켜 얻어지는 $M$ 에서 $M$ 으로의 하나의 함수이다。

$M$ 위의 항등 함수는 종종 $\operatorname{id}_M$ 또는 $1_M$ 등으로 표기된다.

함수를 이항 관계로 볼 때, 항등 함수는 항등 관계라고 불리는 functional relation^영어, 즉 $M$ 의 대각 집합(diagonal set) $\Delta = \{(x, x) | x \isin M\}$ 로 주어진다。

3. 성질

임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 항등식이 성립한다.
: $f\circ\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_Y\circ f=f$
즉, 항등 함수는 범주에서의 항등 사상이다. 특히, $X$ 의 자기 함수 집합 $\operatorname{End}(X)$ 는 함수의 합성에 대해 모노이드를 이룬다. 모노이드의 항등원은 유일하므로, 항등 함수는 이 항등원으로 정의할 수 있다.

임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $f$ 는 전단사 함수이다.
* 다음을 만족시키는 역함수 $f^{-1}\colon Y\to X$ 가 존재한다.
$f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_X$
$f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_Y$

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, $X$ 의 자기 전단사 함수 집합 $\operatorname{Sym}(X)$ 은 함수의 합성에 대해 군을 이루며, 이를 $X$ 의 대칭군이라고 한다.

항등 함수는 다음과 같은 성질들을 갖는다.
* 선형 사상이 벡터 공간에 적용될 때 선형 연산자이다.
* n차원 벡터 공간에서 항등 함수는 공간에 대해 선택된 기저에 관계없이 항등 행렬 $I_n$ 으로 표시된다.
* 양의 정수에 대한 항등 함수는 완전 곱셈 함수(본질적으로 1을 곱하는 것)이며, 이는 정수론에서 고려된다.
* 거리 공간에서 항등 함수는 자명하게 등거리 변환이다. 대칭성이 없는 객체는 이 등거리 변환(대칭 유형 $C_1$ )만 포함하는 자명군을 대칭군으로 갖는다.
* 위상 공간에서 항등 함수는 항상 연속이다.
* 멱등이다.

4. 예

양의 정수의 집합 $\mathbb Z^+$ 의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 $\mathbb R$ 의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

* 항등 함수는 선형 사상이 벡터 공간에 적용될 때 선형 연산자이다.
* n-차원 벡터 공간에서 항등 함수는 공간에 대해 선택된 기저에 관계없이 항등 행렬 $I_n$ 으로 표시된다.
* 양의 정수에 대한 항등 함수는 완전 곱셈 함수(본질적으로 1을 곱하는 것)이며, 이는 정수론에서 고려된다.
* 거리 공간에서 항등 함수는 자명하게 등거리 변환이다. 대칭성이 없는 객체는 이 등거리 변환(대칭 유형 $C_1$ )만 포함하는 자명군을 대칭군으로 갖는다.
* 위상 공간에서 항등 함수는 항상 연속이다.
* 항등 함수는 멱등이다.

5. 관련 개념

범주에서 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, identity morphism^영어)은 항등 함수의 개념을 일반화한 것이다.

만약 가 임의의 함수이고, "∘"가 함수 합성을 나타낸다면, 가 성립한다. 특히, 는 함수 합성에 대해 에서 로 가는 모든 함수의 모노이드의 항등원이다.

모노이드의 항등원은 유일하므로, 상의 항등 함수는 이 항등원으로 정의할 수 있다. 이는 범주론에서 항등 사상 개념으로 일반화되며, 여기서 의 자기 사상은 함수일 필요가 없다.

범주 의 항등 함자(恒等函子, identity functor^영어) 는 다음과 같다.

* 모든 대상 에 대하여,
* 모든 대상 및 사상 에 대하여,

함자 의 항등 자연 변환(恒等自然變換, natural transformation^영어) 는 다음과 같다.

*
* 모든 대상 에 대하여,

5.1. (범주 속의) 항등 사상

범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, identity morphism^영어)은 항등 함수의 개념을 일반화한 것이다.

만약 가 임의의 함수라면, "∘"가 함수 합성을 나타낼 때, 가 성립한다. 특히, 는 (함수 합성에 대해) 에서 로 가는 모든 함수의 모노이드의 항등원이다.

모노이드의 항등원은 유일하므로, 상의 항등 함수를 이 항등원으로 정의할 수 있다. 이러한 정의는 범주론에서 항등 사상의 개념으로 일반화되며, 여기서 의 자기 사상은 함수일 필요가 없다.

만약 을 임의의 사상이라고 하면,
: $f \circ \text{id}_M = f = \text{id}_N \circ f$
가 성립한다("∘"는 사상의 합성). 특히, 는 에서 으로의 사상( 위의 변환) 전체가 이루는 집합이 합성에 관해 이루는 반군( 위의 전체 변환 반군) 에서의 항등원(중립원)이며, 따라서 은 모노이드를 이룬다.

모노이드의 항등원은 단 하나이므로, 위의 항등 사상의 또 다른 정의로서, 전체 변환 모노이드의 항등원으로 정할 수도 있다. 이러한 정의는 범주론에서의 항등 사상의 개념으로 일반화할 수 있다. 이 문맥에서는 위의 자기 사상이 사상일 필요는 없다.

5.2. 항등 함자

범주 $\mathcal C$ 의 항등 함자(恒等函子, identity functor^영어) $\operatorname{id}_{\mathcal C}$ 는 다음과 같은 함자이다.

* $\operatorname{id}_{\mathcal C}\colon\mathcal C\to\mathcal C$
* 모든 대상 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)=X$
* 모든 대상 $X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)=f$

만약 $\mathcal C$ 가 작은 범주일 경우, 항등 함자 $\operatorname{id}_{\mathcal C}$ 는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

모든 대상 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여
: $\operatorname{id}_{\mathcal C}(\operatorname{id}_X)=\operatorname{id}_X=\operatorname{id}_{\operatorname{id}_{\mathcal C}(X)}$
이며, 모든 대상 $X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 및 $g\colon Y\to Z$ 에 대하여
: $\operatorname{id}_{\mathcal C}(g\circ f)=g\circ f=\operatorname{id}_{\mathcal C}(g)\circ\operatorname{id}_{\mathcal C}(f)$
이므로, $\operatorname{id}_{\mathcal C}$ 는 (공변) 함자이다.

5.3. 항등 자연 변환

함자 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ 의 항등 자연 변환(恒等自然變換, natural transformation^영어) $\operatorname{id}_F$ 는 다음과 같은 자연 변환이다.

* $\operatorname{id}_F\colon F\Rightarrow F$
* 모든 대상 $X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 에 대하여, $(\operatorname{id}_F)_X=\operatorname{id}_{F(X)}$

만약 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 $\operatorname{id}_F$ 는 $\mathcal C$ 와 $\mathcal D$ 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

모든 대상 $X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)$ 및 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.
: $(\operatorname{id}_F)_Y\circ F(f)=\operatorname{id}_{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ\operatorname{id}_{F(X)}=F(f)\circ(\operatorname{id}_F)_X$
따라서, $\operatorname{id}_F$ 는 자연 변환이다.