헤론 평균

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1. 개요

헤론 평균은 두 숫자의 산술 평균과 기하 평균의 가중 산술 평균이다. 모든 평균과 마찬가지로 대칭적이며 멱등적이다. 헤론 평균은 각뿔대 또는 원뿔의 부피를 계산하는 데 사용될 수 있으며, 부피는 각뿔대의 높이와 평행한 면적들의 헤론 평균을 곱한 값과 같다. 사각뿔대에 대한 이 공식은 고대 이집트 수학의 모스크바 수학 파피루스에 나타난다.

헤론 평균
헤론 평균
유형평균
발명가헤론
발견 시기기원후 1세기
정의$H = \frac{A + \sqrt{AB} + B}{3}$
변수A
B
분야수학
관련된 평균
관계산술 평균기하 평균의 가중 평균
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2. 성질

모든 평균과 마찬가지로, 헤론 평균은 대칭적이며(두 인수의 순서에 관계없이 동일한 값을 가짐) 멱등적이다(자기 자신과 같은 숫자의 평균은 그 숫자와 같다).

숫자 AB의 헤론 평균은 그들의 산술 평균기하 평균가중 산술 평균이다.
따라서, 이 평균은 이 두 평균 사이에 있으며, 주어진 두 숫자 사이에도 존재한다.

2.1. 산술 평균 및 기하 평균과의 관계

모든 평균과 마찬가지로, 헤론 평균은 대칭적이며(두 인수의 순서에 관계없이 동일한 값을 가짐) 멱등적이다(자기 자신과 같은 숫자의 평균은 그 숫자와 같다).

숫자 AB의 헤론 평균은 그들의 산술 평균기하 평균가중 산술 평균이다.
따라서, 이 평균은 이 두 평균 사이에 있으며, 주어진 두 숫자 사이에도 존재한다.

3. 기하학에서의 응용

헤론 평균은 각뿔대 또는 원뿔부피를 구하는 데 사용될 수 있다. 부피는 각뿔대의 높이와 서로 마주보는 평행한 면적들의 헤론 평균을 곱한 값과 같다.

사각뿔대, 부피는 높이에 사각형 면적의 헤론 평균을 곱한 값과 같다
사각뿔대, 부피는 높이에 사각형 면적의 헤론 평균을 곱한 값과 같다


사각뿔대에 대한 이 공식의 한 형태는 기원전 1850년경의 고대 이집트 수학의 내용을 담고 있는 모스크바 수학 파피루스에 나타난다.

3.1. 고대 이집트 수학에서의 사용

헤론 평균은 각뿔대 또는 원뿔부피를 구하는 데 사용될 수 있다. 부피는 각뿔대의 높이와 서로 마주보는 평행한 면적들의 헤론 평균을 곱한 값과 같다.

사각뿔대, 부피는 높이에 사각형 면적의 헤론 평균을 곱한 값과 같다
사각뿔대, 부피는 높이에 사각형 면적의 헤론 평균을 곱한 값과 같다


사각뿔대에 대한 이 공식의 한 형태는 기원전 1850년경의 고대 이집트 수학의 내용을 담고 있는 모스크바 수학 파피루스에 나타난다.